Maria jose slideshare

 
Transformadas de Fourier
 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 –
1830)
 Contribuyo a la idea de que una
función puede ser representada por
la suma de funciones sinusoidales
f (t)  cak
k 1
cos(
2kt
)
T
bk
k 1
sin(
2kt
)
T

Trasformada de Fourier
 Es interesante descomponer una
señal en sinusoides por la:
• FIDELIDAD SINUSOIDAL
 Eso garantiza que si entra un
sinusoide a un sistema lineal solo
variará su fase y su amplitud pero su
frecuencia sera la misma

 Dependiendo del tipo de función que
se desee transformar se utilizan
diferentes métodos

 Aperiodiodicas
Continuas
Transformada de Fourier
 Periódicas Continuas
Series de Fourier
 Aperiódicas Discretas
T. Discreta en Tiempo de
Fourier
 Periódicas Discretas
Transformada Discreta de

 Nosotros manejamos señales con un
número finito de muestras
Hay dos opciones
• Convertirlas a Aperiódicas Discretas
• Convertirlas a Periódicas Discretas
 Para sintetizar una señal aperiódica
se necesita un número infinito de
sinusoides

Por lo tanto nos concentraremos en
la Transformada Discreta de Fourier
 Llamada más comúnmente por su
siglas en ingles DFT
 Para hacerlo debemos pensar en la
señal digital como periódica, o sea
que se repite indefinidamente

 Existen dos maneras de atacar
matemáticamente la DFT
• DFT Sinusoidal (Real)
• DFT Exponencial (Complejo)

 
DFT Real
 Se basa en calcular los coeficientes
de la siguiente ecuación:
x[n] 
N /2
ak
k 0
cos(2kn / N) )

N /2
bk
k 0
sin(2kn/ N)
Re X[n] 
Im X[n] 
a[n]
b[n]

DFT Complejo
 Se basa en la identidad
eix
 cos(x)  isen(x)
 De tal manera que:

Real vs. Complejo
 La verdadera transformada de
Fourier es compleja por naturaleza
 Hacerla real permite estudiarla
mejor, pero introduce ciertos
problemas
 Nosotros utilizaremos las dos
dependiendo de la aplicación

El dominio de la frecuencia
 Aplicar la transformada de fourier a
una señal en el dominio del tiempo
tiene como efecto expresar esa señal
en el dominio de la frecuencia
 X[n]=DFT(x[n])
 Por lo tanto el eje x de la
transformada de fourier representa
frecuencia

El dominio de la frecuencia
 El eje x se puede expresar de 4
maneras:
• Fracción de la frecuencia de Muestreo
• Número de Muestra
• Frecuencia Natural (radianes)
• Frecuencia Absoluta

Inversa de la DFT
 Así como podemos ir del dominio del
tiempo al dominio de la frecuencia
 Usamos la inversa de la DFT para
pasar de la frecuencia al tiempo
 Por lo tanto podemos ver que al
pasar del tiempo a la frecuencia solo
estamos expresando la misma
información de otra manera

Inversa de la DFT
 Eso nos lleva a un concepto muy
importante en analisis de señales y
sistemas: Dualidad

Cálculo de la DFT
 Hay 3 métodos para calcular la DFT
• DFT por ecuaciones simultaneas
• DFT por correlación
• FFT
 Hoy veremos los dos primeros

 
DFT por ecuaciones
simultaneas
 Tenemos N valores en tiempo y hay
que calcular N valores en frecuencia
 Debemos escribir N ecuaciones
lineales independientes
x[n] 
N /2
ak
k 0
cos(2kn / N) )

N /2
bk
k 0
sin(2kn/ N)

 x[1]
N /2
ak
k 0
cos(2/ N) 
N /2
bk
k 0
sin(2k / N)

DFT por ecuaciones
simultaneas
 Se puede resolver usando los
métodos como Eliminación de Gauss
 Pero en la práctica es muy lento
 Solo se utiliza de manera teórica

DFT por correlación
 Correlacionamos la señal original con
cada una de las funciones
sinusoidales base
 Esto significa multiplicar cada punto
de la señal de entrada por la función
sinusoidal y luego sumar todos los
puntos

M


DFT por correlación
c[n] a[i]b[i]
i0
Re X[k] 
N1
i0
x[i]cos(2ki / N)
Im X[k] 
N1

i0
x[i]sin(2ki / N)

Notación Polar
 Tal como representamos a la función
en frecuencia con una parte real y
una imaginaria podemos expresarla
en forma de Magnitud y Fase
 Mag X[0] y Fas X[0] son calculadas a
partir de Re X[0] y Im X[0] y asi con
las demas muestras

Notación Polar
 Esta forma de representar la función
en frecuencia nos ayuda a
visualizarla mejor

Notación Polar
 Se calcula de la siguiente manera

Notación Polar
 Usamos la notación polar para
visualizar la señal
 Usamos la notación rectangular para
hacer los cálculos

Análisis Espectral
 Como ya vimos, en muchas señales,
la información no esta codificada en
la forma de la señal, sino en su
frecuencia
 Ejemplo de esto:
• Sonido
• Radar Submarino
• Color

Análisis Espectral
 Para analizar este tipo de señales el
dominio del tiempo es insatisfactorio
 Trate de analizar su voz simplemente
viendo a forma de la señal en tiempo
 Se utiliza la transformada de fourier
para representar estas señales en
frecuencia y asi poderlas analizar

Análisis Espectral
x 104
3
Vowel A
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
Time(seconds)

Análisis Espectral
 Obtenemos la transformada de
Fourier
 Obtenemos la parte real y la
graficamos

Análisis Espectral
10
12
Vowel A (256 samples - hamming)
10
11
10
10
109
108
107
106
105
10
4
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Frequency(Hz)
Power

Análisis Espectral
 Vamos tomando grupos de muestras
y realizamos la misma técnica y
luego las graficamos juntas

Análisis Espectral
Sid .txt, 256, hamming
a
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Seconds
Hz

Análisis Espectral
 A representar una función en sus
componentes de frecuencia se le
llama Análisis Espectral
 Nos permite saber que frecuencias
están presentes dentro de una señal

Análisis Espectral
 Al tomar un grupo de muestras
estamos multiplicando la función por
una ventana cuadrada
 Eso provoca distorsiones en las
frecuencias obtenidas

Ventanas
 Existen varias ventanas
• Cuadrada
• Barlett (triangulo)
• Welch (parabola)
• Hann (Hanning)
• Hamming

Cuadrada Vowel O - SQUARE (256 samples)
Ventanas
Barlett
10
12
10
10
108
106
104
102
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Frequency(Hz)
Welch HannVowel O - WELCH (256 samples) Vowel O - HANN (256 samples)
10
12
10
12
10
10
10
10
108 10
8
106
10
6
104
10
4
102
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Frequency(Hz)
10
2
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Frequency(Hz)
0 1000 2000 4000 5000 6000
3000
Frequ e n cy ( H z)
10
12
10
10
108
106
104
102
Vowel O - BARTLETT (256samples)
PowerPower
Power
Power

Resolución
 Si tomamos más puntos tendremos
una mejor definición en frecuencia
 Pero empeorara la definición en
tiempo
 Si tomamos menos puntos,
tendremos una mejor definición en
tiempo
 Pero empeorara la definición de la

Resolución
Sida
i.txt, 64, hamming
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
Seconds
Hz

Resolución
Sidai.txt, 128, hamming
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
Seconds
Hz

Resolución
Sid i.txt, 256, hamming
a
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
Seconds
Hz

Resolución
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
Seconds
Hz

Respuesta en Frecuencia
 Asi como en el dominio del tiempo
un sistema puede ser caracterizado
por su Respuesta a Impulso
 En la Frecuencia un sistema se
caracteriza por su Respuesta en
Frecuencia
 La relación entre las dos es la
transformada de Fourier

Respuesta en Frecuencia
 Muchas veces podemos entender
mejor el funcionamiento de un
sistema si analizamos la Respuesta a
Frecuencia en vez de la Respuesta a
Impulso

Convolución en Frecuencia
 Si
• x[n] * h[n] = y[n]
 Entonces
• X[f] ? H[f] = Y[f]
 Respuesta
• Multiplicación

Convolución en Frecuencia
 Convolucionar dos señales en el
dominio del tiempo, significa
multiplicarlas en el dominio de la
frecuencia
 Y viceversa

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