ВІДГУК на оглядовий реферат аспіранта Інституту Теоретичної Фізики ім. Боголюбова Халченкова Олександра Вікторовича Рецензований реферат відповідає науковій спеціальності 01.04.02 –теоретична фізика В рефераті висвітленні базові принципи простору Фока-Баргмання та метод побудови термодинамічних функцій з використанням особливостей цього простору. Розглянуті питання і матеріали є актуальними і будуть використані у подальшій науково-дослідній роботі аспіранта. Реферат виконано на належному науковому рівні. Його автор заслуговує на позитивну оцінку. Рецензент: Доктор фіз.-мат. наук, Професор Філіппов Г.Ф.

1. Çìiñò
1 Âñòóï 2
2 Ïðîñòið Ôîêà-Áàðãìàííà 3
2.1 Îñíîâíi âèçíà÷åííÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Îäíîìiðíèé îñöèëÿòîð. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Ìàòðèöÿ ùiëüíîñòi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Òðèâèìiðíèé âèïàäîê. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Iäåàëüíèé ãàç. 7
3.1 Çíàõîäæåííÿ ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè äëÿ iäåàëüíîãî ãàçó ç Ôåðìi-
÷àñòèíîê. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Íåâçà¹ìîäiþ÷i ÷àñòèíêè â ïîòåíöiéíîìó ïîëi
îñöèëÿòîðà 12
4.1 Ïîáóäîâà òåðìîäèíàìiêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Ïðîñòi ïðèêëàäè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Âèñíîâîê 19
1

2. 1 Âñòóï
Êâàíòîâà ñòàòèñòè÷íà ôiçèêà - öå îäèí ç îñíîâíèõ ðîçäiëiâ òåîðåòè÷íî¨
ôiçèêè.  äàíûé ìîìåíò iñíó¹ áåçëi÷ ñïîñîáiâ âèâ÷åííÿ íàâêîëèøíüîãî
ñâiòó ç âèêîðèñòàííÿì ñòàòèñòè÷íèõ ìåòîäiâ i êâàíòîâèõ âëàñòèâîñòåé
ðå÷îâèíè. Àëå, ÿê ïðàâèëî, âñi âîíè çâîäÿòüñÿ äî ðîçïîäiëiâ Áîçå-
Ýéíøòåéíà, àáî Ôåðìi-Äiðàêà. Òðàäèöiéíèé øëÿõ äîçâîëÿ¹ âiäïîâiñòè
íà áàãàòî ïèòàíü, àëå íå íà óñi. Îñêiëüêè âèêîðèñòîâó¹òüñÿ âåëèêèé
êàíîíi÷íèé àíñàìáëü íå âiäîìî ÿê çàëåæàòü âëàñòèâîñòi ñèñòåìè âiä
êiëüêîñòi ÷àñòèíîê. Âèíèê๠ïèòàííÿ: ñêiëüêè ÷àñòèíîê ïîòðiáíî äëÿ
ïîáóäîâè òåðìîäèíàìiêè? Äåñÿòü, äâàäöÿòü, àáî ÷èñëî Àâîãàäðî... Ó
ÿäåðíié ôiçèöi ÷àñòî âèêîðèñòîâó¹òüñÿ âèíÿòêîâî òåðìîäèíàìi÷íå ïîíÿòòÿ
- òåìïåðàòóðà. Àëå ìè çíà¹ìî, êiëüêiñòü ÷àñòèíîê ó ÿäðàõ ñòðîãî
ôiêñîâàíà i ñóòò¹âî ìåíøå íåñêií÷åííîñòi, íàâiòü ÷èñëà Àâîãàäðî.
Ñó÷àñíà êâàíòîâà ôiçèêà íå ìîæå îáiéòèñÿ áåç òàêîãî ïîíÿòòÿ, ÿê
ñïií. Âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäië Ôåðìi-Äiðàêà ìîæåìî âðàõóâàòè ñïií, àëå
ñêëàäíî ââåñòè ïîâíèé ñïií ñèñòåìè ÿê íîâó íåçàëåæíó çìiííó. Àëå æ
âiäîìî, iñíóþòü ñèñòåìè ç íóëüîâèì ïîâíèì ñïiíîì, ìîæíà ñòâîðèòè óìîâè
ïðè ÿêèõ ðiçíi íàïðÿìêè ñïiíà áóäóòü íå ðiâíîéìîâiðíèìè. Âèâ÷àòè öi
ñèñòåìè ñòàíäàðòíèìè ìåòîäàìè íå ïðîñòî.
Ùîá âiäïîâiñòè íà ïîñòàâëåíi ïèòàííÿ ìè ñïðîáóâàëè ïîáóäóâàòè
êâàíòîâó ñòàòèñòèêó çîâñiì íîâèì ñïîñîáîì. Ìè âèêîðèñòîâó¹ìî
êàíîíi÷íèé àíñàìáëü, i âèçíà÷åíó ó ôàçîâîìó ïðîñòîði Ôîêà-Áàðãìàííà
2

3. àíòèñèìåòðè÷íó âiäíîñíî ïåðåñòàíîâêè ôåðìiîíiâ õâèëüîâó ôóíêöiþ.
Íîâèé ïiäõiä ìè ïåðåâiðèìî íà ñàìié âàæëèâié, i íàéïðîñòiøié çàäà÷i
- ñèñòåìi ôåðìiîíiâ â ïîëi îñöèëÿòîðíîãî ïîòåíöiàëó. Öÿ çàäà÷à
ðîçãëÿäà¹òüñÿ â óñiõ ïiäðó÷íèêàõ ïî ñòàòèñòè÷íié ôiçèöi, òîìó ìîæíà áóäå
ïîðiâíÿòè ðåçóëüòàòè é îöiíèòè íà ñêiëüêè íàø ïiäõiä çàñëóãîâó¹ óâàãó .
2 Ïðîñòið Ôîêà-Áàðãìàííà
2.1 Îñíîâíi âèçíà÷åííÿ.
Ïðîñòið Ôîêà-Áàðãìàííà - öå ïðîñòið öiëèõ ôóíêöié. Íåõàé ìè ìà¹ìî
îäíîìiðíó õâèëüîâó ôóíêöiþ ψ(x) äèñêðåòíîãî àáî íåïåðåðâíîãî ñïåêòðà.
Òîäi ¨¨ îáðàç φ(R) ó ïðîñòîði Ôîêà-Áàðãìàííà âèçíà÷à¹òüñÿ ÿê iíòåãðàëüíå
ïåðåòâîðåííÿ ç ÿäðîì
x2 √ R2
Φ(R, x) = π −1/4 exp − + 2Rx − . (1)
2 2
Îñòàíí¹ ÿâëÿ¹ ñîáîþ äîáðå âiäîìó îðáiòàëü Áëîõà-Áðiíêà. Òàêèì ÷èíîì,
∞
φ(R) = Φ(R, x)ψ(x)dx. (2)
−∞
Íåçàëåæíà çìiííà R îáðàçó φ(R) ïðèéì๠âñi ìîæëèâi êîìïëåêñíi
çíà÷åííÿ, ùî âiäïîâiäàþòü òî÷êàì êîìïëåêñíî¨ ïëîùèíè, à φ(R) -
öiëà ôóíêöiÿ (àíàëiòè÷íà óñþäè â êîìïëåêñíié ïëîùèíi çà âèíÿòêîì
íåñêií÷åííî äàëåêî¨ òî÷êè). Íåçàëåæíèìè çìiííèìè äëÿ öüîãî ïðîñòîðó
ñëóæàòü óçàãàëüíåíi êîîðäèíàòè é iìïóëüñè ξi i ηi . Àëå, ÿê ïðàâèëî,
çðó÷íiøå âèêîðèñòîâóâàòè êîìáiíîâàíi çìiííi
ξ + iη ξ − iη
R= √ , S= √
2 2
3

4. Ìè áà÷èìî, ùî îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ Φ(R, x) ¹ ôàçîâà ïëîùèíà:
−∞ < ξ, η < ∞.
Îðáiòàëü Áëîõà-Áðiíêà (1) çàäîâiëüíÿ¹ ðiâíÿííÿ
xΦ(R, x) = xΦ(R, x),
ˆ (3)
äå x - îïåðàòîð êîîðäèíàòè, ùî ó ïðîñòîði Ôîêà-Áàðãìàííà ì๠òàêèé
ˆ
âèãëÿä:
1 ∂
x = √ (R +
ˆ ), (4)
2 ∂R
à x - âëàñíå çíà÷åííÿ öüîãî îïåðàòîðà. Çâè÷àéíî,
−∞ < x < ∞,
òîìó îðáiòàëi (1) íàëåæàòü íåïåðåðâíîìó ñïåêòðó âëàñíèõ çíà÷åíü x. Âîíè
îðòîíîðìîâàíi ç ìiðîþ Áàðãìàííà exp{−RR∗ }.
∞ ∞
dξdη
Φ(R∗ , )Φ(R, x) exp{−RR∗ } = δ(x − x ). (5)
−∞ −∞ 2π
Íàñòóïíèé ïðèêëàä îïåðàòîð iìïóëüñó.
ˆ −i ∂
k = √ (R − ). (6)
2 ∂R
Ðîçâ'ÿçàâøè ðiâíÿííÿ
ˆ
kΦ(R, k) = kΦ(R, k); (7)
çíàéäåìî âëàñíi ôóíêöi¨ îïåðàòîðà iìïóëüñó.
k2 √ R2
Φ(R, k) = π −1/4 exp − − i 2Rk + . (8)
2 2
4

5. Äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâå ñïiââiäíîøåííÿ
dξdη
Φ(R∗ , k)Φ(R, k ) exp{−RR∗ } = δ(k − k ), (9)
2π
Ìîæåìî çðîáèòè âàæëèâèé âèñíîâîê: õâèëüîâi ôóíêöi¨ â ïðîñòîði Ôîêà-
Áàðãìàíà îðòîíîðìîâàíi ç ìiðîþ Áàðãìàíà exp{−RR∗ }.
 öüîìó ðîçäiëi, äëÿ ñïðîùåííÿ ðîçðàõóíêiâ, ìè ââàæàëè, ùî ïîñòiéíà
Ïëàíêà , ìàñà ÷àñòèíêè m i îñöèëÿòîðíà äîâæèíà r0 ðiâíi îäèíèöi. Â
òèõ âèïàäêàõ, êîëè íå ãóáèòüñÿ ôiçè÷íèé çìiñò, ìè áóäåìî êîðèñòóâàòèñÿ
áåçðîçìiðíèìè çìiííèìè i ââàæàòèìåìî ñòàëi ðiâíèìè îäèíèöi.
2.2 Îäíîìiðíèé îñöèëÿòîð.
ßê ïðèêëàä ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó ïðî îäíîìiðíèé îñöèëÿòîð.
Ó ïðîñòîði Ôîêà-Áàðãìàííà ãàìiëüòîíiàí ì๠âèãëÿä:
ˆ ∂ 1
Hosc = R + . (10)
∂R 2
Îðòîíîðìîâàíi ç ìiðîþ Áàðãìàííà âëàñíi ôóíêöi¨ Φn (R) ãàìiëüòîíiàíà
(10), ùî ¹ ðîçâ'ÿçêàìè ðiâíÿííÿ
ˆ
Hosc Φn (R) = En Φn (R);
ìàþòü òàêèé âèãëÿä
1
Φn (R) = √ Rn , (11)
n!
äå n - öiëå ÷èñëî (öå âèïëèâ๠ç âèçíà÷åííÿ ïðîñòîðó Ôîêà-Áàðãìàíà).
Òîäi åíåðãiÿ â ñòàíi ç n êâàíòàìè çáóäæåííÿ
1
En = n + . (12)
2
5

6. ßê áà÷èìî ìè îäåðæàëè âiäîìèé ðîçâ'ÿçîê ïðàâèëüíèé åíåðãåòè÷íèé
ñïåêòð. Óìîâà íîðìóâàííÿ
dξdη
Φn (R∗ )Φn (R) exp{−RR∗ } = δn,n ;
2π
2.3 Ìàòðèöÿ ùiëüíîñòi.
ˆ ˆ ˆ
Ìè ìà¹ìî òðè ïîâíi íàáîðè áàçèñíèõ ôóíêöié - äëÿ îïåðàòîðiâ x, k i Hosc ,
ìè ìîæåìî ïåðåêîíàòèñÿ â ñïðàâåäëèâîñòi íàñòóïíèõ òîòîæíîñòåé:
∞ ∞
Φ(R∗ , x)Φ(R, x)dx = Φ(R∗ , k)Φ(R, k)dk =
−∞ −∞
∞
= Φn (R∗ )Φn (R) = exp{RR∗ }. (13)
n=0
Ôiçè÷íèé çìiñò ¨õ ïðîñòèé. Åêñïîíåíòà exp{RR∗ } ¹ ìàòðèöåþ ùiëüíîñòi,
ùî ì๠äiàãîíàëüíèé âèãëÿä ó êîæíîìó ç òðüîõ ïðåäñòàâëåíü
- ó ïðåäñòàâëåííi õâèëüîâèõ ôóíêöié ãàðìîíi÷íîãî îñöèëÿòîðà, ó
ïðåäñòàâëåííi ïëîñêèõ õâèëü i â ïðåäñòàâëåííi âëàñíèõ ôóíêöié îïåðàòîðà
êîîðäèíàòè. Ìè ìîãëè á ðîçãëÿíóòè áiëüø ñêëàäíèé ãàìiëüòîíiàí i çíàéòè
éîãî âëàñíi ôóíêöi¨ â ïðîñòîði Ôîêà-Áàðãìàííà. Àëå i òîäi îäåðæàëè á
äiàãîíàëüíèé ðîçêëàä ìàòðèöi ùiëüíîñòi ïî öèõ âëàñíèõ ôóíêöiÿõ. Íàäàëi,
ìè ÷àñòî áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè òîé ôàêò, ùî ìàòðèöÿ ùiëüíîñòi ìiñòèòü
ïîâíèé áàçèñ õâèëüîâèõ ôóíêöié.
6

7. 2.4 Òðèâèìiðíèé âèïàäîê.
Ðàçãëÿíåìî ïîïåðåäíi çàäà÷i â òðèâèìiðíîìó âèïàäêó. Òîäi R -
òðèâèìiðíèé êîìïëåêñíèé âåêòîð. Îïåðàòîð êîîðäèíàòè:
1
ˆ = √ (R +
r R );
2
à ðiøåííÿìè ðiâíÿííÿ
ˆ(R)Φ(R, r) = rΦ(R, r);
r
¹ òðèâèìiðíà îðáiòàëü Áëîõà-Áðiíêà:
r2 √ R2
Φ(R, r) = π −3/4 exp{− + 2(Rr) − };
2 2
Àíàëîãi÷íî ìîæåìî ïåðåéòè äî òðèâèìiðíîãî îïåðàòîðà iìïóëüñó, i äî
òðèâèìiðíîãî îñöèëÿòîðà.
3 Iäåàëüíèé ãàç.
Ïîêàæåìî îñíîâíi åòàïè ïîáóäîâè ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè íà ïðèêëàäi ñèñòåìè
âiëüíèõ ÷àñòèíîê. ßêùî â íàñ ¹ N ÷àñòèíîê, òî õâèëüîâà ôóíêöiÿ ñèñòåìè,
öå äîáóòîê îäíî÷àñòèíêîâèõ õâèëüîâèõ ôóíêöié. Äëÿ áîçîíiâ, öåé äîáóòîê
ïîòðiáíî ñèìåòðèçóâàòè, à äëÿ ôåðìiîíiâ àíòèñèìåòðèçóâàòè. Â öié ðîáîòi
íàñ öiêàâèòü ôåðìi-ñòàòèñòèêà. Õâèëüîâà ôóíêöiÿ ôåðìi-ñèñòåìè ìà¹
âèãëÿä äåòåðìiíàíòà Ñëåéòåðà. Ó âèïàäêó âiëüíèõ ÷àñòèíîê:
1
Ψ = √ Det{Φ(Ri , kj )}; (14)
N!
√
Ìíîæíèê 1/ N ! ç'ÿâëÿ¹òüñÿ â ðåçóëüòàòi íîðìóâàííÿ.
7

8. Äëÿ çíàõîäæåííÿ ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè Z íåîáõiäíî ïiäñóìóâàòè (àáî
ïðîiíòåãðóâàòè ó âèïàäêó íåïåðâíîãî ñïåêòðà) ïî âñiõ êâàíòîâèõ
÷èñëàõ k.
Âèçíà÷èìî ñòàòèñòè÷íó ñóìó â ïðîñòîði Ôîêà-Áàðãìàíà â òàêîìó
âèãëÿäi:
N
ˆ dN ξ dN η
Z= exp{− (R∗ Rj )}Ψ∗
j exp{−β H}Ψ dk1 dk2 ...dkN ;
j=1
(2π)3N
Ó öüîìó âèðàçi îïåðàòîð Ãàìiëüòîíà íå äi¹ íà íåçàëåæíó çìiííó S =
R∗ . òîìó ìè ìîæåìî çìiíèòè ïîðÿäîê iíòåãðóâàííÿ.
N N N
Z= exp{− ˆ d ξd η
(R∗ Rj )} exp{−β H} Ψ∗ Ψdk1 dk2 ...dkN ;
j
j=1
(2π)3N
Îñòàííié iíòåãðàë (iíòåãðàë ïåðåêðèòòÿ) âiäïîâiäíî äî òåîðåìè Âiêà i
ôîðìóëè (14) äîðiâíþ¹:
1
... Ψ∗ Ψdk1 dk2 ...dkN = Det{exp(R∗ Rl )},
i
N!
Ïiäñòàâèâøè öåé âèðàç â ïîïåðåäíié, îäåðæèìî ôîðìóëó, çà äîïîìîãîþ
ÿêî¨ ìè áóäåìî øóêàòè ñòàòèñòè÷íó ñóìó.
N
1 ˆ dN ξ dN η
Z= exp{− (R∗ Rj )} exp{−β H}Det{exp(R∗ Rl )}
j i (15)
N! j=1
(2π)3N
3.1 Çíàõîäæåííÿ ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè äëÿ iäåàëüíîãî
ãàçó ç Ôåðìi-÷àñòèíîê.
ßê âiäîìî, ïðè äîñëiäæåííi iäåàëüíîãî ãàçó ìè âèêîðèñòîâó¹ìî òàêi
âåëè÷èíè: m - ìàñà ÷àñòèíîê, V - îá'¹ì ñèñòåìè, N - êiëüêiñòü ÷àñòèíîê,
8

9. à òàêîæ ôóíäàìåíòàëüíi ñòàëi. Ñòàòèñòè÷íà ñóìà âåëè÷èíà áåçðîçìiðíà.
Òîìó íåîáõiäíî çíàéòè áåçðîçìiðíó êîìáiíàöiþ ç âiäîìèõ ïàðàìåòðiâ
(m, N, V, T ). Íàéïðîñòiøà êîìáiíàöiÿ:
3
N 2π 2 2
y= ;
V mT
ˆ¨ ìè âiçüìåìî çà çìiííó âiä ÿêî¨ ïîâèííà çàëåæàòè ñòàòèñòè÷íà ñóìà.
Áóäåìî øóêàòè ¨¨ â òàêîìó âèãëÿäi:
Z = Z(N, y);
Äëÿ ñïðîùåííÿ çàïèñó ââàæà¹ìî, ùî m i äîðiâíþþòü îäèíèöi. Òîäi
3
N 2π 2
y= ;
V T
Ðîçãëÿíåìî âèïàäîê - ñïií óñiõ ÷àñòèíîê ñïðÿìîâàíèé îäíàêîâî (íåìà¹
íåîáõiäíîñòi âðàõîâóâàòè ñïiíîâi ôóíêöi¨).
Äåòåðìiíàíò ó ôîðìóëi (15) ñêëàäà¹òüñÿ ç N ! äîäàíêiâ. Àëå, òîìó ùî
÷àñòèíêè òîòîæíi, íåì๠íåîáõiäíîñòi âðàõîâóâàòè êîæåí äîäàíîê îêðåìî.
Ïîòðiáíî çíàòè ñêiëüêè äîäàíêiâ ç ïåâíèì òèïîì ïåðåñòàíîâêè. Ñïî÷àòêó
çíàéäåìî ïåðøèé äîäàíîê - äîáóòîê äiàãîíàëüíèõ åëåìåíòiâ äåòåðìiíàíòà
(ïåðåñòàíîâîê íåìà¹). Ç îãëÿäó íà òîòîæíiñòü ÷àñòèíîê, îäåðæèìî:
N
∗ ˆ dξ dη ∗
exp{−RR } exp{−β H} exp{RR } ; (16)
(2π)3
ˆ ˆ
äå H = k 2 /2. Çíàþ÷è ÿâíèé âèãëÿä ìàòðèöi ùiëüíîñòi îäåðæèìî:
ˆ
k2
exp{−β } exp{RR∗ } =
2
9

10. ˆ
k2 √ R2 + R∗2
−3/2 2 ∗
π exp − β − k − i 2(R − R , k) + dk
2 2
Ïiäñòàâèìî â (16) i ïðîiíòåãðó¹ìî ïî çìiííié ôàçîâîãî ïðîñòîðó.
1 √ R2 + R∗2 dξ dη
exp −k2 − i 2(R − R∗ , k) + exp{−RR∗ } =
π 3/2 2 (2π)3
1 ˜ η
dξ d˜ V
exp{−(k − η )2
˜ = ;
π 3/2 (2π)3 (2π)3
äå V - õàðàêòåðèçó¹ ëiíiéíi ðîçìiðè ñèñòåìè. Çàëèøèëîñÿ ïðîiíòåãðóâàòè
ïî k :
V ˆ
k2 1
3/2
T
3/2
exp{−β }dk = V =V
(2π)3 2 2πβ 2π
Ïîâåðòàþ÷èñü äî ðîçìiðíèõ âåëè÷èí, i çãàäàâøè ïðî íîðìóþ÷èé ìíîæíèê,
îäåðæèìî ñòàòèñòè÷íó ñóìó. Ó ïåðøîìó íàáëèæåííi âîíà âèãëÿäà¹:
1 N mT 3 1 N N
Z≈ V 2
N/2 =
N! 2π N! y
ˆ2 ˆ2
ki + kj
exp −β exp{R∗ Rj + R∗ Ri } =
i j
2
1 R2 + R2 + R∗2 + R∗2
i j i j
dki dkj exp ×
π3 2
β √ √
× exp − ˆi ˆj
+ 1 (k2 + k2 ) − i 2(Rj − R∗ , ki ) − i 2(Ri − R∗ , kj ) .
i j
2
Ïðîiíòåãðóâàâøè ïî ôàçîâèì çìiííèì âåêòîðiâ Ri , Rj , à òàêîæ ïî
òðèâèìiðíîìó ïðîñòîði âåêòîðiâ ki , kj îäåðæèìî
N
(17)
23/2 y.
10

11. Ùîá îäåðæàòè äðóãèé äîäàíîê ïîòðiáíî (17) äîìíîæèòè íà ìíîæíèêè
áåç ïåðåñòàíîâîê. Íîâå çíà÷åííÿ ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè:
N N −1
1 N N (N − 1) N
Z= − + ...
N! y 25/2 y
Iíøi äîäàíêè ìîæíà îäåðæàòè ïîäiáíèì ÷èíîì. Êëàñèôiêàöiÿ iíøèõ
äîäàíêiâ äàíà â [2]. Òàêîæ òàì çàçíà÷åíà êiëüêiñòü ïåðåñòàíîâîê êîæíîãî
òèïó.
Ç ïîïåðåäíiõ ðîçðàõóíêiâ áà÷èìî: ó ðåçóëüòàòi iíòåãðóâàííÿ ìíîæíèêà
ùî âiäïîâiä๠ïåðåñòàíîâöi N ÷àñòèíîê, îäåðæèìî:
N
n3/2 y
Çàïèøåìî îñòàòî÷íèé âèðàç äëÿ ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè.
N
1 N (N − 1) (N − 1)(N − 2) N − 3 1
Z= 1− 5/2
y+ 5/2
+ 5/2 y 2 −
N! y 2 N 2!4 3
(N − 1)(N − 2)(N − 3) (N − 4)(N − 5) N −4 1
− 2 5/2
+ 5/2 5/2 + 5/2 y 3 +
N 3!8 2 3 4
N!
+... + (−1)N N −2 (N − 1−3/2 + (2N − 4)−3/2 + ... y N −2 +
N
(N − 1)! N −1
+(−1)N −1 √ y . (18)
N N −1 N
Ìè îäåðæàëè ñòàòèñòè÷íó ñóìó (18) ÿê ôóíêöiþ ÷èñëà ÷àñòèíîê N , i
áåçðîçìiðíî¨ âåëè÷èíè y , ùî çàëåæèòü âiä âèáîðó ÷àñòèíîê i âiä ¨õíüî¨
êiëüêîñòi. Êîæåí äîäàíîê âiäïîâiä๠âèçíà÷åíîìó òèïó ïåðåñòàíîâêè,
ñõåìi Þíãà. Äîêëàäíî ïðî öå â [2] Çíàþ÷è ñòàòèñòè÷íó ñóìó ìè ìîæåìî
ïîáóäóâàòè òåðìîäèíàìiêó: çíàéòè çàëåæíiñòü åíåðãi¨ âiä òåìïåðàòóðè,
ðiâíÿííÿ ñòàíó, ... Äîêëàäíî ïðî ïîáóäîâó òåðìîäèíàìiêè äëÿ iäåàëüíîãî
ãàçó îïèñàíî â [3].
11

12. 4 Íåâçà¹ìîäiþ÷i ÷àñòèíêè â ïîòåíöiéíîìó
ïîëi
îñöèëÿòîðà
Ãàìiëüòîíiàí i õâèëüîâi ôóíêöi¨ öi¹¨ çàäà÷i âêàçóâàëèñÿ â ïîïåðåäíiõ
ðîçäiëàõ. Ïîáóäîâà ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè âèêîíó¹òüñÿ òàê ñàìî, ÿê i äëÿ
ïîïåðåäíüî¨ çàäà÷i. ™äèíà iñòîòíà âiäìiííiñòü - ñïåêòð îñöèëÿòîðà
äèñêðåòíèé, òîìó çàìiñòü iíòåãðóâàííÿ áóäå ïiäñóìîâóâàííÿ. ßê i
ðàíiø ñòàòèñòè÷íó ñóìó çíàõîäèìî çà äîïîìîãîþ âèðàçó (15) Ìè íå
áóäåìî ïîâòîðþâàòè ïîïåðåäíi ðîçðàõóíêè, à âiäðàçó âêàæåìî çíà÷åííÿ
ñòàòèñòè÷íî¨ ñóìè. Ó çàãàëüíîìó âèãëÿäi ¨¨ ìîæåìî ïðåäñòàâèòè, ÿê
1 z −3N
Z= 2 sinh exp N f (z), (19)
N! 2
äå ôóíêöiÿ f (z) âiäiãð๠êëþ÷îâó ðîëü ó âñiõ íàñòóïíèõ ðîçðàõóíêàõ. ˆ¨
âèãëÿä çàëåæèòü âiä âèáîðó ñèñòåìè, à òàêîæ âiä áåçðîçìiðíî¨ çìiííî¨,
2 2
ω x
z= = = 1/3 , x =
T ma2 T N 1/3 N ma2 T
îáåðíåíî ïðîïîðöiéíié òåìïåðàòóði i ïèòîìîìó îá'¹ìó v ó ñòóïåíi 2/3. Iíîäi
çðó÷íiøå àíàëiçóâàòè ðåçóëüòàòè çíàþ÷è, ùî
ω
z= .
T
Äîðå÷íî âiäðàçó æ çâåðíóòè óâàãó íà òå, ùî ìàëèì çíà÷åííÿì x
âiäïîâiä๠îáëàñòü êëàñè÷íî¨ ñòàòèñòèêè i êâàíòîâèõ ïîïðàâîê äî íå¨, à
âåëèêèì çíà÷åííÿì x (x 5) - êâàíòîâà ñòàòèñòèêà. Ïåðåõiä äî ìåæi
êâàíòîâî¨ ñòàòèñòèêè ìîæëèâî çäiéñíèòè àáî çìåíøóþ÷è òåìïåðàòóðó ïðè
12

13. çàäàíîìó ïèòîìîìó îá'¹ìi àáî çìåíøóþ÷è ïèòîìèé îá'¹ì ïðè çàäàíié
òåìïåðàòóði. ßêùî, íàïðèêëàä äëÿ åëåêòðîíiâ, êâàíòîâà ñòàòèñòèêà
âiäïîâiä๠òåìïåðàòóði ïîðÿäêó îäíîãî êåëüâiíà, òî äëÿ àòîìiâ 3
He,
ìàñà ÿêèõ íà òðè ïîðÿäêè áiëüøå, âîíà âèìàã๠çíèæåííÿ òåìïåðàòóðè
äî ìiëiêåëüâiíà ïðè çáåðåæåííi ïèòîìîãî îá'¹ìó àáî æ âiäïîâiäíîãî
çìåíøåííÿ ïèòîìîãî îá'¹ìó.
Çðîçóìiëî, ôóíêöiÿ f (z) çàëåæèòü âiä ÷èñëà ÷àñòèíîê N. Ùîá óÿâèòè
ñîái õàðàêòåð öi¹¨ ôóíêöi¨, çàïèøåìî ¨¨ äëÿ N Ôåðìi ÷àñòèíîê ó âèãëÿäi
3
1 N (N − 1) 22 sinh2 z/2
f (z) = ln 1 − + ...+
N 2 2 sinh 2z/2
3
n 2N sinhN z/2
+(−1) (N − 1)! . (20)
2 sinh N z/2
Ïåðøi äîäàíêè ðÿäó ïiä çíàêîì ëîãàðèôìó âiäïîâiäàëüíi çà êâàíòîâi
âèïðàâëåííÿ, îñòàííi äîäàíêè ¹ ãîëîâíèìè â àñèìïòîòè÷íié êâàíòîâié
îáëàñòi, äå ìàëà òåìïåðàòóðà àáî ìàëèé ïèòîìèé îá'¹ì.
4.1 Ïîáóäîâà òåðìîäèíàìiêè
Çíàþ÷è ñòàòèñòè÷íó ñóìó (19) ìîæåìî çíàéòè âiëüíó åíåðãiþ:
1 z −3N
F = −T ln Z = −T ln 2 sinh −
N! 2
N (N − 1) z
−T ln 1 − tanh3 ... =
2 2
z N (N − 1) z
= T ln N ! + 3N T ln 2 sinh − T ln 1 − tanh3 + ... =
2 2 2
13

14. z
= T ln N ! + 3N T ln 2 sinh − N T fN (z); (21)
2
Çíàéäåìî iíøi òåðìîäèíàìi÷íi âåëè÷èíè. Òèñê,
∂F 2N T z z z d
P =− = coth − fN (z) . (22)
∂V V 2 2 3 dz
Åíòðîïiÿ,
∂F z
S=− = − ln N ! − 3N ln 2 sinh + N fn (z)+
∂T 2
d z d
+3N z ln 2 sinh − N z fN (z) (23)
dz 2 dz
Åíåðãiÿ,
∂F z z 1 d
E = F + TS = F − T = 3N T coth − · z fN (z) . (24)
∂T 2 2 3 dz
Õiìi÷íèé ïîòåíöiàë
E − TS + PV
µ= =
N
T z
= ln N ! + 3T ln 2 sinh − T fN (z)+
N 2
z z 1 d
+2T coth − · z fN (z) . (25)
2 2 3 dz
Íàðåøòi òåïëî¹ìíiñòü
∂E
CV = =
∂T V
1 1 1 d2
= 3N z 2 + fN (z) (26)
4 sinh2 z
2
3 dz 2
14

15. 4.2 Ïðîñòi ïðèêëàäè
Ðîçãëÿíåìî ñèñòåìè, ùî ñêëàäàþòüñÿ ç âèçíà÷åíîãî ÷èñëà ÷àñòèíîê, íåõàé
N = 2, òîäi
1 z
f2 (x) = ln 1 − tanh3 . (27)
2 2
Ùîá îöiíèòè öþ ôîðìóëó ðîçãëÿíåìî àñèìïòîòè÷íèé ðåæèì:
T → 0, âiäïîâiäíî z → ∞.
Ðîçêëàäåìî ãiïåðáîëi÷íi ôóíêöi¨ â ðÿä ïî exp(−z) i çíàéäåìî åíåðãiþ
çà äîïîìîãîþ ôîðìóëè (24)
z 4 + 3 exp(−z) + 7 exp(−2z) + exp(−3z) + exp(−4z)
E = 6T · · →
2 3 − 2 exp(−2z) − exp(−4z)
2z 3
6T · 1+ exp(−z) + ... → 4T z; (28)
3 4
Ìè çíà¹ìî, ùî z = ω/T , òîìó ïðè àáñîëþòíîìó íóëi åíåðãiÿ ñèñòåìè
äîðiâíþ¹ 4 ω . Òàê i ïîâèííî áóòè: ñïiíè äâîõ ÷àñòèíîê ïàðàëåëüíi i òîìó
¨õíÿ ñóìàðíà åíåðãiÿ
3 5
+ ω = 4 ω.
2 2
Çâåðíåìî óâàãó, çà äîïîìîãîþ ïîïåðåäíüî¨ ôîðìóëè, ìè ìîæåìî ëåãêî
çíàéòè ïåðøó, äðóãó, i.ò.ä. ïîïðàâêè, òîáòî ëåãêî çíàéòè åíåðãiþ ñèñòåìè
â îêîëi àáñîëþòíîãî íóëÿ. Î÷åâèäíî, ùî â ìåæi ìàëèõ òåìïåðàòóð
òåïëî¹ìíiñòü
∂E 3 1
CV = = √ 2 exp − √ + ... (29)
∂T V a2 T 3 2 a2 T 3 2
15

16. Ïðè T → ∞, z → 0, âèðàç ïiä ëîãàðèôìîì ïðÿìó¹ äî îäèíèöi, i òîäi
E → 6T.
Îñêiëüêè åíåðãiÿ êîæíî¨ ÷àñòèíêè â êëàñè÷íié îáëàñòi äîðiâíþ¹ 3T , ìè
îäåðæàëè âiðíèé ðåçóëüòàò.
ßêùî N = 3, òî
3
1 z (2 sinh z/2)3
f3 (x) = ln 1 − 3 tanh3 + 2 . (30)
3 2 2 sinh 3z/2
ßê i ó âèïàäêó f2 (x), âèðàç ïiä çíàêîì ëîãàðèôìó f3 (x) ïðÿìó¹ äî íóëÿ,
ÿêùî z → ∞, ùî âêàçó¹ íà âiðíó ïîâåäiíêó ïðè âåëèêèõ òåìïåðàòóðàõ.
Ïðè T → 0,
15 3 5 7
E(T → 0) = ω= + + ω,
2 2 2 2
ìè áà÷èìî ÷àñòèíêè çàéìàþòü íàéíèæ÷i ñòàíè, ùî äîïóñêàþòüñÿ
ïðèíöèïîì Ïàóëi.
Ïðèâåäåìî ïðèêëàäè ôóíêöié fN (z) äëÿ ðiçíèõ çíà÷åíü N .
Ïðè N = 4,
3
1 z (2 sinh z/2)3
f4 (x) = ln 1 − 6 tanh3 + 8 +
4 2 2 sinh 3z/2
3 3
(2 sinh z/2)4 (2 sinh z/2)4
+3 −6 . (31)
(2 sinh z)2 2 sinh 4z/2
Ïðè N = 5,
3
1 z (2 sinh z/2)3
f5 (x) = ln 1 − 10 tanh3 + 20 +
5 2 2 sinh 3z/2
16

17. 3 3
(2 sinh z/2)4 (2 sinh z/2)4
+15 − 30 −
(2 sinh z)2 2 sinh 4z/2
3 3 3
(2 sinh z/2)3 (2 sinh z/2)2 (2 sinh z/2)5
−20 + 24 . (32)
2 sinh 3z/2 2 sinh 2z/2 2 sinh 5z/2
Íàðåøòi, ÿêùî N = 6, òå
3
1 z (2 sinh z/2)3
f6 (x) = ln 1 − 15 tanh3 + 40 +
6 2 2 sinh 3z/2
3 3
(2 sinh z/2)4 (2 sinh z/2)4
+45 − 90 −
(2 sinh z)2 2 sinh 4z/2
3 3
(2 sinh z/2)3 (2 sinh z/2)2 z
−120 − 15 tanh9 +
(2 sinh 3z/2)2 2 sinh 2z/2 2
3 3
(2 sinh z/2)5 (2 sinh z/2)4 z
+144 + 90 tanh3 +
2 sinh 5z/2 2 sinh 4z/2 2
3 3
(2 sinh z/2)6 (2 sinh z/2)6
+40 − 120 . (33)
(2 sinh 3z/2)2 2 sinh 6z/2
Âiäçíà÷èìî, ùî êîæíà ç öèõ ôóíêöié ì๠âiðíó ïîâåäiíêó â
àñèìïòîòè÷íèõ ðåæèìàõ: ïðè ìàëèõ i âåëèêèõ òåìïåðàòóðàõ. Îòðèìàíi
íàìè ðåçóëüòàòè çáiãàþòüñÿ ç ðåçóëüòàòàìè îòðèìàíèìè çà äîïîìîãîþ
iíøèõ òåîðié. ßê ìiíiìóì, ïåðøi êâàíòîâi ïîïðàâêè çáiãàþòüñÿ ç òèìè,
ùî äàíî â ïiäðó÷íèêó Ëàíäàó [4], i îòðèìàíi çà äîïîìîãîþ âåëèêîãî
êàíîíi÷íîãî àíñàìáëþ. Öå äîâîäèòü âiðíiñòü íàøîãî ìåòîäó. Çà äîïîìîãîþ
êîìï'þòåðà ìè ìîæåìî çíàéòè ôóíêöi¨ ç äîâiëüíèì çíà÷åííÿì N . Àëå
êiëüêiñòü äîäàíêiâ ó íèõ äîðiâíþ¹ êiëüêîñòi ðiçíèõ ïåðåñòàíîâîê ÷àñòèíîê,
òîáòî êiëüêiñòü ñõåì Þíãà äëÿ ãðóïè ñêëàäà¹òüñÿ ç N åëåìåíòiâ.
17

18. Íàïðèêëàä äëÿ N = 20 òàêèõ ïåðåñòàíîâîê 627. Öi âèðàçè çàíàäòî
ãðîìiçäêi ùîá ïðèâîäèòè ¨õ ó äàíié ðîáîòi, àëå ç íèìè ëåãêî ìîæíà
ïðàöþâàòè çà äîïîìîãîþ ñó÷àñíîãî êîìï'þòåðà. Ïîâåäiíêà ñèñòåì ç
ðiçíîþ êiëüêiñòþ ÷àñòèíîê, â çàëåæíîñòi âiä âåëè÷èíè ïðîïîðöiéíî¨ äî
òåìïåðàòóðè ïîêàçàíà íà ìàë.1 i ìàë.2. ßê áà÷èìî ìè îòðèìàëè ïðàâèëüíó
àñèìïòîòèêó ïðè ìàëèõ i âåëèêèõ òåìïåðàòóðàõ. Òîìó ìîæåìî ñìiëèâî
ñïîäiâàòèñÿ, ùî íàø ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâèé ïðè áóäü-ÿêèõ òåìïåðàòóðàõ.
18

19. 5 Âèñíîâîê
Ìè ðîçãëÿíóëè ìåòîä ïîáóäîâè òåðìîäèíàìiêè ç âèêîðèñòàííÿì
îñîáëèâîñòåé ïðîñòîðó Ôîêà-Áàðãìàííà. Îòðèìàëè áåçñóìíiâíî ïðàâèëüíi
ðåçóëüòàòè ïðè âåëèêèõ i ìàëèõ òåìïåðàòóðàõ, à òàêîæ íåì๠ïiäñòàâ
ñóìíiâàòèñÿ â òî÷íîñòi ðåçóëüòàòiâ ïðè ïðîìiæíèõ òåìïåðàòóðàõ.
Ç'ÿâèëàñü ìîæëèâiñòü âèâ÷àòè ïîâåäiíêó ñèñòåì â óìîâàõ, ïðè ÿêèõ ðiçíi
íàïðÿìêè ñïiíà íå ðiâíîïðàâíi. Íà âiäìiíó âiä êëàñè÷íîãî ïiäõîäó â íàøèõ
ðîçðàõóíêàõ âèêîðèñòîâóâàâñÿ íå âåëèêèé êàíîíi÷íèé, à êàíîíi÷íèé
àíñàìáëü. Öå äîçâîëÿ¹ äîñëiäèòè ñèñòåìè, ùî ñêëàäàþòüñÿ ç îáìåæåíî¨
êiëüêîñòi ÷àñòèíîê. Ìè ïîêàçàëè ùî äëÿ ïîáóäîâè òåðìîäèíàìiêè íå
îáîâ'ÿçêîâî ïîòðiáíà âåëèêà êiëüêiñòü ÷àñòèíîê. Âñi ôóíêöi¨ ç ÿêèìè ìè
ïðàöþâàëè äîñèòü øâèäêî âèõîäÿòü íà ñâîþ òåðìîäèíàìi÷íó ãðàíèöþ.
19

20. Ëiòåðàòóðà
[1] Ã.Ô.Ôiëiïïîâ, Ñ.Â.Êîðåííîâ, À.Ì.Ñè÷åâà, Ê.Êàòî Ïðîñòðàíñòâî
Ôîêà-Áàðãìàíà è êëàññè÷åñêèå òðà¹êòîðèè 2001
[2] Õàìåðìåø Òåîðiÿ ãðóï (Íàóêà, Ìîñêâà 1985)
[3] Õàë÷åíêîâ Îëåêñàíäð Ïðîñòið Ôîêà-Áàðãìàíà i êâàíòîâà
ñòàòèñòèêà (âèïóñêíà êâàëiôiêàöiéíà ðîáîòà áàêàëàâðà) (Êè¨â
2002).
[4] Ëàíäàó, Ëèôøèö Ñòàòèñòè÷íà ôiçèêà, Èçâ. Àêàä. Íàóê ÑÑÑÐ, ñåð.
ôèç. 39, 535 (1975).
[5] Êåðçîí Õóàíã Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, ñòð. 485.
[6] Ð. Ôåéíìàí Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, ñòð. 276
[7] Äàâûäîâ Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà Ìîñêâà 1981
[8] Ëàíäàó, Ëèôøèö Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà, Èçâ. Àêàä. Íàóê ÑÑÑÐ, ñåð.
ôèç. 39, 535 (1975). beginthebibliography 99
20