Operaciones Agebraicas

1. UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO
SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
CURSO DE NIVELACIÓN
PRIMER SEMESTRE 2013
ÁREA 5 DE CIENCIAS COMERCIALES Y ADMINISTRATIVAS – M4
INTEGRANTES:
Burgos Arce Ailyn Beatriz
Campoverde Salvatierra Levinson Eduardo
Sánchez Espinoza Misshel Marlene
Sánchez Garaicoa Keyla Pilar
Zurita Bermúdez José Roberto
DOCENTE:
ING. KAREN LEÓN
PERÍODO:
ABRIL - AGOSTO DEL 2013
Milagro – Ecuador

2. 2
PRESENTACIÓN
Mediante el lenguaje algebraico en la vida diaria; frecuentemente resolvemos
problemas que involucran la conceptualización de los componentes de base en el
proceso involucra habilidad para descomponer una operación; por ejemplo la
suma como un conteo, la multiplicación como una adición repetida, esto empieza
como una dinámica familiarizada con las propiedades del grupo de las
operaciones.
El acto de que nosotros, los alumnos sabemos desbaratar una operación para
aclarar el problema, que posiblemente de solución, pero si manipulamos la
información con el lenguaje algebraico será mucho más exitosa la resolución del
problema.
Es viable que nosotros manejemos la información con el pensamiento algebraico,
partiendo de que el desarrollo de dicho pensamientos un proceso largo, pues de
esta manera enfrentaremos dificultades tanto en el campo aritmético como en el
álgebra, es necesario implementar nuevas estrategias de manipuleo en el
lenguaje matemático.
Este modelo puede servir para diseñar estrategias de enseñanza-aprendizaje,
para enfrentar las dificultades que se presentan y ayudarles a superar el rechazo
a las matemáticas. Se pretende desarrollar una secuencia de enseñanza que
vincule aspectos numéricos, geométricos y algebraicos.
En este proceso, los alumnos pueden comprender más acerca de su propio
pensamiento y aprendizaje. Para ello, hemos llevado a cabo un proyecto de aula
enfocado en cinco temas de expresiones algebraicas:
 Suma de Fracciones con Denominadores Compuestos
 Resta de Fracciones con Denominadores Compuestos
 Suma y Resta Combinadas con Coeficientes Fraccionarios
 Multiplicación de Fracciones
 Multiplicación de Fracciones Mixtas Algebraicas
Cada uno de estos temas será presentado mediante la explicación de ejercicios.
Esta presentación se basa en la transición de la aritmética al algebra, es un
modelo que incorpora significados relacionados con el razonamiento
proporcional numérico y geométrico.
Aquí se presenta una parte explicita entre la vinculación de dominios
matemáticos, indispensable para que el alumno interprete los problemas en el
lenguaje matemático.

3. 3
SUMA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES COMPUESTOS
En esta clase de ejercicio no tomaremos en cuenta a los numeradores puesto que
nos enfocaremos solo en sus denominadores.
Primer Paso:
Identificamos en cada uno de los denominadores los respectivos casos de
factorización existente en cada término.
En el primer término encontramos factor común.
En el segundo término encontramos nuevamente factor común.
En el tercer término encontramos una diferencia de cuadrados.
Segundo Paso:
Procedemos a sacar el común denominador que hay entre todos los términos de
cada denominador.
Luego de esto dividimos el común denominador para cada termino y asi
obtendremos los resultados del denominador.

4. 4
Tercer Paso:
Realizamos las operaciones respectivas que encontramos en el numerador. En
este caso son multiplicaciones.
Cuarto Paso:
Como paso final procedemos a reducir los términos semejantes y es asi como
obtendremos el resultado final de nuestro ejercicio.

5. 5
RESTA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES COMPUESTOS
X – 2 X + 3 X² + 12X + 16
X² - 3 X² + 3X – 4 X + 3Xᵌ - 4X²
Factorizamos el primer denominador, su factor común es X, la misma que
multiplica a X-1
En el segundo término el denominador se resuelve mediante el trinomio de la
forma x²+bx+c
Nuestro ejercicio es:
X² + 3X – 4
(x ) (x )
X² + 3X
+
+ 3X – 4
-
X² + 3X – 4
(X + 4) (X – 1)
X + 3Xᵌ - 4X²
X² (X² +3X – 4)
X² (X² +3X – 4)
X² (X + 4) (X – 1)
4- + =
Aquí Factorizamos de la siguiente manera:
Abrimos 2 paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de x² que es x,
la anotamos en cada paréntesis
Y como en el primer término no tenemos signo, sabemos que
el signo es positivo (+) realizamos ley de signos(+) (+) nos da (+)
y (+) (-) nos da (-)
Luego buscamos 2 números que multiplicado nos de -4 y
restado no de 3, esos números son +4 y -1
Pasamos al siguiente denominador, vamos a factorizarlo, aquí
tenemos factor común, su factor común es X² la misma que
multiplica a X² +3X - 4
4
Aquí tenemos otro caso de factorización en lo que es igual al
segundo denominador, que es trinomio de la forma x²+bx+c,
seguimos el mismo procedimiento.
Ya teniendo resuelto los dos casos encontrados en el
tercer denominador, le ponemos la X² del caso anterior,
en la cual nos quedaría X² (X + 4) (X – 1)

6. 6
X – 2 X + 3 X² + 12X +16
X (X – 1) (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)
Luego de haber factorizado los denominadores debemos buscar el común denominador, es decir el
M.C.M. de estos tres denominadores,
X – 2 X + 3 X² + 12X + 16
X(X–1) (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)- +
El mínimo se construye tomando una de cada una es decir: (X + 4) y (X – 1) por que ambos están
repetidos y como tenemos una X y una X², ponemos la del mayor exponente porque multiplicando 2
X – 2 X + 3 X² + 12X + 16
X(X – 1) (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)
Las X nos dan X² entonces nuestro
mínimo queda
M.C.M.X² (X + 4) (X – 1)
Después de haber sacado el mínimo pasamos a dividir sus denominadores, multiplicando con cada uno de
los numeradores
+-
+- =
Entonces vamos a resolver el primer término fraccionario, que tenemos:
X – 2 luego: X – 2
X (X – 1) multiplicamos X (X – 1) X² (X + 4) (X – 1) m.c.m
Y el total de la división dividimos
Y nos queda: X – 2 X(X + 4) (X – 2)
X (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)
2
=
1
=
Luego seguimos el mismo procedimiento en el segundo y tercer término fraccionario, y nos queda:
X + 3 X² (X + 3)X² + 12X + 16X² + 12X + 16
(X + 4) (X – 1)X² (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)X² (X + 4) (X – 1)
Ya de haberlos resuelto nos queda:
X – 2 X + 3 X² + 12X + 16 X(X + 4) (X – 2) - X² (X + 3) + X² + 12X + 16
X (X – 1) (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)X² (X + 4) (X – 1
= =
=+-
-
-

7. 7
X² (X + 4) (X – 1)
m.c.m
Después de haber resuelto cada una de las fracciones y asegurarnos que ya tenemos en el denominador
el m.c.m. es decir
=
Procedemos a resolver como se suman o se restan fracciones homogéneas, que es conservar el mismo
denominador y efectuar las operaciones del numerador
X (X + 4) (X - 2) - X² (X + 3) + X² + 12X + 16
X² (X + 4) (X – 1)
Entonces vamos a dejar el mismo denominador
X² (X + 4) (X – 1)
=
Y empezamos a resolver las operaciones del numerador, por ejemplo aquí podemos hacer propiedad
distributiva
X (X + 4)
X² + 4X
X² + 4X
X - 2
Xᵌ+ 4X²
- 2X² - 8X
Xᵌ+ 2X² - 8X
Multiplicando desde la izquierda, aplicando la
ley de signos.
Aquí en caso que haya un signo ( + ) y ( - ),
ponemos el signo del mayor.
2
1
En el segundo tenemos un
menos, esta expresión
pasamos a resolverla de
las siguiente manera,
aplicando la ley de signos.
 - X² (X+ 3)
- Xᵌ- 3 X²
Y en el tercero como
no tenemos una
propiedad distributiva,
nos queda lo mismo.
 X² + 12X + 16
Nos queda:
X – 2 X + 3 X² + 12X + 16Xᵌ+2X² - 8X- Xᵌ- 3X² + X² + 12X + 16
X (X – 1) (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)X² (X + 4) (X – 1)
+- =-

8. 8
Ahora en el numerador vamos a eliminar la reducción de términos semejantes por ejemplo:
Xᵌ+2 X² - 8X- Xᵌ- 3X² + X² + 12X + 16
X² (X + 4) (X – 1)
=
Como Xᵌuno tiene signo positivo y el otro
negativo lo eliminamos.
En X² tenemos + 2X² - 3X² y + X², sumamos los
signos iguales restamos el signo diferente y
como el resultado nos da +3X² - 3X² lo
eliminamos y de la misma manera los demás
términos.
Y el resultado de la reducción d los términos
semejantes nos queda:
Aquí factorizas
4X + 16
X² (X + 4) (X – 1)
El resultado es:
=
4(X + 4)
X² (X + 4) (X – 1)
Por ultimo simplificamos el numerador y denominador iguales y obtenemos la respuesta
4X + 16 4(X + 4) 4 R.
X² (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1) X² (X – 1)
=
X – 2 X + 3 X² + 12X +16
X² - 3 X² + 3X – 4 X + 3Xᵌ - 4X²
X – 2 X + 3 X² + 12X + 16
X (X – 1) (X + 4) (X – 1) X² (X + 4) (X – 1)
X(X + 4) (X – 2) - X² (X + 3) + X² + 12X + 16
X² (X + 4) (X – 1)
Xᵌ+2 X² - 8X- Xᵌ- 3X² + X² + 12X + 16
X² (X + 4) (X – 1)
4X + 16 4(X + 4) 4X² (X + 4) (X
– 1) X² (X + 4) (X – 1) X² (X – 1)
=
=
=
=
=
==
-
-
+
+

9. 9
SUMA Y RESTA COMBINADAS CON COEFICIENTES
FRACCIONARIOS
DE RESTAR LA SUMA DE
CON
1) Se identifican lo polinomios tanto del minuendo como del sustraendo, y
luego se los ordenan de acuerdo a su variable literal.
_______________________________
2) Se efectùa la suma de los polinomios que hacen parte del sustraendo, para
ello debemos reducir cada uno de lo tèrminos que encontremos en la
operación.
 Buscamos el común denominador para resolver cada una de las
sumas de fracciones.
_______________________________
= =

10. 10
_______________________________
_______________________________
_______________________________
= =
= =
= =

11. 11
_______________________________
3) Debajo del minuendo escribimos el resultado de la suma
anterior cambiando los signos y así obtendremos:
_________________________________
4) En este caso encontramos un término con signo negativo y uno con signo
negativo, entonces procedemos a eliminar ambos términos:
_________________________________
//
= =
= //

12. 12
5) En lo que resta de la operación contamos con solo un término de cada
variable; esto no indica que transcribiremos los mismos término como
resultado total de la operación:
_________________________________
//
MULTIPLICACION DE FRACCIONES
La multiplicación de números fraccionarios, o como multiplicación fracciones,
debemos multiplicar los numeradores y denominadores por separado y
respectivamente con la otra fracción, para aclarar la manera de resolver estas
operaciones a continuación se irán ampliando los conceptos para dar uno o varios
métodos de resolver cada caso de la multiplicación fraccionarios.
EJERCICIO 1:
a2
- 81 x _a+11_ x _2a -12_ x __a3
+5a2
_
2a2
+10aa2
- 36 2a+18 2a +22
Se descomponen en factores, todo lo posible, los términos de las fracciones que
se van a multiplicar.
(a-9) (a+9) x _a+11__ x _2(a-6)_ x _a2
(a+5)_
2a(a+5) (a-6) (a+6) 2(a+9) 2(a+11)

13. 13
Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numerados y
denominadores.
(a-9) (a+9) x __a+11__ x _2(a-6)_ x __a2
(a+5)_
2a(a+5) (a-6) (a+6) 2(a+9) 2(a+11)
Hemos simplificado (a+9) del primer numerador con (a+9) del tercer denominador,
(a) del primer denominador con (a2
) del cuarto denominador, (a+5) del primer
denominador con (a+5) del cuarto denominador, (a+11) del segundo numerador
con (a+11) del cuarto denominador, (a-6) del segundo denominador con (a-6) del
tercer numerador y (2) del tercer numerador con (2) del denominador.
Y simplificando queda esto:
_a (a-9) _
4 (a+6)
Se multiplican entre si las expresiones que quedan tanto en numerador como en
denominador.
_a2
- 9ª_
4ª+24
EJERCICIO 2:
_a2
+7a+10_ x _a2
-3ª-4_x _a3
-2a2
-3a_
a2
-6a-7 a2
+2a-15 a2
-2a-8

14. 14
Se descomponen en factores, todo lo posible, los términos de las fracciones que
se van a multiplicar.
_(a+5) (a+2)_ x _(a-4) (a+1)_ x _a (a-3) (a+2)_
(a-7) (a+1)(a+5) (a-3) (a-4) (a+2)
Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numerados y
denominadores.
_(a+5)(a+2)_x _(a-4)(a+1)_ x _a(a-3) (a+2)_
(a-7) (a+1)(a+5)(a-3)(a-4)(a+2)
Hemos simplificado (a+5) del primer numerador con (a+5) del segundo
denominador, (a+2) del primer numerador con (a+2) del tercer denominador, (a+1)
del primer denominador con (a+1) del segundo numerador, (a-4) del segundo
numerador con (a-4) del tercer denominador, (a-3) del segundo denominador con
(a-3) de tercer numerador
Y simplificando queda esto:
_a(a+2)_
(a-7)
Se multiplican entre si las expresiones que quedan tanto en numerador como en
denominador.
_a2
+2a_
a-7

15. 15
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES MIXTAS ALGEBRAICAS
Las multiplicaciones fraccionarias algebraicas no serán un gran problema, si ya
conoces la manera de multiplicar fracciones comunes, pues el principio es el
mismo, excepto que en algebra, existen valores desconocidos o literales que irán
descubriéndose a medida que avances en la operación.
La respuesta del producto de fracciones algebraicas es otra fracción algebraica.
Además al momento de multiplicar potencias deberás sumar los exponentes
cuando posean la misma base, es decir que si el literal es diferente en cada
fracción, las potencias no se suman, pero si son literales iguales, deberás
sumarles de acuerdo a las propiedades de la potenciación.
Ejercicio Propuesto.
 Se busca el común denominador entre todos los términos de los
denominadores en este caso será (x2
-25) en los términos que se
encuentran antes del signo de multiplicación y el común denominador que
corresponde a los términos que se encuentran después del punto de
multiplicación será (x+3).
 Realizamos la destrucción de los paréntesis (teniendo en cuenta que si el
paréntesis está presidido por el signo (+), no cambia el signo y si está
presidido por el signo menos (-) cambia todos los signos que se

16. 16
encuentran precediéndolo. Además realizamos la División de común
denominador y multiplicamos por los respectivos numerables.
 Reducimos términos semejantes y se analiza el ejercicio para poder ver si
encontramos los casos de factorización ya sea en los Numeradores como
Denominadores.
TERMINO DE LA FORMA
Se extrae la raíz del 1er, termino dicha raíz de
coloca dentro de los paréntesis para realizar el
caso de factorización (x_,___)(x_,___), dichas
raíces van presididas por los signos (+) y (-)
quedando así : (x+,__) (x-,___) los mismos que
nos indican que vamos a buscar 2 números
que nos darán como resultado un numero que
multiplicado nos de 5 y restado 4.
DIFERENCIA DE
CUADRADO PERFECTO
Se extrae la raíz cuadrada del
1er término y después los
agrupamos las raíces
extraídas en dos términos
separados por los paréntesis
uno con signo (+) y el otro con
sino (-)

17. 17
 Entonces el ejercicio quedaría de la siguiente manera.
 A continuación para obtener la respuesta de nuestro enunciado
procedemos a la simplificación de los denominadores con numeradores y
numeradores con denominadores.
R// RESPUESTA OBTENIDA

18. 18
CONCLUSIONES
 Revisarán los conceptos básicos y la operatoria con expresiones
algebraicas.
 Una expresión algebraica, en una o más variables (letras), es una
combinación cualquiera de estas variables y de números, mediante una
cantidad finita de operaciones: adición, sustracción, multiplicación,
división, potenciación o radicación.
 Reconozcan e interpreten fórmulas y expresiones algebraicas.
 Utilicen las expresiones algebraicas para representar y generalizar los
diferentes casos de factorización.
 Realicen operaciones básicas con expresiones algebraicas.
 Identifiquen y desarrollen los diversos casos de factorización que se
encuentren en las diferentes operaciones de expresiones algebraicas.
BIBLIOGRAFÍA
http://videomate21.blogspot.com/2011/12/ejercicio-29.html
Autor: Aurelio Baldor – Álgebra de Baldor