Math: matrices (Dutch)

1. H OOFDSTUK 2: M ATRICES EN DETERMINANTEN MM001 H2. Overzicht Deﬁnities Deﬁnities Terminologie Bewerkingen optellen vermenigvuldigen Inverse Lineair stelsel Oplossen Controle Determinanten en lineaire stelsels Determinant Inverse Cramer Herhaling

2. O VERZICHT MM001 H2. D EFINITIES : Overzicht definitie Definities Definities terminologie Terminologie Bewerkingen optellen B EWERKINGEN : vermenigvuldigen Inverse optellen Lineair stelsel vermenigvuldigen Oplossen Controle inverse matrix Determinanten en lineaire stelsels L INEAIR STELSEL : Determinant Inverse Cramer Herhaling D ETERMINANTEN EN LINEAIRE STELSELS :

5. O VERZICHT MM001 H2. D EFINITIES : Overzicht Deﬁnities Deﬁnities B EWERKINGEN : Terminologie Bewerkingen optellen vermenigvuldigen L INEAIR STELSEL : Inverse Lineair oplossing via matrices stelsel Oplossen controle van de geldigheid Controle Determinanten en lineaire D ETERMINANTEN EN LINEAIRE STELSELS : stelsels Determinant berekening van determinant Inverse Cramer berekening van inverse via determinant Herhaling stelsel van Cramer

6. O VERZICHT MM001 H2. D EFINITIES : Overzicht Deﬁnities Deﬁnities B EWERKINGEN : Terminologie Bewerkingen optellen vermenigvuldigen L INEAIR STELSEL : Inverse Lineair oplossing via matrices stelsel Oplossen controle van de geldigheid Controle Determinanten en lineaire D ETERMINANTEN EN LINEAIRE STELSELS : stelsels Determinant berekening van determinant Inverse Cramer berekening van inverse via determinant Herhaling stelsel van Cramer

7. D EFINITIES EN TERMINOLOGIE MM001 H2. D EFINITIE Overzicht   a11 a12 . . . a1j . . . a1l Deﬁnities a Deﬁnities  21 a22 . . . a2j . . . a2l   Terminologie  . . . .   . . . .  Bewerkingen  . . ... . ... .  optellen A is een matrix ⇐⇒ A =  . vermenigvuldigen  ai1 ai2 ... aij . . . ail  Inverse  . . . .    Lineair  .. . . ... . . ... .  . stelsel Oplossen ak 1 ak 2 . . . akj . . . akl Controle Determinanten en lineaire stelsels D EFINITIE Determinant Inverse k rijen en l kolommen → (k × l) matrix Cramer Herhaling element aij of ai ,j

8. D EFINITIES EN TERMINOLOGIE MM001 H2. D EFINITIE Overzicht   a11 a12 . . . a1j . . . a1l Deﬁnities a Deﬁnities  21 a22 . . . a2j . . . a2l   Terminologie  . . . .   . . . .  Bewerkingen  . . ... . ... .  optellen A is een matrix ⇐⇒ A =  . vermenigvuldigen  ai1 ai2 ... aij . . . ail  Inverse  . . . .    Lineair  .. . . ... . . ... .  . stelsel Oplossen ak 1 ak 2 . . . akj . . . akl Controle Determinanten en lineaire stelsels D EFINITIE Determinant Inverse k rijen en l kolommen → (k × l) matrix Cramer Herhaling element aij of ai ,j

9. V OORBEELD MM001 H2. Overzicht V OORBEELD : Deﬁnities   Deﬁnities Terminologie 40 40 20 30 31 27 16 25 Bewerkingen   A = 26 34 12 25 optellen   vermenigvuldigen 21 27 9 28 Inverse   Lineair stelsel 29 30 13 21 Oplossen Controle Determinanten en lineaire 5 rijen en 4 kolommen → (5 × 4) matrix stelsels Determinant element a21 = 31 Inverse Cramer Herhaling

10. V OORBEELD MM001 H2. Overzicht V OORBEELD : Deﬁnities   Deﬁnities Terminologie 40 40 20 30 31 27 16 25 Bewerkingen   A = 26 34 12 25 optellen   vermenigvuldigen 21 27 9 28 Inverse   Lineair stelsel 29 30 13 21 Oplossen Controle Determinanten en lineaire 5 rijen en 4 kolommen → (5 × 4) matrix stelsels Determinant element a21 = 31 Inverse Cramer Herhaling

11. D EFINITIES EN TERMINOLOGIE MM001 D EFINITIE H2. A is een nulmatrix ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0 Overzicht Deﬁnities Deﬁnities V OORBEELD : Terminologie Bewerkingen 0 0 0 optellen 0= vermenigvuldigen 0 0 0 Inverse Lineair stelsel Oplossen D EFINITIE Controle A is een vierkante matrix ⇐⇒ k = l Determinanten en lineaire stelsels Determinant V OORBEELD : Inverse −2 0 3   Cramer Herhaling A= 1 0 2 0 −4 1

12. D EFINITIES EN TERMINOLOGIE MM001 D EFINITIE H2. A is een nulmatrix ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0 Overzicht Deﬁnities Deﬁnities V OORBEELD : Terminologie Bewerkingen 0 0 0 optellen 0= vermenigvuldigen 0 0 0 Inverse Lineair stelsel Oplossen D EFINITIE Controle A is een vierkante matrix ⇐⇒ k = l Determinanten en lineaire stelsels Determinant V OORBEELD : Inverse −2 0 3   Cramer Herhaling A= 1 0 2 0 −4 1

13. D EFINITIES EN TERMINOLOGIE MM001 D EFINITIE H2. A is een symmetrische matrix ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji Overzicht Deﬁnities Deﬁnities V OORBEELD : Terminologie −2 0 3   Bewerkingen optellen A= 0 5 −4 vermenigvuldigen Inverse 3 −4 1 Lineair stelsel Oplossen D EFINITIE Controle Determinanten A is een eenheidsmatrix ⇐⇒ k = l en en lineaire stelsels ∀i = j : aij = 1, ∀i = j : aij = 0 Determinant Inverse Cramer V OORBEELD : Herhaling 1 0 I2 = 0 1

14. D EFINITIES EN TERMINOLOGIE MM001 D EFINITIE H2. A is een symmetrische matrix ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji Overzicht Deﬁnities Deﬁnities V OORBEELD : Terminologie −2 0 3   Bewerkingen optellen A= 0 5 −4 vermenigvuldigen Inverse 3 −4 1 Lineair stelsel Oplossen D EFINITIE Controle Determinanten A is een eenheidsmatrix ⇐⇒ k = l en en lineaire stelsels ∀i = j : aij = 1, ∀i = j : aij = 0 Determinant Inverse Cramer V OORBEELD : Herhaling 1 0 I2 = 0 1

15. O PTELLEN VAN TWEE MATRICES MM001 H2. D EFINITIE a11 . . . a1l b11 b1l c11 c1l       Overzicht ... ... Deﬁnities  . .. . +  . .. . =  . .. .  Deﬁnities  .. . .   . . . . .   . . . . .  . Terminologie Bewerkingen ak 1 . . . akl bk 1 . . . bkl ck 1 . . . ckl optellen met cij = aij + bij vermenigvuldigen Inverse Lineair stelsel D EFINITIE Oplossen Controle 1 inwendige bewerking: A + B is een matrix Determinanten en lineaire 2 associativiteit: A + (B + C) = (A + B) + C stelsels Determinant 3 neutraal element: A + 0 = A Inverse Cramer 4 symmetrisch element: A + (−A) = 0 Herhaling 5 commutativiteit: A + B = B + A

16. V ERMENIGVULDIGEN MET EEN REËEL GETAL MM001 D EFINITIE H2. a11 . . . a1l c11 c1l     ... Overzicht  . .. . = . .. .  Deﬁnities k. .. . .   . . . . .  . Deﬁnities Terminologie ak 1 . . . akl ck 1 . . . ckl Bewerkingen met cij = k .aij optellen vermenigvuldigen Inverse Lineair D EFINITIE stelsel Oplossen ∀r , s ∈ R Controle Determinanten 1 eerste distributiviteit: r (A + B) = rA + rB en lineaire stelsels 2 tweede distributiviteit: (r + s)A = rA + sA Determinant Inverse Cramer 3 gemengde associativiteit: rs(A) = r (sA) Herhaling 4 neutraal element: 1.A = A 5 opslorpend element: 0.A = 0

17. V ERMENIGVULDIGEN VAN TWEE MATRICES MM001 H2. D EFINITIE Overzicht   Deﬁnities b1 Deﬁnities b  Terminologie  2  .   .  Bewerkingen  .  optellen a1 a2 . . . ai . . . am .  = c vermenigvuldigen Inverse  bi   .    .  Lineair stelsel .  Oplossen Controle bm Determinanten met c = a1 b1 + a2 b2 + . . . + ai bi . . . am bm en lineaire stelsels Determinant Inverse D EFINITIE Cramer A.B = C met A = (1 × m), B = (m × 1), C = (1 × 1) Herhaling

18. V ERMENIGVULDIGEN VAN TWEE MATRICES MM001 H2. D EFINITIE Overzicht   Deﬁnities b1 Deﬁnities b  Terminologie  2  .   .  Bewerkingen  .  optellen a1 a2 . . . ai . . . am .  = c vermenigvuldigen Inverse  bi   .    .  Lineair stelsel .  Oplossen Controle bm Determinanten met c = a1 b1 + a2 b2 + . . . + ai bi . . . am bm en lineaire stelsels Determinant Inverse D EFINITIE Cramer A.B = C met A = (1 × m), B = (m × 1), C = (1 × 1) Herhaling

19. V ERMENIGVULDIGEN VAN TWEE MATRICES MM001 D EFINITIE H2. a11 a1l c11 ... c1j ... c1n     ... Overzicht  . .. .  b  . . .  ... b1j ... b1n   . .   . . .   . . .   11   .  ... . ... .  Deﬁnities ail  .  . . .  c    a  i1 ...   . . .  =  i1 ... cij ... cin  Deﬁnities  . . ... . ... .  Terminologie  . .. .  b .  ... blj ... bln  .  . . .   . . .  l1  . ... . . ... .  .  Bewerkingen optellen am1 ... aml cm1 ... cmj ... cmn vermenigvuldigen Inverse met cij = Ai .Bj = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ail blj Lineair stelsel Oplossen D EFINITIE Controle b1j   Determinanten b2j  en lineaire   stelsels Ai = ai1 ai2 ... ail Bj =  .   .  Determinant  .  Inverse blj Cramer Herhaling D EFINITIE A.B = C met A = (m × l), B = (l × n), C = (m × n)

22. V ERMENIGVULDIGEN VAN TWEE MATRICES MM001 H2. Overzicht Deﬁnities Deﬁnities Terminologie D EFINITIE Bewerkingen optellen 1 geen commutativiteit: A.B = B .A vermenigvuldigen Inverse 2 associativiteit: A.(B .C) = (A.B).C Lineair stelsel 3 distributiviteit: A.(B + C) = (A.B) + (A.C) Oplossen Controle 4 neutraal element: A.In = In .A = A (met A = (n × n)) Determinanten en lineaire stelsels Determinant Inverse Cramer Herhaling

23. G ETRANSPONEERDE MATRIX MM001 D EFINITIE H2.   a11 ... a1l Overzicht  . .. .   . .  a11 ai1 am1   Deﬁnities . . . ... ... T = . . .     . .. .. . . .  Deﬁnities A =  ai1 ... ail ⇒A   Terminologie  . . . . . Bewerkingen  . .. . .  a1l . . . ail . . . aml  . . .  optellen  vermenigvuldigen Inverse am1 ... aml Lineair stelsel Oplossen D EFINITIE Controle Determinanten ∀k ∈ R en lineaire stelsels 1 (A + B)T = AT + B T Determinant Inverse Cramer 2 (A.B)T = B T .AT Herhaling 3 (kA)T = k (AT ) 4 (AT )T = A

24. G ETRANSPONEERDE MATRIX MM001 D EFINITIE H2.   a11 ... a1l Overzicht  . .. .   . .  a11 ai1 am1   Deﬁnities . . . ... ... T = . . .     . .. .. . . .  Deﬁnities A =  ai1 ... ail ⇒A   Terminologie  . . . . . Bewerkingen  . .. . .  a1l . . . ail . . . aml  . . .  optellen  vermenigvuldigen Inverse am1 ... aml Lineair stelsel Oplossen D EFINITIE Controle Determinanten ∀k ∈ R en lineaire stelsels 1 (A + B)T = AT + B T Determinant Inverse Cramer 2 (A.B)T = B T .AT Herhaling 3 (kA)T = k (AT ) 4 (AT )T = A

25. I NVERSE MATRIX MM001 H2. Overzicht Deﬁnities D EFINITIE A . A−1 = A−1 . A = In Deﬁnities Terminologie Bewerkingen optellen (n×n) (n×n) (n×n) (n×n) (n×n) vermenigvuldigen Inverse Lineair D EFINITIE stelsel Oplossen Controle 1 (A.B)−1 = B −1 .A−1 Determinanten en lineaire stelsels Determinant Later meer! Inverse Cramer Herhaling

28. I EDEREEN NOG WAKKER ? MM001 H2. Overzicht Deﬁnities Deﬁnities Terminologie Bewerkingen optellen vermenigvuldigen Inverse Lineair stelsel Oplossen Controle Determinanten en lineaire stelsels Determinant Inverse Cramer Herhaling

29. D EFINITIE VAN EEN LINEAIR STELSEL ( ZIE H.1) MM001 H2. Overzicht D EFINITIE Deﬁnities Een stelsel (geheel) van lineaire vergelijkingen: Deﬁnities Terminologie  Bewerkingen  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1  optellen  vermenigvuldigen  a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2  Inverse . . Lineair    . stelsel  Oplossen  am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm Controle Determinanten en lineaire stelsels 1 m vergelijkingen en n onbekenden Determinant Inverse Cramer 2 aij , bi ∈ R Herhaling

30. D EFINITIE VAN EEN LINEAIR STELSEL ( ZIE H.1) MM001 H2. Overzicht D EFINITIE Deﬁnities Een stelsel (geheel) van lineaire vergelijkingen: Deﬁnities Terminologie  Bewerkingen  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1  optellen  vermenigvuldigen  a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2  Inverse . . Lineair    . stelsel  Oplossen  am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm Controle Determinanten en lineaire stelsels 1 m vergelijkingen en n onbekenden Determinant Inverse Cramer 2 aij , bi ∈ R Herhaling

31. D EFINITIE VAN EEN LINEAIR STELSEL ( ZIE H.1) MM001 H2. D EFINITIE Overzicht Een stelsel (geheel) van lineaire vergelijkingen: Deﬁnities  Deﬁnities  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1  Terminologie   a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2  Bewerkingen optellen  .  . vermenigvuldigen Inverse  .  Lineair  am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm stelsel Oplossen Controle I N MATRIXVORM : Determinanten       en lineaire stelsels a11 a12 . . . a1n x1 b1  a21 a22 . . . a2n  x2   b2  Determinant       Inverse Cramer  .  . . . .. . . .  =  .  .  .  .  Herhaling  . . . .  .  .  am1 am2 . . . amn xn bm

32. O PLOSSING AAN DE HAND VAN MATRICES MM001 H2. Overzicht D EFINITIE Deﬁnities Deﬁnities Indien A−1 bestaat, dan geldt: Terminologie Bewerkingen optellen A.X = B vermenigvuldigen Inverse Lineair ⇐⇒ A−1 .A.X = A−1 .B stelsel Oplossen Controle ⇐⇒ I .X = A−1 .B ⇐⇒ X = A−1 .B Determinanten en lineaire stelsels Determinant Inverse Cramer Herhaling

33. O PLOSSING AAN DE HAND VAN MATRICES MM001 H2. Overzicht Deﬁnities Deﬁnities V OORBEELD : Terminologie 3x + 2y = 7 x =3 Bewerkingen en optellen 1x − 1y = 4 y = −1 vermenigvuldigen Inverse Lineair stelsel C ONTROLE : Oplossen Controle 3 2 3 7 . = Determinanten en lineaire 1 −1 −1 4 stelsels Determinant Inverse Cramer Herhaling

34. O PLOSSING AAN DE HAND VAN MATRICES MM001 H2. Overzicht Deﬁnities Deﬁnities V OORBEELD : Terminologie 3x + 2y = 7 x =3 Bewerkingen en optellen 1x − 1y = 4 y = −1 vermenigvuldigen Inverse Lineair stelsel C ONTROLE : Oplossen Controle 3 2 3 7 . = Determinanten en lineaire 1 −1 −1 4 stelsels Determinant Inverse Cramer Herhaling

35. D EFINITIE VAN DE DETERMINANT MM001 H2. Overzicht Deﬁnities D EFINITIE Deﬁnities Terminologie De matrix A = (n × n) heeft een determinant det(A) of |A| Bewerkingen optellen vermenigvuldigen Inverse 1 det(A1 A2 . . . Ai . . . Aj . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Aj . . . Ai . . . An ) Lineair 2 det(A1 A2 . . . λAi . . . An ) = λ det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) stelsel Oplossen Controle 3 det(A1 A2 . . . Ai + Aj . . . An ) = Determinanten det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) + det(A1 A2 . . . Aj . . . An ) en lineaire stelsels 4 det(In ) = 1 Determinant Inverse Cramer Herhaling

36. D EFINITIE VAN DE DETERMINANT MM001 H2. Overzicht Deﬁnities D EFINITIE Deﬁnities Terminologie De matrix A = (n × n) heeft een determinant det(A) of |A| Bewerkingen optellen vermenigvuldigen Inverse 1 det(A1 A2 . . . Ai . . . Aj . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Aj . . . Ai . . . An ) Lineair 2 det(A1 A2 . . . λAi . . . An ) = λ det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) stelsel Oplossen Controle 3 det(A1 A2 . . . Ai + Aj . . . An ) = Determinanten det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) + det(A1 A2 . . . Aj . . . An ) en lineaire stelsels 4 det(In ) = 1 Determinant Inverse Cramer Herhaling

37. D EFINITIE VAN DE DETERMINANT MM001 H2. 1 det(A1 A2 . . . Ai . . . Ai . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Ai . . . Ai . . . An ) Overzicht ⇒ detA = 0 Deﬁnities Deﬁnities 2 det(λA) = det(λA1 λA2 . . . λAi . . . λAn ) = λn detA Terminologie 3 det(A1 A2 . . . 0 . . . An ) = det(A1 A2 . . . Ai − Ai . . . An ) = Bewerkingen optellen det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) − det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) = 0 vermenigvuldigen Inverse n Lineair 4 det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) = det(A1 A2 . . . Ai + λj Aj . . . An ) stelsel j =1,=i Oplossen   Controle a 0 ... 0 a 0 ... 0 Determinanten en lineaire   0 b . . . 0 0 b . . . 0  5 det  . . . = = a .b . . . . .z .. .  . . ... . stelsels . . . . . . Determinant Inverse . . . . . . Cramer 0 0 ... z 0 0 ... z Herhaling 6 Dit geldt ook allemaal voor de rijen! (zie verder)

38. B EREKENING VAN DE DETERMINANT MM001 H2. Overzicht n=2 Deﬁnities Deﬁnities a b Terminologie c d Bewerkingen a+0 0+b optellen = vermenigvuldigen Inverse 0+c d +0 Lineair a 0+b 0 0+b stelsel = + Oplossen 0 d +0 c d +0 Controle a 0 a b 0 0 0 b Determinanten = + + + en lineaire stelsels 0 d 0 0 c d c 0 Determinant = ad + 0 + 0 − bc Inverse Cramer = ad − bc Herhaling

39. B EREKENING VAN DE DETERMINANT MM001 H2. Overzicht Deﬁnities n = 3(Sarrus) Deﬁnities Terminologie a b c Bewerkingen optellen d e f vermenigvuldigen Inverse g h i Lineair stelsel a b c a b c Oplossen Controle = d e f d e f Determinanten g h i g h i en lineaire stelsels = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh Determinant Inverse Cramer Herhaling

40. B EREKENING VAN DE DETERMINANT: ORDEVERLAGING MM001 D EFINITIE H2. Minor van aij = |∆ij |: schrap in matrix A rij i en kolom j en Overzicht bereken de det Deﬁnities Deﬁnities Terminologie D EFINITIE Bewerkingen optellen Cofactor van aij = Aij = (−1)i +j |∆ij | vermenigvuldigen Inverse Lineair D EFINITIE stelsel Oplossen Determinant: Controle Determinanten n n en lineaire stelsels det(A) = aij Aij of det(A) = aij Aij Determinant i =1 j =1 Inverse Cramer Herhaling Keuze van rij of kolom onbelangrijk (maar kan wel rekenwerk besparen, cfr rij of kolom met veel maal 0)!

44. B EREKENING VAN DE INVERSE MM001 D EFINITIE H2. Toegevoegde matrix adj (A): Overzicht Deﬁnities 1 Stel AT op Vervang elke aij door Aij = (−1)i +j |∆ij | Deﬁnities Terminologie 2 Bewerkingen optellen vermenigvuldigen Inverse D EFINITIE Lineair adj (A) stelsel Inverse matrix A−1 = Oplossen Controle det(A) Determinanten en lineaire stelsels E IGENSCHAPPEN : Determinant Inverse 1 det(A) = det(AT ) Cramer Herhaling 2 A is inverteerbaar ⇐⇒ det(A) = 0 3 det(AB) = det(A)det(B)

47. D E METHODE VAN C RAMER MM001 H2. G EGEVEN : Overzicht A . X = B en det(A) = 0 Deﬁnities (n×n) (n×1) (n×1) Deﬁnities Terminologie Bewerkingen optellen W E NOTEREN : vermenigvuldigen Inverse A = (A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) Lineair stelsel X = (X1 ) Oplossen Controle B = (B1 ) Determinanten en lineaire stelsels Determinant D EFINITIE Inverse Cramer det(A1 A2 . . . Ai −1 B1 Ai +1 . . . An ) det(Ai ) xi = = Herhaling det(A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) det(A)

50. D E METHODE VAN C RAMER : VOORBEELD MM001 G EGEVEN : H2. k 2k − 1 x 7 Overzicht . = 1 −3k y k −6 Deﬁnities Deﬁnities Terminologie Bewerkingen S TAP 1: det(A) optellen vermenigvuldigen k 2k − 1 Inverse = −3k 2 − 2k + 1 Lineair 1 −3k stelsel Oplossen Controle Voorwaarde: |A| = 0 ⇐⇒ −3k 2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k ∈ {−1, 1 } 3 Determinanten en lineaire stelsels S TAP 2 A : k ∈ {−1, 1 } 3 Determinant Inverse Cramer 72k − 1 Herhaling k − 6 −3k −2k 2 − 21k − 6 x= = −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1

53. D E METHODE VAN C RAMER : VOORBEELD MM001 H2. G EGEVEN : Overzicht Deﬁnities k 2k − 1 x 7 Deﬁnities . = Terminologie 1 −3k y k −6 Bewerkingen optellen S TAP 2 A : k ∈ {−1, 1 } vermenigvuldigen Inverse 3 Lineair stelsel k 7 Oplossen Controle 1 k −6 k 2 − 6k − 7 Determinanten y= = en lineaire −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1 stelsels Determinant −2k 2 − 21k − 6 k 2 − 6k − 7 Inverse ⇒ 1 oplossingen: (x , y ) = ( , ) Cramer −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1 Herhaling

54. D E METHODE VAN C RAMER : VOORBEELD MM001 H2. G EGEVEN : Overzicht Deﬁnities k 2k − 1 x 7 Deﬁnities . = Terminologie 1 −3k y k −6 Bewerkingen optellen S TAP 2 A : k ∈ {−1, 1 } vermenigvuldigen Inverse 3 Lineair stelsel k 7 Oplossen Controle 1 k −6 k 2 − 6k − 7 Determinanten y= = en lineaire −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1 stelsels Determinant −2k 2 − 21k − 6 k 2 − 6k − 7 Inverse ⇒ 1 oplossingen: (x , y ) = ( , ) Cramer −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1 Herhaling

55. D E METHODE VAN C RAMER : VOORBEELD MM001 G EGEVEN : H2. k 2k − 1 x 7 Overzicht . = 1 −3k y k −6 Deﬁnities Deﬁnities Terminologie Bewerkingen S TAP 2 B : k = −1 optellen vermenigvuldigen −x − 3y = 7 Inverse +x + 3y = −7 Lineair stelsel Oplossen ⇒ ∞ oplossingen: (x , y ) = (−7 − 3t , t) Controle Determinanten 1 en lineaire stelsels S TAP 2 C : k = 3 Determinant Inverse Cramer x −y = 2 Herhaling x − y = − 17 3 ⇒ oplossing

58. O PLOSSEN VAN EEN STELSEL MM001 H2. Overzicht Deﬁnities C FR H1. ( STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN ): Deﬁnities Terminologie 1 door substitutie Bewerkingen optellen 2 via methode van Gauss vermenigvuldigen Inverse 3 via methode van Gauss-Jordan Lineair stelsel Oplossen C FR H2. ( MATRICES ): Controle Determinanten 1 via A−1 en lineaire stelsels 2 via methode van Cramer Determinant Inverse Cramer Herhaling

59. O PLOSSEN VAN EEN STELSEL MM001 H2. Overzicht Deﬁnities C FR H1. ( STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN ): Deﬁnities Terminologie 1 door substitutie Bewerkingen optellen 2 via methode van Gauss vermenigvuldigen Inverse 3 via methode van Gauss-Jordan Lineair stelsel Oplossen C FR H2. ( MATRICES ): Controle Determinanten 1 via A−1 en lineaire stelsels 2 via methode van Cramer Determinant Inverse Cramer Herhaling

Math: matrices (Dutch)

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

En vedette

En vedette (20)

Math: matrices (Dutch)