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Aplicaciones Especiales
Mag. Alejandro Oscar Chambergo García
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I 2021-1
5
3

1. Mezcla de Productos
• Una empresa produce 2 tipos de Televisores, el LED y el LCD.
• Hay 2 líneas de producción, uno para cada tipo de televisor, y 2 departamentos que intervienen
ambos en la producción de cada aparato.
• La capacidad de la línea de producción LED es de 70 televisores diarios y la línea de LCD es de
50 televisores por día.
• En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento los televisores LED
requieren 1 hora de trabajo y los de LCD 2. Actualmente, en el departamento A se puede asignar
un máximo de 120 horas de trabajo por día a la producción de ambos tipos de televisor.
• En el departamento B se construye el chasis. En este departamento, los televisores LED
requieren 1 hora de trabajo, igual que los LCD.
• En la actualidad se puede asignar un máximo de 90 horas de trabajo diarias al departamento de B
para la producción de ambos tipos de televisores.

La utilidad por cada tipo de televisor es de US$ 20 y US$ 10 respectivamente, para cada LED y
LCD. Ver cuadro.
Sí la empresa puede vender todos los televisores que se produzcan, ¿Cuál debe ser el plan de
producción diaria de cada tipo de televisor? Plantear este problema como un programa lineal
Uso de trabajo por tipo
(horas)
Disponibilidad diaria Dpto. A Dpto. B Utilidad
LED 70 1 1 $ 20
LCD 50 2 1 $ 10
TOTAL 120 90

Solución
X1 = Producción diaria de TV LED (aparatos por día)
X2 = Producción diaria de TV LCD (aparatos por día)
Maximizar 20 X1 + 10 X2
Sujeto a :
Línea1) X1 ≤ 70
Línea2) X2 ≤ 50
DptoA) X1 + 2 X2 ≤ 120
DptoB) X1 + X2 ≤ 90
NoNegat) X1, X2 ≥ 0

• Una bolsa de 16 onzas de alimentos para perros debe contener proteínas, carbohidratos y grasas
en las siguientes cantidades mínimas: proteínas, 3 onzas; carbohidratos, 5 onzas; grasas, 4
onzas.
• Se van a mezclar cuatro tipos de alimento en diversas proporciones para producir una bolsa de
alimento para perro que satisfaga los requerimientos.
• Los contenidos y precios de 16 onzas de cada alimento se pueden ver el cuadro siguiente (datos
en onzas)
• Formule este problema como un programa lineal.
Alimento
Contenido
Proteínas
Contenido
Carbohidratos
Contenido Grasas Precio
1 3 7 5 $ 4
2 5 4 6 $ 6
3 2 2 6 $ 3
4 3 8 2 $ 2

Solución
Xi la proporción del alimento i que habrá en una bolsa de 16 onzas de alimento
para perro, i = 1,2,3,4
Minimizar 4X1 + 6X2 + 3X3 + 2X4
Sujeto a:
Proteina) 3 X1 + 5 X2 + 2 X3 + 3 X4 ≥ 3
Carbohi) 7 X1 + 4 X2 + 2 X3 + 8 X4 ≥ 5
Grasas) 5 X1 + 6 X2 + 6 X3 + 2 X4 ≥ 4
Total) X1 + X2 + X3 + X4 = 1
X1, X2, X3, X4 ≥ 0

• La Pro-Shaft Company fabrica y vende tres líneas de raquetas de tenis: A, B y C:
A es una raqueta “estándar”, B y C son raquetas “profesionales”.
• El proceso de manufactura de las raquetas hace que se requieran dos
operaciones de producción; todas las raquetas pasan a través de ambas
operaciones.
• Cada raqueta requiere 3 horas de tiempo de producción en la operación 1. En la
operación 2 la raqueta A requiere 2 horas de tiempo de producción; la raqueta B
requiere 4 horas y la C, 5.
• La operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción y la operación 2
tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana.

• El grupo de mercadotecnia de la Pro-Shaft ha proyectado que la demanda de la
raqueta estándar no será de más de 25 por semana.
• Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la
demanda combinada para éstas será, en total, de diez o más, pero no más de 30
por semana.
• La venta de la raqueta A da como resultado $7 de utilidades, en tanto que las
raquetas B y C proporcionan utilidades de $8.00 y $8.50, respectivamente,
• ¿Cuántas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse por semana, si la compañía
busca maximizar sus utilidades? Plantee el problema como un problema estándar
de PL.

Objetivo (verbal)
El objetivo es determinar cuántas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse por
semana, si la compañía busca maximizar sus utilidades.
Variables (estructura matemática)
Se requieren tres variables, puesto que existen tres clases de raquetas.
X1 = número de raquetas tipo A (estándar) a producir
X2 = número de raquetas tipo B a producir
X3 = número de raquetas tipo C a producir.

Función objetivo (estructura matemática)
La función objetivo debe expresarse en dólares ya que se desea maximizar las
utilidades.
Los coeficientes de la misma deben ser el aporte de las utilidades de cada una de
las raquetas.
c1 = 7,0 ; c2 = 8,0 ; c3 = 8,5
De donde la función objetivo será.
MAXIMIZAR Z = 7 X1 + 8 X2 + 8.5 X3

Restricciones (estructura matemática)
1. Restricciones por tiempo de producción
La operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción
3 x1 + 3 x2 + 3 x3 ≤50
y la operación 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana.
2 x1+ 4 x2 + 5 x3 ≤80
2. Restricción por el departamento de mercadotecnia
El grupo de mercadotecnia de la Pro-Shaft ha proyectado que la demanda de la raqueta
estándar no será de mas de 25 por semana.
x1 ≤25
Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda
combinada para éstas será, en total, de diez o mas, pero no mas de 30 por semana
x2 + x3 ≥ 10
x2 + x3 ≤30

Planteamiento
MAX Z = 7 x1 + 8 x2 + 8.5 x3
Sujeto a
3 x1 + 3 x2 + 3 x3 ≤ 50
2 x1+ 4 x2 + 5 x3 ≤ 80
x1 ≤ 25
x2 + x3 ≥ 10
x2 + x3 ≤ 30
x1 , x2 , x3 ≥ 0

4. Empresa de Muebles
• La empresa de muebles de oficina, produce dos tipos de escritorios: ejecutivos y
secretariales.
• La empresa tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1, que es
una planta antigua, opera con doble turno 80 horas por semana. La planta 2 es una
planta más nueva y no opera a su capacidad total.
• Sin embargo, y dado que los administradores planean operar la segunda planta
con base en un turno doble como el de la planta 1, se ha encontrado operadores
para que trabajen los dos turnos.
• En estos momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana.
• No se paga ninguna prima adicional a los trabajadores del segundo turno.

• La empresa ha competido con éxito en el pasado asignado un precio de US$ 350 a
los escritorios ejecutivos. Sin embargo, parece que la empresa tendrá que reducir el
precio de los escritorios secretariales a US$ 275 con el objeto de estar en posición
competitiva.
• La empresa ha estado experimentando excesos de costos en las últimas ocho o
diez semanas; por lo tanto, los administradores han fijado una restricción
presupuestaria semanal sobre los costos de producción. El presupuesto semanal
para la producción total de escritorios ejecutivos es de US$ 2,000, en tanto que el
presupuesto para los escritorios secretariales es de US$ 2,200.
• A los administradores les gustaría determinar cuál es el número de cada clase de
escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar las
utilidades.

• La tabla siguiente, muestra el tiempo de producción (en horas por unidad) y los
costos estándar (en US$ por unidad) en cada planta.
Tiempo de producción
(hrs/unidad)
Costo Estándar ($/unidad)
Planta 1 Planta 2 Planta 1 Planta 2
Escritorios ejecutivos 7 6 250 260
Escritorios
Secretariales
4 5 200 180

Objetivo (Verbal)
La empresa necesita determinar el número de escritorios ejecutivos y secretariales que deben
fabricarse en la planta 1 y los que deben fabricarse en la planta 2 con el objeto de maximizar las
utilidades.
La utilidad por unidad en las respectivas plantas es la diferencia entre el precio de venta y los
costos estándar
Variables (Estructura matemática)
Dado que es necesario determinar la cantidad de cada tipo de escritorio que va a fabricarse en la
planta 1 y en la planta 2, se requieren cuatro variables:
X1 : número de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 1
X2 : número de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 1
X3 : número de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 2
X4 : número de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 2

Coeficientes de la función objetivo (estructura matemática)
La función objetivo se expresará en US$, puesto que el objetivo es maximizar las utilidades; por lo
tanto, los coeficientes Cj se expresarán en US$ por unidad, dado que las Xj están expresadas en
unidades.
Los coeficientes Cj se determinan encontrando la diferencia entre el precio de venta de un
determinado tipo de escritorio y los costos estándar implicados en la fabricación de ese escritorio en
la planta específica.
Por lo tanto:
C1 = 350 – 250 = $100 / escritorio ejecutivo fabricado en la planta 1
C2 = 275 – 200 = $75 / escritorio secretarial fabricado en la planta 1
C3 = 350 – 260 = $90 / escritorio ejecutivo fabricado en la planta 2
C4 = 275 – 180 = $95 / escritorio secretarial fabricado en la planta 2
Función Objetivo (Estructura matemática)
Maximizar Z = 100 X1 + 75 X2 + 90 X3 + 95 X4

Restricciones (Estructura matemática)
Puesto que las unidades de medición pueden diferir de una restricción a otra, se considera cada una
de ellas en forma separada.
1. Límite del tiempo de producción en la planta 1 ( 80 horas)
(7.0 horas por unidad) x ( X1 unidades) + (4.0 horas unidad) x (X2 unidades) ≤ 80 horas
2. Límite del tiempo de producción en la planta 2 ( 50 horas)
(6.0 horas por unidad) x ( X3 unidades) + (5.0 horas unidad) x (X4 unidades) ≤ 50 horas
3. Restricción de costos de los escritorios ejecutivos ( US$ 2,000)
(250 US$ por unidad) x ( X1 unidades) + (260 US$ unidad) x (X3 unidades) ≤ US$ 2,000
4. Restricción de costos de los escritorios secretariales ( US$ 2,200)
(200 US$ por unidad) x ( X2 unidades) + (180 US$ unidad) x (X4 unidades) ≤ US$ 2,200

Planteamiento Matemático
Maximizar Z = 100 X1 + 75 X2 + 90 X3 + 95 X4
Sujeto a
7.0 X1 + 4.0 X2 ≤ 80 horas
6.0 X3 + 5.0 X4 ≤ 50 horas
250 X1 + 260 X3 ≤ US$ 2,000
200 X2 + 180 X4 ≤ US$ 2,200
X1, X2, X3, X4 ≥ 0

5. La Ware Farms del Valle Schoharie
Solución
Objetivo (verbal)
• El objetivo es determinar cuántos acres de brócoli y cuántos de coliflor deben cultivarse
para maximizar las utilidades
Restricciones (verbales)
1.Se tiene un terreno de 500 acres .
2.Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse mas de 200 acres de
brócoli
3.Durante la temporada de plantación, habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo
de plantadores
• Se requieren dos variables, puesto que existen dos clases de cultivos.
X1 = acres de terreno sembrado de brócoli
X2 = acres de terreno sembrado de coliflor

• Con base en el planteamiento verbal del problema, se concluye que la función
objetivo debe expresarse en dólares, puesto que el objetivo consiste en
maximizar los ingresos esperados; Los coeficientes cj para el problema son los
rendimientos esperados por acre sembrado
c1 = 500 y c2 = 1000
Por lo que la función objetivo será
MAXIMIZAR Z = 500 X1 + 1000 X2

1. Restricción del área de cultivo
Se tiene un terreno de 500 acres para sembrar brócoli y coliflor
X1 + X2 ≤ 500
2. Restricción por reglamentos gubernamentales
Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse mas de 200 acres
de brócoli
X1 ≤ 200
3. Restricción de la mano de obra
Se tiene disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores
2.5 X1 + 5.5 X2 ≤ 1200

Planteamiento matemático
MAXIMIZAR Z = 500 X1 + 1000 X2
Sujeto a:
X1 + X2 ≤ 500
X1 ≤ 200
2.5 X1 + 5.5 X2 ≤ 1200
X1, X2 ≥ 0

6. La Higgins Company
• La Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en
los motores de automóviles de carreras.
• La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación y son necesarias
cantidades mínimas de diversos metales.
• Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de acero colado.
• Existen 4 tipos de mineral disponible para el proceso de acero forjado y
refinación.
• El mineral de tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado
por libra.
• Una libra de mineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de
acero colado.

• Una libra de mineral de tipo 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de
acero colado.
• Por ultimo, el mineral de tipo 4 contiene ½ onza de plomo, 1 de cobre y 8
onzas de acero colado por libra.
• El costo por libra para los cuatro minerales es $ 20, $ 30, $ 60 y $ 50,
respectivamente.
• A Higgins le gustaría mezclar los minerales de manera que se satisfagan las
especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas.
• Defina las variables de decisión y plantee el apropiado modelo de PL.

SOLUCION
Objetivo (verbal)
• Fabricar piezas de metal de alta precisión que se usan en los motores de
automóviles de carreras, mezclando los minerales de manera que satisfagan las
especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas.
Restricciones (verbales)
• Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de acero colado
• Se requieren seis variables.
X1 = libras del mineral del tipo 1

• Con base en el planteamiento verbal del problema, se concluye que la función
objetivo debe expresarse en dólares, puesto que el objetivo consiste en
minimizar los egresos esperados.
• Los coeficientes cj para el problema es el costo por libra de los 4 tipos de
mineral
c1 = 20 ; c2 = 30 ; c3 = 60 y c4 = 50
• La función objetivo es:
MINIMIZAR Z = 20 X1 + 30 X2 + 60 X3 + 50 X4

1. Restricción de requerimiento de metal
2. Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de acero colado
4 X1 + 2 X2 + X3 + 0.5 X4 ≥ 40
2 X1 + 6 X2 + 4 X3 + X4 ≥ 48
2 X1 + 6 X2 + 4 X3 + 8 X4 ≥ 60

MINIMIZAR Z = 20 X1 + 30 X2 + 60 X3 + 50 X4
Sujeto a:
4 X1 + 2 X2 + X3 + 0.5 X4 ≥ 40
2 X1 + 6 X2 + 4 X3 + X4 ≥ 48
2 X1 + 6 X2 + 4 X3 + 8 X4 ≥ 60
X1, X2 , X3 , X4 ≥ 0

7. Asignación de personal
• El hospital María Auxiliadora ha decidido ampliar su servicio de urgencias (abierto
las 24 horas) con la consiguiente necesidad de nuevo personal de enfermería.
• La gerencia del hospital ha estimado las necesidades mínimas de personal por
tramos horarios para poder cubrir las urgencias que se presenten. Se definieron
6 turnos o tramos de 4 horas. La necesidad mínima de personal en cada turno se
indica en el Cuadro 1.
• Por otro lado, el departamento de recursos humanos ha informado a la gerencia,
que los contratos laborales han de ser de ocho horas seguidas, según el
Convenio firmado con los sindicatos, independientemente de los horarios de
entrada y salida del personal.

• El problema es encontrar el número mínimo de personal necesario para cubrir la
demanda.
• Cuadro 1: Necesidades de personal por turnos o tramos horarios.
Tramos Horarios
J 1 2 3 4 5 6
Turno
0:00 a
4:00
4:00 a
8:00
8:00 a
12:00
12:00 a
16:00
16:00 a
20:00
20:00 a
24:00
Personal 9 5 3 7 5 6

SOLUCION
Formulación del Problema
• En primer lugar, se tienen que definir las variables del modelo que
queremos desarrollar. Como hemos de controlar en número de personal en
cada turno, definimos Xj como la cantidad de personal que entra a trabajar
en el turno j, en donde j=1,...,6. Es decir, hay una variable para cada turno.
• Las restricciones del modelo tienen que reflejar la necesidad de que la
cantidad de personal que entren en el periodo j más el número de personas
que entraron a trabajar en el turno j-1 sean suficientes para cubrir las
necesidades del turno j (Nj). Esta situación queda reflejada en el Cuadro 2.

• En esta tabla, un trabajador que entra a trabajar, por ejemplo, a las 4:00,
trabajará en los turnos 2 y 3, y por tanto, contribuirá a cubrir las necesidades
de estos dos turnos. En otras palabras, el turno j estará siendo atendido por
Xj-1 y Xj.
• En consecuencia, tendremos que Xj-1 + Xj (el personal que trabaja durante
el turno j) tiene que ser, como mínimo, igual a Nj, que es el número mínimo
de personal de enfermería necesario para este turno.
• En términos matemáticos la restricción es la siguiente:
Xj-1 + Xj ≥ Nj
• Habrá una restricción para cada horario de entrada.

Tramos Horarios
J 1 2 3 4 5 6
Turno
0:00 a
4:00
4:00 a
8:00
8:00 a
12:00
12:00 a
16:00
16:00 a
20:00
20:00 a
24:00
0:00 X1 X1
4:00 X2 X2
8:00 X3 X3
12:00 X4 X4
16:00 X5 X5
20:00 X6 X6
Personal 9 5 3 7 5 6

• El objetivo de la gerencia consiste en la minimización del número total de
personal de enfermería necesario para cubrir las necesidades diarias.
• Este número será igual a X1 +X2 +X3 +X4 +X5 +X6 que representa la suma
del número de personal que entra en cada periodo.
• Minimizar Z= X1 +X2 +X3 +X4 +X5 +X6

Minimizar Z= X1 +X2 +X3 +X4 +X5 +X6
Sujeto a
X1 + X6 ≥ 9
X1 + X2 ≥ 5
X2 + X3 ≥ 3
X3 + X4 ≥ 7
X4 + X5 ≥ 5
X5+ X6 ≥ 6
X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0

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