Mecânica Dinâmica Momento Inércia

MECÂNICA - DINÂMICA
Dinâmica do Movimento
Plano de um Corpo Rígido:
Força e Aceleração
Cap. 17

Objetivos
Introduzir os métodos utilizados para calcular o
momento de inércia de massa de um corpo
Desenvolver as equações dinâmicas do movimento
plano para um corpo rígido simétrico
Discutir aplicações destas equações para corpos em
movimento de translação, rotação em torno de um eixo
fixo e movimento plano geral
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2

17.1 Momento de Inércia
Movimento de translação:
F = m a
Movimento de rotação:
M = I a
onde I é o momento de inércia.
O momento de inércia é uma resistência do corpo à
aceleração angular enquanto que a massa mede a
resistência do corpo à aceleração

O momento de inércia é obtido pelo cálculo do segundo
momento de massa em relação a um eixo:
2
I   r dm
m
r é o braço de momento ou a distância
perpendicular do eixo considerado até o
elemento de massa dm.

Para um corpo de densidade variável r, dm = rdV e:
2
I   r rdV
V
E para r constante:
2
I  r  r dV
V

Exemplo 17.1
Determine o momento de inércia do cilindro mostrado
em relação ao eixo z. Considere a densidade do material
constante.

Exemplo 17.1 - Solução
Usando o elemento de casca cilíndrica:
dV r h dr
dm  r dV  dm 
r 
r h dr
2 2
(2 )( )
I  r dm 
r r h dr
 
R
I  h r dr 
R h
z
R
m
z
4
0
3
0
2
2
(2 )( )
(2 )( )
r
r 
r 




2
Como a massa do cilindro
m  dm  r  r h dr  r
R h
0
2
1
2
é:
(2 )( )
Assim:
z
R
m
I 
mR
 

Teorema dos Eixos Paralelos
2
I z  IG  md
onde:
IG = momento de inércia em
torno do eixo z’ passando pelo
centro de massa G
m = massa do corpo
d = distância perpendicular
entre os dois eixos

Raio de Giração
I mk2 ou
I
k
m
 
Observe-se a semelhança com a equação do
diferencial do momento de inércia:
dI r dm 2 

Corpos compostos
Usa-se o Teorema dos Eixos Paralelos
2
I z  IG  md
Portanto para uma somatória
de corpos:
  2
z G I  I md

Exemplo 17.3
Determine o momento de inércia da placa em relação ao
eixo z perpendicular a placa passando pelo ponto O. A
placa possui densidade constante de 8000 kg/m3 e
espessura 10 mm.

A placa consiste de duas partes, um disco sólido e um
furo:
Portanto para uma somatória de corpos:
   
I  
I
O d O f O
I I m d
I I m
 
 
2
2
d O d d
f O f f
d
I
 
 

I I m
 
m V
d .
8000 (0.25) (0.01) 15.708 kg
O
d d d
0 25m
1 1
(15.71)(0.25) 0.49087
I m r
2 2
0.49087 15.708(0.25
1.4726 kg.
Disco:
 
 
 
2
2 2
2
2
2
)
m
d d d
d
d
O
d
d O
d
I
I
d
 r   

 


 

I  I 
d
O f
m V
d .
 
8000 (0.125) (0.01) 3.9270 kg
I m
Furo:
 
 
 
2
2
2
2
2
2
0 25m
1 1
(3.9270)(0.125) 0.030680
2 2
0.030
0.27612
680 3.9270(0.
k m
2
.
5)
g
f f
f
d
f f
d d d
d O
O
r
I
m
I
r 




 
 

I I I
I
 
 
O d f O
1.4726 0.27612
1.20 kg.m
Placa:
   
2
O
O
O
I


Objetivos
Introduzir os métodos utilizados para calcular o
momento de inércia de massa de um corpo
Desenvolver as equações dinâmicas do movimento
plano para um corpo rígido simétrico
Discutir aplicações destas equações para corpos em
movimento de translação, rotação em torno de um eixo
fixo e movimento plano geral

17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano
Nosso estudo será restrito para
corpos rígidos que possuem
simetria em relação a um plano
de referência. Assim todas as
forças (e momentos) atuantes no
corpo poderão ser projetadas
neste plano e o movimento a ser
estudado será planar.

Equação do Movimento de Translação:
G m  F a
Esta equação define que a soma de todas as forças
atuantes no corpo é igual a massa do corpo vezes a
aceleração do seu centro de massa G.

Equação Planar do Movimento de Translação:
 
 
F 
m a
F 
m a
x G x
y G y



Equação do Movimento de Rotação:
i i i i r F  r  f  r  m a
Diagrama de corpo livre da partícula Diagrama cinético da partícula

16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Movimento do Ponto P
 
Resumo:
v ωr
a r
a ω 2
r
2
t



n
P
P P
ω
a
    
        
v ω r v ω r
a α r ω ω r a α r r

 M 
 r 
m
a
P i i i
 M   m r  ( a  α  r 
ω
2r
) P i i P
Desenvolvendo o produto vetorial, usando os
componentes cartesianos do momento e aceleração:
       2  M m y a x a αr P i i P x P y    

Equação do Movimento de Rotação
Integrando sobre toda a massa do corpo:



 


 
     

P M ydm a xdm a α r dm 2
     
 

  

 


 

m
P y
m
P x
m




 


 
     
     
 

  

 


 

m
P y
m
P x
m
SMP representa somente momentos externos desde que os
momentos internos se anulam.





 


 
     
     
 

  

 


 

m
P y
m
P x
m
A primeira integral é a ordenada do centro de massa vezes a
massa





 


 
     
     
 

  

 


 

m
P y
m
P x
m
 segunda integral é a coordenada do centro de massa vezes a
massa





 


 
     
     
 

  

 


 

m
P y
m
P x
m
A terceira integral é o momento de inércia de massa do corpo.


P  P x  P y P
M  ym a  xm a  αI

Se o ponto P coincide com o centro de massa G:
MG  αIG
ou seja: a soma de todos os momentos
externos atuantes no corpo, calculados
em relação ao centro de massa G é igual
ao produto da aceleração angular do
corpo pelo momento de inércia em
relação a um eixo que passa por G.

Equação do Movimento de Rotação escrita em
função do momento de inércia em relação ao centro
de massa G:
P  G x  G y G
Diagrama de corpo livre Diagrama cinético

    P P x P y P
    P G x G y G
Equação do Movimento de Rotação escrita de uma
forma geral em função do momento cinético:
  P k P
M  M

Resumo:
  P k P
F m a
F m a


x G x
y G y
G G M  αI
M  M
 
 



Problema 17.A
Uma empilhadeira é constituída de uma estrutura com uma massa
de 800 kg e centro de massa em G
, conforme mostrado na figura.
Se a aceleração vertical da estrutura é de 4 m/s 2
, determine as
reações horizo
A B
ntal e vertical nos pinos e quando a carga de
elevação é de 1250 kg.
0.25 1.00 2.00
0.30
1.20

Problema 17.A - Solução
Diagrama de Corpo Livre
a=4 m/s2
0.25 1.00 2.00
0.30
1.20
BX
AX
AY
PC
xCG
PE
g=9.81 m/s2
CG

Problema 17.A - Solução
m
PC g
PE g
 1250  800

 1250  1250 9.81

 800  8

2050.0 kg

 
 
00 9.81 78
 
0


x x
7848.0 12263 2 0
 
 

A B A B

7848 12262.50 2050 4
1.5
G
 
12263 N
2050 0
28.3 kN
48.
1.00 1.2195 0
 
0
0 N
1.2195 m
28310 N
CG C
C
G
x x x x
y
x y
y
G
x
y
y
x
y
A
M
m
PC
PE
x
A
A
F ma
m
A
F
A
a

 


  
 
 

  




 
   
A 1.50  28310 1.00  1.2195  0 
A  B 
41.9 kN x x x

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