Diskusi PPT Sistem Pakar Sesi Ke-4 Simple Naïve Bayesian Classifier .pdf
PUSAT DAN JARI-JARI
1. 2. 5.
Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.
Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran
( ݔെ ܽ )ଶ ( ݕെ ܾ)ଶ ൌ ݎଶ
Bentuk Umum
ݔଶ ݕଶ ݔܣ ݕܤ ܥൌ 0
dibagi (െ2)
Pusat
(ܽ, ܾ)
Jari-jari
ݎ
Pusat
ଵ
ଵ
ቀെ ଶ ,ܣെ ଶ ܤቁ
Jumlah kuadrat pusat
dikurangi ܥ
Jari-jari
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ݎൌ ටቀെ ଶ ܣቁ ቀെ ଶ ܤቁ െ ܥ
2. Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran
PGS Lingkaran
di titik (ݔଵ , ݕଵ ) pada lingkaran
PGS Lingkaran
dengan gradien ݉
faktor.
Pangkat dua menjadi perkalian dua faktor
penjumlahan.
Pangkat satu menjadi setengah penjumlahan
Ingat pola persamaan garis lurus ࢟ ൌ ࢞ ࢉ
Lalu perhatikan gambar berikut!
ௗ௧
ݔଶ
ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ
ݔଵ ݔ
( ݔെ ܽ)ଶ
ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ
(ݔଵ െ ܽ)( ݔെ ܽ)
ݔ
ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ
ௗ௧
ௗ௧
ଵ
(ݔ
ଶ ଵ
)ݔ
Karena ada dua PGS Lingkaran bergradien ,
,
maka PGS tersebut adalah ࢟ ൌ ࢞ േ ࢉ
dimana ࢉ ൌ ࢘ඥ
PGS lingkaran di titik (ݔଵ , ݕଵ )
pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari ݎ
ݔଵ ݔ ݕଵ ݕൌ ݎଶ
PGS lingkaran di titik (ݔଵ , ݕଵ )
pada lingkaran pusat di (0, 0) dan jari-jari ݎ
(ݔଵ െ ܽ)( ݔെ ܽ) (ݕଵ െ ܾ)( ݕെ ܾ) ൌ ݎଶ
PGS lingkaran di titik (ݔଵ , ݕଵ )
pada lingkaran dengan bentuk umum
ݔଶ ݕଶ ݔܣ ݕܤ ܥൌ 0
PGS dengan gradien ݉
dari lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari ݎ
ݕൌ ݉ ݔേ 1√ݎ ݉ଶ
PGS dengan gradien ݉
dari lingkaran pusat (ܽ, ܾ) dan jari-jari ݎ
( ݕെ ܾ) ൌ ݉( ݔെ ܽ) േ 1√ݎ ݉ଶ
ݔଵ ݔ ݕଵ ݕ ଶ (ݔଵ )ݔ ଶ (ݕଵ )ݕ ܥൌ 0
Catatan Tambahan:
Ingat juga tentang konsep jarak titik (ݔଵ , ݕଵ ) ke garis ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ൌ 0:
ܽݔଵ ܾݕଵ ܿ
݀ൌฬ
ฬ
√ܽଶ ܾ ଶ
TRIK SUPERKILAT:
PGS lingkaran pusat (ݔଵ , ݕଵ ) jari-jari ݎyang sejajar dengan garis ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ൌ 0:
ܽ ݔ ܾ ݕൌ ܽݔଵ ܾݕଵ േ ݎඥܽଶ ܾ ଶ
PGS lingkaran pusat (ݔଵ , ݕଵ ) jari-jari ݎyang tegak lurus dengan garis ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ൌ 0:
ܾ ݔെ ܽ ݕൌ ܾݔଵ െ ܽݕଵ േ ܽ√ݎଶ ܾ ଶ
3. PGS Lingkaran
di titik (ݔଵ , ݕଵ ) yang berada di luar lingkaran
(ܽ, ܾ)
(0, 0)
(ݔଵ , ݕଵ )
Titik Singgung (ܽ, ܾ)
Diperoleh PGS Persamaan Lingkaran (dalam variabel ܽ, ܾ).
Substitusi titik (ݔଵ , ݕଵ ) ke PGS, lalu substitusi PGS ke persamaan lingkaran
Diperoleh dua titik Singgung (ܽଵ , ܾଵ ) dan (ܽଶ , ܾଶ )
Substitusikan ke PGS di langkah kedua
Selesai
TRIK SUPERKILAT:
Cari gradien PGS tersebut menggunakan rumus PGS dengan gradien tertentu.
PGS akan diperoleh dengan mensubstitusi titik di luar lingkaran tersebut dan nilai gradien.
Selesai.
4. Soal:
Contoh Soal:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, 5) yang menyinggung lingkaran ݔଶ ݕଶ ൌ 10!
Penyelesaian:
PGS menyinggung titik tertentu di lingkaran. Misal titik
singgung tersebut (ࢇ, ࢈). Artinya titik (ܽ, ܾ)tersebut berada
.
baik di PGS maupun lingkaran.
(ܽ, ܾ)
(0, 0)
(5, 5)
Sehingga, diperoleh PGS lingkaran dan persamaan lingkaran dalam variabel ࢇ dan ࢈.
Perhatikan bahwa (ܽ, ܾ) berada di lingkaran, maka:
PGS lingkaran di titik (ܽ, ܾ) adalah ࢇ࢞ ࢈࢟ ൌ
Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan melewati titik (ܽ, ܾ) adalah ࢇ ࢈ ൌ
Karena PGS melewati (5, 5) maka bila kita substitusikan (, ) ke PGS akan diperoleh:
ܽ ݔ ܾ ݕൌ 10 ֞ 5ܽ 5ܾ ൌ 10
֞ ܾܽ ൌ2
֞
࢈ൌ2െܽ
Dari persamaan lingkaran ܽଶ ܾ ଶ ൌ 10 dan ܾ ൌ 2 െ ܽ, substitusikan ࢈ ൌ െ ࢇ ke persamaan lingkaran
diperoleh:
ܽଶ (2 െ ܽ)ଶ ൌ 10
֞ ܽଶ (4 െ 4ܽ ܽଶ ) ൌ 10
֞
2ܽଶ െ 4ܽ 4 ൌ 10
ଶ
֞ 2ܽ െ 4ܽ 4 െ 10 ൌ 0
֞
2ܽଶ െ 4ܽ െ 6 ൌ 0
֞
ܽଶ െ 2ܽ െ 3 ൌ 0
(ܽ 1)(ܽ െ 3) ൌ 0
֞
֞
ܽ ൌ െ1 atau ܽ ൌ 3
Dari ܽ ൌ െ1 atau ܽ ൌ 3 akan diperoleh nilai ܾ, yaitu:
ܽ ൌ െ1 ֞ ܾ ൌ 2 െ ܽ ൌ 2 1 ൌ 3
ܽ ൌ 3 ֞ ܾ ൌ 2 െ ܽ ൌ 2 െ 3 ൌ െ1
Jadi dua titik singgung tersebut adalah (െ, ) dan (, െ).
.
Sehingga PGS lingkaran pada titik (െ, ) dan (, െ) adalah:
െ ݔ 3 ݕൌ 10 dan 3 ݔെ ݕൌ 10.
TRIK SUPERKILAT:
Lingkaran ݔଶ ݕଶ ൌ 10 adalah lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari ݎൌ √10.
Cari nilai gradien PGS tersebut dengan mensubstitusikan titik (5, 5) dan jari-jari √10 ke dalam rumus:
֜
ݕൌ ݉ ݔേ ݎඥ1 ݉ଶ
5 ൌ ݉(5) േ √10ඥ1 ݉ଶ
֞
5 െ 5݉ ൌ േ√10ඥ1 ݉ଶ (kuadratkan kedua ruas)
֞ 25 െ 50݉ 25݉ଶ ൌ 10 10݉ଶ
֞ 15݉ଶ െ 50݉ 15 ൌ 0
֞ 3݉ଶ െ 10݉ 3 ൌ 0
֞ (3݉ െ 1)(݉ െ 3) ൌ 0
1
݉ ൌ atau ݉ ൌ 3
3
ଵ
Jadi, persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien ݉ ൌ
ଷ
ݕെ ݕଵ ൌ ݉( ݔെ ݔଵ )
1
ݕെ 5 ൌ ( ݔെ 5)
3
െ ݔ 3࢟ ൌ 10
Persamaan garis singgung melalui (5 ,5) dan gradien ݉ ൌ 3
ݕെ ݕଵ ൌ ݉( ݔെ ݔଵ )
ݕെ 5 ൌ 3( ݔെ 5)
࢞ െ ࢟ ൌ 10
5. Tipe Soal Sering Muncul pada Bab Lingkaran:
jariMenentukan pusat dan jari-jari lingkaran
Perhatikan pola persamaan lingkaran yang ada pada soal!
Contoh:
1.
Diberikan persamaan lingkaran ݔଶ ݕଶ ൌ 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran adalah ….
Penyelesaian:
( ݔെ 0)ଶ ( ݕെ 0)ଶ ൌ 25
ݎଶ ൌ 25 ֜ ݎൌ 5
Pusat di (0, 0) dan jari-jari 5.
2.
Diberikan persamaan lingkaran ( ݔെ 3)ଶ ( ݕെ 4)ଶ ൌ 25, maka pusat dan jari-jari lingkaran
adalah ….
Penyelesaian:
( ݔെ 3)ଶ ( ݕ 4)ଶ ൌ 25
ݎଶ ൌ 25 ֜ ݎൌ 5
Pusat di (3, -4) dan jari-jari 5.
3.
Diberikan persamaan lingkaran ݔଶ ݕଶ െ 2 ݔ 4 ݔെ 20 ൌ 0, maka pusat dan jari-jari lingkaran
adalah ….
Penyelesaian:
ݔଶ ݕଶ െ 2 ݔ 4 ݔെ 20 ൌ 0
1
െ2
dibagi (-2)
Maka pusat (1, െ2), dan jari-jari adalah ݎൌ ඥ(1)ଶ (െ2)ଶ െ (െ20)
6. Menentukan persamaan lingkaran
Seringkali tidak diketahui jari-jari lingkaran.
Misal diketahui pusat lingkaran (ܽ, ܾ) dan lingkaran menyinggung sumbu X, maka ݎൌ |ܾ|.
Misal diketahui pusat lingkaran (ܽ, ܾ) dan lingkaran menyinggung sumbu Y, maka ݎൌ |ܽ|.
Seringkali juga jari-jari diperoleh dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis. Bila diketahui
pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke
garis singgung.
Contoh:
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (5, െ1) dan jari-jari 3 adalah ….
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran dengan pusat (ܽ, ܾ) dengan jari-jari :ݎ
( ݔെ ܽ)ଶ ( ݕെ ܾ)ଶ ൌ ݎଶ
( ݔെ 5)ଶ ( ݕ 1)ଶ ൌ 9
atau diubah ke bentuk umum persamaan lingkaran:
( ݔെ 5)ଶ ( ݕ 1)ଶ ൌ 9 ֜ ݔଶ െ 10 ݔ 25 ݕଶ 2 ݕ 1 െ 9 ൌ 0
֞ ݔଶ ݕଶ െ 10 ݔ 2 ݕ 17 ൌ 0
2. Persamaan lingkaran dengan pusat di (3, 2) yang menyinggung sumbu X adalah ….
Penyelesaian:
( ݔെ 3)ଶ ( ݕെ 2)ଶ ൌ 2ଶ
֜ ݔଶ ݕଶ െ 6 ݔെ 4 ݕ 9 ൌ 0
3. Persamaan lingkaran dengan pusat di (െ1, 2) yang menyinggung sumbu Y adalah ….
Penyelesaian:
( ݔ 1)ଶ ( ݕെ 2)ଶ ൌ (െ1)ଶ
֜ ݔଶ ݕଶ 2 ݔെ 4 ݕ 4 ൌ 0
4. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3 ݔെ 4 ݕെ 2 ൌ 0 adalah ….
Penyelesaian:
Pusat (ݔଵ , ݕଵ ) ൌ (1, 4)
Garis 3 ݔെ 4 ݕെ 2 ൌ 0, dengan ܽ ൌ 3, ܾ ൌ െ4, dan ܿ ൌ െ2.
Persamaan lingkaran dengan pusat (ݔଵ , ݕଵ ) menyinggung garis ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ൌ 0 adalah:
( ݔെ ܽ)ଶ ( ݕെ ܾ)ଶ ൌ ቂ
௫భ ା௬భ ା ଶ
√మ ା మ
ቃ
3(1) െ 4(4) െ 2
( ݔെ 1) ( ݕെ 4) ൌ ቈ
֜
√3ଶ 4ଶ
֞ ݔଶ െ 2 ݔ 1 ݕଶ െ 8 ݕ 16 ൌ 9
֞
ݔଶ ݕଶ െ 2 ݔെ 8 ݕ 8 ൌ 0
ଶ
ଶ
ଶ
7. lingkaran
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di lingkaran.
Ingat konsep PGS dapat dilihat dari bentuk persamaan lingkarannya.
Pangkat dua diubah menjadi perkalian dua faktor.
Pangkat satu, diubah menjadi setengah penjumlahan.
Contoh:
1.
Persamaan garis singgung lingkaran ݔଶ ݕଶ ൌ 25 di titik (4, െ3) adalah ….
Penyelesaian:
ݔଵ ൌ 4 dan ݕଵ ൌ െ3
Ingat, ganti ݔଶ menjadi ݔଵ ,ݔdan ݔmenjadi ቀ
ݔଶ ݕଶ ൌ 25
֜ ݔଵ ݔ ݕଵ ݕൌ 25
௫భ ା௫
ଶ
ቁ.
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
4 ݔെ 3 ݕൌ 25
2.
Persamaan garis singgung lingkaran ( ݔെ 1)ଶ ( ݕെ 4)ଶ ൌ 25 di titik (െ2, 0) adalah ….
Penyelesaian:
ݔଵ ൌ െ2 dan ݕଵ ൌ 0
Ingat, ganti ݔଶ menjadi ݔଵ ,ݔdan ݔmenjadi ቀ
( ݕെ 4)ଶ ൌ 25
( ݔെ 1)ଶ
֜ (ݔଵ െ 1)( ݔെ 1) (ݕଵ െ 4)( ݕെ 4) ൌ 25
௫భ ା௫
ଶ
ቁ.
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
(െ2 െ 1)( ݔെ 1) (0 െ 4)( ݕെ 4) ൌ 25
(െ3)( ݔെ 1) (െ4)( ݕെ 4) ൌ 25
֜
֞
െ3 ݔെ 4 ݕെ 6 ൌ 0
3.
Persamaan garis singgung lingkaran ݔଶ ݕଶ െ 6 ݔ 4 ݕെ 12 ൌ 0 di titik (7, 1) adalah ….
Penyelesaian:
ݔଵ ൌ 7 dan ݕଵ ൌ 1
Ingat, ganti ݔଶ menjadi ݔଵ ,ݔdan ݔmenjadi ቀ
ݔଶ ݕଶ െ 6
௫భ ା௫
ଶ
ቁ.
ݔ
4
ݕ
െ 12 ൌ 0
ݔଵ ݔଶ
ݕଵ ݕ
֜ ݔଵ ݔ ݕଵ ݕെ 6 ൬
൰ 4൬
൰ െ 12 ൌ 0
2
2
Sehingga persamaan garis singgungnya adalah:
7 ݔ ݕെ 3(7 )ݔ 2(1 )ݕെ 12 ൌ 0
֜
4 ݔ 3 ݕെ 31 ൌ 0
8. lingkaran
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang terletak di luar lingkaran.
1.
Persamaan garis singgung lingkaran ݔଶ ݕଶ ൌ 9 di titik (1, 3) adalah ….
Penyelesaian:
TRIK SUPERKILAT:
Lingkaran pusat (0, 0) dan jari-jari ݎൌ 3.
Cek apakah titik (1, 3) berada di dalam atau di luar lingkaran (?).
ݔଶ ݕଶ ൌ 9 ֜ (1)ଶ (3)ଶ ൌ 10 9 (maka titik berada di luar lingkaran)
Gunakan rumus berikut:
֜
ݕൌ ݉ ݔേ ݎඥ1 ݉ଶ
3 ൌ ݉(1) േ 3ඥ1 ݉ଶ
֞
3 െ ݉ ൌ േ3ඥ1 ݉ଶ (kuadratkan kedua ruas)
֞ 9 െ 6݉ ݉ଶ ൌ 9 9݉ଶ
֞
8݉ଶ 6݉ ൌ 0
֞ 2݉(4݉ 3) ൌ 0
3
݉ ൌ 0 atau ݉ ൌ െ
4
Melalui (1 ,3) dan gradien ݉ ൌ 0
ݕെ ݕଵ ൌ ݉( ݔെ ݔଵ )
ݕെ 3 ൌ 0( ݔെ 1)
ݕൌ3
Melalui (1 ,3) dan gradien ݉ ൌ െ
ݕെ ݕଵ ൌ ݉( ݔെ ݔଵ )
3
ݕെ 3 ൌ െ ( ݔെ 1)
4
4 ݕെ 12 ൌ െ3 ݔ 3
3 ݔ 4 ݕൌ 15
ଷ
ସ
9. lingkaran
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus terhadap sebuah garis.
1. Persamaan garis singgung lingkaran ( ݔെ 3)ଶ ( ݕ 5)ଶ ൌ 80 yang sejajar dengan garis
ݕെ 2 ݔ 5 ൌ 0 adalah ….
Penyelesaian:
Superkilat:
Trik Superkilat:
Sesuaikan sejajar apa nggak?
Masukkan substitusikan pusat
PGS lingkaran pusat (ݔଵ , ݕଵ ) jari-jari ݎyang
sejajar dengan garis ܽ ݔ ܾ ݕ ܿ ൌ 0:
ܽ ݔ ܾ ݕൌ ܽݔଵ ܾݕଵ േ ݎඥܽଶ ܾ ଶ
േ Rumus substitusikan jari-jari dan koefisien
Lingkaran pusat (3, െ5) dan jari-jari ݎൌ √80
PGS yang sejajar ݕെ 2 ݔ 5 ൌ 0 adalah ݕെ 2 ݔjuga!!!
ݕെ 2 ݔൌ (െ5) െ 2(3) േ √80 ඥ1ଶ (െ2)ଶ
֜ ݕെ 2 ݔൌ െ11 േ 20
֞
ݕൌ 2 ݔെ 11 േ 20
2. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ݔଶ ݕଶ െ 4 ݔെ 8 ݕ 15 ൌ 0 yang tegak lurus
garis ݔ 2 ݕൌ 6 adalah ….
Penyelesaian:
Trik Superkilat:
Lingkaran pusat (2, 4) jari-jari ݎൌ √5
PGS yang sejajar ݔ 2 ݕൌ 6 adalah ݔ 2 ݕharus diubah menjadi 2 ݔെ !!! ݕ
2 ݔെ ݕൌ 2(2) െ (4) േ √5 ඥ(2)ଶ (1)ଶ
֜ 2 ݔെ ݕൌ 0 േ 5
֞ 2 ݔെ ݕൌ 5 dan 2 ݔെ ݕൌ െ5
10. Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + ( y − 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik
potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....
PGS lingkaran
A. x = 2 dan x = −4 Memotong garis ݕൌ 3
ଶ
ଶ
(ݔଵ ܽ)( ݔ ܽ) (ݕଵ ܾ)( ݕ ܾ) ൌ ݎଶ
B. x = 2 dan x = −2 ݕൌ 3 ֜ ( ݔ 1) (3 െ 3) ൌ 9
( ݔ 1)ଶ ൌ 9
֞
C. x = −2 dan x = 4
֞
ݔ 1 ൌ േ3 (െ4, 3) ֜ (െ4 1)( ݔ 1) 0 ൌ 9
D. x = −2 dan x = −4
֞
െ3 ݔെ 3 ൌ 9
֞ ݔ 1 ൌ െ3 atau ݔ 1 ൌ 3
E. x = 8 dan x = −10
֞
ݔൌ െ4
֞
ݔଵ ൌ െ4
ԝ ݔଶ ൌ 2
TRIK SUPERKILAT:
Gunakan sketsa lingkaran
Jadi titik potongnya di
(െ4, 3) dan (2, 3)
(2, 3) ֜ (2 1)( ݔ 1) 0 ൌ 9
֞
3 ݔ 3 ൌ 9
֞
ݔൌ2
ݕൌ3
ݔൌ െ4
2.
ݔൌ2
Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + ( y − 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik
potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....
A. x = 2 dan x = −4
Memotong garis ݕൌ 3
PGS lingkaran
B. x = 2 dan x = −2
(ݔଵ ܽ)( ݔ ܽ) (ݕଵ ܾ)( ݕ ܾ) ൌ ݎଶ
( ݔ 1)ଶ (3 െ 3)ଶ ൌ 9
ݕൌ3֜
C. x = −2 dan x = 4
( ݔ 1)ଶ ൌ 9
֞
D. x = −2 dan x = −4
֞
ݔ 1 ൌ േ3 (െ4, 3) ֜ (െ4 1)( ݔ 1) 0 ൌ 9
֞
െ3 ݔെ 3 ൌ 9
֞ ݔ 1 ൌ െ3 atau ݔ 1 ൌ 3
E. x = 8 dan x = −10
TRIK SUPERKILAT:
Gunakan sketsa lingkaran
ݕൌ3
ݔൌ െ4
ݔൌ2
֞
ݔଵ ൌ െ4
Jadi titik potongnya di
(െ4, 3) dan (2, 3)
ԝ ݔଶ ൌ 2
֞
ݔൌ െ4
(2, 3) ֜ (2 1)( ݔ 1) 0 ൌ 9
֞
3 ݔ 3 ൌ 9
֞
ݔൌ2