3. T´ECNICA DE INTEGRACI ´ON POR SUSTITUCI ´ON REGLA DE SUSTITUCI ´ON
T´ECNICA DE INTEGRACI ´ON POR SUSTITUCI ´ON
REGLA DE SUSTITUCI ´ON
Si u = g(x) una funci´on diferenciable cuyo rango es el intervalo I y f es una
funci´on diferenciable sobre I, entonces
f(g(x))g (x) dx = f(u) du
REGLA DE SUSTITUCI ´ON PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Si g es continua sobre [a, b] y f es continua sobre el rango de u = g(x),
entonces
b
a
f(g(x))g (x) dx =
g(b)
g(a)
f(u) du
4. T´ECNICA DE INTEGRACI ´ON POR SUSTITUCI ´ON REGLA DE SUSTITUCI ´ON
EJEMPLO
Consideremos la integral
3
1 xex2
dx. Hagamos u = x2, entonces du = 2xdx,
de donde du/2 = xdx. Entonces
3
1
xex2
dx =
u(2)=32=9
u(1)=12=1
eu du
2
=
1
2
9
1
eu
du
=
1
2
eu
|9
1
=
1
2
(e9
− e)
5. T´ECNICA DE INTEGRACI ´ON POR SUSTITUCI ´ON REGLA DE SUSTITUCI ´ON
INTEGRALES DE FUNCIONES SIM ´ETRICAS
Supongamos que f : [−a, a] → R es continua.
1 Si f es par, entonces
a
−a f(x) dx = 2
a
0 f(x) dx.
2 Si f es impar, entonces
a
−a f(x), dx = 0.
EJEMPLO
1
3
−3
(x6
+ 1) dx = 2
3
0
(x6
+ 1) dx, pues f(x) = x6 + 1 es una funci´on
par.
2
1
−1
tan x
1 + x2 + x4
dx = 0, ya que f(x) =
tan x
1 + x2 + x4
es una funci´on
impar.
6. ´AREAS ENTRE CURVAS
´AREAS ENTRE CURVAS
El ´area de la regi´on acotada por las curvas y = f(x), y = g(x), x = a y x = b
donde f y g son funciones continuas y g(x) ≤ f(x) para todo x que
pertenece al intervalo cerrado [a, b], es
A =
b
a
[f(x) − g(x)] dx
7. ´AREAS ENTRE CURVAS
EJEMPLO
Determinar el ´area de la regi´on acotada por la curva y = 3 sin x
√
1 + cos x en
el intervalo [−π, 0]
Consideremos la sustituci´on u = cos x, entonces du = − sin x dx. As´ı
0
−π
|3 sin x
√
1 + cos x| dx = 3
0
−π
(− sin x)
√
1 + cos x dx
= 3
1
−1
√
1 + u du
= 4
√
2.
