BAB III
Klasifikasi Persamaan Diferensial
Orde-Pertama
Oleh:
Siska Oktarina (10130306) absen 3 lbr 1
Marfiana Nursanti (10130183) absen 37 lbr 2

BENTUK STANDAR DAN BENTUK DIFERENSIAL
Bentuk Standar dari persamaan diferensial orde-
pertama dalam fungsi y(x) yang dicari adalah
(3.1)
di mana turunan muncul hanya di sisi kiri dari (3.1).
Banyak, walaupun tidak semua, persamaan
diferensial orde-pertama dapat dituliskan dalam
bentuk standar melalui penyelesaian secara aljabar
dan menetapkan sama dengan sisi kanan
dari persamaan yang dihasilkan.
)
,
( y
x
f
y
y
y
)
,
( y
x
f

Sisi kanan dari (3.1) dapat selalu dituliskan sebagai
pembagian dua fungsi lainnya .
Dengan demikian (3.1) menjadi
,
yang ekuivalen dengan bentuk diferensial
(3.2)
)
,
(
)
,
( y
x
N
dan
y
x
M
)
,
(
/
)
,
(
/ y
x
N
y
x
M
dx
dy
0
)
,
(
)
,
( dy
y
x
N
dx
y
x
M

PERSAMAAN-PERSAMAAN LINEAR
Perhatikan sebuah persamaan diferensial dalam
bentuk standar (3.1). Jika dapat dituliskan
sebagai (yang
artinya, sebagai fungsi dari x dikalikan y, ditambah
satu lagi fungsi dari x), persamaan diferensial tersebut
adalah linear. Persamaan diferensial orde-pertama
dapat selalu dituliskan sebagai
(3.3)
persamaan-persamaan linear dikerjakan dalam Bab 6.
)
,
( y
x
f
)
(
)
(
)
,
( x
q
y
x
p
y
x
f
)
(
)
(
' x
q
y
x
p
y

PERSAMAAN-PERSAMAAN BERNOULLI
Suatu persamaan diferensial Bernoulli adalah
persamaan dalam bentuk
(3.4)
di mana n melambangkan suatu bilangan real.
Ketika n = 1 atau n = 0, persamaan Bernoulli akan
tereduksi menjadi persamaan linear. Persamaan-
persamaan Bernoulli dikerjakan dalam Bab 6.
n
y
x
q
y
x
p
y )
(
)
(
'

PERSAMAAN-PERSAMAAN HOMOGEN
Suatu persamaan diferensial dalam bentuk standar (3.1) adalah
homogen jika
(3.5)
Untuk setiap bilangan real t. Persamaan-persamaan homogen
dikerjakan dalam Bab 4.
Catatan: Dalam kerangka umum persamaan diferensial, istilah
“homogen” memiliki arti yang sama sekali berbeda (lihat Bab
8). Arti yang dimaksudkan di atas hanya berlaku dalam
konteks persamaan diferensial orde-pertama.
)
,
(
)
,
( y
x
f
ty
tx
f

PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DAPAT
DIPISAHKAN
Perhatikan suatu persamaan diferensial dalam bentuk
diferensial (3.2). Jika (fungsi dari
x saja) dan (fungsi dari y
saja), persamaan diferensial tersebut dapat
dipisahkan, atau memiliki variabel-variabel yang
dapat dipisahkan. Persamaan-persamaan yang dapat
dipisahkan, dikerjakan dalam Bab 4.
)
(
)
,
( x
A
y
x
M
)
(
)
,
( y
B
y
x
M

PERSAMAAN-PERSAMAAN EKSAK
Suatu persamaan diferensial dalam bentuk
diferensial (3.2) adalah eksak jika
Persamaan-persamaan eksak dikerjakan dalam
Bab 5 (di mana akan diberikan definisi yang
lebih tepat terhadap pengertian “eksak”).
x
y
x
N
y
y
x
M )
,
(
)
,
(

Soal-soal dengan Penyelesaian
3.1. Tuliskan persamaan diferensial
dalam bentuk standar.
Dengan menyelesaikan , kita memperoleh
yang memiliki bentuk (3.1) dengan
3.2. Tuliskan persamaan diferensial
dalam bentuk standar.
Dengan menyelesaikan , kita memperoleh
Atau yang memiliki bentuk (3.1) dengan
0
2
y
y
x
y x
y
y /
2
x
y
y
x
f /
)
,
( 2
x
y
e
y
e x
x
sin
2
y
x
e
y
e
y
x
y
e
y
e
x
x
x
x
sin
sin
2
x
e
y
e
y
x
f x
x
sin
)
,
(

3.3 Tuliskan persamaan diferensial
dalam bentuk standar.
Persamaan ini tidak dapat dipecahkan secara aljabar untuk
, dan tidak dapat dituliskan dalam bentuk standar.
3.4 Tuliskan persamaan diferensial
dalam bentuk diferensial.
Dengan menyelesaikan , kita memperoleh
(1)
)
/
sin(
)
( 5
x
y
y
y
y
x
y
y
y )
1
(
y
2
2
y
y
x
y
y
x
y
y
x
y
y
y
2

atau
yang merupakan bentuk standar dengan
Persamaan-persamaan diferensial yang dapat diasosiasikan
dengan (1) memiliki jumlah yang tak terhingga. Empat
diantaranya adalah :
a) Ambillah . Maka
dan (1) ekuivalen dengan bentuk diferensial
2
/
)
(
)
,
( y
y
x
y
x
f
2
)
,
(
,
)
,
( y
y
x
N
y
x
y
x
M
2
2
)
(
)
,
(
)
,
(
y
y
x
y
y
x
y
x
N
y
x
M
0
)
(
)
( 2
dy
y
dx
y
x

b) Ambillah . Maka
dan (1) ekuivalen dengan bentuk diferensial
c) Ambillah . Maka
y
x
y
y
x
N
y
x
M
2
)
,
(
,
1
)
,
(
2
2
)
/(
1
)
,
(
)
,
(
y
y
x
y
x
y
y
x
N
y
x
M
0
)
1
(
2
dy
y
x
y
dx
2
)
,
(
,
2
)
,
(
2
y
y
x
N
y
x
y
x
M
2
2
)
2
/
(
2
/
)
(
)
,
(
)
,
(
y
y
x
y
y
x
y
x
N
y
x
M

dan (1) ekuivalen dengan bentuk diferensial
d) Ambillah
. Maka
dan (1) ekuivalen dengan bentuk diferensial
0
2
2
2
dy
y
dx
y
x
2
2
2
)
,
(
,
)
,
(
x
y
y
x
N
x
y
x
y
x
M
2
2
2
2
/
/
)
(
)
,
(
)
,
(
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
N
y
x
M
0
2
2
2
dy
x
y
dx
x
y
x

3.5 Tuliskan persamaan diferensial dalam
bentuk diferensial .
Persamaan ini memiliki bentuk diferensial dalam jumlah
yang tidak terbatas. Salah satunya adalah
yang dapat dituliskan dalam bentuk (3.2) sebagai
(1)
x
y
dx
dy /
/
dx
x
y
dy
0
)
1
( dy
dx
x
y

Dengan mengalikan (1) dengan x, kita memperoleh
(2)
sebagai bentuk diferensial kedua. Dengan mengalikan (1)
dengan , kita memperoleh
(3)
sebagai bentuk diferensial ketiga. Masih banyak lagi bentuk
diferensial yang bisa diturunkan dari (1) dengan mengalikan
persamaan tersebut dengan berbagai fungsi x dan y lainnya.
0
)
( dy
x
dx
y
y
/
1
0
1
1
dy
y
dx
x

3.6 Tuliskan persamaan diferensial
dalam bentuk standar.
Persamaan ini dalam bentuk diferensial. Kita menulisnya
ulang sebagai
yang memiliki bentuk standar
atau
0
1
2
3 2
dy
y
x
dx
xy
dx
xy
dy
y
x 3
1
2 2
1
2
3
2
y
x
xy
dx
dy
1
2
3
' 2
x
y
xy
y

3.7 Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial
berikut berbentuk linear:
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
x
e
y
x
y sin
'
x
e
y
x
y sin
'
5
'
y
x
y
y 2
'
0
' 5
xy
y
y
y
xy'
y
e
xy
y x
'
0
'
y
x
y

(a) Persamaan ini linear; disini dan
(b) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku sin y.
(c) Persamaan ini linear; disini dan .
(d) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku .
(e) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku .
(f) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku .
(g) Persamaan ini linear. Persamaan ini dapat ditulis ulang
sebagai dengan dan
.
(h) Persamaan ini tidak linear karena adanya suku .
x
x
p sin
)
(
x
e
x
q )
(
0
)
(x
p 5
)
(x
q
2
y
5
y
2
1
y
0
)
(
' y
e
x
y x x
e
x
x
p )
(
0
)
(x
q
y
/
1

3.8 Tentukan apakah ada diantara persamaan-persamaan
diferensial dalam soal 3.7 yang merupakan persamaan
Bernoulli.
Semua persamaan yang linear adalah persamaan Bernoulli
dengan . Selain itu, tiga diantara persamaan yang
tidak linear, (e), (f), dan (h), juga demikian. Tuliskan
ulang sebagai ; ini memiliki bentuk (3.4)
dengan , , dan . Tuliskan ulang
(f) sebagai
Ini memiliki bentuk (3.4) dengan dan
. . Tuliskan ulang (h) sebagai dengan
0
n
)
(e 5
' xy
y
0
)
(x
p x
x
q )
( 5
n
2
/
1
1
1
' y
x
y
x
y
x
x
q
x
p /
1
)
(
)
(
2
/
1
n 1
' xy
y
1
dan
)
(
,
0
)
( n
x
x
q
x
p

3.9 Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial
berikut ini homogen:
a)
b)
c)
d)
x
x
y
y'
x
y
y
2
'
y
x
y
x
xye
y
y
x
sin
2
'
2
2
3
2
'
x
y
x
y

a) Persamaan ini homogen, karena
b) Persamaan ini tidak homogen, karena
)
,
(
, y
x
f
x
x
y
tx
x
y
t
tx
tx
ty
ty
tx
f
y
x
f
x
y
t
tx
y
t
tx
ty
ty
tx
f ,
,
2
2
2
2

c) Persamaan ini homogen, karena
d) Persamaan ini tidak homogen, karena
)
,
(
sin
2
sin
2
sin
2
,
2
2
/
2
2
2
2
2
2
2
/
y
x
f
y
x
y
x
xye
y
x
y
t
x
t
xye
t
ty
tx
ty
tx
e
ty
tx
ty
tx
f
y
x
y
x
ty
tx
)
,
(
, 3
2
2
3
3
2
2
3
2
y
x
f
x
t
y
tx
x
t
ty
x
t
tx
ty
tx
ty
tx
f

3.10Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial
berikut dapat dipisahkan:
a)
b)
c)
a) Persamaan diferensial ni dapat dipisahkan; disini
0
sin 2
dy
y
xdx
0
2
2
2
dy
y
x
dx
xy
0
1 ydy
dx
xy
2
)
(
)
,
(
dan
sin
)
(
)
,
( y
y
B
y
x
N
x
x
A
y
x
M

b) Persamaan ini tidak dapat dipisahkan dalam bentuk yang
diberikan, karena bukan fungsi dari x
saja. Tapi jika kita membagi kedua sisi dari persamaan ini
dengan , kita memperoleh persamaan
, yang dapat dipisahkan. Di sini,
(c) Persamaan ini tidak dapat dipisahkan , karena
, yang bukan merupakan fungsi dari x
saja.
2
)
,
( xy
y
x
M
2
2
y
x
0
)
1
(
)
/
1
( dy
dx
x
1
)
(
dan
/
1
)
( y
B
x
x
A
xy
y
x
M 1
)
,
(

3.11 Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial
berikut adalah eksak:
a)
b)
a) Persamaan ini adalah eksak; disini
, dan .
b) Persamaan ini tidak eksak. Disini
; sehingga dan
0
3 3
2
dy
x
y
ydx
x
0
2
dy
y
xydx
3
2
)
,
(
,
3
)
,
( x
y
y
x
N
y
x
y
x
M 2
3
/
/ x
x
N
y
M
0
/
,
/ x
N
x
y
M
x
N
y
M /
/
2
)
,
(
dan
)
,
( y
y
x
N
xy
y
x
M

3.12Tentukan apakah persamaan diferensial adalah
eksak.
Istilah “eksak” hanya memiliki definisi untuk persamaan-
persamaan dalam bentuk diferensial, bukan bentuk
standar . Persamaan diferensial yang diberikan memiliki
banyak bentuk diferensial. Salah satu bentuk tersebut
diberikan dalam Soal 3.5, Pers. (I), sebagai
Di sini,
x
y
y /
'
0
1 dy
dx
x
y
1
)
,
(
,
/
)
,
( y
x
N
x
y
y
x
M
x
N
x
y
M
0
1

dan persamaan ini tidak eksak. Bentuk diferensial kedua untuk
persamaan diferensial yang sama diberikan dalam Pers. (3) dari Soal
3.5 sebagai
Di sini
dan persamaan ini eksak. Jadi, suatu persamaan diferensial tertentu
memiliki banyak bentuk diferensial, beberapa diantaranya mungkin
eksak.
0
1
1
dy
y
dx
x
y
y
x
N
x
y
x
M /
1
)
,
(
,
/
1
)
,
(
x
N
y
M
0

3.13 Buktikan bahwa suatu persamaan yang dapat dipisahkan
selalu eksak.
Untuk suatu persamaan diferensial yang dapat dipisahkan,
Jadi,
Karena , persamaan diferensial ini eksak.
).
(
)
,
(
dan
)
(
)
,
( y
B
y
x
N
x
A
y
x
M
0
)
(
)
,
(
dan
0
,
x
y
B
x
y
x
N
y
x
A
y
y
x
M
x
N
y
M /
/

3.14Suatu teorema persamaan diferensial orde-pertama
menyatakan bahwa jika
kontinu dalam sebuah segiempat
,maka terdapat suatu interval disekitar dimana soal
nilai-awal memiliki solusi
unik.
Soal nilai-awal memiliki dua solusi
dan .
Apakah hasil ini melanggar teorema tersebut?
Tidak, disini, dan dengan demikian,
tidak eksis di titik 0.
y
y
x
f
y
x
f /
,
dan
)
,
(
b
y
y
a
x
x 0
0 ,
:
0
x
0
0
;
,
' y
x
y
y
x
f
y
0
)
0
(
;
2
' y
y
y
0
y
dan
x
x
y
y
y
x
f 2
)
,
( y
f /

Soal-soal Tambahan
Dalam Soal 3.15 hingga 3.25. tuliskan persamaan – persamaan
diferensial yang diberikan dalam bentuk standar.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
0
' 2
y
xy
'
' y
x
y
ex
x
y
y
y sin
' 2
3
1
'
cos
' y
y
xy

3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
x
e y
y'
2
'
6
'
5
'
2
y
y
x
y
y
0
2
dy
y
dx
y
x
0
dy
dx
y
x
y
x
0
dy
y
x
y
x
dx
0
2
dy
e
dx
y
e x
x
0
dx
dy

Dalam Soal 3.26 hingga 3.35, persamaan-persamaan
diferensial diberikan dalam bentuk standar dan diferensial.
Tentukan apakah persamaan-parsamaan dalam bentuk standar
bersifat homogen dan/atau linear, dan, jika tidak linear, apakah
merupakan persamaan Bernoulli; tentukan apakah persamaa-
persamaan dalam bentuk diferensial, diberikan sebagaimana
tertulis dalam soal, bersifat tidak dapat dipisahkan dan/atau
eksak.
3.26.
3.27.
3.28.
0
;
' dy
xydx
xy
y
0
1
;
' dy
y
xdx
xy
y
0
1
;
1
' dy
dx
xy
xy
y

3.29.
3.30.
3.31.
3.32.
3.33.
3.34.
3.35.
0
;
' 2
2
2
2
dy
dx
y
x
y
x
y
0
;
' 2
2
2
2
dy
y
dx
x
y
x
y
0
2
;
2
' 2
dy
x
xydx
x
y
y
0
;
' 3
2
2
3
2
2
dy
y
y
x
dx
xy
y
y
x
xy
y
0
)
(
;
' 2
2
2
2
2
2
dy
y
y
x
dx
xy
y
y
x
xy
y
0
1
;
' 2
2
3
3
dy
xy
dx
y
x
xy
y
x
y
0
2
;
2
'
2
2
2
dy
e
dx
xe
xye
x
xy
y x
x
x