SISTEMAS DE CONTROL I: CII UN III TEOREMAS DE VALOR INICIAL Y FINAL PARA ESTUDIO DE ESTABILIDAD

1. Universidad de Falcón.
INGENIERIA ELECTRONICA.
Catedra: SISTEMAS DE CONTROL I
Profesor Avinadad Méndez
Unidad III.- Respuesta transitoria de un sistema de control. (Respuesta en el
Tiempo)
Teoremas de Valor Final y del Valor Inicial.
Teorema del Valor final: Es un concepto fundamental en la teoría de control, que se
utiliza para determinar el comportamiento de un sistema cuando se encuentra en un
estado estable. Este teorema establece que el valor final de la respuesta de un sistema a
una entrada, cuando el tiempo tiende a infinito, depende solamente de los polos del
sistema y no de la entrada en sí misma. También desarrollado de forma matemática:
Si recordamos que la Transformada de la derivada con respecto al Tiempo de una
función:
𝑇. 𝐿
( )
= 𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑓(0) , donde 𝒇(𝟎) es la función cuando el tiempo tiende
a cero, es decir la condicional inicial. Pero por definición
𝑇. 𝐿
( )
= ∫ 𝑓 (𝑡) 𝑒 𝑑𝑡 = 𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑓(0) , Y tomando el limite cuando s 
0 a ambos lados.
lim
→
( ∫ 𝑓 (𝑡) 𝑒 𝑑𝑡 )= lim
→
(𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑓(0))
Del lado de la integral, esta es contra la variable t, la única variable s está en la
exponencial, y del lado derecho sustituyendo s por 0.
∫ 𝑓 (𝑡) lim
→
(𝑒 ) 𝑑𝑡 = lim
→
[𝑠 𝐹(𝑠)] − 𝑓(0) , donde 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
(𝒆 𝒔 𝒕
) → 𝟏
∫ 𝑓 (𝑡) . 1 . 𝑑𝑡 = = lim
→
[𝑠 𝐹(𝑠)] − 𝑓(0) ,
Con lo que la integral queda actuando sobre la 𝒇 (𝒕), en otras palabras la integral
en tiempo de la derivada con respecto al tiempo. Por lo que nos da la f(t) evaluada
en los límites.
𝑓 (𝑡) ] = lim
→
[𝑠 𝐹(𝑠)] − 𝑓(0)  lim
→
𝑓 (𝑡) ] = = lim
→
[𝑠 𝐹(𝑠)] − 𝑓(0)
lim
→
𝑓 (𝑡) − 𝑓(0) = lim
→
[𝑠 𝐹(𝑠)] − f(0) ,
Lo que nos indica que el valor de la función f(t) cuando t tiende a infinito es igual al valor
de la expresión 𝑠 𝐹(𝑠) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜.

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𝐥𝐢𝐦
𝒕→
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
[𝒔 𝑭(𝒔)] , el llamado teorema del Valor Final.
Teorema del Valor Inicial, de manera similar, este establece que el valor de la
respuesta de un sistema en el tiempo t=0 depende solamente de los polos del sistema y
de la entrada inicial. En otras palabras, el valor inicial de la respuesta no depende de
cómo se llegó a ese estado inicial, sino de las características inherentes del sistema. De
similar manera al teorema anterior, desarrollando de forma matemática:
Si recordamos que la Transformada de la derivada con respecto al Tiempo de una
función:
𝑇. 𝐿
( )
= 𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑓(0) , donde 𝒇(𝟎) es la función cuando el tiempo tiende
a cero, es decir la condicional inicial. Pero por definición
𝑇. 𝐿
( )
= ∫ 𝑓 (𝑡) 𝑒 𝑑𝑡 = 𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑓(0) , Y tomando el limite cuando s ∞
a ambos lados.
lim
→
( ∫ 𝑓 (𝑡) 𝑒 𝑑𝑡 )= lim
→
(𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑓(0))
Del lado de la integral, esta es contra la variable t, la única variable s está en la
exponencial, buscando el límite cuando s tiende a infinito. .
∫ 𝑓 (𝑡) lim
→
(𝑒 ) 𝑑𝑡 = lim
→
[𝑠 𝐹(𝑠)] − 𝑓(0) , donde 𝐥𝐢𝐦
𝒔→
(𝒆 𝒔 𝒕
) → 𝟎
∫ 𝑓 (𝑡) . 0 . 𝑑𝑡 = = lim
→
[𝑠 𝐹(𝑠)] − 𝑓(0)   0 = lim
→
[𝑠 𝐹(𝑠)] − 𝑓(0)
Con lo que nos queda la ecuación.
0 = lim
→
[𝑠 𝐹(𝑠)] − 𝑓(0)  𝑓(0)= lim
→
[𝑠 𝐹(𝑠)]
Lo que nos indica que el valor de la función f (t) cuando t tiende a cero, en el valor inicial,
es igual al valor de la expresión 𝑠 𝐹(𝑠) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜.
𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→
[𝒔 𝑭(𝒔)] , el llamado teorema del Valor Inicial.

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El teorema del valor Final e Inicial se utiliza comúnmente en el diseño y análisis de
sistemas de control, ya que permite simplificar los cálculos necesarios para predecir el
comportamiento del sistema. Además, el teorema también puede ser utilizado para
determinar la estabilidad de un sistema de control.
Es importante tener en cuenta que estos teoremas son aplicables solamente a sistemas
lineales e invariantes en el tiempo. Si el sistema no cumple con estas condiciones, los
teoremas pueden no ser aplicables o pueden requerir consideraciones adicionales
En la solución de Sistemas de Control, a veces no nos interesa averiguar toda la función
del tiempo f(t) a partir de la Transformada Inversa de Laplace L-1 (F(s) ), sino más bien,
Es muy interesante encontrar que podemos encontrar el primer y/o el último valor de f(t)
sin tener que averiguar toda la función f(t).

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1.- Ejercicio.
Dada la siguiente función de Transferencia, H(s) definida por:
𝐻(𝑠) =
 Como sería la función en el tiempo, a donde tiende la salida cuando el tiempo tiende
a infinito, y cuál sería el valor inicial ? . Si el sistema es alimentado por una entrada
tipo escalón unitario.
Primero recordemos sacar la Transformada de Laplace del Escalón unitario u(t),
𝐿{𝑢(𝑡)} = 𝑈(𝑠) =  𝑈(𝑠) =
La salida S(s) = FT . Entrada(s)
𝑆(𝑠) = → 𝑆(𝑠) = [ ]
Para obtener la
salida en tiempo, osea la s(t) habría que obtener la Transformada inversa de la
expresión.
a) Pero se nos pide, a donde tiende la salida cuando el tiempo tiende a infinito.
Con lo que aplicando el Teorema del valor final.
𝐥𝐢𝐦
𝒕→
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
[𝒔 𝑭(𝒔)] →
𝐥𝐢𝐦
𝒕→
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
[𝒔 𝑺(𝒔)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
𝑠 . [ ]
por lo que la función en t
que tiende a infinito
𝐥𝐢𝐦
𝒕→
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→ [ ]
, Que para conseguir el límite sustituimos s
por 0
𝐥𝐢𝐦
𝒕→
𝒇 (𝒕) =
.
[ ]
Por lo que 𝐥𝐢𝐦
𝒕→
𝒇(𝒕) =
𝟗
𝟔
puesto que los demás
términos van a cero.
También podemos que la función de salida en tiempo tiende a un valor constante,
puede hablarse de que se estabiliza en +9/6.

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b) Y si vemos cuanto es la función de salida en t igual 0, debemos usar el teorema
del Valor Inicial.
𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→
[𝒔 𝑭(𝒔)] →
𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→
[𝒔 𝑭(𝒔)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→
[𝒔 . 𝑺(𝒔)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→
𝑠 . [ ]
→
𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→ [ ]
,
Limite que se resuelve dividiendo arriba y abajo por s4 cuyo resultado tiende a 0 , o
también el orden del denominador es mayor al orden del polinomio numerador.
𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
𝒇 (𝒕) = 𝟎 , ósea que el valor inicial f(0) es cero.
 Como sería la función en el tiempo, a donde tiende la salida cuando el tiempo tiende
a infinito, y cuál sería el valor inicial ? . Si el sistema es alimentado por una entrada
tipo delta de Dirac unitario.
Primero recordemos sacar la Transformada de Laplace de la función Delta unitario
𝛿(t),
𝐿{𝛿(𝑡)} = 𝜹(𝑠) = 1  𝜹(𝑠) = 1
La salida S(s) = FT . Entrada(s)
𝑆(𝑠) = [1] → 𝑆(𝑠) = [ ]
Para obtener la
salida en tiempo, ósea la s(t) habría que obtener la Transformada inversa de la
expresión.
c) Pero se nos pide, a donde tiende la salida cuando el tiempo tiende a infinito.
Con lo que aplicando el Teorema del valor final.

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𝐥𝐢𝐦
𝒕→
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
[𝒔 𝑭(𝒔)] →
𝐥𝐢𝐦
𝒕→
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
[𝒔 𝑺(𝒔)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
𝑠 . [ ]
Por lo que la función en t
que tiende a infinito
𝐥𝐢𝐦
𝒕→
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎 [ ]
, Que para conseguir el límite del lado
derecho, sustituimos s por 0
𝐥𝐢𝐦
𝒕→
𝒇 (𝒕) =
. .
[ ]
Por lo que 𝐥𝐢𝐦
𝒕→
𝒇(𝒕) = 𝟎
También podemos que la función de salida en tiempo tiende a un valor constante,
puede hablarse de que se estabiliza en 0
d) Y si vemos cuanto es la función de salida en t igual 0, debemos usar el teorema
del Valor Inicial.
𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→
[𝒔 𝑭(𝒔)] →
𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→
[𝒔 𝑭(𝒔)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→
[𝒔 . 𝑺(𝒔)] = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→
𝑠 . [ ]
→
𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
𝒇 (𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→
.
[ ]
Limite que se resuelve dividiendo arriba y abajo por s4 , luego todos los valores
excepto el primer término arriba que será -2 , y el primer término abajo que será 3 ,
los demás términos tienden a cero con s tendiendo a infinito. Y el límite de la expresión
tiende a -2/3.
𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
𝒇 (𝒕) = −𝟐/𝟑 , ósea que la función f(t) en t=0 arranca en -2/3.
Y como hemos podido obtener los valores de inicio o arranque y los valores
finales o cuando t tiende a infinito de la función Salida s(t) , sin haber sacado la
Transformada inversa y sin haber tenido que obtener la función del tiempo.

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De forma similar obtendríamos el valor inicial y el valor final si ahora la entrada
fuese una función rampa unitaria, la cual se define r(t) = t , y cuya transformada
de Laplace es R(s) = , o incluso cualquier otra función de entrada en tiempo
cuya transformada podamos conocer.