Bodee nyquist

Resposta em frequência
Se a entrada é senoidal, a saída também é senoidal (após um transitório)
de mesma frequência mas com fase e amplitude diferentes. A relação entre o
sinal de entrada e o de saída é dada por
H (jω) = aH (ω)ejφH(ω)
(1)
aH (ω) = |H (jω)| (2)
φH (ω) = arg(H (jω)) (3)
O número complexo H (jω) pode ser representado por um vetor com
comprimento aH(ω) que forma um ângulo φH (ω) com o eixo-real.
Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 1

Resposta em freqüência ...
Se u(t) = U0ejωt
= U0 (cosωt + jsinωt) então
y(t) =
∞
−∞
h(τ)u(t −τ)dτ
=
∞
−∞
h(τ)U0ejω(t−τ)
dτ = U0
∞
−∞
h(τ)ejωt
e− jωτ
dτ
= U0ejωt
∞
−∞
h(τ)e− jωτ
dτ
= u(t)H (jω) = u(t)|H (jω)|ejφ(ω)
y(t) = U0 |H (jω)|ej(ωt+φ(ω))
.

u(t) = U0ejωt
(4)
U0 cosωt = Re{u(t)},U0 sinωt = Im{u(t)} (5)
y(t) = U0 |H (jω)|ej(ωt+φ(ω))
(6)
Re{y(t)} = U0 |H (jω)|cos(ωt +φ(ω)) (7)
Im{y(t)} = U0 |H (jω)|sin(ωt +φ(ω)) (8)
• Modiﬁcação de amplitude e fase.
• Variando ω em [0,∞) tem-se a caracterização do sistema |H (jω)|ejφ(ω)
.
• Diagrama de amplitude e fase ou resposta em freqüência.

H(s) = 5
e−2s
10s+1
(9)
H(jω) = 5
e−2jω
10jω+1
(10)
|H(jω)| =
5
(10ω)2
+1
(11)
∡H(jω) = −arctan(10ω)−2ω (12)
u(t) = sin(0.2t) (13)
|H(j0.2)| = 2.24,∡H(j0.2) = −1.51rad (14)
y(t) = 2.24sin(0.2t −1.51) (15)

0 20 40 60 80 100
-3
-2
-1
0
1
2
3
Tempo, t(s)
u(t)
y(t)

Aproximação de Padé
A função transcendental e−sT
pode ser aproximada por
e−sT
≈
1− Ts
2 + (Ts)2
8 − (Ts)3
48 +···
1+ Ts
2 + (Ts)2
8 + (Ts)3
48 +···
(16)
e−sT
=
2−sT
2+sT
(17)
H(s) =
5e−sT
10s+1
≈
5(2−sT)
(2+sT)(10s+1)
. (18)
O sistema acima tem dois pólos estáveis mas apresenta um zero no semi-plano
direito. Esse tipo de sistema é denominado sistema de fase não-mínima.

Traçado assintótico
Se a função de transferência é dada por
H(s) = K
(s+z1)(s+z2)···(s+zm)
(s+ p1)(s+ p2)···(s+ pn)
(19)
H(s) = K
z1z2...zm
p1p2...pn
·
1+s 1
z1
1+s 1
z2
... 1+s 1
zm
1+s 1
p1
1+s 1
p2
... 1+s 1
pn
(20)
Considerando K z1z2...zm
p1p2...pn
= K0, então
H(s) = K0
1+s 1
z1
1+s 1
z2
... 1+s 1
zm
1+s 1
p1
1+s 1
p2
··· 1+s 1
pn
(21)

Forma de Bode: H(s) = K0
(1+sτ1)(1+sτ2)···(1+sτm)
(1+sT1)(1+sT2)···(1+sTn)
(22)
Resposta em frequência:
H(jω) = K0
(1+ jωτ1)(1+ jωτ2)···(1+ jωτm)
(1+ jωT1)(1+ jωT2)···(1+ jωTn)
(23)
Possíveis termos:
• K0(jω)L
• (1+ jωτ)±1
• jω
ωn
2
+2ζ jω
ωn
+1
±1

1. Pólos na origem: K0( jω)L
Magnitude: 20log K0(jω)L
= 20logK0 +20log (jω)L
= 20logK0 +20Llog|ω|
Em ω = 1, a assíntota passa por 20logK0
ω0 −→ 10ω0, mudança de +20L dB
{20logK0 +20Llog|10ω0|}−{20logK0 +20Llog|ω0|} = 20Llog|10|+20Llog|ω0|−
20Llog|ω0| = 20L
A assíntota é uma reta com variação de 20L dB por década
Fase: ∡(K0(jω)L
) = ∡K0 +∡(jω)L
= 0◦
+L·90◦
= L·90◦

2
jω = 2( jω)−1
Magnitude: 20log10
2
jω = 20log10 |2|−20log10 |jω| = 20log10 2−20log10 ω
Fase: ∡( 2
jω) = −90◦
20log 2
1 2
-20 dB/dec

2. Termo de primeira ordem: 1+ jωτ
Assíntota em baixas frequências ωτ ≪ 1, jωτ+1 ∼= 1
Assíntota em altas frequências ωτ ≫ 1, jωτ+1 ∼= jωτ
Frequência de corte ω = 1
τ
Fase
Para ωτ ≪ 1, ∡1 = 0o
Para ωτ ∼= 1, ∡(jωτ+1) ∼= 45o
Para ωτ ≫ 1, ∡ jωτ ∼= 90o

Traçado assintótico - Década
20log|jωτ| = 20log|ωτ| = 20log|ω|+20log|τ|
Zero, zi, ω0 −→ 10ω0, mudança de +20dB
20log|j10ω0τ|−20log|jω0τ| = 20log|10ω0|+20log|τ|−20log|ω0|−20log|τ| =
= 20log|10ω0|−20log|ω0|
= 20log|10| = +20dB
Pólo, pi, ω0 −→ 10ω0, mudança de −20dB
−20log|j10ω0τ|−(−20log|jω0τ|) =
= −20log|10ω0|−20log|τ|−(−20log|ω0|−20log|τ|) =
= −20log|10ω0|−(−20log|ω0|)
= −20log|10| = −20dB

Ex.: jω10+1, a frequência de corte ω = 1
τ = 0.1
Para ω10 ≪ 1, jω10+1 ∼= 1, ∡1 = 0◦

Para ω10 ∼= 1, ∡(jω10+1) ∼= 45◦

Para ω10 ≫ 1, jω10+1 ∼= jω10, ∡ jωτ ∼= 90◦

3. Termo de segunda ordem: jω
ωn
2
+2ζ jω
ωn
+1
±1
k
s2 +2ζωns+ωn
2
=
k
ωn
2
·
1
1+s2ζ
ωn
+ s2
ωn
2
k
ωn
2
·
1
1+( jω
ωn
)2 + jω2ζ
ωn
=
k
ωn
2
·
1
1−( ω
ωn
)2 + j2ζω
ωn
• Frequência de corte ω = ωn
• Assíntota em baixas frequências ω ≪ ωn, jω
ωn
2
+2ζ jω
ωn
+1 ∼= 1
• Assíntota em altas frequências ω ≫ ωn, jω
ωn
2
+2ζ jω
ωn
+1 ∼= − ω
ωn
2

• Para frequências maiores que a frequência de corte, o módulo muda
+40dB/dec se o termo está no numerador, e −40dB/dec se o termo está
no denominador.
20logω2
ω0 → 10ω0
20log(102
ω0
2
)−20logω0
2
= 20log102
= 40
• A fase muda ±180◦
• A transição na frequência de corte depende do fator de amortecimento ζ
• Se o termo está no numerador, então |G(jωn)| = 2ζ
• Se o termo está no denominador, então |G(jωn)| = 1
2ζ

Ex. jω
ωn
2
+2ζ jω
ωn
+1 com ωn = 1

Ex. jω
ωn
2
+2ζ jω
ωn
+1
−1
com ωn = 1

Expressão genérica
H (jω) =
K ∏Z
i=1 (1+ jωτi)
(jω)N
∏J
j=1 (1+ jωτj)∏L
k=1 1+2
ζk
ωnk
jω+ jω
ωnk
2
(24)
20log|H(jω)| = 20logK +20
Z
∑
i=1
log|1+ jωτi|−20log (jω)N
−20
J
∑
i=1
log|1+ jωτj|
−20
L
∑
k=1
log 1+
2ζk
ωnk
jω+
jω
ωnk
2
φ(ω) =
Z
∑
i=1
arctanωτi
zeros
− N
π
2
+
J
∑
j=1
arctanωτj +
L
∑
k=1
arctan
2ζkωnk
ω
ω2
nk
−ω2
pólos
(25)

Exemplo
G(s) =
2000 s+ 1
2
s(s+10)(s+50)
=
2000· 1
2 (1+2s)
10·50s(1+ s
10)(1+ s
50)
(26)
G(jω) =
2
jω
·
1+2jω
(1+ jω
10 )(1+ jω
50 )
(27)
Frequências de corte
ω
10 ω 10ω
0.05 0.5 5
1 10 100
5 50 500
O eixo das frequências deve ser de 0.01 a 1000, ou seja, ter 5 décadas

0,01 0,1 1 10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
20
40
-20
90º
0º
-90º
-180º

0,01 0,1 1
20
10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
2
-20dB/dec
40
-20
90º
0º
-90º
-180º

0,01 0,1 1 10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
20
40
-20
90º
0º
-90º
-180º
0,5
20dB/dec
0,50,05 5

0,01 0,1 1 10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
20
40
-20
90º
0º
-90º
-180º
-20dB/dec

0,01 0,1 1 10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
20
40
-20
90º
0º
-90º
-180º
-20dB/dec
50
505 500

0,01 0,1 1
20
10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
2
-20dB/dec
40
-20
90º
0º
-90º
-180º
0,5
0,50,05 5
50
50 500

0,01 0,1 1
20
10 100 1000
0,01 0,1 1 10 100 1000
2
-20dB/dec
-20dB/dec
-40dB/dec
40
-20
90º
0º
-90º
-180º
0,5
0,50,05 5
50
50 500
10

-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Magnitude(dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-180
-135
-90
-45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)

Sistemas com atraso
L [f (t −a)] = e−as
F (s) (28)
Considere um sistema com função de transferência H(s) = e−as
. Então
H(jω) = e− jωa
e
|H(jω)| = e− jωa
= 1 (29)
Um atraso no tempo meramente desloca o sinal no tempo e não modiﬁca a
magnitude do sinal
∡H(jω) = ∡e− jωa
= −ωa (rad) (30)
T =
1
f
=
1
ω
2π
(31)
−
a
T
2π = −
ωa
2π
2π = −ωa (32)

Exemplo: H(s) = e−3
4·2π
10s
u(t) = sin(10t) (33)
−
a
T
2π = −
3
4 · 2π
10
2π
10
2π = −
3
4
2π (rad) = −270◦
(34)

Exemplo: H(s) = 5 e−2s
10s+1

Sistemas de Fase Mínima
• Sistemas de Fase mínima: não apresentam zeros no semi-plano direito
• Sistemas de Fase não-mínima: apresentam zeros no semi-plano direito
– A fase é maior do que se todos os polos e zeros estivessem no semi-plano
esquerdo

Ex. G1(s) = 10 s+1
s+10, G2(s) = 10 s−1
s+10
G1(s) =
10(s+1)
(s+10)
= 10
(1+s)
10(1+
s
10
)
=
1+s
1+
s
10
G1(jω) =
1+ jω
1+
jω
10
; G2(jω) =
−1+ jω
1+
jω
10

Correlação Freqüência x Tempo
H(s) =
ω2
n
s2 +2ζωns+ω2
n
(35)
y(t) = L−1
H(s)
1
s
= 1−e−σt
cosωdt +
σ
ωd
sinωdt (36)
σ = ζωn,ωd = ωn 1−ζ2
,0 ≤ ζ ≤ 1 (37)
tp =
π
ωd
(38)
Mp = exp


−
πζ
1−ζ2


 (39)

Ressonância
Por outro lado a resposta em freqüência desse mesmo sistema é calculada
por
H(jω) =
1
1− ω2
ω2
n
+2jζ ω
ωn
. (40)
O pico da resposta em freqüência ocorre na freqüência de ressonância
d
dω
|H (jω)| = 0 ⇒ ωr = ωn 1−2ζ2
(41)
para valores de 0 < ζ ≤
√
2
2 .

Ressonância ...
Na freqüência ω = ωr a expressão
1−
ω2
ω2
n
2
+ 2ζ
ω
ωn
2
(42)
é mínima e valor do ganho do sistema vale
Mr = |H(jω)|ω=ωr
=
1
2ζ 1−ζ2
. (43)

Banda Passante
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
log(ω) (rad/s)
20log(|H(jω)|)(dB)
ωBW
0dB
10dB − 3dB

H(s) =
ω2
n
s2 +2ζωns+ω2
n
(44)
|H(jωBW)| =
1
√
2
|H(0)| ⇒ ωBW
ωBW = ωn 1−2ζ2
+ 1−2ζ2
2
+1
e
φBW = −180◦
+tan−1







2ζ 1−2ζ2
+ 1−2ζ2
2
+1
−2ζ2
+ 1−2ζ2
2
+1








Exemplo: L(s) = 1
s(s+1)2
K<2
K=2 K>2

Exemplo: L(s) = 1
s(s+1)2
Nesse caso, se o ganho K > 2, o sistema é instável. Para o sistema
estudado, em que o aumento do ganho causa instabilidade e |KL(s)| cruza
0dB apenas uma vez, a condição de estabilidade é
∠KL(jωc) > −180◦
para ωc em que 20log10 |KL(jωc)| = 0 (48)

Margem de fase
Considere um sistema com função de tranferência de malha aberta L(s)
Nos diagramas de Bode, determinar a frequência de cruzamento do ganho
ωc
1) Se ∠L(jωc) < −180◦
, então o sistema é instável
2) Se ∠L(jωc) = −180◦
, então o sistema é marginalmente estável
3) Se ∠L(jωc) > −180◦
, então o sistema é estável
Seja ∠L(jωc) = φc, e φc > −180◦
. Então γ = φc − (−180◦
) = φc + 180◦
é a
margem da fase

Para o sistema
H(s) =
ω2
n
s(s+2ζωn)
. (49)
|H (jωc)| = 1 (50)
para
ωc = ωn 1+4ζ4
−2ζ2
(51)
e
φ(ωc) = −(∡ jωc +∡(jωc +2ζωn)) (52)

Margem de fase ...
φ(ωc) = −
π
2
−arctan
ωc
2ζωn
(53)
φ(ωc) = −
π
2
−arctan





1+4ζ4
−2ζ2
2ζ





(54)
ts =
4
ζωn
(55)
φ(ωc) = −
π
2
−arctan
ωcts
8
(56)

Margem de fase ...
PM = ∠L(jωc)+180
|L(jωc)| = 1
PM =
π
2
−arctan
ωcts
8
(57)
tan
π
2
−x = cot(x) =
1
tan(x)
(58)
tan(PM) =
8
ωcts
(59)

Margem de fase ...
PM = ∠L(jωc)+180
|L(jωc)| = 1
PM =
π
2
−arctan





1+4ζ4
−2ζ2
2ζ





(60)
PM = arctan





2ζ
1+4ζ4
−2ζ2





(61)
PM ≈ 100ζ para 0◦
≤ PM ≤ 60◦
(62)

Margem de ganho

Considere um sistema com função de transferência de malha aberta L(s)
ω180◦ é a frequência tal que ∠L(jω180◦) = −180◦
Para que ele seja estável, é necessário respeitar ωc < ω180◦ para ter
∠L(jωc) > −180◦
Considere que o ganho de malha aberta será multiplicado por um fator Kg,
resultando na FTMA KgL(s)
Qual o valor de Kg em que o sistema se torna marginalmente estável?
Note que 20log|L(jω180◦)| < 0
20log|KgL(jω180◦)| = 0 ⇒ |KgL(jω180◦)| = 1 ⇒ Kg |L(jω180◦)| = 1 ⇒
⇒ Kg =
1
|L(jω180◦)|
é a margem de ganho
Margem de ganho em dB:
20logKg = 20log
1
|L(jω180)|
= −20log|L(jω180)| (63)

Desse modo, para o sistema de segunda ordem H(s) = ω2
n
s(s+2ζωn), a margem
de ganho é ∞ já que a fase tende assintoticamente para −180◦

Kg =
1
|L(jω180◦)|
⇒ |L(jω180◦)| = 1
Kg
γ = φc −(−180◦
) = φc +180◦

Constantes de Erro - Cp, Cv e Ca
10
−1
10
0
10
1
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
log(ω) (rad/s)
20log(|H(jω)|)(dB)
Cv
ω=1
Os valores das constantes de erro de regime permanente (Cp, Cv e Ca)
podem ser determinadas diretamente dos Diagramas de Bode, a partir da
interseção da assíntota de baixa freqüência com a linha vertical traçada em
ω = 1.

H(s) =
k(1+sτ1)...(1+sτn)
sN(1+sT1)...(1+sTm−N)
• N = 0 : tipo 0
• N = 1 : tipo 1
• N = 2 : tipo 2

H(s) =
k(1+sτ1)...(1+sτn)
(1+sT1)...(1+sTm−N)
Constante de erro estático de posiçao Cp = lims→0 H(s) = k
Quando ω → 0 , a FTMA tende a G(jω) = k
Quando ω = 1 rad/s : 20log|G(j1)| = 20logk

H(s) =
k(1+sτ1)...(1+sτn)
s(1+sT1)...(1+sTm−N)
Constante de erro estático de velocidade Cv = lims→0 sH(s) = k
Quando ω → 0 , a FTMA tende a G(jω) =
k
jω
Quando ω = 1 rad/s : 20log|G(j1)| = 20log
k
j1
= 20logk

H(s) =
k(1+sτ1)...(1+sτn)
s2(1+sT1)...(1+sTm−N)
Constante de erro estático de aceleração Ca = lims→0 s2
H(s) = k
Quando ω → 0 , a FTMA tende a G(jω) =
k
(jω)2
Quando ω = 1 rad/s : 20log|G(j1)| = 20log
k
(j1)2
= 20logk

Tipo 0 Degrau Rampa Parabola
Fórmula 1/(1+Cp) 1/Cv 2/Ca
Constante Cp = 0 Cv = 0 Ca = 0
Erro 1/(1+Cp) ∞ ∞
Constante Cp = ∞ Cv = 0 Ca = 0
Erro 0 1/Cv ∞
Constante Cp = ∞ Cv = ∞ Ca = 0
Erro 0 0 2/Ca

Critério de Nyquist
F(s) é uma função s ∈ C. Para s0 ∈ C, F(s0) ∈ C, cujo módulo, |F(s0)|, e a
fase, ∠F(s0), dependem de s0. Se s0 ∈ Γs (percurso fechado) então F(s0) ∈ ΓF(s)
(percurso fechado).
A forma da curva descrita por ΓF(s) muda quando muda a forma de Γs e a
expressão de F(s). Se s0 ∈ Γs e
F(s) = k
s+a
(s+b)(s+c)(s+d)
,k > 0,a > 0,b > 0,c > 0,d > 0 (64)
então F(s0) ∈ ΓF(s).

-4 -2 0 2 4 6-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
s0
sΓ
F(s)Γ
C

Teoria ...
Considerando este fato pode-se demonstrar que o número de voltas que
ΓF(s) dá em torno da origem é vinculado ao número de singularidades (pólos e
zeros) situadas no interior da curva fechada Γs. De fato, sendo mais explícito
pode-se aﬁrmar que quando o ponto de teste s0 percorre a curva Γs no sentido
horário, a variação angular total da fase de F(s) considerada positiva no sentido
trigonométrico é igual a
∆ = 2π(P−Z), (65)
com P e Z sendo o número de pólos e o número de zeros (contada suas
multiplicidades) da função F(s) situados no interior de Γs. Dito de outra
maneira, o número de voltas T que o lugar geométrico ΓF(s) efetua, no sentido
trigonométrico, em torno da origem do plano complexo é dada por
T = P−Z (66)

Convenções básicas
Antes de prosseguir convém destacar as três convenções básicas
empregadas na seqüência deste desenvolvimento. A primeira delas é que a
curva fechada Γs será sempre percorrida no sentido horário. A segunda é que
os ângulos são medidos no sentido trigonométrico (anti-horário). A terceira é
que a função F(s) é do tipo racional expressa como
F(s) = k
∏m
i=1(s+zi)µi
Πn
i=1(s+ pi)νi
= k
(s+z1)µ1(s+z2)µ2 ···(s+zm)µm
(s+ p1)ν1(s+ p2)ν2 ···(s+ pn)νn
(67)
onde k é um ganho, µi e νi são as multiplicidades dos zeros e pólos
respectivamente. Os pólos e zeros podem eventualmente ser reais ou
complexos. Os pólos complexos aparecerão sempre juntamente com seus
conjugados. Sem perda de generalidade consideraremos que
µ1 = ··· = µm = ν1 = ··· = νn = 1 (68)
n ≥ m (69)

Pólos e zeros
Dado um ponto de teste, s0, a fase de sua imagem, F(s0), pode ser calculada
por
Φ = Φz −Φp (70)
onde
Φz = ∠(s0 +z1)+∠(s0 +z2)+···+∠(s0 +zm) (71)
Φp = ∠(s0 + p1)+∠(s0 + p2)+···+∠(s0 + pn) (72)
No caso de existirem zeros ou pólos múltiplos, a multiplicidade deve ser
levada em consideração. Por exemplo, se zi é um zero de multiplicidade µi, sua
contribuição angular em Φz é
µi∠(s0 +zi) (73)

Pólos e Zeros ...
Cada termo de Φz (Φp) é calculado computando-se o ângulo entre a reta
real (segmento 0x) e o vetor −→zis0 (−→pis0). Este ângulo é representado por (0x,−→zis0)
e, deste modo
Φz = (0x,−→z1s0)+(0x,−→z2s0)+···+(0x,−−→zms0) (74)
Φp = (0x,−−→p1s0)+(0x,−−→p2s0)+···+(0x,−−→pns0) (75)
O valor da variação de fase ∆Φ de F(s) é igual à soma das variações de
cada termo de Φz e Φp quando s0 percorre uma curva fechada Γs no sentido
horário. Antes de chegar a uma conclusão genérica analisa-se a contribuição
de cada termo.

Contribuição dos zeros de F(s)
x0z1
s0
Γs
Veja animação em $ https://sites.google.com/a/ee.ufcg.edu.br/controle-analogico/home/2014-2/animacoesnyquist $
• Zero fora do percurso fechadoΓs:

Neste caso ∆(0x,−→z1s0) = 0.

x0
z1
s0
Γs
• Zero dentro do percurso fechado Γs:
Neste caso ∆(0x,−→z1s0) = −2π.

• Considerando que Z representa o número de zeros no interior de Γs (z1, z2,
··· ,zk), então a soma das variações dos termos relativos aos zeros vale
∆(0x,−→z1s0)+∆(0x,−→z2s0)+···+∆(0x,−→zks0) = −2πZ (76)

Contribuição dos polos de F(s)
x0p
1
s0
Γs
• Pólo fora do percurso fechado Γs:
Neste caso ∆(0x,−−→p1s0) = 0.

x0
s0
Γsp
1
• Pólo dentro do percurso fechado Γs:
Neste caso ∆(0x,−−→p1s0) = 2π.

• Considerando que P representa o número de pólos no interior de Γs (p1, p2,
··· ,pk), então a soma das variações dos termos relativos aos pólos vale
∆(0x,−−→p1s0)+∆(0x,−−→p2s0)+···+∆(0x,−−→pks0) = 2πP (77)

Pólos e Zeros ...
• Se Z e P são respectivamente os números de zeros e pólos de F(s)
circundados por Γs então
∆Φ = 2π(P−Z) (78)

Aplicação
A utilização prática dos resultados anteriores requer, inicialmente, que
a função F(s) dos desenvolvimentos anteriores seja igual ao polinômio
característico do sistema de controle. Desta forma, os resultados acima podem
ser aplicados na análise de sistemas de controle em malha fechada.
Neste caso tem-se que
F(s) = 1+G(s)H(s) (79)
onde
G(s)H(s) = k
∏m
i=1(s+zi)µi
Πn
i=1(s+ pi)νi
(80)

representa a função de transferência de malha aberta de um sistema de
controle com realimentação unitária.

Aplicação ...
O segundo passo é a definição do percurso Γs que será utilizado para avaliar
F(s). O percurso Γs que é empregado para fins práticos foi proposto em 1945
por H. Nyquist e é especificado como segue:
• Uma reta paralela, do lado direito do plano complexo, ao eixo imaginário. A
distância entre esta reta e o eixo imaginário é infinitesimal.
• Uma semi-circunferência de raio infinito no lado direito do plano complexo.
O centro desta semi-circunferência fica sobre o eixo real a uma distância
infinitesimal da origem.
O percurso assim definido é denominado percurso de Nyquist (Γn) e envolve
qualquer zero ou pólo que tenha parte real positiva.

ε
R
Γn

Percurso de Nyquist
Quando s0 percorre Γn é necessário distinguir duas situações:
• Quando s0 percorre a reta paralela no sentido horário, s0 ∈ (j0, j∞), a
imagem descreve o lugar geométrico de 1 + G(jω)H(jω) que é completado
pelo seu lugar simétrico em relação ao eixo real 1 + G(−jω)H(−jω) com
s0 ∈ (−j∞, j0).
• Quando s0 percorre a semi-circunferência no sentido horário s0 = Rejθ
(R → ∞
e θ ∈ [π/2,0]), para o caso das funções consideradas (racionais, próprias ou
estritamente próprias) não há variação de fase da imagem. Se G(s)H(s) é
própria então
lim
s→∞
F(s) = 1+ lim
s→∞
G(s)H(s) = 1+k (81)
por outro lado, se G(s)H(s) é estritamente própria então
lim
s→∞
F(s) = 1+ lim
s→∞
G(s)H(s) = 1 (82)

Percurso de Nyquist ...
Se o diagrama de Nyquist de 1 + G(s)H(s) circunda a origem, então o
diagrama de Nyquist de G(s)H(s) circunda −1 no eixo real.

1+G(s)H(s) = 1+
b(s)
a(s)
=
a(s)+b(s)
a(s)
(83)
As raízes de a(s)+b(s) = 0 são os polos de malha fechada
As raízes de a(s) = 0 são os polos de 1+G(s)H(s) e de malha aberta
Os polos de 1+G(s)H(s) são também os polos de G(s)H(s)
Os polos de malha aberta em G(s)H(s) são conhecidos
Se não há polos de G(s)H(s) no semi-plano direito (P = 0), e o diagrama
de Nyquist de G(s)H(s) circunda −1 no eixo real, veriﬁca-se a partir de ∆Φ =
2π(P − Z) que há Z zeros de 1 + G(s)H(s) no semi-plano direito, ou seja, polos
do sistema em malha fechada no semi-plano direito
Reformulando a conclusão anterior pode-se dizer que se
Z = número de zeros de 1+G(s)H(s) com parte real positiva (84)

P = número de pólos de 1+G(s)H(s) com parte real positiva (85)
ou equivalentemente
P = número de pólos de G(s)H(s) com parte real positiva (86)
contadas as respectivas multiplicidades, então a variação de fase de 1 +
G(jω)H(jω) quando ω cresce de −∞ a +∞ vale
2π(P−Z) no sentido anti-horário (87)
Considere N voltas no sentido horário
N = Z −P ⇒ Z = N +P (88)

As funções G(s)H(s) e 1+G(s)H(s) tem os mesmos pólos.
O envolvimento da origem para 1 + G(jω)H(jω) é equivalente ao
envolvimento do ponto de −1+ j0 para G(jω)H(jω).
A estabilidade de um sistema de controle em malha fechada poder ser
determinada a partir do exame dos envolvimentos do ponto −1 + j0 do lugar
geométrico de G(jω)H(jω).

Critério
Deﬁnida a função do ramo direto G(s)H(s) de um sistema realimentado a
relação
Z = N +P (89)
determina o número Z de zeros instáveis de 1+G(s)H(s) em função do
1. número de pólos instáveis P de G(s)H(s)
2. número de envolvimentos N que G(jω)H(jω) faz em torno do ponto −1+ j0
no sentido horário
Um sistema de controle é dito estável se Z = 0

Exemplo 5
(s+1)2
Polos : -1 e -1. Não há pólo no semi - plano direito. Então P = 0
Vamos mapear a curva fechada C usando a função E(s) =
5
(s+1)2
Trecho I: s = jω
E(jω) =
5
(jω+1)2
=
5(1− jω)2
(1+ jω)2(1− jω)2
=
5(1−2jω−ω2
)
(1+ω2)2
=
=
5(1−ω2
)
(1+ω2)2
− j
10ω
(1+ω2)2
ω = 0, E(jω) = 5− j0
ω → ∞, E(jω) = −δ− jδ , (δ → 0)

Trecho II: s = Rejφ
E(Rejφ
) =
5
(Rejφ +1)2
limR→∞ E(Rejφ
) = 0
O trecho II é mapeado na origem.
Trecho III : E(−jω) =
5
(1− jω)2
=
5(1+ jω)2
(1− jω)2(1+ jω)2
=
5(1−ω2
+2jω)
(1+ω2)2
=
5(1−ω2
)
(1+ω2)2
+ j
10ω
(1+ω2)2
E(jω) é simétrico a E(−jω) em relação ao eixo das abscissas.

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
-1.5 -1 -0.5 0 0.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
N = 0 voltas em torno de −1 no plano E(s). Como P = 0 polos de malha
aberta no semi-plano direito, há Z = N +P = 0 polos de malha fechada no semi-
plano direito. Então o sistema em malha fechada é estável.

Exemplo 7
s(s+1)(s+2)
Polos: 0, -1, -2
Vamos mapear a curva fechada C usando a função E(s) = 7
s(s+1)(s+2)
Trecho I: s = εejφ
E(εejφ
) =
7
εejφ(εejφ +1)(εejφ +2)
=
7
2ε
e− jφ
, pois ε → 0
φ de −
π
2
a
π
2
. Então E(εejφ
) de
π
2
a −
π
2
Trecho II : s = jω
E(jω) =
7
jω(jω+1)(jω+2)
=
−j7(1− jω)(2− jω)
ω(1+ω2)(4+ω2)
=
−j7(2−ω2
− j3ω)
ω(1+ω2)(4+ω2)
=
−21ω+ j7(ω2
−2)
ω(1+ω2)(4+ω2)
=
−21ω
ω(1+ω2)(4+ω2)
+
j7(ω2
−2)
ω(1+ω2)(4+ω2)

ω = 0 : E(jω) →
−21
4
− j∞
ω → ∞ : E(jω) → −δ+ jδ
ω2
− 2 = 0 ⇒ ω =
√
2, que é a frequência para a qual a parte imaginária é
igual a 0
E(j
√
2) =
−21
(1+2)(4+2)
=
−21
18
Trecho III: s = Rejφ
E(Rejφ
) =
7
Rejφ(Rejφ +1)(Rejφ +2)
limR→∞ E(Rejφ
) = 0

-10 -8 -6 -4 -2 0
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
-1 -0.5 0
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
-10 -5 0 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
N = 2 voltas em torno de −1 no plano E(s). Como P = 0 polos de malha
aberta no semi-plano direito, há Z = N +P = 2 polos de malha fechada no semi-
plano direito. Então o sistema em malha fechada é instável.

Segundo Método de Ziegler & Nichols
O método em freqüência de Ziegler-Nichols para a sintonia de controladores
PID usa o ponto na curva de resposta em frequência no qual a fase é igual a
−180◦
. Este ponto é chamado de ponto crítico e a frequência de cruzamento é
denominada freqüência crítica.
O método de Ziegler-Nichols original baseia-se na observação de
que muitos sistemas podem se tornar instáveis quando sujeitos a uma
realimentação proporcional. Aumentando o ganho proporcional, o sistema
pode atingir o limite da estabilidade (ganho limite).
KcH (jωc) = −1,H (jωc) = −
1
Kc
(90)
a(ωc) =
1
Kc
,ϕ(ωc) = 180◦
(91)

Determinação do ganho crítico
H(s)+
-
R(s) Y(s)E(s) U(s)
K
O experimento é difícil de ser implementado, pois deve-se ir aumentando o
ganho até que o sistema oscile.
A amplitude de oscilação depende do sistema e pode não ser controlada,
podendo ser inaceitável.
Além disso, manter um processo próximo à instabilidade pode ser perigoso.
A observação que muitos processos oscilam com um ciclo limite quando
é acrescentado um relé em sua malha de realimentação é um método mais
conﬁável para obter a informação desejada.

Usando o relé em malha fechada
H(s)+
-
R(s) Y(s)E(s) U(s)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t (s)
A vantagem da introdução do relé é que a amplitude de oscilação na saída

do processo pode ser controlada variando-se a amplitude da saída do relé (Vr),
ou seja:
u(t) =
+Vr,e(t) > 0
−Vr,e(t) < 0
ou u(t) =
+Vr,e(t) > h
−Vr,e(t) < −h

Método da função descritiva ...
Considerando o comportamento do sistema realimentado para o primeiro
harmônico, pode-se considerar que o elemento não linear pode ser modelado
como um número complexo (modulo e fase).
Desse modo, se r(t) = 0,t > t0 então o sinal de erro que aciona o relé é o
próprio sinal de saída do processo.
e(t) = −y(t) = −Y1 sin(ωct)
então o ganho do relé é, consequentemente,
Kr =
4Vr
πY1
Entretanto, a amplitude do sinal de saída é dado por
Y1 =
4Vr
π
|H (jωc)|

Método da função descritiva ...
A condição para que haja oscilação é
KrH (jωc) = −1,H (jωc) = −
1
Kr
(92)
então
H (jωc) = −
πY1
4Vr
Isso signiﬁca que o experimento do relé permite levar o sistema a uma
operação oscilatória controlada pois a amplitude de oscilação é proporcional
à magnitude do sinal de saída do relé.

Parâmetros do controlador
Considerando que o controlador é modelado por
G(s) = Kp 1+
1
sTi
+Tds
seus parâmetros podem ser determinados realizando o experimento do relé.
Os parâmetros do controlador podem ser calculados a partir do ganho limite Kr
e do período de oscilação Tc = 2π/ωc utilizando-se a tabela de Ziegler & Nichols.
Controlador Kp Ti Td
P 0.5Kr ∞ 0
PI 0.45Kr 0.83Tc 0
PID 0.6Kr 0.5Tc 0.125Tc
(93)

Parâmetros do controlador ...
O método de sintonia baseado na Tabela de Ziegler & Nichols pode ser
visto como um técnica de projeto que determina os parâmetros do controlador
de tal forma que o ponto crítico seja movido para −0.6+0.28j. A resposta em
frequência do controlador é dada por
GPID (jωc) = Kp 1+
1
j0.5Tcωc
+ j0.125Tcωc (94)
GPID (jωc) = 0.6Kr 1+ j
2π
8
−
1
π
(95)
GPID (jωc) = Kr (0.6+0.28j) (96)
|GPID (jωc)| = 0.66212Kr e arg(GPID (jωc)) = 25.017◦
(97)

Compensação - fórmulas
Considere um compensador cuja função de transferência é dada por
G(s) =
a1s+a0
b1s+1
(98)
na qual a0 é o ganho de regime permanenente, −a0/a1 é o zero do
compensador e −1/b1 é o pólo do compensador.
Deseja-se projetar esse compensador de modo que na freqüência ω = ωPM
tenha-se
a1 (jωPM)+a0
b1 (jωPM)+1
H (jωPM) = ej(−180
◦
+PM) (99)
na qual PM > 0 é a margem de fase.

Dado o valor do ganho de regime permanente a0 e a resposta em freqüência
do sistema a controlar (i.e.|H (jω)|, ∠H (jω) ω ∈ [0,∞)) pode-se projetar o
compensador que garantirá a margem de fase desejada (PM) na freqüência
especiﬁcada (ωPM).

De modo geral o ganho de regime permanente do compensador é
determinado para satisfazer uma especiﬁcação de erro estacionário. Por outro
lado a escolha da margem de fase na freqüência de projeto é feita a partir do
tempo de estabelecimento desejado (ts), isto é
tan(PM) =
8
tsωPM
(104)
A representação usual de um compensador em avanço é
G(s) = K
Ts+1
αTs+1
(105)
com α < 1.

A contribuição de fase desse compensador é
φ = arctan(Tω)−arctan(αTω) (106)
cujo valor máximo ocorre em
ωmax =
1
T
√
α
(107)

Exemplo: H(s) = 10
s(s+1) e compensador avanço de fase G(s)
FT da planta com o ganho compensado: G1(s) = 20
s(s+1)

Exemplo: H(s) = 1
s(s+1)(0.5s+1) e compensador atraso de fase G(s)

Compensador PID
A função de transferência do compensador PID é
G(s) = kp +
ki
s
+kds =
kps+ki +kds2
s
=
ki
s
(
kd
ki
s2
+
kp
ki
s+1) (108)
G(jω) = kp +
ki
jω
+kd jω =
ki
jω











jω
ki
kd





2
+ jω
kp
ki
+1






(109)
• A ação integral tem um efeito em baixas frequências
• A ação derivativa tem um efeito em altas frequências

40
50
60
70
80
90
Magnitude(dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-90
-45
0
45
90
Phase(deg)
Diagrama de Bode para G(s) = k
p
+ k
i
/s + k
d
s
Frequency (rad/s)

Exemplo: H(s) = 3
s2+0.4s+4
e compensador PID G(s)
Especiﬁcação:
• PM = 80◦
• ωPM = 50rad/s
• Se a entrada de referência for uma rampa, o erro em regime permanente
deve ser menor ou igual a 0.01

10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-135
-90
-45
0
P.M.: 20.4 deg
Freq: 2.61 rad/sec
Frequency (rad/sec)
-80
-60
-40
-20
0
20
G.M.: Inf
Freq: Inf
Stable loop
Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)
-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)
Real Axis
∡H (jωPM) = −179.5409◦
, |H (jωPM)| = 0.0012
θ = ∡G(jωPM) = −180◦
+PM −∡H (jωPM) = 79.5409◦

-80
-60
-40
-20
0
20
Magnitude(dB)
System: H
Frequency (rad/s): 0.1
Magnitude (dB): -2.48
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-135
-90
-45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
20logCp = −2.4775 ⇒ Cp = 10
−2.4775
20 = 0.7518
Kp =
cosθ
|H (jωPM)|
= 151.0407 (113)

Da especiﬁcação de regime permanente, ess = 1
C′
v
⇒ C′
v = 1
ess
, onde C′
v é a
constante de erro de velocidade da planta com o compensador
C′
v = lim
s→0
s
kds2
+kps+ki
s
·H(s) = ki lim
s→0
H(s) = kiCp (114)
kiCp =
1
ess
⇒ ki =
1
essCp
= 133.0067 (115)
kd =
sinθ
ωPM |H (jωPM)|
+
ki
ω2
PM
= 16.4173 (116)

10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-180
-135
-90
-45
0
P.M.: 80 deg
Freq: 50 rad/s
Frequency (rad/s)
-20
0
20
40
60
80
G.M.: inf
Freq: NaN
Stable loop
Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1(OL1)
-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Root Locus Editor for Open Loop 1(OL1)
Real Axis

0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Linear Simulation Results
Time (seconds)
Amplitude
y*(t)
yMA
(t)
yMF
(t)

9.99 9.992 9.994 9.996 9.998 10 10.002 10.004 10.006 10.008
9.98
9.985
9.99
9.995
10
10.005
System: y(t)
Time (seconds): 10
Amplitude: 9.99
Time (seconds)
Amplitude
y*(t)
y(t)

Exemplo: H(s) = 3
s2+0.4s+4
e compensador PID G(s)
G(s) = kp +
ki
s
+kd pd
s
s+ pd
(117)
Foram utilizados kp, ki e kd do exemplo anterior
Foi escolhido pd = 1000 para afetar minimamente a margem de fase PM =
80◦
em ωPM = 50rad/s

0
100
200
Magnitude(dB)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
-90
0
90
Phase(deg)
Diagrama de Bode para G(s) = k
p
+ k
i
/s + k
d
s
Frequency (rad/s)
0
50
100
Magnitude(dB)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
-90
0
90
Phase(deg)
Diagrama de Bode para G(s) = kp
+ ki
/s + kd
pd
s/(s+pd
)
Frequency (rad/s)

10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
-180
-135
-90
-45
0
P.M.: 77.3 deg
Freq: 50.4 rad/s
Frequency (rad/s)
-100
-50
0
50
100
G.M.: inf
Freq: Inf
Stable loop
Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1(OL1)
-1000 -800 -600 -400 -200 0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Root Locus Editor for Open Loop 1(OL1)
Real Axis

0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Time (seconds)
Amplitude
y*(t)
y
MA
(t)
y
MF com pd
(t)

9.996 9.998 10 10.002 10.004 10.006
9.986
9.988
9.99
9.992
9.994
9.996
9.998
10
10.002
10.004
10.006
System: y_{MF com pd}(t)
Time (seconds): 10
Amplitude: 9.99
Time (seconds)
Amplitude
y*(t)
yMF com pd
(t)

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