Persamaan Garis Lurus Lingkaran

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
DALAM DAN LUAR LINGKARAN
ARVIN EFRIANI
MAGISTER PENDIDIKAN
MATEMATIKA

CONTOH
SOAL
MATERI
PRASYARAT
KD & TUJUAN
MENU
MATERI LATIHAN
PENULIS

Menjelaskan garis singgung persekutuan luar dan
persekutuan dalam dua lingkaran serta cara melukisnya
KD dan TUJUAN
KOMPETENSI DASAR
- Siswa dapat menjelaskan garis singgung persekutuan luar
dan persekutuan dalam dua lingkaran dengan benar
- Siswa dapat menjelaskan cara melukis garis singgung
persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran
dengan tepat
TUJUAN PEMBELAJARAN

MATERI PRASYARAT
TEOREMA
PYTHAGORAS
LINGKARAN

TEOREMA PYTHAGORAS
a c
b
“Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat
panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah
kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”
c2 = a2+b2

LINGKARAN
GARIS SINGGUNG
LINGKARAN
UNSUR-UNSUR
LINGKARAN

UNSUR-UNSUR LINGKARAN
O
 Perhatikan gambar disamping,
titik O merupakan titik pusat
lingkaran.
 Untuk membuat lingkaran dan
menentukan titik pusat lingkaran
harus menggunakan jangka
Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di
tengah-tengah lingkaran
Titik Pusat

A
O
 Misal ada titik A di lengkungan
lingkaran
 Hubungkan titik O dan titik A dengan
sebuah garis lurus
 Garis lurus yang menghubungkan
titik O dan A tersebut disebut Jari-
jari lingkaran dan ditulis OA
Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran
ke lengkungan lingkaran
Jari-Jari

C
B
A
O
Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua
titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat.
Diameter
 Misal ada titik B di lengkungan
lingkaran
 Buat garis dari titik B melalui titik O
sampai pada lengkungan lingkaran,
misal di titik C
 Garis BC tersebut disebut diameter dan
garis OB dan OC disebut Jari-jari
 Perhatikan, BC = OB + OC. Dengan kata lain
Diameter adalah 2 jari-jari

C
B
A
O
Busur lingkaran dibagi menjadi 2,
yaitu Busur Kecil dan Busur Besar
 Pada gambar di samping, garis
lengkung AC merupakan busur
 Busur AC yg berwarna kuning disebut
busur kecil, sedangkan busur AC yang
berwarna hitam disebut busur besar.
Busur lingkaran adalah garis lengkung yang terletak pada
lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di
lengkungan tersebut
Diameter

C
B
A
O
 Pada gambar di samping, tarik garis
lurus dari titik A ke titik C
 Apakah garis lurus BC juga merupakan
tali busur???
 Jawabnya YA, BC merupakan tali busur
sekaligus diameter lingkaran karena garis BC
menghubungkan titik B dan C pada lengkung
lingkaran dan melalui titik pusat lingkaran
 Garis lurus AC tersebut disebut tali
busur
Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran
yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran
Tali Busur

C
B
A
O
 Seperti pada Busur lingkaran, Tembereng
juga dibagi menjadi 2, yaitu Tembereng
Kecil dan Tembereng Besar
 Pada gambar di samping, daerah yang
berwarna kuning disebut Tembereng
kecil
Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang
dibatasi oleh busur dan tali busur
Tembereng

C
B
A
O
 Juring lingkaran juga dibagi menjadi 2,
yaitu Juring Kecil dan Juring Besar
 Pada gambar di samping, daerah AOB
disebut Juring kecil
Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang
dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur
yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut
Juring

C
B
A
D
O
 Dari titik pusat O, buat garis yang
tegak lurus dengan tali busur AB
misal di titik D
 Garis OD ini yang disebut Apotema
Apotema adalah garis yang menghubungkan titik pusat
lingkaran dengan tali busur lingkaran. Garis tersebut tegak
lurus dengan tali busur.
Apotema

POSISI GARIS TERHADAP LINGKARAN
Perhatikan gambar berikut ini!
a. Garis f memotong lingkaran di 2
titik yaitu A dan B dan tegak lurus
garis i.
b. Garis g memotong lingkaran di 1
titik yaitu titik C dan tegak lurus
garis i. Garis g ini dikatakan
menyinggung lingkaran di titik C.
c. Garis h tidak memotong lingkaran
O
hf g
A
B
C
i
Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran
di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik
singgungnya.
GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran
Perhatikan lingkaran di samping!
O A
Untuk menggambar garis singgung
lingkaran yang melalui titik A, caranya
sebagai berikut.

Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran
a. Lukis garis OA dan perpanjangannya
b. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik
A sehingga memotong garis OA, misal di
titik B dan C
c. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik B
dan C sehingga saling berpotongan di titik D
dan E
d. Hubungkan titik D dan E. Garis DE merupakan
garis singgung lingkaran di titik A.
O A CB
D
E
Melalui satu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis
singgung pada lingkaran tersebut

Perhatikan lingkaran di atas! Titik A di luar lingkaran
O A
Untuk melukis garis singgung lingkaran yang melalui titik A, caranya sebagai
berikut.
Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran

a. Hubungkan titik O dan titik A
b. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik O dan A sehingga saling
berpotongan di titik B dan C
O A
C
B

c. Hubungkan BC sehingga memotong OA, misal di titik D
d. Lukis lingkaran berpusat di titik D dan berjari-jari OD = DA sehingga
memotong lingkaran pertama di dua titik. Misal di titik E dan F.
O A
C
BE
F
D

e. Hubungkan titik A dengan titik E dan titik A dengan titik F. Garis AE dan EF
merupakan dua garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran.
O A
C
BE
F
D
Melalui satu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung
pada lingkaran tersebut

O A
B
C
a. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua
jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut
membentuk bangun layangl-ayang.
b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua
jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut
disebut layang-layang garis singgung.
Panjang Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran

KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1
berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q
dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran
tersebut dapat dibedakan sebagai berikut:
R
L1
L2 r
P,Q
L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehingga
panjang PQ = 0. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1
dan konsentris (setitik pusat).

L1
L2
P
L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. Dalam hal ini dikatakan
L2 terletak di dalam L1 dan tidak konsentris.
Q

L1
L2
P
L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r = ½ R, sehingga L1 dan L2
bersinggungan di dalam.
Q

L1 L2
P
L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R.
Q

L1
L2
P
L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r.
Q

L1
L2
P Q
L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2
bersinggungan di luar.

L1
L2
P Q
L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2 saling
terpisah.

Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua
buah lingkaran sekaligus.
Kedua lingkaran di atas tidak memiliki garis singgung

Kedua lingkaran di atas memiliki satu garis singgung

Kedua lingkaran di atas memiliki dua garis singgung

Kedua lingkaran di atas memiliki tiga garis singgung

Kedua lingkaran di atas memiliki empat garis singgung

Bagaimana dengan gambar di
bawah ini?
Apa yang
dilakukannya?
Dapatkah kalian
menentukan
panjang tali yang
menyinggung tiap
katrol tersebut?

Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Lukis lingkaran L1 berpusat di titik P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat
di titik Q dengan jari-jari r (R > r). Hubungkan titik P dan Q.
L1
L2
P QR r

Lukis busur lingkaran berpusat di titik P dan Q sehingga saling berpotongan di
titik R dan S.
L1
L2
P QR r
R
S

Hubungkan titik R dengan titik S sehingga memotong garis PQ di titik T.
L1
L2
P QR r
R
S
T

Lukis busur lingkaran berpusat di titik T dan berjari-jari PT.
L1
L2
P QR r
R
S
T

Lukis busur lingkaran pusat di titik P, jari-jari R + r sehingga memotong lingkaran
berpusat titik T di titik U dan V.
L1
L2
P QR r
R
S
T
V
U

Hubungkan titik P dan U sehingga memotong lingkaran L1 di titik A. Hubungkan
pula titik P dan V sehingga memotong lingkaran L1 di titik C.
L1
L2
P QR r
R
S
T
V
U
A
C

Lukis busur lingkaran pusat di titik A, jari-jari UQ sehingga memotong lingkaran
L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran pusat di titik C jari-jari VQ sehingga
memotong lingkaran L2 di titik D.
L1
L2
P QR r
R
S
T
V
U
A
C
B
D

Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD
merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran L1 dan L2.
L1
L2
P QR r
R
S
T
V
U
A
C
D
B

Jika garis CD digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis VQ
L1
L2
P QR r
R
S
T
V
U
A
C
D
B

Garis VQ sejajar dengan garis CD sehingga sudut PCD = sudut PVQ =90˚
L1
L2
P QR r
R
S
T
V
U
A
C
D
B

Perhatikan segi tiga PQV siku-siku di v
L1
L2
P QR rT
V
C
D
B

Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam
P QR r
c
D
V
a
d
Menggunakan teorema
phytagoras :
CD2 = PQ2 +PV2
CD2 = PQ2 +(PC+DQ)2
d2= a2 + (R+r)2

P QR r
c
D
V
a
d

Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Lukis lingkaran L1 dengan pusat di P berjari-jari R dan lingkaran L2 pusat di Q
berjari-jari r (R > r). Hubungkan titik P dan Q.
L1
P QR r
L2

Lukis busur lingkaran berpusat di titik P dan Q sehingga saling berpotongan di
titik R dan S.
L1
P QR r
R
S
L2

Hubungkan titik R dengan titik S sehingga memotong garis PQ di titik T.
L1
P QR r
R
S
T
L2

Lukis busur lingkaran berpusat di titik T dan berjari-jari PT.
L1
P QR r
R
S
T
L2

Lukis busur lingkaran dengan pusat di P, berjari-jari R – r sehingga memotong
lingkaran berpusat T di U dan V.
L1
P QR r
R
S
T
U
V
L2

Hubungkan P dan U, perpanjang sehingga memotong lingkaran L1 di titik A.
Hubungkan pula P dan V, perpanjang sehingga memotong lingkaran L1 di titik C.
L1
P QR r
R
S
T
U
V
A
C
L2

Lukis busur lingkaran dengan pusat di A, jari-jari UQ sehingga memotong
lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran pusat di C, jari-jari VQ sehingga
memotong lingkaran L2 di titik D
L1
P QR r
R
S
T
U
V
B
C
D
A
L2

Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD
merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran L1 dan L2.
L1
L2
P QR r
R
S
T
U
V
A
C
B
D

L1
L2
P QR r
R
T
U
V
A
C
B
D
Jika garis CD digeser sejajar ke atas sejauh QD maka diperoleh garis VQ

L1
L2
P QR r
R
T
U
V
A
C
B
D
Garis VQ sejajar dengan garis CD sehingga sudut PCD = sudut PVQ =90˚

L1
L2
P QR r
R
T
U
V
A
C
B
D
Perhatikan segi tiga PQV siku-siku di v

L1
L2
P QR r
R
T
U
V
A
C
B
D
Menggunakan teorema
phytagoras :
VQ2 = PQ2 +PV2
CD2 = PQ2 +(PC-DQ)2
d2= a2 + (R-r)2

L1
L2
P Q
R
r
C
D
d
a

CONTOH SOAL
1. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 11 cm dan
2 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan
luarnya 12 cm maka tentukan jarak kedua
pusat lingkaran

CONTOH SOAL
Diketahui: Jawab :
• d = 12 cm d = √(p2 – (R - r)2) atau
• R = 11 cm d2 = p2 – (R - r)2
• r = 2 cm 122 = p2 – (11 - 2)2
144 = p2 – 81
Ditanyakan p = ? p2 = 225
p = √225
p = 15 cm
Jadi, jarak kedua pusat lingkaran adalah 15 cm

CONTOH SOAL
2. Dua lingkaran masing-masing berjari- jari 15 cm
dan 8 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran
adalah 2cm . Tentukan panjang garis singgung
persekutuan luar dua lingkaran tersebut.

CONTOH SOAL
Diketahui: Jawab:
• s = 2 cm p = s + R + r
• R = 15 cm p = 2 cm + 15 cm + 8 cm
• r = 8 cm p = 25 cm
Ditanyakan: d = ? d = √(p2 – (R - r)2)
d = √(252 – (15 - 8)2)
d = √(625 –49)
d = √(576)
d = 24 cm
Jadi, panjang garis singgung persekutuan luarnya
adalah 24 cm

CONTOH SOAL
3. Panjang garis singgung persekutuan luar dua
lingkaran adalah 12 cm dan jarak kedua
pusatnya 13 cm. Panjang salah satu jari-jari
lingkaran 8 cm. Hitunglah panjang jari-jari yang
lainnya!

CONTOH SOAL
Diketahui: Jawab:
• d = 12 cm d = √(p2 – (R - r)2) atau
• R = 8 cm d2 = p2 – (R - r)2
• p = 13 cm 122 = 132 – (8 - r)2
144 = 169 – (8 - r)2
• Ditanyakan: r = ? (8 - r)2 = 169 –144
(8 - r)2 = 25
(8 - r) = √25
(8 - r) = 5
r = 8 - 5
r = 3 cm
Jadi, panjang jari-jari yang lainnya adalah 3 cm

CONTOH SOAL
4. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 29 cm
dan 14 cm. Panjang garis singgung
persekutuan luarnya 36 cm. Hitung jarak pusat
kedua lingkarannya!

CONTOH SOAL
Diketahui: Jawab :
• d = 36 cm d = √(p2 – (R - r)2) atau
• R = 29 cm d2 = p2 – (R + r)2
• r = 14 cm 362 = p2 – (29 - 14)2
1296 = p2 – 225
Ditanyakan p = ? p2 = 1296 + 225
p2 = 1521
p = √1521
p = 39 cm
Jadi, jarak pusat kedua lingkarannya adalah 39 cm

LATIHAN
SIAPKAH ANDA MENCOBA
LATIHAN ???
YA TIDAK

LATIHAN
1. Jika panjang garis dari pusat lingkaran A ke
titik B adalah 45 cm dan panjang garis
singgung BC adalah 36 cm, maka panjang jari-
jari lingkarannya AC adalah….
27 47
37 57
A
B D
C

LATIHAN
2. Dua buah lingkaran dengan panjang jari-jari
20 cm dan 2 cm. Jika panjang garis singgung
persekutuan luar kedua lingkaran 24 cm, maka
jarak titik pusat kedua lingkaran tersebut
adalah…….
10 cm 15 cm
20 cm 30 cm
A
B D
C

LATIHAN
3. Panjang jari-jari lingkaran A = 36 cm dan B =
19 cm. Jika jarak pusat dua lingkaran AB = 73
cm.maka panjang garis singgung persekutuan
dalam dua lingkaran adalah……..
78 cm 68 cm
58 cm 48 cm
A
B D
C

LATIHAN
4. Tentukan urutan melukis garis singgung persekutuan dalam lingkaran
a. Hubungkan titik K dengan titik M dan titik L dengan titik N.
b. Lukislah lingkaran dengan pusat di titik T dengan jari-jari TP.
c. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di titik K dengan panjang
jari-jarinya sama dengan UQ dan juga lukis busur lingkaran dengan
pusat L dengan panjang jari-jarinya sama dengan VQ
d. Lukislah lingkaran dengan pusat di titik P yang panjang jari-
jarinya r1 + r2 sedemikian sehingga memotong lingkaran yang
berpusat di titik T di titik-titik U dan V
e. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di titik P dan Q sehingga
berpotongan di titik-titik R dan S.
f. Lukislah dua lingkaran yang masing-masing berpusat di titik P dan
titik Q
f-e-b-d-c-a f-b-e-c-d-a a-b-f-d-c-e b-a-c-f-d-eA B DC

PENULIS
Nama : Arvin Efriani
TTL : Palembag, 19 April 1994
E-mail : arvinefriani@gmail.com
Sosmed : arvinefriani

Persamaan Garis Lurus Lingkaran

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Persamaan Garis Lurus Lingkaran

Similaire à Persamaan Garis Lurus Lingkaran (20)

Plus de arvin efriani

Plus de arvin efriani (8)

Dernier

Dernier (20)

Persamaan Garis Lurus Lingkaran