Funciones bases de Rao-Wilton-Glisson Estimación de RCS de objetos metálicos 3D

Funciones bases de Rao-Wilton-Glisson
Estimación de RCS de objetos metálicos 3D
Prof. A. Zozaya, Dr.1
1Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)
Departmento de Electrónica y Comunicaciones
Universidad de Carabobo
Bárbula, julio/2009
a.z. @ ‘abema (LaBeMa) fn-RWG Bárbula, julio/2009 1 / 18

Contenido
1 Mallado de los dispersores
2 Funciones bases de Rao-Wilton-Glisson
Deﬁnición
Distribución de la corriente
Distribución de la carga
Llenado de la matriz Z
3 Campo disperso
4 Caso de estudio: estimación de la RCS de objetos 3D
Introducción
Deﬁnición
Matemáticamente
Blancos seleccionados
Resultados

Mallado de los dispersores
l La superﬁcie exterior del
dispersor se mallará mediante
parches triangulares

l ¿Por qué triangulares?

l Porque toda superﬁcie regular
se puede conformar con teselas
de tal geometría.

l Porque toda superﬁcie regular
se puede conformar con teselas
de tal geometría.
l ¿Qué culpa tiene la vaca?.

l Dado un dispersor.

l Asumamos que se ha podi-
do discretizar usando parches tri-
angulares (Geometría computa-
cional).

cional).
l Se dispone de los siguientes
conjuntos de:

cara
cional).
conjuntos de:
l Caras.

cara nodo
cional).
conjuntos de:
l Caras.
l Vértices (nodos), y

cara nodo lado común
cional).
conjuntos de:
l Caras.
l Orillas (lados) comunes o in-
teriores.

cara nodo lado común
cional).
conjuntos de:
l Caras.
l Orillas (lados) comunes o in-
teriores.
l Orillas de contorno.

Funciones bases de Rao-Wilton-Glisson Deﬁnición
Deﬁnición

Deﬁnición
l Las funciones bases de Rao-Wilton-
Glisson (RWG) se deﬁnen sobre parches tri-
angulares.

Deﬁnición
angulares.
l Se asocian al lado común de dos trián-
gulos.

Deﬁnición
angulares.
l Se asocian al lado común de dos trián-
gulos.
l Y se deﬁnen de la forma:
fn(r0
) =
8
>><
>>:
‘n
2A
+
n

+
n ;
‘n
2A
`
n

`
n ;
0
r0
2 T+
r0
2 T`
en el resto

Funciones bases de Rao-Wilton-Glisson Distribución de la corriente
Distribución de corriente

l La corriente que ﬂuye sobre los triángu-
los de un subdominio base no posee compo-
nente normal a la frontera de los T
˚
n .

˚
n .
l La componente normal de la corriente al
lado común ‘n es continúa y constante.

˚
n .
l La componente normal de la corriente al
lado común ‘n es continúa y constante.
fn rwg
fn(r0
) =
8
>><
>>:
‘n
2A
+
n

+
n ;
‘n
2A
`
n

`
n ;
0
r0
2 T+
r0
2 T`
en el resto

Funciones bases de Rao-Wilton-Glisson Distribución de la carga

l Como la componente normal de la cor-
riente al lado común ‘n es continúa y con-
stante, allí no se acumulan cargas.

l Para conocer la distribución de la car-
ga, habrá que tomar la divergencia super-
ﬁcial de la corriente s / rs ´ Js .

l Para conocer la distribución de la car-
ga, habrá que tomar la divergencia super-
ﬁcial de la corriente s / rs ´ Js .
l rs ´ Js se puede resolver con base en
el sistema de referencia local del subdo-
minio base considerado:
rs ´ fn
rs ´ fn = ˚
1

˚
n
@(
˚
n fn)
@
˚
n
=
8
><
>:
‘n
A
+
n
; r0
2 T+
n
` ‘n
A
`
n
; r0
2 T
`
n
0; en el resto.

Funciones bases de Rao-Wilton-Glisson Llenado de la matriz Z
Cómputo de los Zm;n
l Para llenar la matriz Z se deben resolver,
N ˆ N veces, dos integrales.

l En el dominio de observación Sm =
T+
m + T
`
m :
Zm;n = hwm; L(fn)i

T+
m + T
`
m :
Zm;n = hwm; L(fn)i
l y en el dominio fuente Sn = T+
n + T
`
n :
L(fn)

T+
m + T
`
m :
Zm;n = hwm; L(fn)i
l y en el dominio fuente Sn = T+
n + T
`
n :
L(fn)
l Como funciones de peso, o de prueba, fwmg, se tomarán las mismas
funciones bases de RWG: fwmg = ffmg (Método de Galerkin).

Solución numérica de hLfn; fmi
l
R
Sm
( ) d =
R
T
+
m
( ) ds +
R
T
`
m
( ) ds

l
R
Sm
( ) d =
R
T
+
m
( ) ds +
R
T
`
m
( ) ds
l Cada integral será aproximada por la
suma de los valores del argumento en los
centroides rc˚
m de los triángulos T
˚
m , que
conforman el subdominio espacial Sm, mul-
tiplicados por las áreas A
˚
m respectivas:
R
T
˚
m
Lfn ´ fm ds ı Lfn(rc˚
m ) ´ fm(c˚
m )A
˚
m

l
R
Sm
( ) d =
R
T
+
m
( ) ds +
R
T
`
m
( ) ds
l Cada integral será aproximada por la
suma de los valores del argumento en los
centroides rc˚
m de los triángulos T
˚
m , que
conforman el subdominio espacial Sm, mul-
tiplicados por las áreas A
˚
m respectivas:
R
T
˚
m
Lfn ´ fm ds ı Lfn(rc˚
m ) ´ fm(c˚
m )A
˚
m
l La integral a resolver tiene la forma:
hLfn; fmi =
R
Sm
(|!An + rΦn) ´ fm ds

Solución numérica de h|!An; fmi
l La integral:
hLfn; fmi =
R
Sm
l consta de dos partes:

l La integral:
hLfn; fmi =
R
Sm
l hLfn; fmi = h|!An; fmi + hrΦn; fmi.

l La integral:
hLfn; fmi =
R
Sm
l La solución de la parte h|!An; fmi se
obtiene directamente de la aplicación de la
aproximación indicada:
h|!An; fmi ı |! ‘m
2
[An(rc+
m ) ´ c+
m + An(rc`
m ) ´ c`
m ]

l La integral:
hLfn; fmi =
R
Sm
l La solución de la parte h|!An; fmi se
obtiene directamente de la aplicación de la
aproximación indicada:
h|!An; fmi ı |! ‘m
2
[An(rc+
m ) ´ c+
m + An(rc`
m ) ´ c`
m ]
donde An(rc˚
m ) = —
4ı
R
Sn
fn(r0
)e`|»jrc˚
m `r0j
jrc˚
m `r0j
ds0
.

Solución numérica de hrΦn; fmi
l La integral
R
Sm
rs Φn ´ fm ds se puede
resolver usando la identidad:

l La integral
R
Sm
l rs ´ (ffiF) = rs ffi ´ F + ffirs ´ F.

l La integral
R
Sm
l rs ´ (ffiF) = rs ffi ´ F + ffirs ´ F.
l Tomando en cuenta que el flujo de Φnfm
a través del perímetro de Sm es nulo, será:
hrΦn; fmi = `
R
Sm
Φnrs ´ fm ds

l La integral
R
Sm
l rs ´ (ffiF) = rs ffi ´ F + ffirs ´ F.
hrΦn; fmi = `
R
Sm
Φnrs ´ fm ds
l Aproximando esta integral como se ha indicado, se obtiene:
hrΦn; fmi ı ‘m[Φn(rc`
m ) ` Φn(rc+
m )]

l La integral
R
Sm
l rs ´ (ffiF) = rs ffi ´ F + ffirs ´ F.
hrΦn; fmi = `
R
Sm
Φnrs ´ fm ds
l Aproximando esta integral como se ha indicado, se obtiene:
hrΦn; fmi ı ‘m[Φn(rc`
m ) ` Φn(rc+
m )]
donde Φn(rc˚
m ) = ` 1
4ı"
R
Sn
rs ´fn (r0)
|!
e`|»jrc˚
m `r0j
jrc˚
m `r0j
ds0
.

Solución numérica de Lfn
l La integral Lfn se resolverá numérica-
mente.

mente.
l Mediante la subdivisión baricéntrica de
cada triángulo T
˚
n :
R
T
˚
n
g(r0
) ds0
ı
A
˚
n
9
P9
k=1 g(rc
k˚ )

mente.
cada triángulo T
˚
n :
R
T
˚
n
g(r0
) ds0
ı
A
˚
n
9
P9
k=1 g(rc
k˚ )
l Donde A
˚
n es el área del triángulo T
˚
n , rc
k˚
es el vector de posición del sub-centroide del
sub-triángulo k˚
-ésimo.

mente.
cada triángulo T
˚
n :
R
T
˚
n
g(r0
) ds0
ı
A
˚
n
9
P9
k=1 g(rc
k˚ )
l Donde A
˚
˚
n , rc
k˚
sub-triángulo k˚
-ésimo.
l Así:

mente.
cada triángulo T
˚
n :
R
T
˚
n
g(r0
) ds0
ı
A
˚
n
9
P9
k=1 g(rc
k˚ )
l Donde A
˚
˚
n , rc
k˚
sub-triángulo k˚
-ésimo.
l Así:
A
˚
m;n ı —
4ı
h
‘n
18
P9
i+=1

+
n (rc
i+ )g
˚
m(rc
i+ ) + ‘n
18
P9
i`=1

`
n (rc
i` )g
˚
m(rc
i` )
i
Φ
˚
m;n ı ` 1
4ı|!›
h
‘n
9
P9
i+=1
g
˚
m(rc
i+ ) ` ‘n
9
P9
i`=1
g
˚
m(rc
i` )
i
, g
˚
m(rc
i˚ ) = e
`|»jr
c˚
m `rc
i˚
j
jr
c˚
m `rc
i˚
j

Campo disperso
Cómputo del campo disperso
Aproximación del dipolo
ﬀ = limr!14ır2 jEs j2
jEi j2
Tn
+
Tn
-
ln
rn
c+
rn
c-
z
x
y
rm
l An
‰=
—In
4ı
e`|»jr`rm j
jr`rm j
R
T
˚
n
fndS

Campo disperso
jEi j2
Tn
+
Tn
-
ln
rn
c+
rn
c-
z
x
y
rm
l An
‰=
—In
4ı
e`|»jr`rm j
jr`rm j
R
T
˚
n
fndS
l
R
T
˚
n
fndS = ln(r
c`
n ` r
c+
n )

Campo disperso
jEi j2
Tn
+
Tn
-
ln
rn
c+
rn
c-
z
x
y
rm
l An
‰=
—In
4ı
e`|»jr`rm j
jr`rm j
R
T
˚
n
fndS
l
R
T
˚
n
fndS = ln(r
c`
n ` r
c+
n )
l I∆l = Inln(r
c`
n ` r
c+
n )

Campo disperso
jEi j2
Tn
+
Tn
-
ln
rn
c+
rn
c-
z
x
y
rm
l An
‰=
—In
4ı
e`|»jr`rm j
jr`rm j
R
T
˚
n
fndS
l
R
T
˚
n
fndS = ln(r
c`
n ` r
c+
n )
l I∆l = Inln(r
c`
n ` r
c+
n )
E = |!—
e`|»jr`rm j
4ıjr ` rmj
(M ` I∆l)
l donde M = (r ´ I∆l)r=r2

Caso de estudio: estimación de la RCS de objetos 3D Introducción
Sección Transversal de RADAR
l Cierto objeto es iluminado por el frente de onda (RADAR)

l Densidad de potencia «incidente»: Si
.

.
l El objeto «iluminado» intercepta una porción ﬀSi
de esta potencia.

.
l El objeto «iluminado» intercepta una porción ﬀSi
de esta potencia.
l Y la re-irradia (dispersa) isotrópicamente en una dirección dada Ss
=
ﬀSi
4ır2 .

Caso de estudio: estimación de la RCS de objetos 3D Definición
Definición
«La sección transversal de radar de un objeto se define como el área
equivalente que intercepta cierta cantidad de potencia incidente, la cual,
al ser re-irradiada isotrópicamente, produce en el receptor de radar una
densidad de potencia igual a la dispersada realmente por el blanco.»

Deﬁnición
La RCS depende en forma complicada de los siguientes factores:

Deﬁnición
l La geometría del objeto.

Deﬁnición
l La orientación del objeto.

Deﬁnición
l Los parámetros constitutivos del objeto y medio.

Deﬁnición
l La frecuencia, y

Deﬁnición
l La frecuencia, y
l La polarización.

Caso de estudio: estimación de la RCS de objetos 3D Matemáticamente
Deﬁnición
Matemáticamente
ﬀ(»i
; »s
) = l«ım
r!1
4ır2 Ss
Si
[dBsm]

Deﬁnición
Matemáticamente
ﬀ(»i
; »s
) = l«ım
r!1
4ır2 Ss
Si
[dBsm]
donde:
l »i;s
son los vectores de onda de las ondas incidente y dispersada,
respectivamente,

Deﬁnición
Matemáticamente
ﬀ(»i
; »s
) = l«ım
r!1
4ır2 Ss
Si
[dBsm]
donde:
l »i;s
respectivamente,
l [dBsm] está por dB referidos a 1 m2
, y

Deﬁnición
Matemáticamente
ﬀ(»i
; »s
) = l«ım
r!1
4ır2 Ss
Si
[dBsm]
donde:
l »i;s
respectivamente,
, y
l el límite para r ! 1 está para indicar que los campos reirradiados se
deben tomar en la zona lejana del dispersor.

Deﬁnición
Matemáticamente
ﬀ(»i
; »s
) = l«ım
r!1
4ır2 Ss
Si
[dBsm]
donde:
l »i;s
respectivamente,
, y
Además, si se asume jEi
j = 1:

Definición
Matemáticamente
ff(»i
; »s
) = l«ım
r!1
4ır2 Ss
Si
[dBsm]
donde:
l »i;s
respectivamente,
, y
j = 1:
ff(»i
; »s
) = l«ım
r!1
4ır2
jEs
j2
[dBsm]

Definición
Matemáticamente
ff(»i
; »s
) = l«ım
r!1
4ır2 Ss
Si
[dBsm]
donde:
l »i;s
respectivamente,
, y
j = 1:
ff(»i
; »s
) = l«ım
r!1
4ır2
jEs
j2
[dBsm]
l Y la RCS puede calcularse a partir del campo disperso del «blanco»
en su zona lejana.

Caso de estudio: estimación de la RCS de objetos 3D Blancos seleccionados
Blancos seleccionados
(a) Esfera (b) Almendra de
la NASA
(c) La Cono-
esfera
(d) Ojiva simple (e) Doble ojiva

Caso de estudio: estimación de la RCS de objetos 3D Resultados
Resultados de la estimación de la Radar Cross
Section
−1
0
1
−1
0
1
−1
0
1
XY
Z
Figura: Sphere of r = 1m
with 2272 triangles and 3408
edges
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.7 1 2 3 4 5 6.2
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
2πa/λ
σ
esfera
/πa2
RCSesfera
Datos Skolnik
Figura: ﬀ=ıa2
vs 2ıa=–

Section
−0.1052
0
0.1472 −0.0488
0
0.0488
−0.0163
0
0.0163
Y
X
Z
Figura: Metalic Almond with
1792 triangles and 2688
edges
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
−60
−55
−50
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
Azimuth
RCSdBSM
RCSVV
RCSHH
DatosHH
DatosVV
Figura: ﬀHH and ﬀVV at f = 1;19
GHz

Section
−0.127
0
0.127
−0.0254
0
0.0254
−0.0253
0
0.0253
Y
X
Z
Figura: Metalic Ogive with
1900 triangles and 2850
edges
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
−60
−55
−50
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
Azimuth
RCSdBSM
sVV
sHH
dataVV
dataHH
GHz

Section
−0.0635
0
0.127 −0.0254
0
0.0254
−0.0253
0
0.0253
Y
X
Z
Figura: Metalic
Double-Ogive with 1520
triangles and 2280 edges
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
Azimuth
RCSdBSM
sHH
sVV
dataVV
dataHH
GHz

Section
−0.6051
0
0.084
−0.0746
0
0.0746
−0.0734
0
0.0734
Y
X
Z
Figura: Metalic Cone-Sphere
with 900 triangles and 1350
edges
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
Azimuth
RCSdBSM
sHH
sVV
dataHH
dataVV
Figura: ﬀHH and ﬀVV at f = 869
MHz

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