1. SOLUÇÕES
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
NOTA : Se bem que os dados métricos dos enunciados estejam em c e n t í m e t r o s, as soluções apresentadas não consideraram o centíme-
tro como unidade. De facto, no sentido do estudante, o objectivo da consulta das soluções dos exercícios deve ser a verificação da correc-
ç ã o dos raciocínios e dos traçados e não a c o m p a r a ç ã o m é t r i c a dos mesmos. Dessa forma, considerou-se de maior utilidade o
desenvolvimento dos relatórios e a resolução gráfica dos problemas a uma escala que evite qualquer tentativa de comparação métrica. A
escala utilizda foi de 1/2, o que significa que a cada centímetro da resolução do aluno corresponderá 0,5 cm nestas soluções.
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P ARALELISMO
1.
a) Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta r, em função dos dados. Em
seguida, assinalaram-se as projecções da recta s, coincidentes com as projecções de
nome contrário da recta r, ou seja, s2 (a projecção frontal da recta s) está coincidente
com r1, (a projecção horizontal da recta r) e s1 (a projecção horizontal da recta s)está
coincidente com r2 (a projecção frontal da recta r). As duas rectas são paralelas, pois
têm as projecções homónimas paralelas entre si.
b) Em primeiro lugar, determinaram-se os traços da recta r nos planos de projecção – F e
H. Em seguida, determinaram-se os traços da recta s nos planos de projecção – F’ e H’.
O traço frontal do plano está definido por F e F’ e o traço horizontal do plano está definido
por H e H’, o que resulta no facto de os dois traços do plano estarem coincidentes.
2.
Em primeiro lugar, representaram-se as rectas p e p', pelas respectivas projecções, em função
dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois todos os pontos de uma recta de perfil
têm a mesma abcissa. Da mesma forma, os pontos C e D também têm a mesma abcissa. Sobre
a posição relativa das duas rectas, sabe-se imediatamente que não são concorrentes – podem
ser paralelas ou enviesadas. Uma vez que, no enunciado, se refere expressamente a não utiliza-
ção de qualquer processo geométrico auxiliar, foi necessário um raciocínio relativamente linear.
Se as rectas p e p’ forem paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas rectas
concorrentes com p e p’ serão, também elas, complanares. Recorreu-se a duas rectas auxilia-
res, as rectas r e s. A recta r é concorrente com p em A e com p’ em D (está definida por dois
pontos). A recta s é concorrente com p em B e com p’ em C (também está definida por dois
pontos). As rectas r e s não são complanares (não são paralelas nem concorrentes), pelo que p
e p’ não são complanares – logo, não são paralelas.
3.
Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções das rectas p e p’, de acordo
com os dados (ver relatório do exercício anterior). Em seguida, uma vez que é ex-
pressamente pedido o recurso ao processo do rebatimento, conduziu-se, pela
recta p, um plano de perfil π e rebateu-se o plano para o Plano Frontal de Projec-
ção (a charneira foi fπ). Rebatendo o plano obtiveram-se Ar e Br, bem como a rec-
ta pr, definida por Ar e Br. Em seguida, conduziu-se, pela recta p’, um outro plano
de perfil π’, e rebateu-se o plano π’ também para o Plano Frontal de Projecção e
para o mesmo lado – note que só é possível averiguar o paralelismo entre as
duas rectas em rebatimento se o rebatimento dos dois planos de perfil for exac-
tamente o mesmo (é necessário rebater os dois planos de perfil para o mesmo
plano e no mesmo sentido de rotação). Rebatendo o plano π’ obtiveram-se os
pontos Cr e Dr, bem como a recta p’r, definida por Cr e Dr. As rectas pr e p’r não
são paralelas, pelo que as rectas p e p’ não são paralelas no espaço. Note que
um outro processo de resolver este exercício (mas que não é o pedido no enun-
ciado) seria o de efectuar uma mudança do diedro de projecção – substituindo
o Plano Frontal de Projecção por um outro plano de projecção (plano 4), paralelo
p
às duas rectas, por exemplo (transformando as duas rectas em rectas frontais),
seria possível averiguar o paralelismo entre as duas rectas sem se ter o cuidado
de garantir a semelhança entre os dois rebatimentos dos planos de perfil.
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2. SOLUÇÕES
4.
Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta p e do ponto C, em função dos dados (ver re-
latório do exercício 2). Em seguida, pelas projecções de C conduziram-se imediatamente as projecções
da recta p’, a recta pedida – note que, embora as projecções da recta pedida se tivessem desenhado
imediatamente, estas não são suficientes para definir a recta em Dupla Projecção Ortogonal (a recta p’
está definida por um ponto e uma direcção). É necessário, então, mais um ponto da recta p’ (para além
de C) para a definirmos totalmente em projecções. Como as rectas p e p’ são paralelas, então são com-
planares, pelo que quaisquer duas rectas concorrentes com p e p’ serão igualmente complanares. Assim,
recorreu-se a uma recta do plano definido pelas rectas p e p’ – a recta a, que está definida por B e C
(que são os pontos de concorrência de r com p e p’, respectivamente). Em seguida, recorreu-se a uma
outra recta, a recta b, paralela à recta a e concorrente com a recta p no ponto A – a recta b está definida
por um ponto (ponto A) e uma direcção (é paralela à recta a) e é complanar com as rectas a e p. A recta b
terá, também, de ser complanar com a recta p’, pelo que, não sendo paralela a esta, será necessaria-
mente concorrente – o ponto G é o ponto de concorrência das rectas b e p’. A recta p’, definida por A e
G, é necessariamente paralela à recta p. Sublinha-se que a recta b poderia ser concorrente com a recta
a – nesse caso estaria definida por dois pontos (os pontos de concorrência com as recta p e a). Note
que o problema poderia ter sido resolvido tanto pelo processo exposto como pelo rebatimento tanto
como, ainda, pela mudança do diedro de projecção, uma vez que o enunciado é omisso em relação ao
processo de resolução.
Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta p e do ponto R, em função dos
5. dados (os pontos M e N têm a mesma abcissa). Em seguida, pelas projecções de R condu-
ziram-se imediatamente as projecções da recta p’, a recta paralela a p (note que as projec-
ções da recta p’ são insuficientes para a definir – ver relatório do exercício anterior). Como as
rectas p e p’ são paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas rectas concor-
rentes com p e p’ serão igualmente complanares. Assim, recorreu-se a uma recta do plano
definido pelas rectas p e p’ – a recta f, que está definida por M e R (que são os pontos de
concorrência de f com p e p’, respectivamente – a recta f é uma recta frontal). Em seguida,
recorreu-se a uma outra recta, a recta f ’, paralela à recta f e concorrente com a recta p no
ponto N – a recta f ’ está definida por um ponto (ponto N) e uma direcção (é paralela à recta
f). A recta f ’ terá, também, de ser complanar com a recta p’, pelo que, não sendo paralela a
esta, será necessariamente concorrente – o ponto S é o ponto de concorrência das rectas f ’
e p’. A recta p’, definida por R e S, é necessariamente paralela à recta p. Para determinar os
traços do plano α, poder-se-ia ter determinado os traços das rectas de perfil, o que envolve-
ria o recurso a processos geométricos auxiliares. No entanto, optou-se por um outro raciocí-
nio, mais simples – atendeu-se ao facto que já temos quatro rectas do plano α (as rectas p,
p’, f e f ’). Assim, foi suficiente recorrer às rectas f e f ’ para determinar os traços do plano α. H
é o traço horizontal da recta f e H’ é o traço horizontal da recta f ’. O traço horizontal do plano
α, hα, está definido por H e H’. O traço frontal do plano α, fα, é concorrente com hα no eixo X
e é paralelo às rectas f e f ’ (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao
traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo). Note que o
problema se poderia ter resolvido sem a determinação do ponto S – de facto, com o recurso
às duas rectas auxiliares, o problema resolveu-se como se o plano estivesse definido por
três pontos não colineares, pelos quais se conduziram duas rectas do plano.
6.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta p e o ponto C, pelas suas projecções, bem como o pla-
no ν, pelo seu traço frontal, em função dos dados. Em seguida, pelas projecções de C conduziram-
-se imediatamente as projecções da recta p’, a recta paralela a p (a recta p’ não fica totalmente
definida pelas suas projecções). As rectas p e p’ são paralelas, pelo que são complanares – quais-
quer duas rectas concorrentes com p e p’ serão igualmente complanares. Assim, recorreu-se a uma
recta do plano definido pelas rectas p e p’ – a recta r, que está definida por A e C (que são os pontos
de concorrência de r com p e p’, respectivamente). Em seguida, recorreu-se a uma outra recta, a
recta s, paralela à recta r e concorrente com a recta p no ponto B – a recta s está definida por um
ponto (ponto B) e uma direcção (é paralela à recta r). A recta s terá, também, de ser complanar com
a recta p’, pelo que, não sendo paralela a esta, será necessariamente concorrente – o ponto D é o
ponto de concorrência das rectas s e p’. A recta p’, definida por C e D, é necessariamente paralela à
recta p. Para determinar a recta de intersecção dos dois planos, teve-se em conta que o plano ν é
projectante frontal – i2, a projecção frontal da recta i (a recta de intersecção dos dois planos), está
necessariamente sobre (fν). Para definirmos a recta i são necessários dois pontos ou um ponto e
f
uma direcção. Os pontos poderiam ser os pontos em que o plano ν corta as rectas p e p’ (as rectas
dadas), mas a determinação desses pontos carece do recurso a processos geométricos auxiliares.
Assim, atendendo a que já temos quatro rectas do plano (as rectas p, p’, r e s), foi suficiente recorrer
às rectas r e s para determinar a recta i – o plano ν corta a recta r no ponto M (que é, assim, um
ponto comum aos dois planos) e corta a recta s no ponto N (que é um outro ponto comum aos dois
planos). A recta i, definida por M e N, é a recta de intersecção entre os dois planos.
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3. SOLUÇÕES
7.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta p e o ponto B, pelas suas pro-
jecções, em função dos dados. A recta p, porque é passante, é concorrente
com o eixo X no ponto P. Em seguida, pelas projecções de B conduziram-se
imediatamente as projecções da recta p’, a recta paralela a p (note que a rec-
ta p’ não fica totalmente definida em projecções – ver relatório do exercício
4). Assim, há que obter as projecções de mais um ponto da recta. Optou-se
por recorrer a uma mudança do diedro de projecção – substituiu-se o Plano
Frontal de Projecção (plano 2) por um novo plano de projecção (plano 4),
p p
paralelo às duas rectas, definindo um novo diedro de projecção (o diedro for-
mado pelo plano 1 e pelo plano 4) no qual as rectas p e p’ são rectas fron-
tais (de frente) – o novo eixo X (eixo X’) é paralelo a p1 e a p’1 e é a recta de
intersecção do plano 1 com o plano 4. As projecções de A, B e P no plano
4 determinaram-se em função das respectivas cotas, que se mantiveram. A
projecção da recta p no plano 4 (p4) está definida por A 4 e por P4. A projec-
ção da recta p’ no plano 4 (p’4) passa por B4 e é paralela a p4 (o paralelismo
entre as rectas é directo no novo diedro de projecção). Determinou-se um
ponto qualquer da recta p’ – o ponto F (que é o traço frontal da recta p’). F1
determinou-se directamente e F2, a projecção frontal de F no diedro de pro-
jecção inicial, determinou-se em função da sua cota, que se manteve. A recta
p’, definida por B e F, é paralela à recta p.
8.
Uma recta é paralela a um plano se e só se for paralela a uma recta do plano e não estiver contida nesse plano, ou seja, uma recta é para-
lela a um plano se pertencer a uma «família» de rectas que esteja contida no plano. De forma recíproca, um plano é paralelo a uma recta se
e só se não contiver a recta e contiver uma recta paralela à recta dada, ou seja, um plano é paralelo a uma recta se contiver a «família» de
rectas a que a recta dada pertence.
9.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas pro-
jecções, em função dos dados. Em seguida, por P1, conduziu-se r 1, a projecção horizontal da
recta r, fazendo o ângulo pretendido (45o a.d.) com o eixo X. Para a recta r ser paralela ao pla-
no α, terá de ser paralela a uma recta do plano. Para tal, recorreu-se a uma recta auxiliar s,
pertencente ao plano e garantindo que s seja paralela à recta r – s1 é paralela a r 1. A recta s
está definida pelos seus traços (condição para que uma recta pertença a um plano). Em segui-
da, conduziu-se, por P2, a projecção frontal da recta r (r 2), paralela a s2. A recta r é paralela ao
plano α, pois é paralela a uma recta do plano (a recta s).
10.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas
projecções, em função dos dados. Em seguida, desenhou-se a projecção frontal da recta r
– r 2 – passando por P2 e fazendo, com o eixo X, o ângulo pedido. Para a recta r ser paralela
ao plano ρ, terá de ser paralela a uma recta do plano. Para tal, recorreu-se a uma recta
auxiliar s, pertencente ao plano e garantindo que s seja paralela à recta r – s2 é paralela a
r 2. A recta s está definida pelos seus traços (condição para que uma recta pertença a um
plano). Em seguida, conduziu-se, por P1, a projecção horizontal da recta r (r 1), paralela a
s1. A recta r é paralela ao plano ρ, pois é paralela a uma recta do plano (a recta s).
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4. SOLUÇÕES
11.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas
projecções, em função dos dados. Em seguida, pelas projecções de P conduziram-se ime-
diatamente as projecções da recta p – note que não foi necessário nenhum procedimento
particular para desenhar as projecções da recta p. A recta p, no entanto, não está completa-
mente definida – falta-nos outro ponto para definir a recta, para além do ponto P. Por outro
lado, há que garantir que a recta p seja paralela ao plano α, para o que a recta p terá de ser
paralela a uma recta do plano α (critério de paralelismo entre rectas e planos). Assim, recor-
reu-se a uma recta p’, qualquer, de perfil e pertencente ao plano – a recta p’ está definida
por dois pontos, que são os seus traços (condição para que uma recta pertença a um pla-
no). A recta p tem de ser paralela à recta p’. Para garantir o paralelismo entre as rectas p e
p’ recorreu-se ao raciocínio exposto no relatório do exercício 4. As rectas p e p’, sendo pa-
ralelas, são complanares – recorreu-se a duas rectas do plano definido por p e p’. A recta r
é concorrente com a recta p no ponto P e com a recta p’ no ponto H (o seu traço hori-
zontal). A recta s é concorrente com a recta p’ no ponto F (o seu traço frontal) e com a recta
r no ponto M. A recta s, porque é complanar com a recta p, é concorrente com esta num
ponto R . A recta p, definida por P e R , é paralela à recta p’, que é uma recta do plano α,
pelo que a recta p é paralela ao plano α.
12.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas
suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da recta
p, de perfil, paralela ao plano ρ e passando por P, ver relatório do exercício anterior.
13.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas
projecções, em função dos dados. Em seguida, por P 2, conduziu-se r 2, a projecção frontal
da recta r, fazendo, com o eixo X, o ângulo pretendido (60° a.d.). Para que a recta r seja pa-
ralela ao plano γ, terá de ser paralela a uma recta do plano γ. Ora, uma vez que o plano γ é
projectante horizontal, sabe-se que todas as suas rectas têm a sua projecção horizontal so-
bre hγ, pelo que desenhando r 1 paralela a hγ (e passando por P1) se garante que a recta r é
paralela ao plano α (porque existe, de certeza, uma recta do plano γ que é paralela à recta r).
14.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano φ, pelos seus traços, e o ponto R , pelas
suas projecções, em função dos dados. Para que a recta f (a recta frontal pretendida)
seja paralela ao plano φ, a recta terá de ser paralela a uma recta de φ (critério de para-
lelismo entre rectas e planos). O traço frontal de φ (f φ) é uma recta frontal (de frente) do
f
plano, com afastamento nulo – esta raciocínio permitiu-nos economizar traçado, pois não
houve necessidade de se desenharem as projecções de outra recta do plano. Assim, por
R conduziu-se a recta f pedida, paralela a f φ – f está definida por um ponto (R ) e por uma
R
direcção (é paralela a f φ).
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5. SOLUÇÕES
15.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto P,
pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação das projec-
ções da recta r, ver exercício 9 e respectivo relatório. Note que, com vista a uma
maior economia de traçados, se optou por fazer com que o traço frontal da recta
s (a recta auxiliar do plano δ à qual a recta r é paralela) tenha abcissa nula.
16.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta m e o ponto A , pelas respectivas pro-
jecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano pedido contenha o
ponto A , o ponto A tem de pertencer a uma recta do plano. Por outro lado, para
que o plano α seja paralelo à recta m, tem de conter uma recta paralela à recta
m. Assim, há que conduzir, por A , uma recta paralela à recta m, que será uma
recta do plano α – a recta r. Determinaram-se os traços da recta r, pois os traços
da recta têm de estar sobre os traços homónimos do plano (condição para que
uma recta pertença a um plano). Em seguida, pelo traço horizontal de r conduziu-
-se hα, com o ângulo pretendido (hα está definido por um ponto e uma direcção)
h
– f α é concorrente com hα sobre o eixo X e contém F, o traço frontal de r (f α está
f
definido por dois pontos). O plano α é paralelo à recta m, pois contém uma recta
paralela a m (a recta r). O plano α contém o ponto A , pois A pertence a uma recta
do plano (a recta r).
17.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta r e o ponto A , pelas respectivas pro-
jecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano ρ ver
relatório do exercício anterior. A recta s, paralela à recta r e passando por A , foi a
recta auxiliar a que se recorreu. Os traços do plano ρ são rectas fronto-horizontais
que contêm os traços homónimos da recta s. O plano ρ é paralelo à recta r, pois
contém uma recta paralela a r (a recta s). O plano ρ contém o ponto A , pois A
pertence a uma recta do plano (a recta s).
18.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta r pelas suas projecções, em função dos dados. Os tra-
ços do plano ρ (o plano passante paralelo à recta r) determinaram-se imediatamente – estão am-
bos coincidentes com o eixo X. No entanto, os traços do plano ρ, porque são uma única recta,
são insuficientes para definir o plano (um plano só pode estar definido por uma única recta se essa
recta for uma das suas rectas de maior declive ou uma das suas rectas de maior inclinação).
Assim, há que recorrer a mais um elemento para definir o plano ρ – esse elemento poderá ser um
ponto (caso em que o plano ρ estará definido por uma recta – o eixo X – e um ponto exterior) ou
uma recta (caso em que o plano ρ estará definido por duas rectas). Assim, recorreu-se a uma recta
qualquer, paralela à recta r – a recta s. A recta s tem necessariamente de ser uma recta passante,
pois caso contrário não seria uma recta do plano ρ (o plano ρ apenas contém rectas fronto-horizon-
tais e rectas passantes – estas poderão ser oblíquas ou de perfil). Note que não se poderia recorrer
a uma recta fronto-horizontal, pois uma recta fronto-horizontal não é paralela à recta r. Note ainda
que também não se poderia ter recorrido a uma recta de perfil passante, pois a recta r não é de
perfil. A única hipótese é, pois, a situação apresentada – uma recta oblíqua passante, qualquer,
paralela à recta r. O plano ρ está, assim, definido por duas rectas concorrentes – o eixo X e a recta s.
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6. SOLUÇÕES
19.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta f e o ponto P, pelas respectivas projec-
ções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano α, ver relató-
rio do exercício 16. A recta f ’, paralela à recta f e passando por P, foi a recta auxiliar
a que se recorreu. H’ é o traço horizontal da recta f ’. Uma vez que os traços do plano
α estão coincidentes, no plano do papel, os dois traços têm a mesma direcção.
Assim, por H’1 conduziu-se hα, o traço horizontal de α, paralelo a f ’2 (e a f 2). O traço
frontal de α, f α, é concorrente com hα no eixo X e também é paralelo a f ’2 (e a f 2),
pelo que os traços de α ficam coincidentes (no plano do papel).
20.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respectivas projecções, em
função dos dados. Para que o plano γ seja paralelo à recta r, o plano γ, terá de conter uma
recta paralela à recta r. Ora, uma vez que o plano γ é projectante horizontal, sabe-se que
todas as suas rectas têm a sua projecção horizontal sobre hγ. Além disso, e uma vez que se
trata de um plano projectante horizontal, sabe-se também que todos os seus pontos têm a
sua projecção horizontal sobre hγ. Assim, desenhando hγ, passando por P 1 e paralelo a r 1
(a projecção horizontal de r), está garantido o paralelismo entre o plano γ e a recta r – note
que qualquer recta do plano (à excepção das rectas verticais) terá a sua projecção horizontal
paralela à projecção horizontal da recta r. Note ainda que o plano γ contém o ponto P, pois P1
situa-se sobre hγ. Tratando-se de um plano vertical, f γ é uma recta vertical com afastamento
nulo, que é concorrente com hγ no eixo X.
21.
Em primeiro lugar, representaram-se a recta r e o ponto A , pelas respectivas
projecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do pla-
no α, ver exercício 16 e respectivo relatório. A recta s é a recta auxiliar a que
se recorreu – a recta s contém o ponto A e é paralela à recta r. F’ é o traço
frontal da recta s e H é o seu traço horizontal. Uma vez que os traços do
plano estão coincidentes (na folha de papel), estão coincidentes na recta
que passa por F’2 e por H1.
22.
Em primeiro lugar, representou-se o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados.
Em seguida, conduziu-se, por P1, a projecção horizontal da recta r (r1), com o ângulo pretendi-
do – r1 faz, com o eixo X, um ângulo de 45° (a.d.). A recta r é uma recta paralela ao β2/4, pelo
que as suas projecções são paralelas entre si – assim, por P2 conduziu-se r2, a projecção frontal
da recta r, paralela a r1.
6
7. SOLUÇÕES
23.
Em primeiro lugar, representou-se o ponto P, pelas suas projecções, em função dos da-
dos. Em seguida, conduziu-se, por P2, a projecção frontal da recta r (r 2), com o ângulo
pretendido – r 2 faz, com o eixo X, um ângulo de 30o (a.d.). A recta r é uma recta paralela
ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mes-
mo sentido de abertura. Assim, por P1 conduziu-se r 1, a projecção horizontal da recta r,
fazendo também um ângulo de 30o (a.d.) com o eixo X.
24.
Em primeiro lugar, representaram-se o ponto K e a recta f, pelas respectivas projec-
ções, em função dos dados. Em seguida, conduziu-se, por P1, a projecção horizon-
tal da recta, r 1, com o ângulo pretendido – um ângulo de 45o (a.d.) com o eixo X.
A recta r é uma recta paralela ao β2/4, pelo que as suas projecções são paralelas entre
si – assim, por P 2 conduziu-se r 2, a projecção frontal da recta r , paralela a r 1.
Em seguida, determinaram-se os traços das duas rectas e desenharam-se os traços
do plano. H é o traço horizontal da recta r e H’ é o traço horizontal da recta f. F é o
traço frontal da recta r. O traço horizontal do plano α, hα, passa por H e H’ (está
definido por dois pontos). O traço frontal do plano α, f α, é concorrente com hα no
eixo X e passa por F (está também definido por dois pontos).
25.
O ponto de concorrência tem 4 cm de afastamento – atendendo a que o ponto de
concorrência (ponto P) pertence à recta h, que tem 2 cm de cota, sabe-se imediata-
mente que o ponto P tem também 2 cm de afastamento. Este raciocínio permitiu-nos
desenhar as projecções da recta h e do ponto P. Em seguida conduziu-se, por P1, a
projecção horizontal da recta, r 1, com o ângulo pretendido – um ângulo de 30o (a.d.)
com o eixo X. A recta r é uma recta paralela ao β1/3, pelo que as suas projecções
fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. Assim, por
P2 conduziu-se r 2, a projecção frontal da recta r, fazendo também um ângulo de 30o
(a.d.) com o eixo X. Em seguida, determinaram-se os traços das duas rectas e dese-
nharam-se os traços do plano. H é o traço horizontal da recta r e F é o traço frontal da
recta h. O traço horizontal do plano α, hα, passa por H e é paralelo à recta h (rectas
horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano,
que é uma recta horizontal do plano com cota nula). O traço frontal do plano α, f α, é
concorrente com hα no eixo X e passa por F (está definido por dois pontos).
26.
Em primeiro lugar, representou-se o plano α, pelos seus traços, bem como o pon-
to M e a recta a, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta a é
uma recta paralela ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem, com o eixo X, ân-
gulos iguais e com o mesmo sentido de abertura – assim, a1, a projecção horizon-
tal da recta a, faz também um ângulo de 30o (a.e.) com o eixo X. Para determinar
o ponto de intersecção da recta a com o plano α, e uma vez que nem a recta nem
o plano são projectantes, recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas
com planos. Assim, tem-se: 1. por a conduziu-se um plano auxiliar (o plano γ, que
é um plano vertical – é o plano projectante horizontal da recta a); 2. determinou-se
a recta i, a recta de intersecção dos dois planos (a recta i está definida pelos seus
traços, pois trata-se do caso geral da intersecção entre planos); 3. o ponto de
concorrência da recta i com a recta a (o ponto I) é o ponto de intersecção da rec-
ta a com o plano α.
7
8. SOLUÇÕES
27. a) Em primeiro lugar, representaram-se as rectas r e s, pelas respectivas projecções, em
função dos dados. A recta r é paralela ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem,
com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. A recta s é paralela
ao β2/4, pelo que as suas projecções são paralelas entre si. Em seguida, determina-
ram-se os traços das duas rectas e desenharam-se os traços do plano. F é o traço
frontal da recta r e F’ é o traço frontal da recta s. H é o traço horizontal da recta r e H’
é o traço horizontal da recta s. f α passa por F e F’. hα passa por H e H’ (e é concor-
rente com f α no eixo X).
b) A recta i’ é uma recta que pertence simultaneamente ao plano α (o plano dado) e ao
β1/3 – todos os seus pontos pertencem simultaneamente aos dois planos. Para definir
uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. O ponto de
concorrência dos dois traços do plano (f α e hα) é um ponto que pertence aos dois
f
planos, pois situa-se no eixo X (todos os pontos do eixo X pertencem ao β1/3). Já temos
um ponto – falta-nos outro ponto ou uma direcção. Determinou-se Q, o traço da
recta s no β1/3 – Q pertence ao plano α, pois pertence a uma recta do plano (a recta
s) e pertence ao β1/3, pois tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X.
Já temos dois pontos para definir a recta i’. Note que a recta r, porque é paralela ao
β1/3, não tem traço no β1/3. Por outro lado, e uma vez que as rectas r e i’ são rectas
complanares (pertencem, ambas, ao plano α), e não sendo concorrentes, são parale-
las – a recta i’ é paralela à recta r (a recta i’ é uma recta do β1/3 e a recta r é uma recta
paralela ao β1/3 – são rectas da mesma «família» de rectas). A recta i’’ é uma recta que
pertence simultaneamente ao plano α e ao β2/4 – todos os seus pontos pertencem
simultaneamente aos dois planos. Para definir uma recta são necessários dois pontos
ou um ponto e uma direcção. O ponto de concorrência dos dois traços do plano é
um ponto que pertence aos dois planos, pois situa-se no eixo X (todos os pontos do
eixo X pertencem ao β2/4). Já temos um ponto – falta-nos outro ponto ou uma direc-
ção. Determinou-se I, o traço da recta r no β2/4 – I pertence ao plano α, pois pertence
a uma recta do plano (a recta r) e pertence ao β2/4, pois tem as suas projecções coin-
cidentes. Já temos dois pontos para definir a recta i’’. Note que a recta s, porque é
paralela ao β2/4, não tem traço no β2/4. Por outro lado, e uma vez que as rectas s e i’’
são rectas complanares (pertencem, ambas, ao plano α), e não sendo concorrentes,
são paralelas – a recta i’’ é paralela à recta s (a recta i’’ é uma recta do β2/4 e a recta s
é uma recta paralela ao β2/4 – são rectas da mesma «família» de rectas).
28.
Em primeiro lugar, representou-se o ponto A, pelas suas projecções, em função das
suas coordenadas. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projecções da recta
p – estas, no entanto, não são suficientes para definir totalmente a recta p em Dupla Pro-
jecção Ortogonal (a recta, no espaço, está definida por um ponto e uma direcção). Por
outro lado, para que a recta p seja paralela ao β2/4, a recta tem de ser paralela a uma
recta do β2/4. Recorreu-se a um plano de perfil π, que contém a recta p, e determinou-se
a recta de intersecção do plano π com o β2/4 – a recta i. A recta p terá de ser paralela à
recta i (critério de paralelismo entre rectas e planos). A recta i é uma recta de perfil pas-
sante que faz, com os planos de projecção (e com os traços do plano π) ângulos de 45°.
Em seguida, rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi fπ),
obtendo-se Ar. Em seguida, desenhou-se ir, que é a recta i em rebatimento. Note que o
ponto A se situa no 1o Diedro e que a recta i, sendo uma recta do β2/4, atravessa os 2o e
4o Diedros – assim, ir não pode, nunca, passar pelo quadrante em que se situa Ar. Por
outro lado, sendo i uma recta passante, o seu ponto de concorrência com o eixo X é fixo,
pois situa-se na charneira – ir passa pelo ponto de concorrência dos traços do plano e
faz, com fπr e hπr, ângulos de 45°. A recta pr passa por Ar e é paralela a ir. Em seguida,
determinaram-se os traços da recta p em rebatimento – Fr está sobre fπr e Hr está sobre
hπr (condição para que uma recta pertença a um plano, que se verifica tanto no espaço
como em projecções e em rebatimento). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as
projecções de F (traço frontal da recta p) e H (traço horizontal da recta p). Note que se
poderia ter determinado a recta i em rebatimento, recorrendo a um ponto qualquer da
recta – seria um ponto do β2/4, pelo que teria as suas projecções coincidentes. Rebatendo
esse ponto, ter-se-ia a recta ir definida por dois pontos.
8
9. SOLUÇÕES
29.
Em primeiro lugar, representou-se o ponto P, pelas suas projecções, em função das
suas coordenadas. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projecções da recta
p – estas, no entanto, não são suficientes para definir totalmente a recta p em Dupla
Projecção Ortogonal (a recta, no espaço, está definida por um ponto e uma direcção).
Por outro lado, para que a recta p seja paralela ao β1/3, a recta tem de ser paralela a
uma recta do β1/3. Representou-se uma recta r, de perfil, contida no β1/3 e situada no
mesmo plano de perfil da recta p – a recta r está definida pelo ponto A (que é o seu
ponto de concorrência com o eixo X) e por um ponto B, qualquer, do β1/3 (B tem as
B
suas projecções simétricas em relação ao eixo X). Em seguida, optou-se por recorrer a
uma mudança do diedro de projecção – substituiu-se o Plano Frontal de Projecção
(plano 2) por um novo plano de projecção (plano 4), paralelo às duas rectas, definindo
p p
um novo diedro de projecção (o diedro formado pelo plano 1 e pelo plano 4) no
qual as rectas p e r são rectas frontais (de frente). O novo eixo X (eixo X’) é paralelo a
p1 e a r1 e é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4. As projecções de A, B e
P no plano 4 determinaram-se em função das respectivas cotas, que se mantiveram. A
projecção da recta r no plano 4 (r4) está definida por A 4 e por B4. A projecção da recta
p no plano 4 (p4) passa por P4 e é paralela a r4 (o paralelismo entre as rectas é directo
no novo diedro de projecção). Em seguida, determinaram-se os traços da recta p em
função das coordenadas conhecidas – F1 já era conhecido no diedro de projecção ini-
cial e H2 também. H4 determinou-se em função da sua cota (que é nula) e F4 determi-
nou-se em função de F1. Invertendo a mudança do diedro de projecção, determinou-se
F2 em função da sua cota (que é negativa e que se manteve). Note que o exercício se
poderia ter resolvido com o recurso ao rebatimento do plano de perfil que contém as
duas rectas, conforme exposto no relatório do exercício anterior.
30.
Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções das rectas p e h, concorrentes no
ponto P, em função dos dados. Para determinar os traços do plano há que deter-
minar os traços das duas rectas nos planos de projecção – F’ é o traço frontal da
recta h. Note que as projecções da recta p se desenharam imediatamente, apesar
da recta estar definida apenas por um ponto e uma direcção (é paralela ao β2/4).
Para determinar os traços da recta p (que são mais dois pontos da recta) é neces-
sário o recurso a um processo geométrico auxiliar – recorreu-se ao rebatimento do
plano de perfil que a contém (o plano π). Rebateu-se o plano π para o Plano Fron-
tal de Projecção (a charneira foi fπ), obtendo-se Pr. A recta pr passa por Pr e, uma
vez que a recta p é paralela ao β2/4, sabe-se que a recta faz ângulos de 45° com os
planos de projecção (e com os traços do plano π) – os ângulos de 45° com os tra-
ços do plano estão em V.G., em rebatimento, nos ângulos que a recta pr faz com
hπr e com fπr. Das duas hipóteses possíveis, apenas a apresentada garante que a
recta p é paralela ao β2/4 (na outra situação, a recta seria paralela ao β1/3) – note
que o ponto P se situa no 1o Diedro e que a recta, sendo paralela ao β2/4, terá de
atravessar os 2o e 4o Diedros, bem como um qualquer dos outros dois (se não
atravessasse mais nenhum Diedro, seria uma recta do próprio β2/4). Em função
das coordenadas do ponto P, a recta p atravessa os 2o, 1o e 4o Diedros. Note que
se poderia ter determinado a recta de intersecção do plano π com o β2/4 (recta i) e
garantir o paralelismo da recta p em relação à recta i, conforme exposto no relató-
rio do exercício 28. Em seguida, determinaram-se os traços da recta p em rebati-
mento (ver exercício 28 e respectivo relatório) – F é o traço frontal da recta p e H é
o seu traço horizontal. fα, o traço frontal do plano α, passa por F e F’. hα, o traço
horizontal do plano α, passa por H, é concorrente com fα no eixo X e é paralelo à
recta h (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço
horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula).
9
10. SOLUÇÕES
31.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e a recta p, pelas suas
projecções, em função dos dados. Note que as projecções da recta p se desenharam imedia-
tamente, apesar da recta não se encontrar completamente definida. Para determinar o ponto
de intersecção da recta p com o plano ρ, e uma vez que nem a recta nem o plano são
projectantes, recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com planos, como
em seguida se expõe: 1. conduziu-se, pela recta, um plano auxiliar – o plano π (que é um
plano de perfil); 2. determinou-se a recta de intersecção do plano π com o plano ρ (a recta i,
que é uma recta de perfil) – a recta i fica definida por dois pontos, que são os seus traços
(trata-se do caso geral da intersecção de planos); 3. o ponto de concorrência das duas rec-
tas (recta p e recta i) é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ. Uma vez que tanto
a recta p com a recta i são rectas de perfil, a determinação do seu ponto de concorrência só
se pode processar com o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebati-
mento do plano π – rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi
fπ). Rebateu-se a recta i, pelo rebatimento dos seus traços – ir fica definida por Fr e Hr. A rec-
ta pr passa por Sr e, uma vez que a recta p é paralela ao β1/3, sabe-se que a recta faz ângu-
los de 45° com os planos de projecção (e com os traços do plano π) – os ângulos de 45°
com os traços do plano estão em V.G., em rebatimento, nos ângulos que a recta pr faz com
hπr e com fπr. Das duas hipóteses possíveis, apenas a apresentada garante que a recta p é
paralela ao β1/3 (na outra situação, a recta seria paralela ao β2/4, tal como se observou no
exercício anterior) – note que o ponto S se situa no 1o Diedro e que a recta, sendo paralela
ao β1/3, terá de atravessar os 1o e 3o Diedros, bem como um qualquer dos outros dois (se
não atravessasse mais nenhum Diedro, seria uma recta do próprio β1/3). Em função das
coordenadas do ponto S, a recta p atravessa os 1o, 2o e 3o Diedros. Uma outra forma de
resolver a questão do paralelismo da recta p em relação ao β1/3 seria determinar a recta de
intersecção do plano π com o β1/3 e desenhar a recta em rebatimento (à semelhança do
exposto no relatório do exercício 28) – a recta pr passaria por Sr e seria paralela àquela.
O ponto de intersecção das duas rectas (recta p e recta i) – o ponto I – determinou-se em
rebatimento. Ir é o ponto de concorrência de i r e pr. Invertendo o rebatimento, determina-
ram-se as projec-ções do ponto I que é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ.
32.
Em primeiro lugar, representaram-se as rectas p e r, pelas respectivas projecções, em
função dos dados. Uma vez que a recta r é paralela ao β1/3, as suas projecções fazem,
com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. Em seguida, deter-
minaram-se os traços frontal e horizontal da recta r – F e H, respectivamente. A deter-
minação dos traços da recta p (F’ e H’) processou-se conforme exposto no relatório do
F
exercício 30. f α, o traço frontal do plano α, está definido por F e F’. hα, o traço horizon-
tal do plano α, está definido por H e H’ e é concorrente com f α no eixo X.
33.
Dois planos são paralelos se e só se duas rectas concorrentes de um dos planos forem paralelas a duas rectas concorrentes do outro pla-
no, ou seja, dois planos são paralelos se e só se tiverem, em comum, duas «famílias» de rectas.
10
11. SOLUÇÕES
34.
Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas pro-
jecções, em função dos dados. Para que dois planos sejam paralelos, duas rectas concorren-
tes de um dos planos têm de ser paralelas a duas rectas concorrentes do outro (os dois planos
têm de conter duas «famílias» de rectas em comum). Atendendo a que os traços de um plano
oblíquo são duas rectas concorrentes desse plano, para que o plano θ seja paralelo ao plano
α, basta que os seus traços sejam paralelos aos traços homónimos de α. Por outro lado, para
que o plano θ contenha o ponto P, é necessário que P se situe numa recta do plano θ. Assim,
em primeiro lugar há que conduzir, por P, uma recta do plano θ – essa recta terá de ser uma
recta frontal (de frente) ou uma recta horizontal (de nível), que são as rectas do plano θ que já
f
conhecemos (fθ é uma recta frontal e hθ é uma recta horizontal). Optou-se pela primeira hipótese
– a recta f, frontal (de frente), que passa por P, é uma recta do plano θ pois será paralela a f θ,
uma vez que rectas frontais (de frente) de um plano são paralelas entre si (e f θ é paralelo a f α,
pelo que já sabemos a direcção das rectas frontais de θ). Em seguida, determinou-se H, o
traço horizontal de f. Por H conduziu-se hθ, paralelo a hα e f θ é paralelo a f α (e a f) e con-
corrente com hθ no eixo X. O plano θ contém o ponto P e é paralelo ao plano α.
35.
Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto M, pelas
suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano λ,
ver relatório do exercício anterior.
36.
Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P,
pelas suas projecções, em função dos dados. Note que as projecções do pon-
to P estão sobre os traços homónimos do plano α, mas P não pertence ao
plano α, pois não verifica a condição para que um ponto pertença a um plano
em relação ao plano α (tem de pertencer a uma recta do plano). Sobre a
determinação dos traços do plano δ, ver exercício 34 e respectivo relatório. A
recta h, horizontal (de nível), que passa por P, é uma recta do plano δ pois
será paralela a hδ, uma vez que rectas horizontais (de nível) de um plano são
paralelas entre si (e hδ é paralelo a hα, pelo que já sabemos a direcção das
rectas horizontais de δ). Em seguida, determinou-se F, o traço frontal de h. Por
F conduziu-se f δ, paralelo a f α e hδ é paralelo a hα (e a h) e concorrente com f δ
no eixo X. O plano δ contém o ponto P e é paralelo ao plano α.
37.
Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas
suas projecções, em função dos dados. Note que as projecções do ponto P estão
sobre os traços homónimos do plano θ, mas P não pertence ao plano θ, pois não
verifica a condição para que um ponto pertença a um plano em relação ao plano θ
(tem de pertencer a uma recta do plano). Sobre a determinação dos traços do plano α,
ver exercício 34 e respectivo relatório. A recta h, horizontal (de nível), que passa por P,
é a recta auxiliar a que se recorreu – será paralela a hα. F é o traço frontal de h – por F
conduziu-se f α, paralelo a f θ e hα é paralelo a hθ (e a h) e concorrente com f α no eixo X.
O plano α contém o ponto P e é paralelo ao plano θ.
11
12. SOLUÇÕES
38.
Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas
projecções, em função dos dados. Para que o plano γ seja paralelo ao plano α, o plano γ
tem de ter os seus traços paralelos aos traços homónimos do plano α. Por outro lado, uma
vez que se trata de planos projectantes horizontais, para que o plano γ contenha o ponto P,
basta que hγ passe por P1 – um plano projectante horizontal projecta todas as suas rectas e
pontos no seu traço horizontal, e o plano γ é projectante horizontal. Assim, por P1 conduziu-
-se hγ, paralelo a hα – f γ é vertical (é paralelo a f α) e é concorrente com hγ no eixo X.
39.
A afirmação é verdadeira. No entanto, os traços homónimos de um plano de rampa são sempre paralelos entre si, mesmo que os dois pla-
nos não sejam paralelos entre si, pois são rectas da mesma «família» de rectas. De facto, tanto o traço frontal como o traço horizontal de um
qualquer plano de rampa são, ambos, rectas fronto-horizontais, e rectas fronto-horizontais são sempre paralelas entre si. Assim, quaisquer
dois planos de rampa têm, sempre, os traços homónimos paralelos entre si, mesmo que não sejam paralelos. De facto, ao contrário das
restantes situações (todos os planos que não sejam paralelos ao eixo X), o facto de os traços homónimos de dois planos de rampa serem
paralelos entre si (o que se verifica sempre) não nos garante o paralelismo entre os dois planos.
40.
Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos respectivos traços, em função
dos dados. Para que os dois planos sejam paralelos, têm de conter duas «famílias» de
rectas em comum (duas rectas concorrentes de um dos planos têm de ser paralelas a
duas rectas concorrentes do outro plano). Os traços (horizontal de frontal) dos dois pla-
nos são rectas de uma mesma «família» de rectas (as rectas fronto-horizontais), pelo que
os dois planos já têm uma «família» de rectas em comum. É necessário averiguar se
existe outra «família» de rectas em comum. Para tal, recorreu-se a uma recta auxiliar qual-
quer, r do plano ρ – a recta r está definida por dois pontos, que são os seus traços (con-
dição para que uma recta pertença a um plano). Se os dois planos forem paralelos, a
«família» da recta r também existe no plano σ. Assim, desenharam-se as projecções de
uma recta s, do plano σ, tentando que s seja paralela à recta r – s2, a projecção frontal
da recta s, é paralela a r2, a projecção frontal da recta r. Em seguida, determinaram-se
os traços da recta s e desenhou-se a sua projecção horizontal, s1 (a recta s também está
definida por dois pontos, que são igualmente os seus traços). Constata-se que, embora
as projecções frontais das duas rectas sejam paralelas entre si, as suas projecções hori-
zontais não o são, pelo que as duas rectas não são paralelas entre si (não são rectas da
mesma «família» de rectas). Então, os dois planos não são paralelos.
41.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas
suas projecções, em função dos dados. De acordo com o exposto na resposta à
questão do exercício 39, os traços de σ serão sempre paralelos aos traços homóni-
mos de ρ, quer os planos sejam paralelos ou não (são rectas da mesma «família» de
rectas). Assim, há que recorrer a outra «família» de rectas para garantir o paralelismo
entre os dois planos. Por outro lado, para que o plano σ contenha o ponto P, é neces-
sário que P pertença a uma recta do plano. Assim, desenharam-se as projecções de
uma recta r, oblíqua, qualquer, do plano ρ. A recta r é uma recta de uma outra «famí-
lia» de rectas qualquer (diferente da «família» de rectas dos traços do plano), que terá
de ser comum aos dois planos. Em seguida, pelas projecções de P conduziram-se as
projecções de uma recta s, paralela à recta r, e determinaram-se os seus traços. Pelos
traços de s conduziram-se os traços homónimos do plano σ. O plano σ é paralelo ao
plano ρ (pois contém duas rectas concorrentes paralelas a duas rectas concorrentes
do plano ρ) e contém o ponto P (pois P pertence a uma recta do plano – a recta s).
12
13. SOLUÇÕES
42.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o plano σ, pelo seu
traço frontal, em função dos dados. Os dois planos já têm uma «família» de rectas em
comum – a «família» das rectas fronto-horizontais. Para que os planos sejam paralelos,
os planos têm de conter uma outra «família» de rectas em comum. Recorreu-se a uma
recta r, oblíqua, qualquer, do plano ρ. A recta r é uma recta de uma outra «família» de rectas
qualquer (diferente da «família» de rectas dos traços do plano), que terá de ser comum
aos dois planos. Em seguida, desenharam-se as projecções de uma recta s, paralela à
recta r e pertencente ao plano σ (o traço frontal da recta s, F’, tem de se situar sobre f σ).
Determinou-se o traço horizontal da recta s, H’, e por H’ conduziu-se o traço horizontal
do plano σ, hσ. O plano σ é paralelo ao plano ρ, pois contém duas rectas concorrentes
paralelas a duas rectas concorrentes do plano ρ (o seu traço frontal e a recta s, por
exemplo, que são paralelos, respectivamente, ao traço frontal do plano ρ e à recta r).
43.
a) Em primeiro lugar representou-se o ponto P pelas suas
projecções, em função das suas coordenadas. Sendo
dada a amplitude do diedro que o plano ρ faz com o Pla-
no Horizontal de Projecção, sabe-se que as suas rectas
de perfil fazem, com o Plano Horizontal de Projecção,
ângulos com a mesma amplitude. Assim, em primeiro
lugar conduziu-se, por P , uma recta p, de perfil, que
está definida por um ponto (o ponto P) e uma direcção
(faz um ângulo de 30o com o Plano Horizontal de Pro-
jecção). Os traços do plano ρ têm de conter os traços
homónimos da recta p. Optou-se por recorrer ao rebati-
mento do plano de perfil (plano π) que contém a recta p
– rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção
(a charneira foi f π), obtendo Pr. O ângulo que a recta p
faz com o Plano Horizontal de Projecção é igual (tem a
mesma amplitude) ao ângulo que a recta p faz com hπ,
que está em V.G. no ângulo entre pr e hπr. Assim, condu-
ziu-se pr, por Pr, fazendo um ângulo de 30° com hπr e
garantindo que o traço horizontal da recta se situa no
SPHA (é dado que o traço horizontal do plano tem afas-
tamento positivo). Determinaram-se os traços da recta p
em rebatimento, após o que se inverteu o rebatimento e
se determinaram as respectivas projecções. Em seguida,
por F conduziu-se f ρ (o traço frontal do plano ρ) e por H
conduziu-se hρ (o traço horizontal do plano ρ).
b) Em primeiro lugar representou-se o ponto S, pelas suas projecções. O plano σ é necessariamente um plano de rampa, pelo que já temos a
direcção dos seus traços, que são uma única «família» de rectas. Para que o plano σ seja paralelo ao plano ρ, tem de haver outra «família» de rec-
tas comum aos dois planos – essa «família» de rectas pode ser a das rectas de perfil. Assim, de forma a economizar traçado e a usar o rebati-
mento já efectuado, conduziu-se, por S, uma recta g, fronto-horizontal – a recta g é necessariamente uma recta do plano σ. O ponto S’ é o
ponto de intersecção da recta g com o plano π. A recta p’, que passa por S’ e é paralela à recta p, é uma recta do plano σ – note que p’ é a recta
de intersecção do plano π com o plano σ, tal como a recta p era a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. Determinou-se S’r e por S’r
conduziu-se p’r, paralela a pr. Determinaram-se os traços da recta p’ em rebatimento, após o que se inverteu o rebatimento e se determinaram as
respectivas projecções. Em seguida, por F’ conduziu-se fσ (o traço frontal do plano σ) e por H’ conduziu-se hσ (o traço horizontal do plano σ).
44.
Em primeiro lugar representaram-se os planos ρ e σ pelos seus traços, em função
dos dados – note que, sendo o plano σ um plano passante, é possível definir ime-
diatamente os seus traços que, no entanto, são insuficientes para definir o plano,
pois são uma única recta (é possível definir um plano por uma única recta se e só
se essa recta for uma das suas rectas de maior declive ou uma das suas rectas de
maior inclinação). Os dois planos já têm uma «família» de rectas em comum – a
«família» das rectas fronto-horizontais. Para que os planos sejam paralelos, os pla-
nos têm de conter uma outra «família» de rectas em comum. Recorreu-se a uma
recta r, oblíqua, qualquer, do plano ρ. A recta r é uma recta de uma outra «família»
de rectas qualquer, que terá de ser comum aos dois planos. Em seguida desenha-
ram-se as projecções de uma recta s, paralela à recta r e pertencente a σ – a recta
s é n e c e s s a r i a m e n t e uma recta passante. O plano σ, definido por duas rectas
concorrentes (o eixo X e a recta s) é paralelo ao plano ρ.
13
14. SOLUÇÕES
45.
Em primeiro lugar representaram-se o plano σ, pelos seus traços (que estão
coincidentes no eixo X) e pelo ponto P, e o ponto A, pelas suas projecções,
em função dos dados. Já se sabe que os traços do plano ρ (o plano pedido)
são rectas fronto-horizontais, pois trata-se de um plano de rampa – os dois
planos já têm uma «família» de rectas em comum (a «família» das rectas
fronto-horizontais). Para que os planos sejam paralelos, os planos têm de
conter uma outra «família» de rectas em comum. Por outro lado, para que o
plano ρ contenha o ponto A, o ponto tem de pertencer a uma recta do plano.
Recorreu-se a uma recta r, oblíqua, qualquer, do plano σ – a recta r passa
pelo ponto P (que é um ponto do plano σ) e é uma recta passante. Em
seguida, desenharam-se as projecções de uma recta s, paralela à recta r e
passando por A – determinaram-se os traços da recta s, pelos quais se con-
duziram os traços homónimos do plano ρ. O plano ρ é paralelo ao plano σ
(os dois planos têm duas «famílias» de rectas em comum) e contém o ponto
A , pois o ponto A pertence a uma recta do plano ρ (a recta s).
46.
Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas
projecções, em função dos dados. Em seguida, pelas projecções de P conduziram-se
imediatamente as projecções da recta p – note que não foi necessário nenhum procedi-
mento particular para desenhar as projecções da recta p. A recta p, no entanto, não está
completamente definida – falta-nos outro ponto para definir a recta, para além do ponto
P. Por outro lado, há que garantir que a recta p seja paralela ao plano γ, para o que a rec-
ta p terá de ser paralela a uma recta do plano γ (critério de paralelismo entre rectas e pla-
nos). Assim, recorreu-se a uma recta p’, qualquer, de perfil e pertencente ao plano – por
uma questão de economia de traçados, optou-se por fazer com que a recta p’ tenha
abcissa nula. A recta p’ está definida por dois pontos, que são os seus traços (condição
para que uma recta pertença a um plano). A recta p tem de ser paralela à recta p’. Para
garantir o paralelismo entre as rectas p e p’ recorreu-se ao raciocínio exposto no relatório
do exercício 4. As rectas p e p’, sendo paralelas, são complanares – recorreu-se a duas
rectas do plano definido por p e p’. A recta r é concorrente com a recta p no ponto P e
com a recta p’ no ponto H (o seu traço horizontal). A recta s é concorrente com a recta p’
no ponto F (o seu traço frontal) e é paralela à recta r. A recta s, porque é complanar com
a recta p, é concorrente com esta num ponto M. A recta p, definida por P e M, é paralela
à recta p’, que é uma recta do plano γ, pelo que a recta p é paralela ao plano γ.
47.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ψ, pelos seus traços, e a recta p,
pelas suas projecções, em função dos dados. Note que as projecções da recta p
se desenharam imediatamente, apesar da recta não se encontrar completa-
mente definida. Para determinar o ponto de intersecção da recta p com o plano
ψ, e uma vez que nem a recta nem o plano são projectantes, recorreu-se ao
método geral da intersecção de rectas com planos, como em seguida se expõe:
1. conduziu-se, pela recta, um plano auxiliar – o plano π (que é um plano de per-
fil); 2. determinou-se a recta de intersecção do plano π com o plano ψ (a recta i,
que é uma recta de perfil) – a recta i fica definida por dois pontos, que são os
seus traços (trata-se do caso geral da intersecção de planos); 3. o ponto de con-
corrência das duas rectas (recta p e recta i) é o ponto de intersecção da recta p
com o plano ψ. Uma vez que tanto a recta p com a recta i são rectas de perfil, a
determinação do seu ponto de concorrência só se pode processar com o recur-
so a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π –
rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π). Reba-
teu-se a recta i, pelo rebatimento dos seus traços – ir fica definida por Fr e Hr. A
recta pr passa por Pr e, uma vez que a recta p é paralela ao β2/4, sabe-se que a
recta faz ângulos de 45° com os planos de projecção (e com os traços do plano
π) – ver exercício 30 e respectivo relatório. O ponto de intersecção das duas rec-
tas (recta p e recta i) – o ponto I – determinou-se em rebatimento. Ir é o ponto de
concorrência de i r e pr. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projec-
ções do ponto I que é o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ.
14
15. SOLUÇÕES
48.
Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e h, pelas respectivas projec-
ções, em função dos dados. Para que o plano α seja paralelo à recta r, tem de
conter uma recta paralela à recta r (critério de paralelismo entre planos e rec-
tas). Assim, conduziu-se uma recta s, paralela à recta r e concorrente com a
recta h – por uma questão de economia de traçados, optou-se por fazer com
que a recta s seja concorrente com a recta h no ponto B. O plano definido pelas
rectas h e r está definido por duas rectas concorrentes e é necessariamente
paralelo à recta r. Em seguida, determinaram-se H, o traço horizontal da recta s
(o seu traço frontal está fora dos limites do desenho) e F, o traço frontal da recta
h. hα, o traço horizontal do plano α, passa por H e é paralelo a à recta h (rectas
horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal
do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). f α passa por F e
é concorrente com hα no eixo X.
49.
Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e a recta g, pelas suas projecções, em função dos dados. Para que os
dois planos sejam paralelos, têm de conter duas «famílias» de rectas em comum – uma vez que se trata de planos de rampa, os dois planos
já têm, em comum, a «família» das rectas fronto-horizontais. É necessária uma outra «família» de rectas comum aos dois planos. Assim,
desenharam-se as projecções de uma recta r, oblíqua, qualquer, do plano θ. A recta r é uma recta de uma outra «família» de rectas qualquer
(não é fronto-horizontal, que é a «família» que os dois planos já têm em comum), que terá de ser comum aos dois planos – a recta r está
definida por dois pontos, que são os seus traços. Em seguida, desenharam-se as projecções de uma recta s, paralela à recta r e concorrente
com a recta g num ponto P, e determinaram-se os seus traços. Pelos traços de s conduziram-se os traços homónimos do plano ρ. O plano ρ
é paralelo ao plano θ, pois contém duas rectas concorrentes paralelas a duas rectas concorrentes do plano θ.
15
16. SOLUÇÕES
14
P ERPENDICUL ARIDADE E O RTOGONALIDADE
50.
Duas rectas perpendiculares são duas rectas ortogonais (que formam, entre si, quatro ângulos rectos – de 90°) que são complanares (são
concorrentes). Rectas o r t o g o n a i s são rectas não complanares paralelas a duas rectas perpendiculares.
51.
A afirmação é f a l s a. Duas rectas ortogonais podem ou não ser perpendiculares – se forem complanares, então são perpendiculares (são
concorrentes), mas se não forem complanares, as rectas serão apenas ortogonais. Já o contrário é verdade – duas rectas perpendiculares
são necessariamente ortogonais. A ortogonalidade é condição necessária para que se verifique a perpendicularidade, mas não o contrário.
52.
A afirmação é f a l s a. As projecções de duas rectas perpendiculares entre si não são perpendiculares entre si, a menos que uma das rectas
seja paralela a um dos planos de projecção – nesse caso, as projecções das duas rectas nesse plano de projecção serão sempre per-
pendiculares entre si.
53.
A afirmação é verdadeira. De facto, e como se referiu na resposta à questão anterior, se duas rectas são perpendiculares ou ortogonais e
uma delas é paralela a um dos planos de projecção, as projecções das duas rectas nesse plano de projecção são necessariamente
perpendiculares entre si. Assim, atendendo a que as rectas horizontais (de nível) são paralelas ao Plano Horizontal de Projecção, qualquer
recta perpendicular ou ortogonal a uma recta horizontal (de nível) terá a sua projecção horizontal (a projecção no Plano Horizontal de Pro-
jecção) perpendicular à projecção horizontal da recta horizontal (de nível).
54.
Em primeiro lugar representaram-se a recta h e o ponto P, pelas respectivas projec-
ções, em função dos dados. Em seguida, uma vez que a recta h é paralela ao Plano
Horizontal de Projecção, sabe-se que a ortogonalidade entre a recta h e qualquer outra
recta é directa em projecção horizontal. Assim, por P1 conduziu-se p1, a projecção hori-
zontal da recta p, perpendicular a h1 – a ortogonalidade entre as duas rectas já está
garantida. Por outro lado, é pedido que as rectas sejam perpendiculares, pelo que as
rectas terão de ser concorrentes. Em projecção horizontal, determinou-se I1, a projecção
horizontal do ponto de concorrência das duas rectas – I2 situa-se sobre h2. A projecção
frontal da recta p, p2, está definida por P2 e por I2. As rectas p e h são ortogonais e, uma
vez que são concorrentes, são perpendiculares.
55.
Em primeiro lugar representaram-se a recta h e o ponto P, pelas respectivas projec-
ções, em função dos dados. Os dados permitiram-nos, imediatamente, desenhar a pro-
jecção frontal da recta p – p2. Em seguida, uma vez que a recta h é paralela ao Plano
Horizontal de Projecção, a ortogonalidade entre a recta h e qualquer outra recta é
directa em projecção horizontal. Assim, por P1 conduziu-se p1, a projecção horizontal
da recta p, perpendicular a h1 – a ortogonalidade entre as duas rectas já está garantida.
As duas rectas não são concorrentes – são apenas ortogonais.
16
17. SOLUÇÕES
56. Em primeiro lugar representaram-se a recta f e o ponto P, pelas respectivas projecções, em fun-
ção dos dados. A recta a é frontal (de frente) e a ortogonalidade entre rectas frontais (de frente) é
directa em projecção frontal, pois ambas as rectas (f e a) são paralelas ao Plano Frontal de Projec-
ção. Assim, por P2 conduziu-se, imediatamente, a2, a projecção frontal da recta a, perpendicular a
f2 – a1 é paralela ao eixo X e passa por P1. Já no que respeita à recta b, que é horizontal (de nível),
teve-se em conta que não há nenhuma recta horizontal (de nível) cuja projecção frontal seja
perpendicular a f2. No entanto, tratando-se de uma recta horizontal (de nível), que é paralela ao
Plano Horizontal de Projecção, sabe-se que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal.
Assim, por P1 conduziu-se b1, perpendicular a f1 (b1 fica perpendicular ao eixo X) – a partir de b1
constatou-se que a recta b terá de ser uma recta de topo, pois é a única recta horizontal (de nível)
cuja projecção horizontal é perpendicular ao eixo X (uma recta de topo é um caso particular das
rectas horizontais). A projecção frontal de b é um ponto, que está coincidente com P2. Sublinha-se
que para desenhar as projecções da recta a se teve em conta que a recta a é uma recta frontal
(de frente), paralela ao Plano Frontal de Projecção, pelo que a ortogonalidade é directa em pro-
jecção frontal. Já para desenhar as projecções da recta b, que é uma recta horizontal (de nível),
paralela ao Plano Horizontal de Projecção, se teve em conta que a ortogonalidade é directa em
projecção horizontal. Visualize no espaço que qualquer recta de topo é necessariamente ortogo-
nal a qualquer recta frontal (de frente).
57.
Em primeiro lugar representaram-se a recta h e o ponto P, pelas respectivas projecções,
em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da recta r, ver exercício 55 e
respectivo relatório.
58.
Em primeiro lugar representaram-se a recta t e o ponto B, pelas respectivas projecções,
em função dos dados. Em seguida, por B 2 conduziu-se p2, com o ângulo pedido – p2
faz, com o eixo X, um ângulo de 45° (a.d.). Uma recta de topo é um caso particular das
rectas horizontais (de nível) – é paralela ao Plano Horizontal de Projecção e a ortogonali-
dade entre uma recta de topo e outra recta qualquer é directa em projecção horizontal.
Assim, por B 1 conduziu-se a projecção horizontal da recta p, p1, perpendicular a t 1 –
constata-se imediatamente que a recta p é uma recta frontal (de frente). Visualize no
espaço que qualquer recta ortogonal a uma recta de topo é necessariamente uma recta
frontal (de frente), incluindo qualquer dos seus casos particulares.
59.
Em primeiro lugar representaram-se a recta g e o ponto P, pelas respectivas projecções, em
função dos dados. A recta g, porque se trata de uma recta fronto-horizontal, é simultaneamente
um caso particular das rectas frontais (de frente) e um caso particular das rectas horizontais (de
nível). Assim, para desenhar as projecções de uma recta ortogonal à recta g, esta pode ser con-
siderada como uma recta frontal (em que a ortogonalidade é directa em projecção frontal) ou
como uma recta horizontal (em que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal).
Optou-se pela segunda hipótese – considerando a recta g como uma recta horizontal (de nível),
sabe-se que a ortogonalidade entre a recta g e outra recta qualquer é directa em projecção hori-
zontal. Assim, p1, a projecção horizontal da recta p, é perpendicular a g1 (e ao eixo X) – qual-
quer que seja a projecção frontal da recta, a recta p é necessariamente ortogonal à recta g, pois
a ortogonalidade já está garantida. A projecção horizontal desenhada só pode corresponder a
uma recta de topo ou a uma recta de perfil. Optou-se pela primeira situação – a recta p dese-
nhada é uma recta de topo. Caso se tivesse considerado a recta g como um caso particular das
rectas frontais (de frente), p2, a projecção frontal da recta p, seria perpendicular a g2 – nesse
caso, a recta p poderia ser uma recta vertical ou uma recta de perfil (são as únicas rectas a que
poderia corresponder aquela projecção frontal). Assim, face ao exposto, as hipóteses de resolu-
ção que existem são três – rectas de topo, rectas verticais ou rectas de perfil. Tenha em con-
ta que qualquer recta de perfil é necessariamente ortogonal a uma recta fronto-horizontal –
assim, quando se refere a recta de perfil estão incluídas as infinitas direcções de rectas de perfil.
17
18. SOLUÇÕES
60.
Em primeiro lugar representaram-se a recta g e o ponto P, pelas respectivas pro-
jecções, em função dos dados. De acordo com o exposto no relatório do exercí-
cio anterior, é possível começar por desenhar qualquer das projecções da recta p
– optou-se igualmente por desenhar p1. No entanto, ao contrário do exercício an-
terior, agora pretende-se que as duas rectas sejam perpendiculares – para tal, as
duas rectas terão de ser concorrentes. O ponto I, determinado através da sua
projecção horizontal, é o ponto de concorrência das duas rectas. A recta p passa
por P e por I, pelo que é necessariamente uma recta de perfil que está definida
por dois pontos. Note que, caso se tivesse começado por desenhar a projecção
frontal da recta p se chegaria à mesma resolução final, sendo que, nesse caso, o
ponto I seria determinado a partir da sua projecção frontal.
61.
Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respectivas projec-
ções, em função dos dados. As únicas rectas ortogonais à recta r que se podem definir,
com os conhecimentos adquiridos, são rectas frontais (de frente) ou r e c t a s h o r i-
zontais (de nível). Optou-se pela segunda hipótese. Fazendo a recta p uma recta ho-
rizontal (de nível), que é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, a ortogonalidade
é directa em projecção horizontal. Assim, p1 passa por P1 e é perpendicular a r 1 – p2
passa por P2 e é paralela ao eixo X. Caso se tivesse optado por fazer a recta p uma
recta frontal (de frente), que é paralela ao Plano Frontal de Projecção (em que a orto-
gonalidade é directa em projecção frontal), p2 seria perpendicular a r 2. Conforme se
referiu acima, a outra hipótese seria, então, uma recta frontal (de frente).
62.
a) Em primeiro lugar representaram-se a recta g e o ponto P, pelas respectivas projecções, em fun-
ção dos dados. A recta r é uma recta horizontal (de nível), paralela ao Plano Horizontal de Projec-
ção, pelo que a ortogonalidade é directa em projecção horizontal – assim, r 1 passa por P1 e tem
de ser perpendicular a g1 (e perpendicular ao eixo X). A única recta horizontal (de nível) que tem a
projecção horizontal desenhada é uma recta de topo – r é, assim, uma recta de topo.
b) A recta s é uma recta frontal (de frente), paralela ao Plano Frontal de Projecção, pelo que a ortogo-
nalidade é directa em projecção frontal – assim, s2 passa por P2 e tem de ser perpendicular a g2 (e
perpendicular ao eixo X). A única recta frontal (de frente) que tem a projecção frontal desenhada é
uma recta vertical – s é, assim, uma r e c t a v e r t i c a l.
63.
a) Em primeiro lugar representou-se a recta r pelas suas projecções, em função dos
dados. Em seguida, determinou-se o ponto da recta r que tem 2 cm de cota – o
ponto P (que é o ponto de concorrência das duas rectas). A projecção frontal da
recta h, h 2, desenhou-se imediatamente, passando por P 2 e paralela ao eixo X.
Uma vez que a recta h é horizontal (de nível), que é paralela ao Plano Horizontal de
Projecção, a ortogonalidade é directa em projecção horizontal – assim, h1 passa
por P1 e é perpendicular a r 1.
b) Para determinar os traços do plano definido pelas duas rectas, determinaram-se os
traços destas nos planos de projecção – F e H são, respectivamente, o traço frontal
e o traço horizontal da recta r e F’ é o traço frontal da recta h. f α, o traço frontal do
plano, está definido por F e F’. hα, o traço horizontal do plano, passa por H, é con-
corrente com f α no eixo X e é paralelo à recta h. A recta r é uma recta de maior
declive do plano α, pois é perpendicular às rectas horizontais (de nível) do plano
(e ao traço horizontal do plano).
18
19. SOLUÇÕES
64. a) Em primeiro lugar, representou-se a recta r pelas suas projecções, em função dos
dados. Em seguida, determinou-se o ponto da recta r que tem 2 cm de afastamento
– o ponto P (que é o ponto de concorrência das duas rectas). A projecção horizontal
da recta f, f 1, desenhou-se imediatamente, passando por P1 e paralela ao eixo X.
Uma vez que a recta f é frontal (de frente), que é paralela ao Plano Frontal de Projec-
ção, a ortogonalidade é directa em projecção frontal – assim, f 2 passa por P2 e é
perpendicular a r 2.
b) Para determinar os traços do plano definido pelas duas rectas, determinaram-se os
traços destas nos planos de projecção – F e H são, respectivamente, o traço frontal
e o traço horizontal da recta r e H’ é o traço horizontal da recta f. hδ, o traço hori-
zontal do plano, está definido por H e H’. f δ, o traço frontal do plano, passa por F e
é paralelo à recta f (note que o ponto do eixo X que é o ponto de concorrência dos
dois traços do plano se situa fora dos limites do desenho). A recta r é uma recta de
maior inclinação do plano δ, pois é perpendicular às rectas frontais (de frente) do
plano (e ao traço frontal do plano).
65.
A recta h tem 4 cm de cota – todos os seus pontos têm 4 cm de cota. A recta f tem 3 cm de afasta-
mento – todos os seus pontos têm 3 cm de afastamento. O ponto de concorrência das duas rectas
(ponto P), porque pertence simultaneamente às duas rectas, tem 4 cm de cota e 3 cm de afasta-
mento. A partir do raciocínio exposto, desenharam-se as projecções das rectas f e h, em função
dos dados. A recta r, sendo perpendicular à recta f (que é paralela ao Plano Frontal de Projecção),
tem de ter a sua projecção frontal perpendicular a f 2, pois a perpendicularidade é directa em pro-
jecção frontal – r 2 passa por P2 e é perpendicular a f 2. Por outro lado, a recta r, sendo perpendicu-
lar à recta h (que é paralela ao Plano Horizontal de Projecção), tem de ter a sua projecção
horizontal perpendicular a h1, pois a perpendicularidade é directa em projecção horizontal – r 1 pas-
sa por P1 e é perpendicular a h1.
66.
A afirmação é f a l s a. Uma recta é ortogonal a um plano se e só se for ortogonal a duas rectas concorrentes do plano. De facto, atendendo à
situação do exercício 63, por exemplo, a recta r é ortogonal (e perpendicular) a duas rectas do plano α (a recta h e hα, o traço horizontal do
plano) mas, no entanto, a recta r não é ortogonal ao plano mas, sim, pertence ao plano. Tal justifica-se pelo facto de as rectas h e hα serem
duas rectas p a r a l e l a s do plano α e não duas rectas concorrentes.
67.
O Critério de ortogonalidade entre rectas e planos afirma que uma recta é ortogonal a um plano se e só se for ortogonal a duas rectas con-
correntes desse plano, pelo que um plano é ortogonal a uma recta se e só se contiver duas rectas concorrentes ortogonais à recta dada.
68.
A afirmação é verdadeira. Segundo o Teorema da ortogonalidade entre rectas e planos, uma recta ortogonal a um plano é ortogonal a
todas as rectas desse plano. Assim, uma vez que os traços de um plano são duas rectas desse plano, qualquer recta ortogonal a esse pla-
no é necessariamente ortogonal aos traços do plano.
69.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ν, pelo seu traço frontal, e o ponto P, pelas
suas projecções, em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser
ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano. O plano ν, porque é horizontal (de
nível), contém todas as direcções das rectas horizontais (de nível). Assim, a recta p terá
de ser uma recta qualquer, que seja ortogonal a duas rectas horizontais (de nível) quais-
quer, concorrentes – a recta p é necessariamente uma r e c t a v e r t i c a l.
70.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, e o ponto A , pelas suas pro-
jecções, em função dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas
concorrentes desse plano. O plano ϕ, porque é frontal (de frente), contém todas as direcções das
rectas frontais (de frente). Assim, a recta p terá de ser uma recta qualquer, que seja ortogonal a duas
rectas frontais (de frente) quaisquer, concorrentes – a recta p é necessariamente uma recta de topo.
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