Arellano Barrera Angelica and Ibañes Miranda Xally
1. ESCUELA SECUNDARIA TECNICA #118
Alumnas:
Arellano Barrera Norma Angélica
Ibáñez Miranda Xalli Romina
Grado y grupo: 3°C
Materia: Matemáticas
Profesor: Luis Miguel Villarreal Matías
Trabajo a entregar: Ecuaciones Simultáneas
Fecha de entrega: 14 de Diciembre del 2011
2011-2012
Ciclo escolar
3. Introducción
Con anterioridad se ha realizado investigaciones de lo que es una
ecuación de primer grado poniendo ejemplos de ellas y como
resolverlas, y que hay diferentes ecuaciones y cada una tiene una forma
de resolverse y tiene, muchas de las veces un forma particular.
Ahora en este pequeño trabajo se recauda información de lo que es ya
una ecuación simultánea y algunos ejemplos de cómo resolverla en este
caso lo es un trinomio de segundo grado.
Al realizar este trabajo nos ayudo a refirmar lo aprendido en la
escuela de una manera divertida, esperemos que le agrade este trabajo y
recuerde que el hombre solo vale por lo que sabe, saber es poder y las
matemáticas no son difíciles ni aburridas solo son elaboradas.
Diviértanse
4. Ecuaciones Simultáneas
¿A que se le conoce como ecuaciones simultaneas?
Conjunto de dos o más ecuaciones que contienen dos o más cantidades desconocidas. En
conjunto, estas ecuaciones especifican condiciones que estas cantidades desconocidas deben
satisfacer al mismo tiempo. En matemáticas las ecuaciones simultáneas son un sistema de
ecuaciones que contienen variables múltiples. Este sistema se refiere como sistema de ecuaciones.
Ecuaciones de primer grado.
Las ecuaciones de primer grado son donde las variables están elevadas al exponente uno, y si
hay 2 variables deben haber como mínimo 2 ecuaciones para resolverlas, mayormente son
ecuaciones lineales o de una recta. Los métodos para resolverlos son varios, de igualdad de
reemplazo, por matrices, por adición etc. y la que se adopta es según tus ecuaciones y la
práctica que se tenga para resolver ecuaciones.
Ejemplo:
2x + 3y = 7
5x + 6y = 16
x = (7 - 3y)/2
5[(7 - 3y)/2] + 6y = 16
35/2 - 15/2 y + 6y = 16
-3/2 y = -3/2
y=1
x = [7 - 3(1)]/2 = 2
x=2
5. Métodos de solución de ecuación de primer grado
Método de sustitución
Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:
Despejamos la en la primera ecuación:
Sustituimos esta expresión de la en la segunda ecuación:
Resolvemos la ecuación resultante:
Sustituimos el valor en :
Así, la solución del sistema es:
6. Método de igualación
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:
Despejamos la en cada una de las dos ecuaciones:
Igualamos estas dos expresiones:
Resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor en cualquiera de las expresiones del primer paso, por ejemplo
en:
7. Así, la solución del sistema es:
Método de reducción
Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema:
Multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por (-3)
Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones:
12x + 8y = 28
-12x + 9y = -45
----------------
17y = -17
Sustituimos el valor en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo en la primera:
Así, la solución del sistema es:
8. Método por determinantes___________________________________________
4x + y + 1 = 0 (*)
3x + 2y = 3
4x + y = -1
3x + 2y = 3
Como vemos en la segunda tenemos el término 2y. Por lo tanto si a la primera ecuación la
multiplicamos por 2 ambos miembro, y luego restamos las dos ecuaciones, nos deshacemos de las
y.
multiplico por 2 la primera y la igualdad se mantiene:
8x + 2y = -2
3x + 2y = 3
ahora se pude restar las dos ecuaciones
...8x + 2y = -2
-
...3x + 2y = 3
-------------------------
...5x + 0y = -2 - 3
5x = -5, entonces x=-5 / 5 =-1
x = -1
para calcular y basta con reemplazar el valor de x=-1 en CUALQUIERA de las dos ecuaciones
anteriores y despejar y:
3x + 2y = 3
3·(-1) + 2y = 3
-3 + 2y = 3
2y = 6
y = 6/2 = 3
entonces:
y=3
X=-1 Y=3
9. Ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, es una ecuación polinómica donde el
mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo
aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo general y es siempre distinto del número 0, b
el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:
con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se
conoce como ecuación bicuadrática.
La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las
ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.
Clasificación de una ecuación de segundo grado
La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:
1.- Completa: Tiene la forma canónica:
Donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.
Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: dos números reales y diferentes,
dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos
conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante
ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula
general. La fórmula general se deduce más adelante.
2.- Incompleta pura: Es de la forma:
Donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con
operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los
valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que
difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación
cuadrática incompleta de la forma:
10. con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de
multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0
3.- Incompleta mixta: Es de la forma:
donde los valores de a y de b son distintos al número cero. Se resuelve por factorización
de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números
imaginarios.
Solución general de la ecuación de segundo grado
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente
distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
donde el símbolo "±" indica que los dos valores
y
son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del
álgebra elemental.
Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):
podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:
1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos
veces el eje x);
2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es
cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);
3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x
no se cruzan).
11. Deducción para resolver la ecuación de la forma x2 + mx + n
Esta forma de ecuación cuadrática se caracteriza por que el coeficiente del término en x2 es
1.Estas ecuaciones pueden resolverse por la fórmula general con solo suponer que a=1, pero
existe para ellas una fórmula particular que vamos a deducir. Sin embargo, como se demostrará,
es tan similar a la fórmula original que no significa un gran ahorro de tiempo respecto a la
fórmula general.
La ecuación es:
Transponiendo n:
Sumando:
Descomponiendo el primer término el cual es un trinomio cuadrado
perfecto:
Transponiendo :
Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros:
Haciendo la relación con la fórmula general tenemos que:
La cual es prácticamente igual a la anteriormente deducida:
12. Métodos de solución de segundo grado.
Solución mediante cambio de variable
Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (y también de tercer y cuarto
grado) es aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo
, el cambio de variable necesario es del tipo .
Aplicando el cambio de variable anterior, obtenemos la ecuación
y desarrollándola queda (1).
Ahora debemos reducir la ecuación obtenida a un caso conocido que sepamos resolver. Es
evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo se resuelven de forma directa
extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos y cuya solución general es del tipo
Para poder transformar nuestra ecuación (1) en una ecuación con el término de
primer grado igual a cero, debemos forzar a que , es decir
Sustituyendo en (1) queda . (2)
Esta nueva ecuación está en la forma que era lo que pretendíamos lograr con el
cambio de variable, y que, como ya se ha dicho, tiene una solución inmediata del tipo
Por tanto, despejando la variable en la ecuación (2), queda
Dado que , y que , obtenemos la solución de la ecuación original con
variable en , que es
El artificio de esta demostración, consiste, por tanto, en aplicar un cambio de variable que reduce
la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.
13. Solución por Descomposición de Factores
Una forma fácil y sencilla de resolver una ecuación de 2º grado es por el método de
factorización o Descomposición en Factores, a continuación explicaremos paso a paso este
método, según el libro de Algebra de A.Baldor.
Pasos
Simplificar la ecuación y ponerla en la forma
Factorize el primer miembro de la ecuación
Iguale a cero los factores obtenidos para obtener el valor de x
Ejemplo: Resolver
Paso No.1 ---->
Paso No.2
Paso No.3 --->
--->
14. Resolución de ecuaciones de segundo grado completando un cuadro perfecto.
Si completamos un cuadrado perfecto en una ecuación de 2° grado obtenemos otra solución y
los pasos son los siguientes:
~1) Los miembros de una ecuación de 2 que contengan X los trasladamos al lado izquierdo y las
constantes al lado derecho
~1) Dividimos los dos miembros entre el coeficiente de X2
~1) Se suma a los dos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de X
~1) Se igualan las raíces cuadradas de los dos miembros de la ecuación obtenida en el paso 3 para
obtener ecuaciones de primer grado
~1) Se resuelven para X las dos ecuaciones de primer grado
Ejemplo:
2X2 – X – 6 = 0 Paso 1
X2 – X/2 = 3 Paso 2
X2 – X/2 + 1/16 = 3 + 1/16 Paso 3
(X – ¼)2 = 49/16 Paso 4
X = (+ / - 7/4) + ¼ Paso 5
Soluciones
X1 = 2
X2 = -2
16. Conclusión
Esperamos que el presente trabajó les haya sido de su agrado y no
solamente eso sino también les haya sido de utilidad.
De antemano les agradecemos ampliamente su atención en cuanto al
trabajo y le pedimos que de vez en cuando practique una ecuación de la
forma en la que se le fue en explicado para que poco a poco tenga más
agilidad de realizarlas.
Agradecemos su atención y recuerde que “Cuando dejas de luchar
empiezas a morir”, muchas gracias.
Efgaristo ευγαριστώ o Вы поблагодарить
