Classificazione e restauro di immagini a colori: un approccio via Gamma-convergenza

POLITECNICO DI MILANO

Classiﬁcazione e restauro
di immagini a colori:
un approccio via Γ -convergenza

Relatore: Prof. Franco Tomarelli
Tesi di laurea di: Alfonso Fascì

Anno Accademico 2009-2010
lunedì 17 gennaio 2011

In questo lavoro di tesi:

• Si propone un modello di classiﬁcazione per immagini a
colori basato sulla nozione di distanza percepita.
Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità
libera.
• Si mostra l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà
qualitative.

• Si costruisce un’approssimazione del problema proposto tramite
la minimizzazione di una famiglia di funzionali ellittici, che può
essere interpretata come un modello di classiﬁcazione e
restauro per immagini a colori.
Tale approssimazione è intesa nel senso della Γ -convergenza.


Cos’è un’immagine a colori?


2
Ω ⊂ R aperto, limitato rappresenta una regione del piano


2

• Immagini a colori
u : Ω → C in cui C rappresenta l’insieme dei colori


2


C =???


2


C =???
(Immagini monocromatiche u : Ω → [0, 1] intensità luminosa )


Spazi di colori

‘‘ Il colore non è una proprietà ﬁsica degli
oggetti, si tratta piuttosto di una rappresentazione
percettiva della distribuzione di energia fotonica
all’interno di uno spettro di riﬂessione o di
emissioni prodotte da un oggetto ’’
S.M. Boker, The Representation of Color Metrics and
Mappings in Perceptual Color Space


Spazi di colori
‘‘ Il colore non è una proprietà fisica degli
oggetti, si tratta piuttosto di una rappresentazione
percettiva della distribuzione di energia fotonica
all’interno di uno spettro di riflessione o di
emissioni prodotte da un oggetto ’’
S.M. Boker, The Representation of Color Metrics and
Mappings in Perceptual Color Space

Storia della colorimetria:
• Newton: primo modello di colore.
• Thomas Young: ‘‘...la percezione del colore dipende dalla frequenza della radiazione che
investe l’occhio e dalla risposta dei sensori presenti nella retina...’’

• Hermann Von Helmholtz 1852: ‘‘ ... radiazioni che generano diversi colori viaggiano
senza alcuna azione reciproca e anche se ai nostri occhi appaiono uniti, vengono sempre
separati uno dall’altro con mezzi fisici... ’’

• Hermann Gunther Grassmann dimostra (1854) che per ogni colore spettrale esistono
altri colori che, se miscelati con il primo nelle giuste proporzioni producono luce
bianca.

• Maxwell descrive gli spettri di assorbimento dei recettori presenti nella retina.


Spazi di colori
Perchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale?


Spazi di colori
Teoria del tristimolo
• L’occhio umano contiene tre tipi diversi di recettori responsabili della visione diurna
sensibili a lunghezze d’onda corte ( coni di tipo S), medie ( coni di tipo M) e lunghe
(coni di tipo L).
• I tre recettori, se investiti da una radiazione con spettro I(λ) , producono tre tensioni
elettriche

+∞ +∞ +∞
Il = I(λ)l(λ) dλ, Im = I(λ)m(λ) dλ, Is = I(λ)s(λ) dλ
−∞ −∞ −∞

in cui l(λ), m(λ), s(λ) sono gli spettri di assorbimento.


Spazi di colori
(coni di tipo L).
elettriche

+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞


...ogni radiazione visibile viene sintetizzata con 3 quantità scalari


Spazi di colori
(coni di tipo L).

elettriche
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞


...ogni radiazione visibile viene sintetizzata con 3 quantità scalari
IDEA: esprimere ogni radiazione visibile come somma
di tre radiazioni (colori) fondamentali E 1 (λ), E 2 (λ), E 3 (λ)
11 2 2 3 3
I El + I El + I El = Il
1 1 2 2 3 1
I Em + I Em + I E m = Im
I 1 Es + I 2 Es + I 3 Es
1 2 3
= Is


Spazi di colori
Spazio CIE-XYZ (International Commission on Illumination, 1931)
• costruito in seguito ad una campagna sperimentale condotta da W. David Wright and John
Guild impiegando come radiazioni fondamentali tre colori primari ‘‘virtuali’’, cioè non
rappresentabili in natura.

• primo spazio di colore completo, nel senso che rappresenta tutti i colori visibili e assunto
come modello di riferimento.

Altri spazi: RGB, CMYK,...

Spazi di colori
Spazio RGB
• deriva dalla necessità di rappresentare il colore sui monitor.

• le radiazioni fondamentali sono visibli il rosso, il verde e il blu.

Altri spazi: CMYK, HSV,...

Distanza percepita
OSSERVAZIONE: senza altre
precisazioni C è semplicemente
3
un sottoinsieme C ⊂ R


Distanza percepita
precisazioni C è semplicemente metrica euclidea
3


Distanza percepita
precisazioni C è semplicemente metrica euclidea
3

!!!

Distanza percepita


Distanza percepita
IDEA: distorcere lo spazio XY Z con una trasformazione
biettiva, continua, non lineare

3 3
φ:R →R


Distanza percepita
IDEA: distorcere lo spazio XY Z con una trasformazione
biettiva, continua, non lineare

3 3
φ:R →R
e deﬁnire la distanza percepita fra due punti
(X0 , Y0 , Z0 ) e (X1 , Y1 , Z1 ) come

|φ(X1 , Y1 , Z1 ) − φ(X1 , Y1 , Z1 )|


Distanza percepita: due esempi
Esperimento di MacAdam
• Un osservatore tenta di riprodurre un colore dato mescolando 3 sorgenti primarie.
• A causa della limitata sensibilità dell'occhio, il colore ottenuto non è identico al
campione.

• Si ripete più volte l'esperimento, e si misura la dispersione..


Spazio CIE-Lab (1976)
Si deﬁnisce una funzione φ : [0, +∞) → [0, +∞) che
3 3

trasforma gli ellissoidi di MacAdam in sfere


Metrica di Stiles
Non linearità dell’occhio (legge di Weber):
δI
δP =
I

Stiles propone la metrica indotta dalla trasformazione :

ψr (r, g, b) = ψr (r) = αr ln(δr + r)
ψg (r, g, b) = ψg (g) = αg ln(δg + g)
ψb (r, g, b) = ψb (b) = αr ln(δb + b)


Spazi di colori e varietà Riemanniane
Approccio alternativo alle trasformazioni globali:



• modellazione di uno spazio di colori come una varietà
Riemanniana di dimensione 3.



• distorsione solo locale.



• distorsione solo locale.

Riemann, Helmoltz, Scrhodinger, Stiles , Ashtekar,...


Una deﬁnizione di spazio di colori
Chiameremo spazio di colori una coppia (C, g) in cui:


• C ⊂ R3 è un insieme chiuso e limitato.

• g:R →R 3 3×3
è un campo di matrici che veriﬁca:
(1) gij (x) = gji (x) per ogni x ∈ R3 e , j = 1, . . . , 3
(2) gij ∈ C ∞ (R3 ) per ogni i, j = 1, . . . , 3
(3) esistono 0 m M +∞ tali che per ogni x, y ∈ R3

2 2 2 3
m |x| ≤ x, g(y)x ≤ M |x|


• C ⊂ R3 è un insieme chiuso e limitato.
• g : R3 → R3×3 è un campo di matrici che veriﬁca:
(1) gij (x) = gji (x) per ogni x ∈ R3 e , j = 1, . . . , 3
(2) gij ∈ C ∞ (R3 ) per ogni i, j = 1, . . . , 3
(3) esistono 0 m M +∞ tali che per ogni x, y ∈ R3

m2 |x|2 ≤ x, g(y)x ≤ M 2 |x|3

Indicheremo con dg (·, ·) la metrica indotta su C e deﬁnita ∀x, y ∈ C
come:
1
dg (w, z) = inf
0
|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], R3 ), v(0) = w, v(1) = z
˙ }
|γ(y)x| = x, g(y)x 2


Il modello proposto:
esistenza di una soluzione debole
e proprietà qualitative delle
minimizzanti.


Classiﬁcazione di immagini a colori
• Processo di partizione di un'immagine in regioni signiﬁcative
ottenuta raggruppando i pixel che hanno caratteristiche
comuni (colore, intensità o texture).


• Processo di partizione di un'immagine in regioni signiﬁcative
ottenuta raggruppando i pixel che hanno caratteristiche
comuni (colore, intensità o texture).

• Viene utilizzata per sempliﬁcare la rappresentazione
delle immagini mettendo in evidenza oggetti e bordi.


La classiﬁcazione si può pensare come suddivisa in due passi:


• Si ﬁssano un numero ﬁnito di colori K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C
che rappresentino i colori medi macroscopici presenti in
un'immagine z : Ω → C (clustering, discretizzazione).



• Si determina una partizione di Ω costituita da un numero
ﬁnito di porzioni ( ≤ l ) in mdo che ogni porzione Ui sia
associata al colore αi.



• Si determina una partizione di Ω costituita da un numero
ﬁnito di porzioni ( ≤ l ) in mdo che ogni porzione Ui sia
associata al colore αi.

Poichè Ui potrebbe avere una frontiera topologica ∂Ui ∩ Ω molto
frastagliata si cerca di ottenere bordi ∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω regolari e
che soddisﬁno un principio d'interfaccia minima. Dobbiamo inoltre
penalizzare la distanza dal dato z.

Il modello proposto
Sia (C, g) uno spazio di colori e dg (·, ·) la metrica associata.


Il modello proposto
Assegnati:
• ∞
un’immagine a colori z ∈ L (Ω, C)


Il modello proposto
Assegnati:
• ∞
• un numero ﬁnito di l ≥ 2 colori distinti denotati con K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C


Il modello proposto
Assegnati:
• ∞
• il parametro positivo β 0


Il modello proposto
Assegnati:
• ∞

Ci proponiamo di determinare una partizione U = {Ui }i=1,...,l di Ω
che minimizzi il funzionale


Il modello proposto
Assegnati:
• ∞

Ci proponiamo di determinare una partizione U = {Ui }i=1,...,l di Ω
che minimizzi il funzionale

1
l

l
E z (U) = dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) + β |dg (z(x), αi )|2 dx
2 i,j=1 Ui
i=1
i=j


Il modello proposto

1
l

l
2 i,j=1 Ui
i=1
i=j


Il modello proposto
l
1
dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω)
2 i,j=1
i=j
dg ( b , r )
lunghezza del bordo della
Ur
partizione pesata con la
distanza percepita fra i colori Ub
relativi agli elementi della
partizione.
Uv
dg ( b , v )

l dg ( v , r )
β |dg (z(x), αi )|2 dx
i=1 Ui


Il modello proposto
l
1
dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω)
2 i,j=1
i=j

l
β |dg (z(x), αi )|2 dx ﬁdelity term: energia di area che
i=1 Ui
misura la distanza percepita dal
dato z


Il modello proposto
1
l
l
2 i,j=1 Ui
i=1
i=j

energia di linea energia di area


Il modello proposto
1
l
l
2 i,j=1 Ui
i=1
i=j

energia di linea energia di area

... questo problema rientra nella classe dei
Problemi con discontinuità libera:
minimizzazione di funzionali che contengono
energie di volume ed energie di superﬁcie
E. De Giorgi. Free discontinuity problems in calculus of variations.


Formulazione debole


Formulazione debole
Caratterizzazione delle partizioni ad energia ﬁnita

{ U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) +∞ }


Formulazione debole

{ U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) +∞ }

Partizioni di Caccioppoli

E ⊂ R2 P (E, Ω) P (E, Ω) = H1 (∂ ∗ E ∩ Ω)


Formulazione debole

{ U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) +∞ }


E ⊂ R2 P (E, Ω) P (E, Ω) = H1 (∂ ∗ E ∩ Ω)
l

{U = {U }
i i=1,...,l : P (Ui , Ω) +∞ }
i=1


Formulazione debole

{ U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) +∞ }


E ⊂ R2 P (E, Ω) P (E, Ω) = H1 (∂ ∗ E ∩ Ω)
l

{U = {U }
i i=1,...,l : P (Ui , Ω) +∞ }
i=1

|||

{
BV (Ω, K) = u ∈ BV (Ω, R3 ) : u ∈ K q.o. in Ω }

Formulazione debole
2 1 ∗
E⊂R P (E, Ω) P (E, Ω) = H (∂ E ∩ Ω)

{


Formulazione debole
2 1 ∗
E⊂R P (E, Ω) P (E, Ω) = H (∂ E ∩ Ω)

{
l

z
E (u) : BV (Ω, K) → [0, +∞] u= αi χUi ∈ BV (Ω, K)
i=1
l

1
z
E (u) = dg (αi , αj )H1 (∂ ∗ Ui ∩ ∂ ∗ Uj ∩ Ω) + β |dg (u, z)|2
2 i,j=1 Ω
i=j


Formulazione debole
l

z
E (u) : BV (Ω, K) → [0, +∞] u= αi χUi ∈ BV (Ω, K)
i=1
l

1
z
E (u) = dg (αi , αj )H1 (∂ ∗ Ui ∩ ∂ ∗ Uj ∩ Ω) + β |dg (u, z)|2
2 i,j=1 Ω
i=j

Teorema 7.42
z
Il funzionale E (u) ammette l’esistenza
di un minimo con energia ﬁnita.


Soluzioni forti
• 2
Dato E ⊂ R la sua frontiera ridotta ∂ ∗ E potrebbe non
essere chiusa, quindi per ottenere la soluzione del problema
forte bisogna considerare la chiusura
∗
∪ i ∂ Ui ∩ Ω

• 2
Poichè esistono sottoinsiemi E ⊂ R di perimetro finito con
frontiera topologica ∂E che ha misura di Hausdorff
monodimensionale infinita, una soluzione debole potrebbe
avere energia infinita nella formulazione forte !
• E’ necessario uno studio variazionale delle soluzioni:
G.P. Leonardi e I. Tamanini, Metric space of partitions and
Caccioppoli partitions, 2002
G.P. Leonardi, Infiltrations in immiscible fluids systems, 2001


Proprietà qualitative delle minimizzanti

dg ( r , g ) = dg ( r , a ) + dg ( a , g ) dg ( r , g ) dg ( r , v ) + dg ( v , g )



dg ( r , g ) = dg ( r , a ) + dg ( a , g )
⇓ dg ( r , g ) dg ( r , v ) + dg ( v , g )



dg ( r , g ) = dg ( r , a ) + dg ( a , g )
⇓ dg ( r , g ) dg ( r , v ) + dg ( v , g )

dipende dal termine di fedeltà, dalle
misure degli insiemi e dalla struttura
della metrica


Approssimazione via Γ-convergenza


Problemi con discontinuità libera

• Difﬁcoltà nell’analisi sia teorica che numerica a causa della
presenza di energie di superﬁcie e di volume


Problemi con discontinuità libera

• Difﬁcoltà nell’analisi sia teorica che numerica a causa della
presenza di energie di superﬁcie e di volume

• Sostituizione del funzionale con una famiglia di funzionali che
contengano solo energie di volume (quindi più trattabili
numericamente) che convergano ‘‘in un certo senso’’ al
problema di partenza.


Γ-convergenza (E. De Giorgi,T. Franzoni)
• Deﬁnizione
F, F : X → R ∪ {+∞}
F = Γ- lim F
+
se ∀x ∈ X, j → 0+
→0

(disuguaglianza del liminf) xj → x ⇒ F (x) ≤ lim inf Fj (xj )
j

(disuguaglianza del limsup) ∃xj → x : F (x) ≥ lim sup Fj (xj )
j


• Deﬁnizione
F, F : X → R ∪ {+∞}
F = Γ- lim F
+
se ∀x ∈ X, j → 0+
→0

(disuguaglianza del liminf) xj → x ⇒ F (x) ≤ lim inf Fj (xj )
j

(disuguaglianza del limsup) ∃xj → x : F (x) ≥ lim sup Fj (xj )
j

• Proprietà fondamentale
+

Se F = Γ- lim F , j → 0 e uj ∈ argmin Fj ` una successione precompatta,
+
e
→0

allora ∀ per ogni sottosuccessione convergente ujk
u jk → u 0
Fjk (ujk ) → F (u0 )

e u0 ∈ argmin F .


Γ-convergenza + equicompatezza



Γ-convergenza + equicompatezza

⇓
Convergenza dei minimi



Per ora teniamo da parte il ﬁdelity term
e consideriamo E(u) : BV (Ω, K) → [0, +∞]

l
1 1 ∗ ∗
E(u) = dg (αi , αj )H (∂ Ui ∩ ∂ Uj ∩ Ω)
2 i,j=1
i=j


Modelli di transizione di fase
Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard ﬂuids )


Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
(2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m .
/
[C1 ,C2 ]


continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m .
(2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ /
[C1 ,C2 ]

sia d ∈ R ,
m X = u : Ω → Rm misurabile t.c. u dx = d|Ω|}
Ω
e si considerino i funzionali F : X → [0, +∞], F : X ∩ BV (Ω, K) → [0, +∞]


continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
[C1 ,C2 ]

sia d ∈ R ,
Ω
l

1 1
2
F (u) = ( W (u) + |Du| ) dx F (u) = θW (αi , αj )Hm−1 (∂ ∗ Si ∩ ∂ ∗ Sj ∩ Ω)
Ω 2 i,j=1
1 i=j
θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm )v(0) = w, v(1) = z}.
˙
0


continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
[C1 ,C2 ]

sia d ∈ R ,
Ω
l

1 1
2
F (u) = ( W (u) + |Du| ) dx F (u) = θW (αi , αj )Hm−1 (∂ ∗ Si ∩ ∂ ∗ Sj ∩ Ω)
Ω 2 i,j=1
1 i=j
θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm )v(0) = w, v(1) = z}.
˙
0

Allora F (u) = Γ − lim F (u)
→0
rispetto alla topologia forte di L1 (Ω, Rm ).


IDEA: modiﬁcare la famiglia di funzionali

1 2
F (u) = ( W (u) + |Du| ) dx
Ω

in modo che il Γ-limite sia
l
1 1 ∗ ∗
E(u) = dg (αi , αj )H (∂ Ui ∩ ∂ Uj ∩ Ω)
2 i,j=1
i=j



IDEA: modiﬁcare la famiglia di funzionali

1 2
F (u) = ( W (u) + |Du| ) dx
Ω

in modo che il Γ-limite sia
l
1 1 ∗ ∗
E(u) = dg (αi , αj )H (∂ Ui ∩ ∂ Uj ∩ Ω)
2 i,j=1
i=j
Problemi:
• Bisogna introdurre nei funzionali l’effetto della metrica.

• E’ necessario un secondo passaggio al limite.


Teorema 9.1


Teorema 9.1
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
/
[C1 ,C2 ]


Teorema 9.1
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
/
[C1 ,C2 ]
Si consideri la famiglia di funzionali F : H 1,2 (Ω, Rm ) ∩ L∞ (Ω, Rm ) e il
funzionale F : BV (Ω, K) → [0, +∞]

l l
1 1
F (u) = [ W (u)+ |γ(u)Dj u|2 ] dx F (u) = θW (αi , αj )Hn−1 (∂ ∗ Si ∩∂ ∗ Sj ∩Ω)
Ω j=1
2 i,j=1
i=j


Teorema 9.1
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
/
[C1 ,C2 ]

l l
1 1
Ω j=1
2 i,j=1
i=j
1
θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm ), v(0) = w, v(1) = z}
˙
0


Teorema 9.1
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
/
[C1 ,C2 ]

l l
1 1
Ω j=1
2 i,j=1
i=j
1
˙
0

Allora F (u) = Γ − lim F (u)
→0

rispetto alla topologia forte di L (Ω, R ). p m


Abbiamo ottenuto l’energia di segmentazione
1
˙
0


1
˙
0

...vogliamo eliminare la dipendenza dal potenziale.


1
˙
0

...vogliamo eliminare la dipendenza dal potenziale.
Wδ : R3 → [0, +∞] dipendente dal parametro positivo 0 δ δ = min{|α−
β| : α, β ∈ K, α = β}/2 deﬁnito come
2
1+δ dist(x, K)
Wδ (x) = ψ x ∈ R3
2 δ

in cui dist(x, K) = min{|x − α| : α ∈ K} ` la distanza euclidea del punto
e
x ∈ R3 dall’insieme K e ψ : [0, +∞] → [0, +∞] ` deﬁnita come
e

−x2 /(1−x2 )
1−e se 0 ≤ x ≤ 1
ψ(x) =
1 se x 1.



2 Wδ = 1 + δ δ
αi

0 ≤ 2 Wδ ≤ 1 + δ

δ
αj

0 ≤ 2 Wδ ≤ 1 + δ
0 ≤ 2 Wδ ≤ 1 + δ



Lemma 10.1
Siano w, z ∈ K,
1
dg (w, z) = inf
0
˙ }
|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], R3 ), v(0) = w, v(1) = z

1
θδ (w, z) = inf
0
2 Wδ (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], R3 ), v(0) = w, v(1) = z
˙ }
Allora per δ suﬃcientemente piccolo vale la disuguaglianza

dg (w, z) ≤ θδ (w, z) + o(δ)
e

dg (w, z) = lim θδ (w, z).
δ→0



Deﬁnendo la famiglia a due parametri
2

1 2
E,δ (u) = [ Wδ (u) + |γ(u)Dj u| ] dx
Ω j=1

usando il teorema 9.1 e il lemma 10.1 abbiamo

Γ- lim+ Γ- lim E,δ (u) = E(u)
+
δ→0 →0

rispetto alla topologia forte di L (Ω, R ).p 3


Continuità del ﬁdelity term + stabilità rispetto a perturbazioni continue


Continuità del ﬁdelity term + stabilità rispetto a perturbazioni continue

Teorema 10.2
⇓
Siano Eδ, : H 1,2 (Ω, R3 ) → [0, +∞], E z : BV (Ω, K) → [0, +∞]
z

2
z 1
E,δ (u) = Wδ (u) + |γ(u)Dj u|2 + |dg (u, z)|2 dx
Ω j=1

l
1
z
E (u) = dg (αi , αj )H1 (∂ ∗ Ui ∩ ∂ ∗ Uj ∩ Ω) + β |dg (u, z)|2 dx
2 i,j=1 Ω
i=j

Allora

Γ- lim+ Γ- lim E,δ (u) = E z (u)
+
z
δ→0 →0

rispetto alla convergenza forte in L2 (Ω, R3 ).

Equicompattezza
Proposizione 9.9. Sia 1 ≤ p +∞, F : H 1,2 (Ω, Rm ) → [0, +∞] deﬁnito
come
l

1
F (u) = W (u) + 2
|γ(u)Di u| dx
Ω i=1

h una successione di numeri reali che tende a 0 e uh una successione tale
che suph Fh (uh ) +∞. Allora esiste una successione uh tale che Fh (˜h ) ≤
˜ u
Fh (uh ) per ogni j ∈ N e si pu` estrarre una sottosuccessione ukh che converge
o ˜
fortemente in Lp (Ω, Rm ).


Un modello di classiﬁcazione e restauro



I funzionali approssimanti
2
z 1
Ω j=1



2
z 1
Ω j=1

classiﬁcazione



2
z 1
Ω j=1

classiﬁcazione restauro



2
z 1
Ω j=1

classiﬁcazione restauro ﬁdelity



2
z 1
Ω j=1

classiﬁcazione restauro ﬁdelity
Interpretazione di come parametro di sfocamento


Conclusioni


Conclusioni
libera.


Conclusioni
libera.
• E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune
proprietà qualitative delle minimizanti.


Conclusioni
libera.

• E’ stata costruita un’approssimazione del problema proposto che
può essere interpretata come un modello di classiﬁcazione e


Conclusioni
libera.


• E’ stata provata la Γ-convergenza dei funzionali approssimanti al
funzionale introdotto.


Conclusioni
libera.


• E’ stata provata la Γ-convergenza dei funzionali approssimanti al
funzionale introdotto.

• I funzionali approssimanti sono molto più trattabili in vista di
un'approssimazione numerica.


Teorema 1
Sia (C, g) uno spazio di colori, K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C un insieme ﬁnito di
l colori, z ∈ L∞ (Ω, C) un’immagine a colori, β 0 un parametro positivo. Si
consideri la famiglia di funzionali E,δ (u) : H 1,2 (Ω, R3 ) → [0, +∞]
z

3
z 1 2 2
E,δ (u) = Wδ (u) + |γ(u)Dj u| + β|dg (z, u)| dx
Ω j=1

e il funzionale E z (u) : BV (Ω, K) → [0, +∞]

l
1
E z (u) = dg (αi , αj )H1 (∂ ∗ Ui ∩ ∂ ∗ Uj ∩ Ω) + β |dg (u, z)|2 dx
2 i,j=1 Ω
i=j

Sia δ : [0, +∞] → [0, +∞] una funzione continua e strettamente monotona
crescente tale che δ(0) = 0, j una successione di numeri positivi che tende a 0.
Allora abbiamo che se uj ` una successione costituita da minimizzanti di
e
z
Ej ,δ(j ) si pu` estrarre una sottosuccessione convergente, che indichiamo ancora
o
con uj tale che

u j → u 0 fortemente in L2 (Ω, R3 )

Ej ,δ(j ) (uj ) → E z (u0 )
z

e u0 ∈ argmin(E z ).


Classificazione e restauro di immagini a colori: un approccio via Gamma-convergenza

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