2. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS.
-Conjunto.
Un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un
objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas,
números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro)
pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
Un conjunto es representado por una letra mayúscula, encerrándose sus
elementos, separados por comas, entre llaves.
CLASES DE CONJUNTOS.
-Conjunto Universal
Cuando definimos un conjunto debemos
especificar de donde se están tomando los
elementos que lo conforman.
Esto significa que debe existir una base
de la cual tomamos los elementos, esta
base sobre el cual trabajamos es
llamada conjunto universal. Usaremos
siempre la letra U para representar el
conjunto universal.
Por ejemplo, si se quiere definir B como el
conjunto conformado por las vocales a e i,
el conjunto universal podría ser el conjunto de las vocales. En la figura anterior
se muestra cómo puedes usar los diagramas de Venn para representar la
relación entre el conjunto B y su conjunto universal U.
Se puede observar en la imagen que el conjunto universal puede tener
exactamente los elementos de los conjuntos que abarca o más.
3. -Conjunto vacío
Consideremos la existencia de un conjunto que no
tiene elementos, este es llamado conjunto vacío.
Para representar dicho conjunto usamos el
reconocido símbolo del vacío, como se muestra en
la imagen de la derecha. También, haciendo uso de
la descripción por extensión, representamos el
conjunto vacío por medio de los corchetes {}.Como
el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos
ubicar ningún elemento en el interior de los
corchetes.
-Conjuntos unitarios
El conjunto unitario se distingue por tener solo
un elemento. No importa qué tipo de elemento
tenga el conjunto, un gato, un perro, un número,
una letra, o cualquier otra cosa, si tiene un solo
elemento es llamado conjunto unitario.
-Conjuntos finitos
Este tipo de conjunto también se distingue
por la cantidad de elementos que
posee. Un conjunto es finito si podemos
contar la cantidad de elementos que lo
conforman.
Por ejemplo, el conjunto de las letras es
finito porque en total son 27 letras. En la
imagen se muestran otros conjuntos
finitos. Se puede dar cuenta que los
conjuntos unitarios también son finitos.
4. -Conjuntos infinitos
Los conjuntos infinitos son aquellos a
los cuales no les podemos contar la
cantidad de elementos que los
componen. El método más fácil para
representar este tipo de conjuntos es
por comprensión. Basta con mencionar
las características que tienen en común
los elementos del conjunto y los
estaremos determinando a
todos. Considera el conjunto de los
números que terminan en tres,
podríamos definirlo así: Sea
T= {x|x es número y termina en tres}.
También existe una manera de representar algunos conjuntos infinitos por
extensión. Basta exhibir los primeros elementos del conjunto e indicar con
puntos suspensivos que la lista continua indefinidamente. En el caso del
conjunto T, definido en el párrafo anterior y conformado por los números que
terminan en tres, se tiene
T= {3, 13, 23, 33, 43,53,...}
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Relación de pertenencia
Se puede representar gráficamente
la relación de pertenencia por medio
de diagramas de Venn dibujando el
elemento dentro de un círculo que
representa el conjunto.
Se usa el símbolo que se muestra en
la figura de la izquierda como
el símbolo de la pertenencia. Si
queremos representar que cierto
objeto no pertenece a determinado
conjunto usaremos el mismo
símbolo atravesado por una línea,
como se muestra en la figura de la
derecha.
5. Veamos cómo debe ser usado este símbolo:
En el ejemplo se puede ver que el conjunto unitario E, el cual está conformado
por el elemento 1. Los símbolos del lado derecho representan de forma escrita
lo mismo que el diagrama de Venn.
La expresión 1∈E debe ser leída como “1 pertenece a E” o “1 está en E”. Se
puede apreciar también que a no está en el conjunto E, la expresión a∉E debe
leerse como “a no pertenece a E” o “a no está en E”.
Mira este otro ejemplo, en la imagen de la derecha se muestra el conjunto D
conformado por los elementos c, d y a. Para decir que estos elementos
pertenecen al conjunto D, usaremos la siguiente expresión: “c, d, a ∈ D”, que se
lee: “c, d y a pertenecen a D”. ¿Ves que los elementos 1, 2 y 3 no están en el
conjunto D? Para representar esta situación puedes usar la expresión:
“1,2,3∉D”, que se lee como “1, 2 y 3 no pertenecen a D”.
6. Relación de contenencia
Existen distintos dos tipos de relaciones entre conjuntos.
Relación de contenencia y subconjuntos
Definamos como F y G los conjuntos que se muestran en el siguiente diagrama
de Venn:
Como podemos observar cada elemento que pertenece al conjunto G, pertenece
también al conjunto F. Cuando se da esta situación decimos que
un conjunto está contenido en el otro, o que es un subconjunto del otro.
En este caso G está contenido en F, o lo que es igual, G es subconjunto de F.
La manera correcta de representar la relación de contenencia es dibujar un
conjunto dentro del otro. Para el caso de los conjuntos F y G definidos
anteriormente, la representación correcta es como se muestra en la figura de
abajo.
También es posible representar de forma escrita la relación de contenencia entre
conjuntos.
7. Se usa el símbolo que se muestra en la figura como el símbolo de la
contenencia. Si queremos representar la no contenencia de conjuntos
usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea como se muestra en la
figura de la derecha.
Definamos los conjuntos H={a,c,e}, I={a,e} y J={c,e,h}
Un conjunto está contenido en otro si cada uno de sus elementos pertenece
también al otro conjunto.
En este caso cada elemento del conjunto I pertenece también al conjunto H,
decimos entonces que I está contenido en H, o que I es subconjunto de H.
Si observamos con atención, se nota que hay un elemento de J que no está
en H. Es decir, no se cumple la condición que cada elemento de J esté también
en H. Se puede asegurar entonces que J no está contenido en H, o lo que es
igual, que J no es subconjunto de H.
Para representar estas relaciones a través del símbolo de contenencia se
escribe de la manera que puedes ver en la figura de la derecha. Estas
expresiones se leen así: “I está contenido en H”, o “I es subconjunto de H”, y
“J no está contenido en H”, o “J no es subconjunto de H”.
Es importante representar gráficamente la relación de contenencia entre
conjuntos. Para el caso de nuestros conjuntos I, J y H, se pueden representar
de la siguiente manera:
8. Relación de igualdad
Observa los conjuntos K y L definidos así: K={p,q,r,q,s,r,p} y L={s,r,p,q}.
Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos
elementos. Una forma práctica de establecer si dos conjuntos son iguales es
determinar si se contienen el uno al otro.
Por ejemplo, para verificar si los conjuntos K y L de la imagen son
iguales debemos verificar si K⊆L y además L⊆K
Entonces que K es igual a L y lo notamos de la siguiente manera: K=L.
9. En este caso no importó que algunos elementos estuvieran repetidos, o en qué
orden estuvieran presentados los elementos. Resultaría igual escribir por
ejemplo: {p,q,r,q,s,r,p} que {r,s,p,q} o que {p,r,q,s}, es
decir: {p,q,r,q,s,r,p}={r,s,p,q}={p,r,q,s}
Si se da el caso que dos conjuntos no son iguales usamos el símbolo ≠. De esta
manera la expresión A≠B debe ser leída como “A es diferente a B”, o “A y B no
son iguales”.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Unión de conjuntos
Supongamos que tenemos los conjuntos M y N definidos como se muestra en
la siguiente figura:
Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan
a M o a N. A este nuevo conjunto le llamamos unión de M y N, y lo notamos de
la siguiente manera: M∪N.
En la imagen de abajo puedes observar el
resultado de unir los conjuntos M y N.
Al elegir qué elementos estarán en la
unión de nuestros conjuntos M y N,
debes preguntarte cuáles están en el
conjunto M “o” en el conjunto N. El
resultado de la operación será el conjunto
conformado por todos los elementos del
conjunto universal U, que cumplan la
condición de estar en uno o en otro.
Tenemos en este caso:
M∪N= {a,c,b,g,e,1}.
10. Intersección de conjuntos
Tomando como ejemplo los conjuntos M y N definidos anteriormente. Podemos
determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros
conjuntos M y N tienen en común. A este nuevo conjunto le llamamos
intersección de M y N y lo notamos de la siguiente manera: M∩N.
Para determinar qué elementos pertenecen a la intersección de los
conjuntos M y N se puede preguntar qué elementos están en M “y” en N. Todos
los elementos del conjunto U que cumplan esta condición deberán estar en el
conjunto M∩N. En la figura de la arriba podemos ver la intersección de nuestros
conjuntos M y N, tenemos que M∩N= {b}.
Diferencia de conjuntos
En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén
en el otro. Por ejemplo, si realizas la operación M menos N, debes seleccionar
los elementos de M que no están en N. Representamos la diferencia M menos
N así: MN. Observa que en este caso MN={a,c}.
11. Diferencia simétrica de conjuntos
En esta ocasión se deben escoger los
elementos de M que no están en N, y los
elementos de N que no están en M. Puedes
ver el resultado de la diferencia
simétrica entre M y N en la
figura. Representamos la diferencia simétrica
a través del símbolo Δ.
En el caso de nuestros conjuntos M y N
tenemos: MΔN= {a, c, g, 1, e}.
Complemento de un conjunto
Decimos que el complemento de M es el
conjunto conformado por todos los elementos
del conjunto universal U, que no pertenecen al
conjunto M. Es común usar los
símbolos Mc, M, o M′ para representar el
complemento del conjunto M, nosotros
usaremos el símbolo Mc.
En nuestro caso
tenemos Mc={j,f,g,1,e,i,h} y Nc={i,h,j,f,a,c}.
Potencia de un conjunto.
El conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los
subconjuntos del mismo. Por ejemplo, el conjunto potencia de A = {1, 2, 3} es:
El conjunto potencia de A también se denomina conjunto de las partes de A,
o conjunto de partes de A se denota por P(A) o 2A.
El conjunto potencia de A es la clase o colección de los subconjuntos de A:
El conjunto potencia de A (o conjunto de parteso conjunto de las partes) es el
conjunto P(A) formado por todos los subconjuntos de A:
El conjunto potencia de A también se denota por 2A.
12. Ejemplos
El conjunto potencia de A = {a, 2, c} es:
El conjunto potencia de B = { x } es:
Propiedades
El conjunto potencia de cualquier conjunto contiene al menos un subconjunto.
Además no es equipo tente con la base.1 2
El conjunto vacío está en el conjunto potencia de cualquier conjunto:
Un conjunto cualquiera siempre es un elemento de su conjunto potencia:
Cardinal
El número de elementos del conjunto potencia es precisamente una potencia del
número de elementos en el conjunto original:
El cardinal del conjunto potencia de un conjunto finitoA es 2 elevado al cardinal
de A:
Esta relación es el origen de la notación 2A para el conjunto potencia. Una
manera de deducirla es mediante los coeficientes binomiales. Si el
conjunto A tiene n elementos, el número de subconjuntos con k elementos es
igual al número combinatorio C(n, k). Un subconjunto de A puede tener 0
elementos como mínimo, y n como máximo, y por lo tanto:
Esta relación puede demostrarse también observando que el conjunto potencia
de A es equivalente al conjunto de funciones con dominio A y condominio {0,
1}, f: A → {0, 1}. Cada función corresponde entonces con un subconjunto, si se
interpreta la imagen de un elemento como un indicador de si dicho elemento
pertenece al subconjunto: 0 indica «no pertenece», 1 indica «pertenece». El
número de estas funciones características de A es precisamente 2n, si |A| = n.
13. En el caso de un conjunto infinito la identificación entre subconjuntos y funciones
es igualmente válida, y el cardinal del conjunto potencia sigue siendo igual a 2|A|,
en términos de cardinales infinitos y su aritmética. En particular, el conjunto
potencia siempre tiene un cardinal superior al del conjunto original, como
establece el teorema de Cantos, por lo que nunca existe una aplicación biyectiva
entre un conjunto y su conjunto potencia.
El mínimo de los cardinales de conjuntos potencia es 1, exactamente el del
conjunto potencia del conjunto vacío.
