El resumen analiza un problema que pide hallar una raíz entera de un polinomio y factorizarlo. Se muestra que la raíz es -3 y que el polinomio se puede factorizar como (x + 3)(x + 2). También se concluye que el polinomio no tiene más raíces reales.

1. 3 2
1 Halla una raíz entera del polinomio P(x) = x + 3x + 2x + 6, y dividiendo por el método de Ruffini halla un
segundo factor del polinomio. ¿Tiene más raíces reales el polinomio P(x)?
Solución:
Las raíces enteras están entre: x  1; x  2; x  3; x  6
Se comprueba que x = 3 es la raíz entera buscada:
P(3) =  27 + 27  6 + 6 = 0.
El polinomio es divisible por: (x + 3). El cociente de la división por x + 3 será un nuevo factor de P(x).
1 3 2 6
3 3 0 6
1 0 2 0
2
El factor buscado, por lo tanto, es: x + 2. La factorización del polinomio dado es:
( x  3)( x  2).
2
2
El binomio x + 2 no se anula nunca, es siempre positivo, luego el polinomio dado no tiene otras raíces reales.
2 Utilizando el valor numérico del polinomio, comprueba si los siguientes polinomios tienen el factor x  3:
a) 2 x 4  4 x 3  5 x 2  4 x  3
b) x 16  316
Solución:
a) El valor numérico del polinomio para x = 3 debe ser 0:
2  34  4  33  5  32  4  3  3  162  108  45  12  3  0
162 - 108 - 45 - 12 + 3 = 0
b) Sustituimos x por 3:
316  316  0
Los dos polinomios tienen como factor x  3.
3 2
3 Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio P(x) = x + 3x + 3x + 1 es divisible por x + 1, y
calcula con una división otro factor del polinomio.
Solución:
Calculamos el valor numérico para x =  1:
P(1)  (1)3  3(1)2  3(1)  1  1  3  3  1  0
Luego, el polinomio es divisible por x + 1.
1 3 3 1
1 1 2 1
1 2 1 0
2
El cociente de la división es otro factor del polinomio: x + 2x + 1.
4 Halla un polinomio cuyas raíces sean x = 2, x = 2, x = 3 y x = 5.
Solución:
El polinomio buscado debe tener como factores (x + 2), (x  2), (x  3) y (x + 5).
Luego podemos considerar que es el producto de dichos binomios:
( x  2)( x  2)( x  3)( x  5)  ( x 2  4)( x 2  2x  15)  x 4  2x 3  15x 2  4x 2  8x  60  x 4  2x 3  19x 2  8x  60.
5 Halla las raíces enteras del siguiente polinomio:

2. x 4  x 3  7x 2  x  6
Solución:
Los divisores de 6 son:
x  1 x  2; x  3;
; x  6
Los valores numéricos para dichos números son:
P (1) = 1  1  7 + 1 + 6 = 0
P(1) = 1 + 1  7  1 + 6 = 0
P(2) = 16  8  28 + 2 + 6 = - 12
P(2) = 16 + 8  28  2 + 6 = 0
P(3) = 81  27  63 + 3 + 6 = 0
Por tanto las raíces son 1, 1, 2 y 3.
El polinomio P(x) = 2x + 3x  8x + 3 es el producto de tres factores, siendo dos de ellos los
3 2
6
correspondientes a las raíces x = 1 y x = 3. Halla mediante dos divisiones consecutivas por el método de
Ruffini el tercer factor.
Solución:
El enunciado nos da las raíces enteras 1 y 3, luego el polinomio es divisible por (x  1) y por (x + 3). Dividimos
por el primer factor, y el cociente resultante por (x + 3), como se indica en la siguiente disposición de los
coeficientes:
2 3 8 3
1 2 5 3
2 5 3 0
3 6 3
2 1 0
El último de los cocientes, 2x - 1, es el tercer factor del polinomio dado, es decir: P(x) = (x  1) (x + 3) (2x  1).
7 Halla las raíces enteras y factoriza el siguiente polinomio:
x 3  2x 2  5 x  6
Solución:
Los divisores de 6 son: x  1; x  2; x  3; x  6
Los valores numéricos para dichos números son:
P(1) = 1 + 2  5  6 = 8
P(1) =  1 + 2 + 5  6 = 0
P(2) = 8 + 8  10  6 = 0
P(2) =  8 + 8 +10  6 = 4
P(3) = 27 + 18  15  6 = 24
P(3) =  27 + 18 + 15  6 = 0
Las tres raíces del polinomio son: x = 1, x = 2 y x = 3.
El polinomio dado es igual al producto: (x + 1)(x  2)(x + 3).
8 Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios:
a) x 2  2 x  15
b) x 3  3 x 2  x  3
Solución:
a) Los divisores de 15 son:

3. x  1; x  3; x  5; x  15
Se comprueba mentalmente que ni x =1 ni x =  son raíces.
Para x = 3 se tiene: P(3) = 9 + 6  15 = 0, luego x = 3 es una raíz.
Si x =  3 se tiene: P(3) = 9  6  15= 12, no es raíz.
Para el valor 5: P(5) = 25 + 10  15 = 20, tampoco es raíz.
Si x =  5 se tiene: P(5) = 25  10  15 = 0, luego, x =  5 es la segunda de las raíces.
b) Los divisores de 3, el término independiente, son:
x  1 x  3
;
Mentalmente se comprueba que ningún número positivo puede ser raíz.
Si x = 1 el valor numérico es: P(1) = 1 + 3  1 + 3 = 4, luego no es raíz.
Cuando x =  3 se tiene: P(3) = 27 + 27  3 + 3 = 0, por lo tanto, x =  3 es una raíz.
El polinomio no tiene más raíces enteras que x =  3.
9 Halla las raíces enteras y factoriza el siguiente polinomio:
x 4  x 3  9x 2  9x
Solución:
El polinomio tiene x como factor común en sus términos, luego una de las raíces es x = 0:
x( x 3  x 2  9x  9)
Los divisores de 9, término independiente del paréntesis, son:
x  1 x  3; x  9
;
Los valores numéricos para dichos números son:
P(1) = 1  1  9·1 + 9 = 0
3 2
P(1) = 1  1 + 9 + 9 = 16
P(3) = 27  9  27 + 9 = 0
P(3) =  27  9 + 27 + 9 = 0
Las otras tres raíces del polinomio son:
x = 1, x = 3 y x = 3.
El polinomio dado es el producto: x (x  1) (x  3) (x + 3).
10 Escribe como potencias y productos notables las siguientes expresiones:
a) 16 x 4  24 x 2  9
b) x 2 y 2  6 xy  9
c) x 2 y 2  25
Solución:
a) Se trata del cuadrado de una diferencia:
 4x 
2 2
 2  3  4 x 2  32  (4 x 2  3)2 .
b) Buscamos el cuadrado de una suma:
( xy )2  2  3  xy  32  ( xy  3)2
c) Nos dan la diferencia de cuadrados:
( xy )2  52  ( xy  5)( xy  5)
11 Escribe en forma de productos y potencias, utilizando los productos notables, las siguientes expresiones:

4. a) 4 x 2 ( x 2  4)  16( x 2  4)
x 4 16
b) 
4 81
Solución:
El número 4 y (x  4) son factores comunes:
2
a)
4( x 2  4)( x 2  4)  4( x 2  4)2
Obtenemos una diferencia de cuadrados al cuadrado, luego:
4 ( x  2)( x  2)  4( x  2)2 ( x  2)2 .
2
b) Buscamos una diferencia de cuadrados:
2
 x2   4   x 2 4  x 2 4 
2
         
 2  9  2 9  2 9 
El último paréntesis es de nuevo una diferencia de cuadrados:
x 4 16  x 2 4   x   2    x 2 4   x
2 2
2  x 2
        3     2  9     
4 81  2 9   2     
    2 3  2 3 
12 1 1
Escribe un polinomio cuyas raíces sean x =  2, x = 2, x = y x =  , y que tenga el
2 3
coeficiente de mayor grado igual a 6.
Solución:
1 1
El polinomio pedido debe tener como factores (x + 2), (x  2), (x  ) y (x + ).
2 3
El producto de los cuatro factores da un polinomio con dichas raíces cuyo coeficiente de mayor grado es uno.
Multiplicando por 6 obtenemos el polinomio pedido:
 1  1  1 1
6( x  2)( x  2)  x   x    6( x 2  4)  x 2  x    6 x 4  x 3  25 x 2  4 x  4
 2  3  6 6
13 El siguiente esquema corresponde a la aplicación dos veces del método de Ruffini para la división de
polinomios:
1 2 1 4 0
1 1 3 2 6
1 3 2 6 6
3 3 0 6
1 0 2 0
Prueba con la relación fundamental de la división que los resultados de las dos divisiones son correctos, y
escribe
P(x)  x 4  2x3  x2  4x
como un producto de tres binomios más un número.
Solución:
Para la primera división:

5. D( x)  x 4  2x3  x2  4x C( x)  x3  3x2  2x  6
, d(x) = x - 1, y R(x) = 6.
Se debe verificar:
D(x) = C(x)d(x) + R(x)
Operamos:
( x3  3x2  2x  6)( x  1)  6  x 4  3x3  2x2  6x  x3  3x2  2x  6  6  x 4  2x3  x2  4x  D( x)
Luego, es correcta.
Para la segunda división debe verificarse:
C1( x)  x2  2
C(x) = C1(x)(x + 3) + R(x), con y R(x) = 0.
Operamos:
( x2  2)( x  3)  0  x3  3x2  2x  6  C( x)
.
También son correctos los resultados.
( x2  2)
Sustituyendo la expresión C(x) = (x + 3) de esta última división en la primera, obtenemos el resultado
pedido:
( x2  2)
D(x) = (x + 3)(x -1) + 6.
14 Utilizando el valor numérico del polinomio, comprobar si los polinomios:
P ( x )  3 x 2  8 x  5 y Q( x )  2 x 3  5 x 2  5 x  6
tienen como factor x + 2, y, en caso afirmativo, calcular con una división otro factor del polinomio.
Solución:
Calculamos los valores numéricos para x =  2:
P(2)  3( 2)2  8( 2)  5  12  16  5  9
Q(2)  2(2)3  5(2)2  5(2)  6  16  20  10  6  0
Luego x + 2 no es un factor de P(x), y sí lo es de Q(x).
2 5 5 6
2 4 2 6
2 1 3 0
2
El cociente de la división anterior, 2x + x + 3, es otro factor del polinomio Q(x).
15 Dados los polinomios:
P ( x )  x 4  4 x 2 y Q( x )  x 3  x 2  x  1
justifica que no tienen ningún factor común.
Solución:
Factorizamos los polinomios dados.
2
El polinomio P(x) tiene x como factor común, y, después, resulta una diferencia de cuadrados:
P( x )  x 2 ( x 2  4)  x 2 ( x  2)( x  2).
Las raíces enteras de Q(x) están entre:
x  1
Se comprueba que x = 1 es una raíz: Q(1) = 1  1 + 1  1 = 0.
Dividimos para hallar el segundo factor:
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 0
Entonces, C(x) = x + 1 y Q(x) = (x  1) (x + 1). El último factor carece de raíces reales.
2 2
Las expresiones halladas para P(x) y Q(x) muestran que no tienen ningún factor común a ambos.

6. 16 x  x
2

2
Escribe el resultado de   y     y   2 xy como uno de los productos notables.
2  2 
Solución:
Desarrollamos los cuadrados:
x2 x2 x2
 xy  y 2   xy  y 2  2xy  2  2y 2  2xy
4 4 4
Ponemos 2 como factor común y buscamos el cuadrado de un binomio:
 x2   x  2 x  x 
2
2  xy  y 2   2    2 y  y 2   2   y 
 4   2 
 2 
 2 
17 Saca factores comunes en las siguientes expresiones:
a) 4 x 3  6 x 2 y  8 x 2 z
b) ax  ay  2bx  2by
c) x 2 ( x  2)  x  2
Solución:
Factores comunes: 2yx . Por tanto, 4x  6x y + 8x z = 2x (2x  3y + 4z)
2 3 2 2 2
a)
b) No hay ningún factor común en los cuatro sumandos, pero, sí los hay dos a dos: a (x  y) + 2b (x  y)
Como el paréntesis es común, resulta: (a + 2b) (x  y)
El factor (x  2) es común: (x  2) (x + 1).
2
c)
18 Factoriza el polinomio P(x) = 2x5  2x4  34x3  30x2, hallando sus raíces enteras.
Solución:
2
El polinomio tiene 2 y x como factores comunes, entonces:
P( x )  2x 2 ( x 3  x 2  17x  15).
Una de las raíces enteras es x = 0, y las otras posibles están entre:
x  1 x  3; x  5; x  15
;
Los valores numéricos del paréntesis, Q(x), para dichos valores son:
Q(1) = 1  1  17  15 = 32
Q(1) =  1  1 + 17  15 = 0
Q(3) = 27  9  51  15 =  48
Q(3) =  27  9 + 51  15 = 0
Q(5) = 125  25 - 85  15 = 0
Luego las tres raíces de Q(x) son:
x = 1, x = 3 y x = 5.
El polinomio se escribe como producto de factores de la forma:
P( x )  2x 2 ( x  1)( x  3)( x  5)
19 Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio P(x) = x4  2x3 + x2  2x es divisible por x  2, y
calcula con una división otro factor del polinomio.
Solución:
Calculamos el valor numérico para x = 2:

7. P(2)  24  2  23  22  2  2  16  16  4  4  0
Luego, el polinomio es divisible por x  2.
1 2 1 2 0
2 2 0 2 0
1 0 1 0 0
3
El cociente de la división es otro factor del polinomio: x + x.
20 Hallando sus raíces enteras, factoriza los polinomios
P ( x )  x 4  3 x 3  4 x 2 y Q( x )  x 4  3 x 2  2 x
y calcula un máximo común divisor y un mínimo común múltiplo de los mismos.
Solución:
3  9  16 4
P(x) tiene x2 como factor común: P ( x )  x 2 ( x 2  3 x  4) y las raíces del paréntesis son x  
2 1
Es decir, P( x )  x 2 ( x  4)( x  1).
Q(x) tiene x como factor común o x = 0 como raíz entera: Q(x) = x (x  3x  2)
3
Las otras raíces enteras de Q(x) están entre los números:  1,  2
Comprobamos que x = 1 y x = 2 lo son: Q(1) = 1 (1 + 3  2) = 0, Q(2) = 2 (8  6  2) = 0.
Dividimos el polinomio del paréntesis por (x + 1) y (x  2) por el método de Ruffini sucesivamente, y el cociente
resultante nos dará el tercer factor:
1 0 3 2
1 1 1 2
1 1 2 0
2 2 2
1 1 0
Entonces, el último cociente, (x + 1), es el tercer factor de x  3x  2.
3
Es decir, Q( x )  x( x  1) ( x  2).
2
Las reglas de la divisibilidad nos dan:
m.c.d.P( x ),Q( x )  x( x  4)( x  1), m.c.m.P( x ),Q( x )  x 2 ( x  4)( x  1)2 ( x  2).
21 Halla una raíz entera del polinomio P(x) = 2x2  x  6, y dividiendo por el método de Ruffini halla un segundo
factor del polinomio. Aplica lo anterior para factorizar el polinomio Q(x) = 6x  3x  18x.
3 2
Solución:
Las raíces enteras están entre:
x  1 x  2; x  3; x  6
;
Se comprueba que x = 2 es la raíz entera buscada: P(2) = 8  2  6 = 0.
El polinomio es divisible por: (x  2). El cociente de la división por x  2 será un nuevo factor de P(x).
2 1 6
2 4 6
2 3 0
El factor buscado, por lo tanto, es: 2x + 3.
El polinomio Q(x) tiene como factores comunes el número 3 y x:
Q( x )  3x(2x 2  x  6)
El paréntesis es el polinomio anterior, del que ya conocemos sus factores, luego:
Q( x )  3x( x  2)(2x  3)

8. 22 Saca factores comunes, y usa los productos notables para escribir las siguientes expresiones en forma de
productos y potencias:
a) 3 x 2 ( x  y )  y 2 (3 x  3y )
b) 4 x 6  9 x 2
Solución:
a) El paréntesis (x + y) y el número 3 son factores comunes:
3( x  y )  x 2  y 2 
( )
Obtenemos una diferencia de cuadrados, luego:
3(x + y)(x + y)(x - y)  3( x  y )2 ( x  y )
2
b) Ponemos x como factor común:
x 2 (4 x 4  9)
Buscamos una diferencia de cuadrados en el paréntesis:
x 2 (2x 2 )2  32   x 2  2x 2  3  2x 2  3 
 
23 Saca factores comunes en las siguientes expresiones:
a) a  bc  2b  ab(c  2)
b) a 2  b2  2a 3 b  2ab3
c) x 4  x 2  abx 2  ab
Solución:
a) Factor común: b a [bc + 2b + ab (c + 2)] = ab [c + 2 + a (c + 2)] = ab (c + 2) (a + 1)
b) No hay ningún factor común en los cuatro sumandos, pero, sí los hay dos a dos:
a2 b2
(1  2ab) + (1  2ab)
Como el paréntesis es común, resulta: (a + b ) (1  2ab)
2 2
2
c) Sacamos x en los dos primeros sumandos, y ab en los dos últimos:
x 2 ( x 2  1)  ab( x 2  1)  ( x 2  ab)( x 2  1)
24 Escribe las siguientes expresiones como productos notables:
a) x 6  12 x 3  36
1 4
b) x  8 x 2  64
4
c) x 6 y 4  x 4 y 6
Solución:
a) Buscamos el cuadrado de una suma:
( x 3 )2  2  6x 3  62  ( x 3  6)2
b) Ajustamos, ahora, el cuadrado de una diferencia:

9. 2 2
 x2  x2  x2 
   28  82    8
 2  2  2 
.
c) Se trata de una diferencia de potencias con exponentes pares:
( x 3 y 2 )2  ( x 2 y 3 )2  ( x 3 y 2  x 2 y 3 )( x 3 y 2  x 2 y 3 )
25 Utilizando los productos notables, factoriza los polinomios:
P ( x )  x 4  4 x 3  4 x 2 y Q( x )  x 5  16 x
y calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los mismos.
Solución:
2
El polinomio P(x) tiene x como factor común:
P( x )  x 2 ( x 2  4x  4).
Observamos en el paréntesis el desarrollo del cuadrado de una diferencia:
P( x )  x 2 ( x  2)2
Ponemos x como factor común en el segundo polinomio:
Q( x )  x( x 4  16).
Observamos en el paréntesis una diferencia de cuadrados:
Q( x )  x( x 2  4)( x 2  4)  x( x 2  4)( x  2)( x  2)
donde de nuevo hemos aplicado que la diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
Aplicamos a los polinomios las reglas de la divisibilidad, y obtenemos:
m.c.d.P( x ),Q( x )  x( x  2)  x 2  2x, m.c.m.P( x ),Q( x )  x 2 ( x  2)2 ( x  2)( x 2  4)
26 Hallando sus raíces enteras, factoriza los polinomios P(x) = x3  2x2 + 2x  4 y
3 2
Q(x) = x + 3x + 2x + 6, y calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los mismos.
Solución:
Las raíces enteras de P(x) están entre los números:  1,  2, 4
.
Comprobamos que solamente x = 2 lo es: P(2) = 8  8 + 4  4 = 0.
Dividimos por (x  2) para hallar el segundo factor:
1 2 2 4
2 2 0 4
1 0 2 0
Entonces, C(x) = x + 2 y P(x) = (x  2) (x + 2). El cociente no tiene raíces reales.
2 2
Las raíces enteras de Q(x) están entre los números:  1  2,  3,  6.
,
Comprobamos que x = 3 lo es: P(3) =  27 + 27  6 + 6 = 0.
Dividimos por (x + 3) para hallar un segundo factor:
1 3 2 6
3 3 0 6
1 0 2 0
2 2
Entonces, C(x) = x + 2 y Q(x) = (x + 3) (x + 2). El cociente no tiene raíces reales.
Aplicamos a los polinomios las reglas de la divisibilidad entre números, y obtenemos:
m.c.d P( x ),Q( x )  ( x 2  2), m.c.m P( x ),Q( x )  ( x  2)( x  3)( x 2  2)
27 Transforma la expresión algebraica x3  5x2  x + 5 en otra con x y 5 como factores comunes de parte de
sus términos. ¿Puede escribirse como producto de dos factores? ¿Y de tres?
Solución:

10. Sacamos x como factor común en los términos 1º y 3º, y (5) en los términos 2º y 4º:
x 3  5x 2  x  5  x( x 2  1)  5( x 2  1)
Como producto de dos factores:
x 3  5x 2  x  5  ( x  5)( x 2  1)
Poniendo el paréntesis como factor común.
Y de tres: (x 5) (x + 1) (x  1). Descomponiendo la diferencia de cuadrados en el producto de una suma por una
diferencia.
28 Saca factores comunes y usa los productos notables para escribir las siguientes expresiones en forma de
productos y potencias:
a) 4 x 2 y  12 xy  9y
b) 2 x 3 y 2  8 x 2 y  8 x
Solución:
2
a) Los tres sumandos tienen y como factor común: y (4x + 12x + 9)
Buscamos el cuadrado de un binomio en el paréntesis:
y (2x )2  2  3  2x  32   y (2x  3)2
 
.
b) Los factores comunes, ahora, son 2 y x: 2x (x y  4xy + 4)
2 2
El paréntesis es el cuadrado de una diferencia:
2x ( xy )2  2  2xy  22   2x( xy  2)2
 