La Transformada de Laplace

1. TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para
solucionar una variedad amplia de problemas de la inicial-valor. La estrategia es
transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra
donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La
transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas
originales.
Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón
Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del
tiempo t a una función de la variable compleja s.
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
 Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones
diferenciales lineales.
 Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden
convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
 Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por
operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
 Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de
un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
correspondiente
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (Transformada de Laplace)
El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse
para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la transformada de
Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se pueden convertir en
funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar operaciones como la
diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo.
Definimos:
F (t) = una función de tiempo t tal que f (t) = 0 para t > 0. Sea f (t) definida en (0, ¥). Se
define la transformada de Laplace de f (t), como la función [f (t)] = F(s), definida por la
integral.
S = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es esto suficiente para las
aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas
de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo,
considerando a s como complejo.

2. L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe
transformarse por la integral de Laplace Transformada de Laplace
F(s) = transformada de Laplace de f (t)
La transformada de Laplace de una función f (t) existe si la integral de Laplace
converge. La integral ha de converger si f (t) es seccionalmente continua en todo
intervalo finito dentro del rango t > 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a
infinito.
Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un intervalo
de “infinito” <= t <= “beta” si es posible partir del intervalo en un número finito de
subintervalos de tal manera que la función sea continua en cada uno de ellos y tenga
límites a izquierda y derecha.
TABLA TRANSFORMADA DE LAPLACE

3. TABLA DE TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE