1. Dalil Stewart
Dalil ini adalah salah satu teori yang sangat berguna dalam bidang
matematika
CD adalah garis sembarang yang membagi AB menjadi AD dan BD.
Panjang CD dapat dicari dengan menggunakan rumus Stewart. yaitu
(CD2)(AB) = (BC2)(AD) + (AC2)(BD) – (AD)(BD)(AB)
Bukti untuk rumus atau dalil stewart :
Kita tambahkan garis tinggi CE untuk segitiga ACB.
Perhatikan segitiga BDC. Menurut dalil proyeksi pada segitiga tumpul.
Berlaku :
BC2 = CD2 + BD2 + (2)(BD)(DE)
Perhatikan segitiga ADC. Menurut dalil proyeksi pada segitiga lancip.
Berlaku :
AC2 = CD2 + AD2 – (2)(AD)(DE)
Dari persamaan segitiga BDC kita kalikan dengan AD.
Dari persamaan segitiga ADC kita kalikan dengan BD
(AD)(BC2) = (AD)(CD2) + (AD)(BD2) + (2)(AD)(BD)(DE)
(BD)(AC2) = (BD)(CD2) + (BD)(AD2) – (2)(AD)(BD)(DE)
Kita lakukan penjumlahan pada kedua bentuk di atas. Diperoleh
(AD)(BC2) + (BD)(AC2) = (AD)(CD2) + (BD)(CD2) + (BD)(AD2) +
(AD)(BD2)
Kemudian disederhanakan:

2. (AD)(BC2) + (BD)(AC2)= (AD + BD)(CD2) + (AD + BD)(AD)(BD)
(AD)(BC2) + (BD)(AC2) = (AB)(CD2) + (AB)(AD)(BD)
(CD2)(AB) = (AD)(BC2)+ (BD)(AC2) – (AB)(AD)(BD)
Rumus Pembuktian sama dengan rumus awal. Maka Dalil Stewart
terbukti benar.
Dalil stewart ini akan mudah dihafal jika kita memperhatikan
segitiganya. Perhatikan bahwa kuadrat dari sisi yang dicari dikalikan sisi
yang menjadi alas segitiga sama dengan kuadrat dari sisi miring kanan
dikalikan dengan bagian alas di depan sisi miring tersebut kemudian
ditambah kuadrat dari sisi miring kiri dikalikan bagian alas di depan sisi
miring tersebut kemudian dikurangi dengan perkalian dari bagian alas
pertama, bagian alas kedua, dan penjumlahannya (bagian alas utuh).

3. CD adalah garis sebarang yang membagi AB menjadi AD dan BD. Panjang
CD dapat dicari dengan menggunakan rumus Stewart. yaitu
Rumus stewart ini penting untuk dihafal. Karena akan sangat memudahkan
kita untuk mencari panjang garis yang membagi di dalam sebuah segitiga.
Untuk mencari garis tinggi, garis bagi maupun garis berat, bisa
menggunakan rumus stewart tersebut.
Bukti untuk rumus atau dalil stewart :
Proyeksi CD pada AB adalah DE.
Perhatikan segitiga BDC. Menurut dalil proyeksi pada segitiga tumpul.
Berlaku :
…1)
Perhatika segitiga ADC. Menurut dalil proyeksi pada segitiga lancip. Berlaku :
…2)
Dari persamaan 1)
dan 2)
kita peroleh
…1)
…2)
Persamaan 1)
kita kalikan AD. Dan persamaan 2)
kita kalikan BD

4. Kita lakukan penjumlahan pada kedua bentuk di atas. Diperoleh
Lakukan penyederhanaan. Dan diperoleh bentuk
Terbukti.
Dalil stewart ini akan mudah dihafal jika kita memperhatikan segitiganya.
Perhatikan bahwa sisi yang dicari kuadrat dikalikan sisi yang sebagai alas
sama dengan sisi miring kanan kuadrat dikalikan alas di depannya kemudian
ditambah sisi miring kiri kuadrat dikalikan alas di depannya kemudian
dikurangi dengan perkalian panjang-panjang bagian pada alas.
Dalil steward ini akan sangat berguna. Jadi, disarankan untuk dihafal.
Teorema Stewart menyatakan hubungan antara panjang sisi-sisi segitiga dengan
panjang ruas garis yang menghubungkan titik sudut dengan sisi di hadapannya (atau
disebutcevian). Misalkan a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi segitiga serta d adalah
panjang cevian yang memotong sisi a. Apabila cevian tersebut membagi a menjadi
dua ruas garis yang panjangnya m dan n, maka teorema Stewart menyatakan bahwa:
b2n + c2m = a(d2 + mn)
Pembuktian teorema ini dapat dijelaskan dengan menggunakan dua jalan, yang
pertama menggunakan aturan cosinus dan yang kedua menggunakan teorema
Pythagoras. Pada pembahasan ini hanya akan dibuktikan dengan menggunakan
aturan cosinus.
Pembuktian dengan Menggunakan Aturan Cosinus

5. Teorema Stewart dapat dibuktikan dengan menggunakan aturan cosinus. Misalkan β
adalah sudut antara d dan n. Sedangkan α merupakan pelurus dari β, sehingga cos α
= cos (180 – β) = –cos β.
Sesuai dengan aturan cosinus pada sudut α dan β, didapatkan:
c2 = d2 + n2 – 2dn ∙ cos β
b2 = d2 + m2 – 2dm ∙ cos α = d2 + m2 + 2dm ∙ cos β
Kalikan persamaan pertama dengan m, dan persamaan kedua dengan n, kemudian
jumlahkan kedua persamaan tersebut untuk mengeliminasi cos β, diperoleh
persamaan berikut:
c2m + b2n = d2m + d2n + mn2 +m2n = mn2 + m2n + (m + n)d2,
Dengan menggunakan teknik penyederhanaan aljabar, diperoleh:
mn2 + m2n + (m + n)d2 = mn(n + m) + (m + n)d2 = (m + n)(mn + d2)
Karena m + n = a, maka
(m + n)(mn + d2) = a(mn + d2)
Jadi, c2m + b2n = a(mn + d2) atau b2n + c2m = a(d2 + mn). Terbukti. Semoga
bermanfaat, yos3prens.