1. Professor: Cassio Kiechaloski Mello Disciplina: Matemática
Aluno:____________________________________________________
N°____ Turma:____________ Data:__________
NÚMEROS COMPLEXOS (C)
Quando resolvemos a equação de 2º grau x² - 6x + 13 = 0 procedemos da seguinte forma:
a
acbb
x
2
42
−±−
= =
12
131466 2
×
××−±
=
2
166
2
52366 −±
=
−±
Para encontrar o valor de x, precisaríamos calcular a raiz quadrada de -16, o que é impossível
no conjunto ℜ
A solução encontrada foi construir um novo conjunto numérico onde fosse possível que o
quadrado de um número fosse negativo.
Muitos matemáticos estudaram tais problemas, mas este novo conjunto só passou a ser
considerado legítimo quando GAUSS propôs uma interpretação geométrica destes números
usando uma adaptação do plano cartesiano ( Plano de Argand Gauus).
Ao contrário do que se imagina imediatamente, o estudo dos números complexos surgiu na
resolução de equações de 3º grau.
UNIDADE IMAGINÁRIA
É representada pela letra i. Sabe-se que i² = -1 ou 12
−=i
Exemplo:
2
146
2
)1(*166
2
166 −±
=
−±
=
−±
. Então x1 = 3 – 2i e x2 = 3 + 2i
Exercício:
Resolver, em C:
a) x² + 1 = 0
b) x² - 4x + 5
c) x² - 4x + 29
d) x² - 6x + 25
2. POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA
ii
i
ii
i
−=
−=
=
=
3
2
1
0
1
1
iiiii
iii
iiiii
ii
−=−×=×=
−=−×=×=
=×=×=
=−×−=×=
)1(
1)1(1
1
1)1()1(
257
246
45
224
As potências de i se repetem de quatro em quatro ( 1, i, -1, -i). Assim, para calcular in
,
basta calcular ir
, onde r é o resto da divisão de n por 4. in
= ir
Exercícios:
a) i9
b) i7
c) i28
d) i12
e) i14
f) i1357
g) 20
1025
i
ii +
FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
Todo número complexo pode ser escrito da forma Z = a + bi, onde a é a parte real e b a
parte imaginária do número.
Chamaremos de conjugado de Z o número Z = a – bi.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
Dados Z = a + bi e W = c + di , por exemplo Z = 2 + 3i e W = 1 + 2i
Adição: Z + W = (a + c ) + ( b + d )i
Subtração: Z – W = (a – c) + (b – d )i
Multiplicação: ZxW = (a + bi)*(c + di) = (ac – bd) + ( ad + cb)i
Divisão:
dic
bia
W
Z
+
+
= Para que este número não fique com uma unidade imaginária do
denominador, deveremos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do
denominador.
22
)(
dc
iadbcbdac
dic
dic
dic
bia
dic
bia
W
Z
+
−++
=
−
−
×
+
+
=
+
+
=
3. Exercícios:
1) Calcule:
a) ( 6 + 5i) + ( 2 – i) =
b) (5 + 2i) ( -3+4i) =
c) (2 + i)2
d)
i
i
21
84
+
−
e)
i
i
+
−
1
1
f) [(1 + i)² + (1 - i)²]205
2) Calcule os números complexos z1 e z2 para que se tenha:
=−
=+
izz
zz
32
3
21
21
3) Resolver o determinante de 3ª ordem:
−
−
ii
ii
1
1
111
4) Calcular a soma da seqüência S = i + i2
+ i3
+ ... + i100
.
5) Calcular Z em iZZ 16125 +=+
4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
Plano de Argand Gauss
Eixo X – Eixo real Eixo Y – Eixo Imaginário
Exemplo: Representar graficamente os complexos
a) 2 + 2i b) 2 -3i c) 4i
d) -5 e) -1 - 2i f) -3 + 3i
MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
O módulo de um número complexo é a distância entre o ponto aonde ele se localiza no
plano argand Gauss ( afixo ) até a origem.
|Z|² = a² + b² → 22
|| baZ += O módulo será representado pela letra ρ
O argumento do número complexo é o ângulo de inclinação em relação ao eixo x.
|| ρ
θ
b
sen =
||
cos
ρ
θ
a
=
Assim:
=⇒=
=⇒=
+=
θρ
ρ
θ
θρ
ρ
θ
senb
b
sen
a
a
biaZ
coscos
)]()[cos(cos θθρθρθρ isenseniZ +=+=
5. Exemplo:
Determinar o módulo, argumento, escrever na forma trigonométrica e fazer a representação
no gráfico de Gauss do número complexo iZ 322 +−=
Exercícios:
1) Calcule o módulo, argumento e escreva na forma trigonométrica os números complexos
abaixo:
a) Z = 1 + i
b)
2
3
2
1
iZ −=
c) iZ 232 −=
2) (UFRGS) A soma dos módulos das raízes de x² + 2x + 3 = 0 é:
(A) 3 (B) 2 3 (C) 3 (D) 6 (E) 8
3) (PUCRS) A forma trigonométrica do número complexo - 3 +i é:
(A) cos 30º + i sen 30º
(B) 2 ( cos 30º - i sen 30º)
(C) 2 ( cos 120º + i sen 120º)
(D) 2 ( cos 30º + i sen 30º)
(E) 2 ( cos 150º + i sen 150º)
4) Qual é o argumento dos complexos abaixo?
a) Z = - 1+ i
b) Z = 3 + i
c) Z =
2
2
2
2
−
d) Z = i
4
3
−
6. 5) Escreva na forma algébrica os seguintes números complexos:
a) 31 iZ +=
b)
2
3
2
1
iZ −=
c) Z = -2i
d) 2525 iZ +−=
e) Z = 4
f) Z = 1 + i
6) Qual a forma algébrica de cada m dos seguintes números complexos?
a) Z = 3 ( cos 120º + i sen 120º)
b) Z = cos 180º + i sen 180º
c) Z = 4 ( cos 30º + i sen 30º)
d) Z = 2 ( cos 300º + i sen 300º)
e) Z = 10 ( cos 90º + i sen 90º)
f) Z =
3
1
( cos 210º + i sen 210º)
OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Multiplicação )]()[cos( 21212121 θθθθρρ +++=× isenZZ
Divisão )]()[cos( 2121
2
1
2
1
θθθθ
ρ
ρ
−+−= isen
Z
Z
Potenciação )]()[cos( θθρ nisennZ nn
+=
Radiciação
+
+
+
=
n
k
isen
n
k
Z nn πθπθ
ρ
22
cos K = {0, 1 , 2, ...,n-1}
7. Exemplos:
a) Z = 8( cos 75º + i sen 75º ) e W = 2 ( cos 15º + i sen 15º )
Calcular ZxW e
W
Z
b) Sabendo que
+=
33
cos2
ππ
isenZ , calcule Z6
c) Determine as raízes cúbicas de Z = i
Exercícios:
1) No plano de Gauss, o afixo do número complexo Z = ( 1 + i )4 é um ponto do:
a) eixo real b) eixo imaginário c) 1º Quadrante
d) 3º quadrante e) 4º quadrante
2) (UFRGS 1998) Em um sistema de coordenadas polares
6
,3
π
P e Q ( 12,0) são 2 vértices
adjacentes de um quadrado. O valor numérico da área deste quadrado é:
a) 81 b) 135 c) 153 d) 153 - 36 2 e) 153 - 36 3
3) Determine as raízes cúbicas de 8 e represente seus afixos no plano.
4) (FURG – RS ) Para que (5 – 2i)*(k + 3i) seja um número real, o valor de K deverá ser:
a)
15
2
b) -
15
2
c)
2
15
d) -
2
15
e) 0
8. 5) (PUCRS) Se as imagens geométricas dos números complexos 0, Z e Z no plano de Argand
Gauss são os vértices de um triângulo eqüilátero, então a medida do segmento que une as
imagens de Z e Z é:
(a)
2
Z
b)
2
Z
c) Z d) 2 Re(z) e) Im (z)
6) (Cefet- PR) Considere o número complexo i33+ , representado por um ponto no plano
de Argand-Gauss. Se multiplicarmos este número por uma unidade imaginária i, o
segmento de reta que une este ponto à origem do sistema sofrerá uma rotação de:
(A) 30º no sentido anti-horário
(B) 150º no sentido horário
(C) 120º no sentido horário
(D) 60º no sentido horário
(E) 90º no sentido anti-horário
7) (Unit- MG) No conjunto dos números complexos, os três números cujo cubo vale 1 são:
(A) 1, -1, i
(B) 1, 1+ i, 1-i
(C) 1, i, i
2
3
2
1
+
(D) 1, i
2
3
2
1
+− , i
2
3
2
1
−−
8) (UFRGS) Dados os números complexos abaixo:
iZ 271 +=
iZ 2212 +=
iZ 33 =
A alternativa correta é:
(A) Z1 e Z2 têm o mesmo conjugado.
(B) a parte real de Z1 é menor que a parte real de Z2
(C) a soma de Z1 com Z3 é um número real
(D) a parte imaginária de Z3 é zero
(E) Z1, Z2 e Z3 têm módulos iguais
9. 9) (UFRGS) Na figura, o número complexo Z é
(A) i
2
2
2
2
+
(B) i
2
2
2
2
−−
(C) 22 i−−
(D) 22 i+
(E) 22 i−
10) (UFRGS) Considere as afirmações seguintes:
I – O produto de dois números complexos conjugados é um número real.
II – O módulo de um número complexo é um número real não negativo.
III – O argumento de qualquer número complexo da forma bi ( b≠0) vale
2
π
Quais estão corretas?
(A) Apenas II.
(B) Apenas II e III.
(C) Apenas I e II.
(D) Apenas I e III.
(E) I, II e III.
