1. UNIVERSIDAD: "FERMÍN TORO"
DECANATO DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA
ANALISIS NUMERICO
METODOS NUMERICOS Y ERROS
LUIS SERRANO
NOVIEMBRE DE 2012

2. MÉTODOS NUMÉRICOS
Análisis numérico.
Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores en los
cálculos; error aquí no quiere decir un disparate, equivocación u omisión, sino más bien una
discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que
se manejan los números o fórmulas.
Otra definición de análisis numérico podría ser el diseño, uso y análisis de
algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar
alguna cantidad o función.
Un especialista de análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de
buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del
estudio de los métodos es su variación.
El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan
cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las características especiales
y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las computadoras) que nos ayudan en
la ejecución de las instrucciones del algoritmo.
Si bien no nos interesa la construcción de tal dispositivo o la manera en que
funciona, si nos importarán los sistemas numéricos de máquinas en contraposición con
nuestro sistema de números reales, y los errores resultantes de cambiar de uno a otro
sistema.
Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra comprensión
de los conceptos de las matemáticas (puras) observando como algunos de ello deben
modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales.
Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la
solución de muchos problemas del mundo real.
Métodos numéricos.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común:
invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos.
Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de
problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías

3. complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software
disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos
programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay
muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo
bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software
costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que
son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.
Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las
matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto
aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.
Cifras significativas.
Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con
confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el
estudio de los métodos numéricos.
1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe
desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.
2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar
exactamente con un número finito de cifras.
Exactitud y Precisión.
La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor
verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o
calculado respecto a los otros.
La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión,
sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores.
Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que
cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.
Error.
En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el obtenido por
aproximación se define como:
Error = Valor real -valor estimado
En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o
deberemos estimar un error aproximado.
Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error
detectado, podemos normalizar su valor :
Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero
Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa
saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este.

4. Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el
número de cifras significativas que contiene el error como:
Si reemplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas en que
es confiable el valor aproximado obtenido.
Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras
significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de:
Es=(0.5x 102-2)%=0.5%
Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo
aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado en
Es
Definición de Métodos Numéricos.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de
tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas, Aunque hay muchos tipos de
métodos numéricos todos comparten una característica común, llevan cabo un buen número
de tediosos cálculos aritméticos.
• STEVEN C.CHAPRA, RAYMOND P. CANALE, Métodos Numéricos para
Ingenieros con Aplicaciones en Computadoras Personales, Edit. McGraw Hill,
México, S.A de C.V., 1987. PAG. 1
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de
resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir
esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar
correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra
habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la
comprensi6n de los principios científicos básicos.
• NAKAMURA, Schoichiro, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Edit.
Prentice Hall, México, 1992. PREFACIO..
Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de
ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas.
En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos
siguientes.
- Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el
problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y los resultados deseados.

5. - Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada también algoritmo,
de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el problema y que sean
susceptibles de ejecutarse en la computadora.
- Programación. Este paso consiste en traducir el método de análisis o algoritmo de
solución expresándole como una serie detallada de operaciones.
- Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que
tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba se comparan con
soluciones conocidas de problemas ya resueltos.
- Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que
cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa.
- Producción. Es la ultima etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del
programa obteniéndose las soluciones correspondientes.
De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del
problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el que es precisamente el
objeto de los métodos numéricos para computadora.
• LUTHE, Rodolfo y otros Métodos Numéricos, Edit. Limusa, México, 1980.
PROLOGO.
Para resolver el problema con una computadora significa mucho más que el trabajo que
ejecuta la maquina.
• Identificación y definición de objetos. Descripción matemática.
• Análisis Numérico.
• Programación de la computadora.
• Verificación del programa.
• Producción.
• Interpretación.
La maquina sigue una serie de pasos o también denominado método numérico la respuesta
final para el usuario debe interpretar los resultados para ver lo que significan en función de
las combinaciones del objetivo que el sistema propuesto debe satisfacer.
• Mc CRACKEN Daniel D. Métodos numéricos y programación fortran. Con
aplicaciones en ingeniería y ciencias. Pagina 14.
Si un problema de cálculo (científico) tiene una solución analítica que es :
• imposible (p. ej. despejar tan x = x + 2), o
• impracticable (p. ej. sistema lineal de orden 80),
Acudimos a un método numérico, que aporta :
• una solución numérica estimada, de cierta precisión limitada, que, por lo tanto,
lleva un error asociado, que es importante analizar.

6. Figura 1: Análisis Numérico
Si los métodos numéricos son los algoritmos (conjuntos detallados y secuenciados de
operaciones) que nos llevan hasta las soluciones estimadas de los problemas, el estudio de
éstos y del análisis de errores que pueden llevar asociados constituye el Análisis
Numérico.
De acuerdo con nuestros objetivos, nosotros nos concentraremos muy especialmente en los
métodos numéricos y rebajaremos el rigor del análisis de errores, propio de quien tiene por
centro el método numérico mismo y no tanto su aplicación inmediata, sin olvidarnos de él.
Es decir, seguiremos la línea de los textos de ``Métodos Numéricos" más que la de los
textos de ``Análisis Numérico".
MODELO PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS.
ENTRADA ALGORITMO SALIDA
Un ejemplo de algoritmos puede ser la multiplicación de 2 números enteros en donde
tenemos varias opciones de algoritmos para resolver el ejercicio.
Una puede ser como aprendimos en la primaria, otra con sumas repetidas, otra usando
calculadora, otra aplicando logaritmos, otra mas usar el :
ALGORITMO RUSO
28 28 28 13
x13 28 14 26
84 : 7 52
28 28 3 104
------ ----- 1 208
364 364 0 364
Los métodos numéricos surgen junto con las matemáticas desde épocas remotas aunque en
aquella época estos procedimientos fueron muy tardados en resolver problemas, los
elementos básicos consistían en operaciones aritméticas.

7. Con el surgimiento de las computadoras en los años cuarentas, donde las operaciones
fundamentales fueron las aritméticas se hizo una notable contribución a las ciencias ya que
los métodos numéricos y las computadoras embonaron y coincidieron para servirse una de
la otra.
En las Ciencias y la Ingeniería en la actualidad son indispensables los métodos numéricos
en la solución de problemas por lo tanto se justifica el aprendizaje de éstos métodos como
herramientas matemáticas.
TEORIA DE ERRORES.
Errores
Todos los resultados de la aplicación de métodos numéricos van acompañados de un error
que es conveniente estimar.
En muchas ocasiones esto no es posible hacerlo de un modo cuantitativo, en otras, en
cambio, pueden llevarse a cabo análisis de errores que pueden ser:
• a priori, cuando no se utilizan los resultados en el análisis, que puede llegar a ser
muy complejo (recordar, p. ej., las expresiones del error de una simple división
basadas en las del cálculo diferencial), y
• a posteriori, cuando se utilizan los propios resultados en el análisis de los errores.
Es conveniente tener presente en todo momento cuáles son las fuentes de los errores, lo que
puede ser una ayuda definitiva a la hora de resolver eventuales problemas prácticos, si bien
es cierto que éstas actúan siempre juntas, haciendo muy difícil el conocimiento detallado de
la contribución de cada una en cada caso.
Fuentes de error
Son tres, que dan lugar a una clasificación de los errores de acuerdo con ellas:
• Inherentes.
Asociado a la precisión de los datos de imputa. (P. Ej. El uso de en lugar de
1/3.) Su característica principal es que se propaga al output. Esta propagación puede
estudiarse mediante análisis de sensibilidad, que permiten detectar
hipersensibilidades de los resultados hacia variables específicas en rangos
particulares, de modo que puedan tomarse precauciones especiales en esos casos.
Cuando existe una magnificación inaceptable del error se dice que el problema está
mal condicionado. Los errores de input son causantes de imprecisión en los
resultados.
• Truncamiento.
Asociado a la substitución de procesos infinitos por procesos finitos, tales como el
truncamiento de series, el uso se sumas limitadas para el cálculo de integrales o el
uso de diferencias finitas para el cálculo de derivadas. Los errores de truncamiento
causan inexactitud de los resultados.

8. Cuando se comparan unos métodos numéricos con otros suelen estudiarse algunas
propiedades asociadas con los errores, en estos casos es al error de truncamiento al
que se refiere, , que se expresa en función de algún parámetro conveniente, h, que
tiende a 0 (o a ) cuando el error es nulo.
Es frecuente comparar:
convergencia:
cuando
Velocidad de convergencia:
comportamiento asintótico
cuando
Estimación real del error:
para todo
• Redondeo.
Asociado a la precisión limitada con la que se realizan las operaciones (cifras
significativas). Su mayor peligro radica en su tendencia a acumularse.
A modo de ejemplo, podemos calcular los errores inherentes, de truncamiento, de redondeo
y total resultantes de la evaluación de sí el input es 0.3333, se aproxima por una serie
de Taylor con cuatro términos.
y las operaciones se hacen con cuatro cifras:
CLASIFICACION DE LOS ERRORES
ERRORES INHERENTES.
Son aquellos errores cometidos por la persona al tomar los datos de lecturas de
instrumentos de medición, al pasar éstos datos a la computadora o bien por verdaderas
equivocaciones por el manejo de los datos.
ERRORES POR REDONDEO.

9. Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del punto
decimal se ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste en el último dígito
que se toma en cuenta.
ERRORES POR TRUNCAMIENTO.
Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los compiladores ejecutan
éstas funciones utilizando series infinitas de términos, pero es difícil llevar a cabo éstos
cálculos hasta el infinito, por lo tanto la serie tendrá que ser truncada.
__
X = X + Ex
donde
X = cantidad verdadera
__
X = cantidad aproximada
Ex = error absoluto
__
Ex = |X – X |
El error absoluto de una cantidad es igual al valor absoluto de la diferencia entre la
cantidad absoluta y su aproximación incluye sus unidades fisicas.
FORMA RELATIVA.
El error relativo de una cantidad cualquiera es igual al cociente de el error absoluto entre
la cantidad verdadera, generalmente expresado como porcentaje ya que no tiene unidades.
__
Erx = Ex / X ≅ Ex / X
EJEMPLO:
Dos cantidades al ser medidas nos dan los siguientes resultados:
error absoluto error relativo
A = ( 100 + 1 )m Ea = 1m Era = Ea = 1m = 0.01 = 1%
X 100m
B = ( 8 + 0.8 )ft Eb = 0.8ft Erb = Eb = 0.8ft = 0.1 = 10%
B 8ft
ANALISIS NUMERICO Y MANEJO DEL ERROR
El Calculo Numérico o Análisis Numérico consiste en procedimientos que resuelven
problemas y realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las
características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las
computadoras) que ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo.

10. El análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas
del mundo real.
El análisis numérico es el desarrollo y el estudio de procedimientos para resolver
problemas con ayuda de una computadora.
La ventaja fundamental del análisis numérico es que puede obtenerse una respuesta
numérica, aun cuando un problema no tenga solución analítica.
La solución obtenida con análisis numérico siempre es numérica.
Los resultados numéricos pueden trazarse en forma de grafica para mostrar el
comportamiento de la solución.
El resultado del análisis numérico es una aproximación, aunque los resultados pueden
hacerse tan exactos como se quiera. A fin de obtener la máxima exactitud es necesario
efectuar una cantidad enorme de operaciones por separado.
Algunas operaciones que puede realizar el análisis numérico:
- Resolución para las raíces de una ecuación no lineal.
- Resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales.
- Obtención de soluciones de un sistema de ecuaciones no lineales.
- Interpolación para encontrar valores intermedios en una tabla de datos.
- Encontrar aproximaciones eficientes y eficaces de funciones.
- Aproximación de derivadas de cualquier orden para funciones, incluso cuando la
función se conoce solo como una tabla de valores.
- Integración de cualquier función, aun cuando solo se conozca como una tabla de
valores. También es posible obtener integrales múltiples.
- Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias cuando se proporcionan valores
iniciales de las variables. Estas pueden ser de cualquier orden y complejidad.
- Resolución de problemas con valor en la frontera y determinación de valores
característicos y vectores característicos.
- Obtención de soluciones numéricas para todos los tipos de ecuaciones diferenciales
parciales.
- Ajuste de curvas a datos mediante la aplicación de varios métodos.
Los métodos numéricos requieren operaciones aritméticas tan tediosas y repetitivas que
solo cuando se cuenta con una computadora que realice tantas operaciones por separado es
practico resolver problemas de esta forma.
Para que una computadora pueda realizar el análisis numérico debe escribirse un programa.
La iteración es un procedimiento que consiste en elaborar una sucesión de operaciones,
cada una de las cuales aplica los resultados de la operación precedente. Muchos
procedimientos de análisis numérico son iterativos.
Para resolver un problema científico o de ingeniería hay que seguir cuatro pasos generales:
1. Plantear claramente el problema.
2. Obtener un planteamiento matemático del problema.
3. Resolver la ecuación o ecuaciones que resulten del paso 2.

11. 4. Interpretar el resultado numérico para llegar a una decisión. Es la parte mas difícil
en la resolución de problemas.
Métodos numéricos.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay
muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común:
invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos.
Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas.
Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geometrías complicadas,
comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible
comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas
depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos
problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los
métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso.
Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son
inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.
Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas,
porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su
capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.
Definiciones:
Algoritmo es un procedimiento sistemático para la resolución de problemas.
Ecuación: Es una proposición abierta que involucra una relación de equivalencia y que no
se cumple para cualquier valor de la variable o variables.
x2 – 5x + 6 es una expresión algebraica o polinomio
x2 – 5x + 6 > 0 es una inecuación
f(x) = x2 – 5x + 6 es una función
x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3) es una identidad
x2 – 5x + 6 = 0 es una ecuación
Raíces o soluciones de una ecuación, es el conjunto de todos los valores que verifiquen la
ecuación.
x2 – 5x + 6 = 0 es una ecuación cuyas raíces son (2 , 3)
x2 – 5x + 6 es un polinomio cuyos ceros son (2 , 3)

12. f(x) = x2 – 5x + 6 es una función cuyos ceros son (2 , 3)
ERRORES
Error es la discrepancia que existe entre la magnitud “verdadera” y la magnitud obtenida.
El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es
fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado
de aproximación de la solución que se obtiene.
Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores:
• Aquellos que son inherentes a la formulación del problema.
• Los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del
problema.
Dentro del grupo de los primeros, se incluyen aquellos en los que la definición matemática
del problema es sólo una aproximación a la situación física real. Estos errores son
normalmente despreciables; por ejemplo, el que se comete al obviar los efectos relativistas
en la solución de un problema de mecánica clásica. En aquellos casos en que estos errores
no son realmente despreciables, nuestra solución será poco precisa independientemente de
la precisión empleada para encontrar las soluciones numéricas.
Otra fuente de este tipo de errores tiene su origen en la imprecisión de los datos físicos:
constantes físicas y datos empíricos. En el caso de errores en la medida de los datos
empíricos y teniendo en cuenta su carácter generalmente aleatorio, su tratamiento analítico
es especialmente complejo pero imprescindible para contrastar el resultado obtenido
computacional-mente.
En lo que se refiere al segundo tipo de error (error computacional), tres son sus fuentes
principales:
1.
Equivocaciones en la realización de las operaciones (errores de bulto). Esta fuente
de error es bien conocida por cualquiera que haya realizado cálculos manualmente o
empleando una calculadora. El empleo de computadores ha reducido enormemente
la probabilidad de que este tipo de errores se produzcan. Sin embargo, no es
despreciable la probabilidad de que el programador cometa uno de estos errores
(calculando correctamente el resultado erróneo). Más aún, la presencia de bugs no
detectados en el compilador o en el software del sistema no es inusual. Cuando no
resulta posible verificar que la solución calculada es razonablemente correcta, la
probabilidad de que se haya cometido un error de bulto no puede ser ignorada. Sin
embargo, no es esta la fuente de error que más nos va a preocupar.

13. 2.
El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino mediante
algún tipo de aproximación. Generalmente está causado por la sustitución de un
infinito (sumatoria o integración) o un infinitesimal (diferenciación) por una
aproximación finita. Algunos ejemplos son:
• El cálculo de una función elemental (por ejemplo, Seno x) empleando sólo n
términos de los infinitos que constituyen la expansión en serie de Taylor.
• Aproximación de la integral de una función por una suma finita de los
valores de la función, como la empleada en la regla del trapezoide.
• Resolución de una ecuación diferencial reemplazando las derivadas por una
aproximación (diferencias finitas).
• Solución de la ecuación f(x) = 0 por el método de Newton-Raphson: proceso
iterativo que, en general, converge sólo cuando el número de iteraciones
tiende a infinito.
Denominaremos a este error, en todas sus formas, como error por truncamiento, ya
que resulta de truncar un proceso infinito para obtener un proceso finito.
Obviamente, estamos interesados en estimar, o al menos acotar, este error en
cualquier procedimiento numérico.
3.
Por último, la otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su origen en
el hecho de que los cálculos aritméticos no pueden realizarse con precisión
ilimitada. Muchos números requieren infinitos decimales para ser representados
correctamente, sin embargo, para operar con ellos es necesario redondearlos.
Incluso en el caso en que un número pueda representarse exactamente, algunas
operaciones aritméticas pueden dar lugar a la aparición de errores (las divisiones
pueden producir números que deben ser redondeados y las multiplicaciones dar
lugar a más dígitos de los que se pueden almacenar). El error que se introduce al
redondear un número se denomina error de redondeo.
Cifras significativas: conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor
de una magnitud independiente de las unidades de medidas utilizadas. El total de cifras
significativas es independiente de la posición del punto decimal.
Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas, mientras que
los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán cifras significativas.
Ejemplos:
1- Longitud = 26 mm = 0,026 m = 0,000026 km (dos cifras significativas)
2- Estatura = 1,72 m = 17,2 dec. = 172 cm (tres cifras significativas)
3- 40072 ( cinco cifras significativas)
4- 3.001 ( cuatro cifras significativas)

14. 5- 0,000203 ( tres cifras significativas)
Medición del error:
La exactitud de cualquier calculo es importante para todo calculo. Hay dos formas comunes
para expresar el tamaño del error en un resultado calculado. El error absoluto y el error
relativo.
Error absoluto = | valor verdadero – valor aproximado |
Valor verdadero = valor aproximado + error
Error absoluto de x: ea ( x) = x − x (x ≠ 0)
error..absoluto
Error relativo =
valor ..verdadero
ea ( x ) ea ( x)
Error relativo de x : er ( x ) = , en la practica: er ( x) =
x x
x representa el valor verdadero
x representa el valor aproximado
ea representa el error absoluto
er representa el error relativo
Un tamaño de error dado suele ser mas grave cuando la magnitud del valor verdadero es
pequeña.
Magnitud es el resultado de una medición.
Confiabilidad: porque dependen del instrumento de medición utilizado.
Necesarias: porque depende de leyes, reglamentos, normas o costumbres.
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar
cantidades y/o operaciones. Esto da lugar a dos tipos de errores: errores de truncamiento y
errores de redondeo
Los errores de truncamiento, resultan de representar aproximadamente un procedimiento
matemático exacto.

15. Esto genera errores de truncamiento durante el procedimiento.
Los errores de redondeo resultan de representar aproximadamente números que son
exactos.
Esto genera errores de redondeo durante los cálculos.