Matematica II

1. Objetivos:
 Coordenadas polaresy gráficas polares
- Comprender el sistema de coordenadas polares.
- Expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y viceversa.
- Graficar en coordenadas polares.
- Realizar un ejemplo de una gráfica polar.
Coordenadas polares
Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos(x, y) en
el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes aestas gráficas
han estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta secciónse estudiará un
sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadaspolares.
Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamadopolo
(u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, comose muestra en la
figura 10.36.
A continuación, a cada punto P en el plano se le asignancoordenadas polares (r, θ), como
sigue.
r = distancia dirigida de O a P
=ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el
eje polar hasta el segmento OP.
La figura 10.37 muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsérveseque en
este sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retícula
decircunferencias concéntricas intersecadas por rectas radiales que pasan por el polo.

2. Transformación (o cambio) de coordenadas
Para establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coincidirel
eje polar con el eje x positivo y el polo con el origen, como se ilustra en lafigura 10.38.
Puesto que ( x , y ) se encuentra en un círculo de radio “r”, se sigue que r2 = x2 + y2
Para r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que
Si r < 0, estas relaciones también son válidas, como se puede verificar.
EJEMPLO 1: Transformación (o cambio) de coordenadas polaresa rectangulares.
a) Dado el punto ( r , ) = ( 2 , ),
x = r cos = 2 cos = 2 cos 180° = 2 ( - 1 ) = -2
y = r sen = 2 sen = 2 sen 180° = 2 ( 0 ) = 0
Por lo tanto las coordenadas rectangulares son ( x , y ) = ( -2 , 0 )

3. b) Dado el punto ( r , ) = ( , )
x = r cos = cos = cos 30° = ( ) =
y = r sen = sen = sen 30° = ( ) =
EJEMPLO 2: Transformación (o cambio) de coordenadasrectangulares a polares.
a) Dado el punto del segundo cuadrante ( x , y ) = ( -1 , 1 )
= = -1 = (-1) = 135° =
Como se eligió que en el mismo cuadrante que ( x , y ), se debe usar un valor positivo para
r.
r = = =
Esto implica que el conjunto de coordenadas polares es ( r , ) = ( , ).
b) Dado que el punto ( x , y ) = ( 0 , 2 ) se encuentra en el eje “y” positivo, se elije
= /2y r = 2, y un conjunto de coordenadas polares es ( r , ) = ( 2 , /2 ).

4. Nota: Una forma de bosquejar la gráfica de a mano es elaborar una tabla de
valores.
Si se amplía la tabla, y se representan los puntos gráficamente, se obtiene la curva mostrada
en la figura siguiente.
La figura recibe el nombre de Rosa de Tres Pétalos.