2. Extremos no restrictos con dos
variables
Son los valores más grandes máximos o más pequeños
mínimos, que toma una función en un punto situado ya sea
dentro de una región en particular de la curva extremo local o
en el dominio de la función en su totalidad extremo global o
absoluto.
Una variable parcial de una función de diversas variables, es
su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las
otras como constantes.
Las derivadas parciales de primer y segundo orden son
implementadas para hallar el punto crítico de funciones
vectoriales y geométricas
3. Ejercicio Extremos no restrictos con
dos variables
Determinar los extremos de la función: f(x,y) = 4x ² + 2y ²– 2yx–10y -
2x
Solución:
Primero, de acuerdo a los pasos del procedimiento, necesitamos
encontrar las derivadas parciales de la función de primer y segundo
orden con respecto a las variables x y y.
Comenzamos primero hallando la derivada parcial de primer orden
con respecto a x y y.
Derivada parcial con respecto a x:
F(x) = 8x – 2y -2
Derivada parcial con respecto y:
F(y) = 4y - 2x - 10
4. Una vez obtenidas las derivadas parciales de primer orden,
procedemos a hallar las derivadas parciales de segundo orden
F(xx) = 8
F(xy) = -2
F(yy) = 4
Para encontrar los valores de x y y igualaremos a 0 los valores
de la ecuación de primer orden:
F(x) = 8x – 2y -2 = 0
F(y) = 4y - 2x – 10 = 0
Lo que nos deja un sistema de ecuación por resolver por
método de reducción quedando de la siguiente manera:
F(x) = 8x – 2y -2 = 0 } 8x – 2y = 2
F(y) = 4y - 2x – 10 = 0 } -2x + 4y = 10
5. Para resolver la ecuación por método de reducción
podemos multiplicar la segunda ecuación por 4 para anular
las x o la primera ecuación por 2 para anular las y en este
caso lo multiplicaremos por 4:
8x – 2y = 2
-8x + 16y = 40
----------------------------------
14y = 42
y = 42/14
y = 3
Ahora para hallar el valor de la x debemos reemplazar el
valor de la y en cualquiera de las ecuaciones:
-2x + 4(3) = 10
-2x + 12 = 10
-2x =10 – 12
-2x = -2
x = -2/-2
x = 1
6. El punto critico lo encontramos en (1,3). una vez ubicado el
punto critico, es necesario determinar su naturaleza para ello
debemos aplicar la prueba D en las derivadas parciales de
segundo orden:
D = f xx . f yy – (f xy) ²
D = 8 .4 – (-2) ²
D = 32 – 4
D = 28 > 0
Ahora sustituimos los valores que se encontraron para x y y en
la función original:
F (1,3) = 4 (1) ² + 2(3) ² + 2(1) (3) – 10(3) – 2(1)
= 4 + 18 – 6 – 30 – 2
= 22 – 38
= -16
Lo que significa que la función f(x,y) 4x² + 2y² – 2yx – 10y -
2x tiene un valor mínimo relativo en el punto (1,3) y ese valor
mínimo es -16.
7. Método de Lagrange
También conocido como el método de los
multiplicadores de Lagrange. Llamado así en honor a Joseph
Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los
máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas
a restricciones. Este método reduce el problema restringido con
n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k
es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden
ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares
desconocidas, una para cada restricción, son llamadas
multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos
donde la función tiene un extremo condicionado con k
restricciones, están entre los puntos estacionarios de una
nueva función sin restricciones construida como una
combinación lineal de la función y las funciones implicadas en
las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.
8. Ejercicio método Lagrange
Determinar el punto P(x,y,z) mas cercano al origen en el plano 2x+y–z–
5=0
Solución:
El problema nos pide determinar el valor mínimo de la función
[op] = 2 ( x – 0) ² + (y – 0) ² + (z – 0) ²
= 2x² + y² + z²
Sujeta a la restricción
2x + y – z -5 = 0
Como tiene un valor mínimo siempre que la función
F(x,y,z) = x² + y² + z²
Tenga un valor mínimo, podemos resolver el problema si encontramos el
valor mínimo de la función f(x,y,z) sujeta a la restricción 2x + y – z – 5 =
0
9. Nuestro problema se reduce al de determinar los puntos (x,y)
donde la función:
H (x,y) = f (x,y,2x + y – 5) = x² + y² + (2x + y – 5) ²
Teniendo los valores mínimos. Como el dominio de h es todo el
plano xy el criterio de la primera derivada nos dice que cualquier
mínimo que h pudiera tener, debe ocurrir en puntos donde:
Hx = 2x + 2 (2x + y – 5) (2) = 0, hy = 2y + 2 (2x + y – 5)
= 0
Esto nos conduce a
10x + 4y = 20, 4x + 4y =10
Y la solución es
x = 5/3
y = 5/6
10. Podemos aplicar un argumento geométrico junto con el criterio de
la segunda derivada para mostrar que estos valores minimizan la
h. la coordenada de z del punto correspondiente en el plano
z=2x+y–5 es:
z = 2 (5/3) + 5/6 – 5 = -5/6
por tanto el punto que buscamos es
punto mas cercano P (5/3,5/6,-5/6)
la distancia de p al origen es 5/26”2.04
11. Matriz jacobiana.
Es una matriz formada por las derivadas parciales de primer
orden de una función. Una de las aplicaciones más
interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar
linealmente a la función en un punto. En este sentido, el
jacobiano representa la derivada de una función multivariable.
12. Ejercicio de matriz jacobiana
Calcular la matriz jacobiana de f (x1, x2,x3)=(x2/1. x² . x³ , 2x² –x
3/3)
Solución:
Como en nuestro caso tenemos una función la
matriz jacobiana será de orden 2x3 y sus elementos vienen dados
por:
Observando que en nuestro caso los componentes de f son:
F1 (x1, x2, x3)= x 2/1 . x2 . x3 y f 2(x1, x2, x3) = 2x2 – x
3/3
13. Calculamos ya los elementos de la matriz jacobiana
De este modo la matriz jacobiana de nuestra función es:
14. Condiciones de Kuhn-Tucker
Son requerimientos necesarios y suficientes para que la
solución de un problema de programación matemática sea
óptima. Es una generalización del método de los
Multiplicadores de Lagrange. Estos permiten abordar la
resolución de modelos de programación No Lineal que
consideran tanto restricciones de igualdad como desigualdad.
15. Ejercicio de Condiciones de Kuhn-Tucker
Minimizar la función de costo, sujeto a una restricción de
igualdad
Maximizar: K = 5x2 – 80x + 2y – 32y
Sujeto a: x + y ≥ 30
Paso 1: multiplicando la función objetivo por -1 y estableciendo
el lagrangiano,
C= -5X2 + 80X – Y2 + 32Y + λ (X + Y – 30)
Paso 2: donde las condiciones de kuhn- Thucker son
Cx = -10x + 80 + λ ≤ 0 Cy = -2y + 32 + λ ≤ 0 Cλ = X + Y – 30 ≥ 0
x ≥ 0 y ≥ 0 λ≥ 0
x8-10x + 80 + λ) = 0y (-2y + 32 + λ) = 0 λ(x + y – 30) =0
16. Paso 3: se testean o revisan las condiciones de Kuhn-Tucker
(a)Si λ = x,y > 0 entonces de las condiciones de Kuhn-Tucker
llevan a:
Si λ = 0 entonces de x (-10x + 80 + λ)= 0 se tiene que:
x = 8 , y = 16
sin embargo, estos resultados violan Cλ=x+y–30≥0 ya que:8+6–30≤
0
(b) Si λ> 0 ,x,y > 0 todas las primeras derivadas parciales son
estrictas igualdades:
17. Donde:
|A| = 12 |A1| = 109 |A2| = 252 |A3| = 440
Y se obtiene que:
x=9 y = 21 λ= 36.67
Los cuales dan la solución optima, ya que ninguna condición
de Kuhn-Tucker es violada.
