makalah ini berisi tentang pengertian dan kegunaan diagram voronoi dan delaunay dalam kehidupan sehari-hari

1. arvinefriani@gmail.com Page 1
Diagram Voronoi dan Delaunay
Apa itu Diagram Voronoi?
Diagram voroni adalah salah satu cabang ilmu yang dipelajari dalam perkuliahan
geometri komputasi yang muncul pada abad ke 17. Diagram voronoi pertama kali di pikirkan
oleh Rene Descartes pada tahun 1644 dan digunakan oleh dirichlet pada tahun 1850.Kemudian
Voronoi pada tahun 1907 mengembangkannya ke dalam dimesi yang lebih tinggi. Walaupun
demikian, Voronoi dan Dirichlet adalah orang yang pertama kali memperkenalkan konsep
diagram voronoi secara formal. Mereka menerapkan konsep tersebut dalam kajian bentuk
kuadrat. Hasil dari studi tersebut kemudian disebut Dirichlet tessellation atau Voronoi
diagram. Salah satu penggunaan diagram voronoi yang paling spektakuler adalah analisis
penyakit kolera di London pada tahun 1854, dimana fisikawan John Snow menemukan
hubungan yang kuat anatara kematian dengan penggunaan air pompa yang terinfeksi di Broad
Street
Secara matematis, diagram voronoi di definisikan sebagai berikut:
Misal P adalah himpunan n (jarak titik-titik dalam sebuah bidang). Diagram Voronoi dari P
adalah pembagian bidang tersebut dalam n sel (bagian), satu untuk setiap titik.Titik q terletak
pada sel (bagian) yang sesuai dengan titik pi element of P. Persamaan matematisnya adalah
Batas dari dua voronoi disimbolkan V(S) dan disebut voronoi edge (rusuk voronoi), jika
terdiri lebih dari satu titik. Titik sudut dari rusuk voronoi disebut voronoi vertice (sudut voronoi)
yang dibata oleh tiga atau lebih daerah.
Diagram voronoi Gambar 2. Diagram voronoi untuk 11 titik pada bidang Euclid.

2. arvinefriani@gmail.com Page 2
Adapun contoh diagram voronoi yang dapat kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari
Mengapa diagram voronoi penting?
Dengan mengajarkan siswa tentang diagram voronoi, mereka akan dapat
mengembangkan kemampuan spatial reasoning mereka. Hal ini dapat dilakukan dengan
menggunakan pendekatan matematika realistik, yaitu dengan memulai memberikan soal atau
masalah konteks bagi siswa. Misalnya ada lima kantor pos yang ada di wilayah kota Palembang.
Bagaimana caranya agar pelanggan atau masyarakat mengetahui kantor pos mana yang paling
dekat didaerah mereka? Pertanyaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep atau
pengetahuan tentang diagram voronoi.
Selain itu, diagram voronoi juga dapat diajarkan dengan menggunakan program java
applet. Program ini dapat digunakan melalui akses internet. Program java applet untuk diagram
voroni telah dikembangkan oleh Paul Chew dari departemen ilmu komputer, Cornell Univeristy.
Apa itu Delaunay?
Delauany pertama kali digunakan oleh Boris N. Delaunay (1890 - 1980). Triangulasi
Delaunay dari suatu himpunan titik dalam suatu bidang adalah himpunan dari segitiga-segitiga
yang menghubungkan titik-titik yang memenuhi sifat-sifat “lingkaran kosong” (empty circle)
yaitu untuk setiap tepi kita dapat temukan suatu lingkaran berisi titik-titik akhir pada tepi tetapi
tidak berisi titik-titik didalamnya (pada keliling lingkaran triangulasi Delaunay didalamnya
adalah kosong tidak berisi titik titik yang lain). Jika kita tarik segmen garis antara pasangan situs
dimana sel Voronoi berbagi tepi, kita akan peroleh suatu segitiga dari titik-titik dalam S disebut
dengan triangulasi Delaunay.
Triangulasi Delaunay dari suatu himpunan titik dalam suatu bidang adalah himpunan
dari segitiga-segitiga yang menghubungkan titik-titik yang memenuhi sifat-sifat “lingkaran
kosong” (empty circle) yaitu untuk setiap tepi kita dapat temukan suatu lingkaran berisi titik-titik
akhir pada tepi tetapi tidak berisi titik-titik didalamnya (pada keliling lingkaran triangulasi
Delaunay didalamnya adalah kosong tidak berisi titik-titik yang lain). Jika kita tarik segmen
garis antara pasangan situs dimana sel Voronoi berbagi tepi, kita akan peroleh suatu segitiga dari
titik-titik dalam S disebut dengan triangulasi Delaunay.

3. arvinefriani@gmail.com Page 3
Triangulasi Delaunay adalah garis-garis lurus pada diagram Voronoi:
 Setiap puncak Voronoi adalah circumcenter dari suatu triangulasi Delaunay.
 Setiap tepi Voronoi berhubungan dengan suatu sisi dari triangulasi Delaunay, selain fakta
bahwa mereka tidak akan pernah berimpit. Perbedaan geometri ini antara diagram
Voronoi dan triangulasi Delaunay menjadi penting dalam masalah rekonstruksi.
 Triangulasi Delaunay memaksimalkan sudut minimum dari seluruh segitiga.
Dalam ruang 3D, hubungan antara diagram Voronoi dan triangulasi Delaunay mempunyai
sifat dan definisi yang sama, bedanya adalah segitiga menjadi tetrahedra, selain tepi Voronoi
juga ada muka Voronoi (Voronoi faces), dan sifat-sifat lingkaran kosong menjadi sifat-sifat bola
kosong (empty sphere property). Ada beberapa algoritma triangulasi Delaunay diantaranya:
Dwyer’s divide and conquer algorithm , Fortune’s sweepline algorithm, dan incremental
algorithm. Umumnya algoritma dirancang untuk memperoleh kinerja yang baik pada titik-titik
yang terdistribusi secara seragam. Waktu pengolahan (running time) yang dibutuhkan oleh
algoritma Divide & Conquerpada kasus yang terburuk kira-kira sebanding dengan O(n log n)
dimana n adalah jumlah titik-titik yang digunakan. Demikian juga perkiraan yang sama O(n log
n) untuk membangun triangulasi Delaunay menggunakan algoritma sweepline. Sedangkan
algoritma incremental sebagai algoritma yang paling sederhana dalam kasus terburuk
diperkirakan dibutuhkan waktu pengolahan O(n2
).
Mengapa delaunay penting?
- Untuk membangun sebuah model dari permukaan, kita bisa memulai dengan sejumlah titik
sampel dimana kita tahu tingginya
Perbedaan diagram voronoi dan Delaunay
Titik-tiktik Diagram voronoi segitiga Delaunay

4. arvinefriani@gmail.com Page 4
Program applet diagram voronoi dapat anda akses di
website http://www.cs.cornell.edu/home/chew/Delaunay.html.
References:
Aurenhammer, F., Klein, R. Voronoi Diagrams. Partially supported by the Deutsche
Forschungsgemeinschaft, grant Kl 655 2-2.
http://mathworld.wolfram.com/VoronoiDiagram.html
http://www.cs.cornell.edu/home/chew/Delaunay.html