El documento presenta los conceptos fundamentales del plano cartesiano y curvas como circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Explica que el plano cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes x e y que se cortan en el origen. Luego define las circunferencias como el lugar geométrico de puntos equidistantes de un centro, deduciendo su ecuación. Finalmente, introduce parábolas, elipses e hipérbolas a través de sus definiciones geométricas y
4. ¿Qué es y cómo funciona el plano cartesiano?
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⦿ El plano cartesiano está formado por dos rectas
numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical
que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada
eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las
ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan
recibe el nombre de origen.
5. El punto medio, es el punto que
se encuentra a la misma
distancia de otros dos puntos
cualquiera o extremos de un
segmento. Si es un segmento, el
punto medio es el que lo divide
en dos partes iguales.
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punto medio en el plano cartesiano
6. Distancia entre dos puntos
⦿ Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre
el eje x o en una recta paralela a este eje, la
distancia entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus abscisas.
⦿ Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0)
es 4 + 5 = 9 unidades.
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8. Circunferencia
Todos conocen las circunferencias, saben que pueden trazarse con un compás.
Les resultará natural la siguiente definición:
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo llamado centro.
Centro: C(α,β)
C={P(x,y)|d(P,C)=r;r>0}
Ahora vamos a deducir partiendo de esta definición, cuál es la expresión de una
circunferencia.
Consideremos el siguiente esquema:
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9. Por teorema de Pitágoras sabemos
que los puntos P(x,y) deben
cumplir esta ecuación:
(x–α)2+(y–β)2=r2
Que se llama ecuación ordinaria de
la circunferencia con
centro C(α,β) y radio r.
Si r=0, ¿qué objeto geométrico
representa la ecuación?
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10. Ecuación canónica de la circunferencia
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Hay un caso particular de circunferencia, que tiene su centro en el
origen. La ecuación que la define se llama ecuación canónica de
la circunferencia:
x2+y2=r2
Si la circunferencia no está centrada en el (0,0),es posible armar
un nuevo sistema de modo tal que el centro de la circunferencia
coincida con el nuevo origen de coordenadas. Por ejemplo
consideremos:
(x–α)2+(y–β)2=r2
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Si hacemos un cambio de variables:
{x′=x–α
{y′=y–β
En las nuevas variables la ecuación queda
expresada en forma canónica:
x′2+y′2=r2
Para obtener la ecuación canónica,
hicimos una traslación de ejes, de modo
que el centro del nuevo sistema
coincidiera con el centro de la
circunferencia:
12. ⦿ Ejemplo
Encuentre la ecuación de una
circunferencia si los extremos
de uno de sus diámetros son:
P(4,–3)y Q(–2,7)
Conociendo los extremos de
un diámetro, ¿cómo
obtendrían el centro? ¿Y el
radio?
⦿ Resolución
Como el segmento PQ es
un diámetro, el centro es
el punto medio de este
segmento. Y el radio es la
mitad de la distancia
entre PyQ
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Entonces ya tenemos las
coordenadas del centro, y tenemos
el radio. Basta con reemplazar en la
ecuación ordinaria para obtener la
ecuación de esta circunferencia:
(x–1)2+(y–2)2=34
La gráfica es:
16. Definición de parábola
Dados un punto F (foco) y una recta r (directriz), se
denomina parábola al conjunto de puntos del
plano que equidistan del foco y de la directriz.
Simbólicamente:
P={P(x,y)|d(P,r)=d(P,F)}
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17. El eje focal es el eje
perpendicular a la directriz
que pasa por el foco. Es el
eje de simetría de la
parábola.
El punto de la parábola que
pertenece al eje focal se
llama vértice.
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18. Para el esquema que realizamos, las coordenadas del vértice son V(0,0), las del
foco F(c,0) y la recta directriz está dada por r:x=–c. Las coordenadas de un punto
genérico Q que pertenece a la directriz son (–c,y).
Ahora con estos datos vamos a deducir la ecuación. Por definición:
Distancia entre un punto P y la directriz:
Distancia entre un punto P y el foco:
Las igualamos según lo establece la definición:
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19. Donde los vectores y sus módulos son:
Ahora sustituyendo y operando llegamos a:
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20. Que es la ecuación canónica de la parábola con V(0,0) y eje focal y=0 (eje x).
Donde si,
c>0⇒Las ramas de la parábola apuntan hacia la derecha
c<0⇒Las ramas de la parábola apuntan hacia la izquierda
Análogamente a lo desarrollado para una parábola con eje focal horizontal, se puede hacer la deducción para las parábolas
con eje focal vertical. Si permutamos variables sobre la expresión canónica tenemos la expresión canónica de la parábola
vertical:
x2=4cy
Ecuación canónica de la parábola con V(0,0) y eje focal x=0 (eje y).
Donde si,
c>0⇒Las ramas de la parábola apuntan hacia la arriba
c<0⇒Las ramas de la parábola apuntan hacia la abajo
Coordenadas del foco: F(0,c)
Ecuación de la directriz d: y=–c
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21. Definición de la elipse
Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos, se
denomina elipse al conjunto de puntos del plano
tales que la suma de sus distancias a ambos focos
es constante:
E={P(x,y)|d(P,F1)+d(P,F2)=cte}
A esa constante la llamamos 2ª.
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22. Consideremos que los focos son los puntos de
coordenadas F1(–c,0) y F2(c,0) con c>0, y el punto
medio entre los focos, se denomina centro C(0,0).
En el siguiente esquema se pueden visualizar estos
elementos:
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23. Si la distancia entre los focos es d(F1,F2)=2c, la condición para que
sea una elipse es:
a>c>0
Si elevamos al cuadrado:
a2>c2
A la diferencia se la llama b2:
a2–c2=b2
⇒a2=b2+c2
Haciendo una deducción se llega a:
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24. Es la ecuación canónica de la elipse con centro (0,0) y eje
focal y=0(eje x).
Busquemos las intersecciones con los ejes:
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25. Estos cuatro puntos se
denominan vértices de la elipse.
A se denomina semieje mayor
B es el semieje menor
c es la semidistancia focal: (distancia
del centro a un foco)
2c es la distancia entre los focos
Eje focal: es la recta que pasa por los
focos, en este caso el eje x
La gráfica representando todos estos
elementos es la siguiente:
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26. Observen que el centro es centro de simetría de la elipse.
Si en la ecuación canónica anterior permutamos x por y ( x↔y) queda:
Es la ecuación canónica de la elipse con centro(0,0) y eje focal x=0 (eje y).
En este caso las coordenadas de los vértices y focos son:
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28. Definición de hipérbola
Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de
puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los
focos es constante.
H={P(x,y)||d(P;F1)–d(P;F2)|=2a=cte}
Si la distancia entre los focos es d(F1,F2)=2c, la condición para que sea una hipérbola es:
c>a>0
c2>a2
c2–a2=b2
⇒c2=a2+b2
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29. Con una deducción similar a la de la elipse, se obtiene:
Es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en (0,0) y eje focal y=0 (eje x)
Busquemos las intersecciones con los ejes:
Entonces no corta al eje y.
Los puntos V1,2 se denominan vértices de la hipérbola.
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