1. INTEGRAL RANGKAP
INTEGRAL GANDA
Integral untuk fungsi satu variable, kita
membentuk suatu partisi dari interval [a,b]
menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk ,
k = 1, 2, 3, 4, ….n.
b n
∫ f ( x) dx = lim
n →∞
∑ f(x
k =1
k) ∆x k
a
Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral
untuk fungsi dua variable.
Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada
suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian
daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang
masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An
1

2. Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk
dan bentuklah jumlah :
n
∑ f ( x , y )∆
k =1
k k kA= f ( x1 , y1 )∆ 1 A + f ( x2 , y 2 )∆ 2 A + ....... + f ( xn , y n )∆ n A
Jika jumlah sub daerah makin besar (n→~), maka
integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas
daerah R didefinisikan :
n
∫∫ f ( x, y)dA = lim ∑ f ( x , y )∆ A
R
n→∞
k =1
k k k
2

3. Untuk menghitung integral lipat dua dapat
digunakan integral berulang yang ditulis dalam
bentuk :
b  y= f 2 ( y) 
a. ∫∫ f ( x, y)dA = ∫∫
R R
f ( x, y )dxdy = 
∫ ∫



f ( x, y )dx dy

a  y = f1 ( y ) 
dimana integral yang ada dalam kurung
harus dihitung terlebih dahulu dengan
menganggap variable y konstanta, kemudian
hasilnya diintegral kembali terhadap y.
b y = f 2 ( y) 
b. ∫∫ f ( x, y)dA = ∫∫
R R
f ( x, y )dydx = 
∫ ∫



f ( x, y ) dy dx

a  y = f1 ( y ) 
dimana integral yang ada dalam kurung
harus dihitung terlebih dahulu dengan
menganggap variable x konstanta, kemudian
hasilnya diintegral kembali terhadap x.
3

4. Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan
(b) secara umum akan memberikan hasil yang
sama.
INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI
PANJANG
Bentuk umum :
∫∫ f ( x, y)dA = ∫∫ f ( x, y)dxdy
R
dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d }
a,b,c dan d adalah konstanta
4

5. Contoh :
1 2
1.
∫∫dxdy
0 1
4 2
2.
∫∫
2 1
( x 2 + y 2 ) dxdy
4 2
3.
∫∫
2 1
( xy + 3 y 2 ) dydx
π
4 2
4.
∫ ∫(sin θ + r cos 2θ)dθdr
2 0
5

6. INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN
PERSEGI PANJANG
b f 2 ( x)
a.
∫∫ f ( x, y)dA = ∫ ∫ f ( x, y)dy dx
R x = a y = f1 ( x )
dimana :
R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }
6

7. d f 2 ( y)
b.
∫∫ f ( x, y)dA = ∫ ∫ f ( x, y)dx dy
R y = c x = f1 ( y )
dimana :
R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }
7

8. Contoh :
1 x
1.
∫∫
0 x2
xy 2 dydx
2 3y
2.
∫ ∫ ( x + y)dxdy
1 y
2 x 2 +x
3.
∫ ∫ x dydx
0 2 x2
π
2 sin 2θ
4.
∫ ∫ θ2drdθ
π cos 2
8

9. APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA
Aplikasi integral lipat dua yang
bentuk umumnya : ∫∫ f ( x, y) dA
R
dapat dijelaskan sbb :
1. LUAS
Luas bidang dapat dipandang sebagai integral
lipat dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral
lipat dua menjadi :
A=
∫∫ dA
R
atau A =
∫∫ dxdy = ∫∫ dydx
R R
Dalam koordinat polar :
θ2 =β υ2
A=
∫∫ dA =
θ
∫α ρ∫ ρ dρ dθ
R 1= 1
contoh :
Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2
dan 2y = x + y
9

10. Jawab :
2 2- y 2 2- y
A = ∫∫ dA = ∫ ∫ dxdy = ∫ x ∫ dt
R 0 2y -4 0 2y -4
2 2
= ∫ (2 − y − 2 y − 4)dy = ∫ (6 − 3y)dy
0 0
2
3
= (6y - y 2 ) ∫ = (12 − 6) = 6
2 0
10

11. 2.
11