Ingeniería Económica parte 1

VALOR DEL
DINERO A
TRAVES DEL
TIEMPO
Lic. Ana Laura Ramírez Jaramillo

DEFINICIÓN
• Conceptos y técnicas matemáticas aplicadas en
el análisis, comparación y evaluación financiera
de alternativas relativas a proyectos generados
por sistemas, productos, recursos, inversiones
y equipos.

1.1 IMPORTANCIA DE LA INGE.
ECO.
• Prácticamente a diario se toman decisiones que
afectan el futuro. Las opciones que se tomen
cambian la vida de las personas poco y en
algunas ocasiones considerablemente.

• Por ejemplo, la compra en efectivo de una
camisa nueva aumenta la selección de ropa del
comprador cuando se viste cada día y reduce la
suma de dinero que lleva consigo en ese
momento.

• Por otra parte, el comprar un automóvil nuevo y
suponer que un préstamo para automóvil nos da
opciones nuevas de transporte, puede causar una
reducción significativa en el efectivo disponible a
medida que se efectúan los pagos mensuales.

• En ambos casos, los factores económicos y no
económicos, lo mismo que los factores tangibles
e intangibles son importantes en la decisión de
comprar la camisa o el automóvil.

• Los individuos, los propietarios de pequeños
negocios, los presidentes de grandes
corporaciones y los dirigentes de agencias
gubernamentales se enfrentan rutinariamente al
desafío de tomar decisiones significativas al
seleccionar una alternativa sobre otra.

• Estas son decisiones de cómo invertir en la
mejor forma los fondos, o el capital de la
Compañía y sus propietarios.
• El monto del capital siempre es limitado, de la
misma manera que en general es limitado el
efectivo disponible de un individuo.

• Estas decisiones de negocios cambiarán
invariablemente el futuro, con la esperanza de
que sea para mejorar. Por lo normal, los factores
considerados pueden ser una vez más,
económicos y no económicos, lo mismo tangibles
que intangibles.

• Fundamentalmente la ingeniería económica
implica formular, estimar y evaluar los
resultados económicos cuando existan
alternativas disponibles para llevar a cabo un
propósito definido.

1.1.1 PAPEL DE LA INGENIERIA
ECONOMICA EN LA TOMA DE
DECISIONES
Las técnicas y modelos de la ingeniería
económica ayudan a la gente a tomar decisiones
en un marco referencial temporal futuro.
En un mundo cada vez más competitivo en el
ámbito de los negocios es necesaria la ingeniería
económica por dos razones fundamentales.

1.Proporciona las herramientas analíticas para
tomar mejores decisiones económicas.
2.Las cantidades de dinero que se tienen en
diferentes periodos de tiempo, a su valor
equivalentes en un solo instante de tiempo, es
decir, el valor de dinero cambia a través del
tiempo.

Los 5 tipos principales de decisiones
de ingeniería económica
Muchas compañías grandes cuentan con una
división especializada de análisis de proyectos
en la que continuamente se buscan ideas,
proyectos y empresas novedosos.

Un vez que se identifican las ideas de
proyecto, normalmente se clasifican como:
1. Mejoras en el servicio o en la calidad.
2. Nuevos productos o expansión de nuevos
productos.
3. Equipo y selección de procesos.
4. Reducción de costos.
5. Reemplazo de equipo.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
• PRINCIPIO N° 1:
• VALOR DEL DINERO EN EL
TIEMPO
• El dinero se revalúa a través del tiempo con una
cierta tasa de interés.
• Revalúa: aumentar el valor de una cosa o elevar
el valor de una moneda.
Un peso de hoy vale más que un
peso mañana

Uno de los principios más importantes
en todas las finanzas.
• El dinero es un activo que cuesta conforme
transcurre el tiempo, permite comprar o pagar a
tasas de interés periódicas (diarias, semanales,
mensuales, trimestrales, etc.).
• Es el proceso del interés compuesto, los
intereses pagados periódicamente son
transformados automáticamente en capital. El
interés compuesto es fundamental para la
comprensión de las matemáticas financieras.

• Encontramos los conceptos de valor del dinero
en el tiempo agrupados en dos áreas: valor
futuro y valor actual.
• El valor futuro (VF) describe el proceso de
crecimiento de la inversión a futuro a un interés
y períodos dados.
• El valor actual (VA) describe el proceso de flujos
de dinero futuro que a un descuento y períodos
dados representa valores actuales.

• El factor tiempo juega papel decisivo a la hora de
fijar el valor de un capital.
• No es lo mismo disponer de UM 10,000 hoy que
dentro de un año, el valor del dinero cambia
como consecuencia de:
1) La inflación.
2)La oportunidad de invertirlos en alguna
actividad, que lo proteja de la inflación y al
mismo tiempo produzca rentabilidad.
3) Riesgo de crédito.

• En una economía donde las preferencias
de consumo temporales de los individuos, resultan
en premiar a los que sacrifican el consumo actual
por el consumo futuro, un individuo dejaría de
consumir un peso hoy, porque al hacerlo le
reportará más de un peso dentro de un periodo de
tiempo.
• En este caso decimos que invertiría su peso en lugar
de consumirlo, si al hacerlo le reportará al final del
periodo un rendimiento por la utilización de su peso
cuya magnitud fuera apreciable.

• Si el individuo guarda su peso en la bolsa y no lo
consume, ni lo invierte al final del año tiene un
costo de oportunidad, dado por la ganancia que
pudo haber obtenido al invertir el peso.
• Esto nos sugiere que el valor del dinero no está
asignado únicamente por el monto del mismo
sino también por el momento en el que se recibe
o se gasta y es por tanto importante reconocer
que el dinero tiene valor a través del tiempo.

Ejemplo.
• Un acreedor después de un plazo pagará una
cantidad de dinero mayor que lo recibido.
• Ello implica que el dinero del banco se
incrementó en una cantidad denominada
interés (i). Por esto se dice que el dinero se
revalúa a través del tiempo. ¿Pero qué pasa
cuando simultáneamente hay inflación?
P P + i
Tiempo

INFLACIÓN
•Elevación del nivel general de los precios, lo que
implica pérdida del poder adquisitivo. Por lo
tanto el dinero se devalúa debido a la inflación.

Tasa de inflación

Porcentaje promedio del alza de precios en un
período.

Ejemplo INFLACIÓN
• EL FRIJOL
• Se puede observar que el poder de compra
disminuye de un año a otro debido a la
inflación ( desvalorización del dinero).
1-ene-2012 1-ene-2013
PRECIO 25$/kg 35$/kg
Poder de compra 1/25 kg/$ 1/35 kg/$
0.040 kg 0.0286 kg

PRINCIPIO N° 2:
LO ÚNICO QUE CUENTA SON LAS DIFERENCIAS ENTRE
LAS ALTERNATIVAS CONSIDERADAS
•Lo que es común a todas las alternativas, es
irrelevante para la decisión.
•Una decisión económica debe basarse en el
objetivo de hacer el mejor uso de los
recursos limitados.
•Siempre que se hace una elección, se
sacrifica algo.

Ejemplo
• Si en la compra de cierto equipo los ingresos son
independientes del tipo de equipo, entonces, en
el análisis del tipo de equipo a adquirir, los
ingresos serían irrelevantes y solo se deben
considerar los costos que se tendrían con
cada tipo diferente de equipo.

• El pasado por ser común a todas las alternativa
es irrelevante. El único valor que puede tener el
pasado es para ayudarnos a predecir el futuro.

PRINCIPIO N° 3:
LOS INGRESOS MARGINALES DEBEN EXCEDER EL COSTO
MARGINAL.
•Ingreso marginal: ingreso adicional
generado al incrementar la actividad en una
unidad.
•Costo marginal: costo adicional incurrido
al incrementar la actividad en una unidad.
•Dado que los recursos son escasos, deben
elegirse las opciones más redituables.

PRINCIPIO N° 4:
NO SE TOMA UN RIESGO ADICIONAL SI NO EXISTE UNA GANANCIA
ADICIONAL ESPERADA (RACIONALIDAD DE LOS AGENTES).
•Los inversionistas demandan una
ganancia mínima mayor al índice
anticipado de inflación o de cualquier
riesgo percibido.
•Siempre existe la opción de comprar
activos que ofrezcan suficientes
ganancias para compensar cualquier
pérdida debido a riesgos potenciales o a
la inflación.

1.1.2Tasa de rendimiento
• Tasa esperada para una inversión determinada.
Porcentaje de beneficio del capital invertido en una
determinada operación
• Porcentaje que, aplicado al monto de inversión.
Muestra la ganancia de la inversión.
• Para que una inversión sea rentable, el inversionista
(una corporación o individuo) espera recibir una
cantidad de dinero mayor de la que originalmente
invirtió, es decir debe obtener una tasa de retorno o
rendimiento (TR) sobre la inversión atractivos.

INTERÉS (I):
• Cantidad de dinero que excede a lo prestado.
• Es el costo de un préstamo.
• La renta que se paga por utilizar dinero ajeno
• La renta que se gana al invertir nuestro
dinero
• Interés = cantidad pagada -
cantidad prestada

• El interés es la manifestación del valor del
dinero en el tiempo. Es la diferencia entre la
cantidad final de dinero y la cantidad original. Si
la diferencia es nula no existe interés.
• Existen dos variantes de interés pagado y
ganado:
• El interés se paga cuando una persona o entidad
pide dinero prestado y paga una cantidad
mayor a la prestada.
• El interés se gana cuando una persona o
institución ahorra, invierte o concede préstamos
y recibe una cantidad mayor.

• Si alguna persona invirtió en algún momento en
el pasado, el interés será:
• Interés= monto total ahora- principal original
• Si el resultado es negativo, la persona ha perdido
dinero y no hay interés.
• Por otra parte, si obtuvo en préstamo dinero en
algún momento del pasado, el interés será:
• Interés = monto debido ahora- principal original

En cualquier caso, hay un aumento en la cantidad de
dinero que se invirtió o prestó originalmente y el
incremento por encima de la suma original es el
interés.
Cuando el interés se expresa como porcentaje de la
suma original por unidad de tiempo, el resultado es
una tasa de interés.
• Ejemplo de interés:
• El señor X pide un préstamo de $12,000 y terminará
pagando $ 13,200
• ¿Cuál es el interés generado?
• i = $ 1200

ELEMENTOS DE TRANSACCIÓN QUE
IMPLICAN INTERES
• Muchos tipos de transacciones tienen que ver
con intereses (por ejemplo, pedir dinero
prestado, invertir dinero o comprar maquinaria
a crédito), pero ciertos elementos son comunes a
todos estos tipos de transacciones.

1. La cantidad inicial de dinero que se invierte o
se solicita en préstamo en una transacción se
llama capital (C o P por la inicial del termino
principal en ingles).
2. La tasa de interés (i) mide el costo o precio del
dinero y se expresa como un porcentaje
durante un periodo.
3. Un periodo llamado periodo capitalización (n)
determina la frecuencia con la que se calcula el
interés.

4. Un periodo especificado determina la duración
de la transacción y, por ende, establece un cierto
número de periodos de capitalización ( N)
5. Un plan de ingresos o egresos (A) nos da un
patrón de flujo de efectivo en un periodo
determinado ( por ejemplo podríamos tener una
serie de pagos mensuales iguales que liquiden el
préstamo).
6. Una cantidad futura de dinero (F) es el
resultado de los efectos acumulativos de la tasa
de interés a lo largo de varios periodos de
capitalización.

1.1.2 TASA DE INTERÉS:
• Porcentaje que se cobra por una cantidad de
dinero prestada durante un periodo específico.

Considerando solo un periodo (N=1) tendremos
la siguiente fórmula:
F – P
P
100 = I
P
100i =
P: préstamo o valor presente al principio del
periodo.
F: pago o valor futuro al final del periodo.
F - P: intereses del periodo (I).
i: tasa efectiva de interés por periodo (%)

Ejemplo:
• Se invirtieron $10´000,000 el 17 de mayo y
se retiró un total de $10´600,000
exactamente un año después. Calcular el
interés ganado sobre la inversión inicial y la
tasa de interés ganada sobre la inversión.
• Solución:
• I = 10´600,000 - 10´000,000 = $ 600,000
F – P
P
100 = I
P
100i = =
600,0000
10,000,000
100 = 6% anual

• Ejemplo: Una persona presta $3500 con la
condición de que le paguen $4025 al cabo de un
año. ¿Cuál es la tasa anual que cobra el
prestamista.
i = 4025 -1 x (100) = 15%
3500
Tasa de interés (%)= Cantidad de interés cobrado x
(100)
Cantidad original

Ejercicio 1.
• Un empleado de Laser Kinetics. Solicita un
préstamo de $10,000 el 1 de Mayo y debe pagar
un total de $ 10,700 exactamente un año
después, determine su tasa interés.

2.
• Stere Ophonics Inc. Tiene planes de solicitar un
préstamo bancario de $ 20,000 durante un año
al 9% de interés para adquirir equipo de
grabación nuevo.
• a)Calcule el interés y la cantidad total debida
después de un año.

3.
• La firma Oráculo invirtió 100,000 el 1 de mayo
y retiró un total de $106,000 exactamente un
año mas tarde.
a) Calcule el interés obtenido
b) Calcule la tasa de interés sobre la inversión

3ª.
• Si el Oráculo hubiera tenido en préstamo
$100,000 ahora, y hubiera reembolsado
$110,000 después de 1 año.
a)Cual es el interés
b)Calcular la tasa de interés

1.1.3 Introducción a las soluciones por
computadoras en hoja de cálculo.
• La solución de un problema por computadora,
requiere de siete pasos, dispuestos de tal forma
que cada uno es dependiente de los anteriores, lo
cual indica que se trata de un proceso
complementario y por lo tanto cada paso exige el
mismo cuidado en su elaboración.

Los siete pasos de la metodología son
los siguientes:
1. Definición del problema
2. Análisis de la solución
3. Diseño de la solución
4. Codificación
5. Prueba y Depuración
6. Documentación
7. Mantenimiento

Definición del problema.
• Es el enunciado del problema, el cual debe ser
claro y completo. Es fundamental conocer y
delimitar por completo el problema, saber que es
lo se desea realice la computadora, mientras esto
no se conozca del todo, no tiene caso continuar
con el siguiente paso.

Análisis de la solución.
• Consiste en establecer una serie de preguntas
acerca de lo que establece el problema, para
poder determinar si se cuenta con los elementos
suficientes para llevar a cabo la solución del
mismo, algunas preguntas son:
• ¿Con qué cuento? Cuáles son los datos con los
que se va a iniciar el proceso, qué tenemos que
proporcionarle a la computadora y si los datos
con los que cuento son suficientes para dar
solución al problema.

• ¿Qué hago con esos datos? Una vez que tenemos
todos los datos que necesitamos, debemos
determinar que hacer con ellos, es decir que
fórmula, cálculos, que proceso o transformación
deben seguir los datos para convertirse en
resultados.
• ¿Qué se espera obtener? Que información deseamos
obtener con el proceso de datos y de que forma
presentarla; en caso de la información obtenida no
sea la deseada replantear nuevamente un análisis en
los puntos anteriores.
• Es recomendable que nos pongamos en el lugar de
la computadora y analicemos que es lo que
necesitamos que nos ordenen y en que secuencia
para producir los resultados esperados.

Diseño de la solución.
• Una vez definido y analizado el problema, se
procede a la creación del algoritmo (Diagrama de
flujo ó pseudocódigo), en el cual se da la serie de
pasos ordenados que nos proporcione un método
explícito para la solución del problema.
• Es recomendable la realización de pruebas de
escritorio al algoritmo diseñado, para determinar su
confiabilidad y detectar los errores que se pueden
presentar en ciertas situaciones.

• Estas pruebas consisten en dar valores a la
variable e ir probando el algoritmo paso a paso
para obtener una solución y si ésta es
satisfactoria continuar con el siguiente paso de la
metodología; de no ser así y de existir errores
deben corregirse y volver a hacer las pruebas de
escritorio al algoritmo.

Codificación.
• Consiste en escribir la solución del problema (de
acuerdo al pseudocódigo); en una serie de
instrucciones detalladas en un código
reconocible por la computadora; es decir en un
lenguaje de programación (ya sea de bajo o alto
nivel), a esta serie de instrucciones se le conoce
como programa.

Prueba y Depuración.
• Prueba es el proceso de identificar los errores
que se presenten durante la ejecución del
programa; es conveniente que cuando se pruebe
un programa se tomen en cuenta los siguientes
puntos:
• Tratar de iniciar la prueba con una mentalidad
saboteadora, casi disfrutando la tarea de
encontrar un error.

• Sospechar de todos los resultados que arroje la
solución, con lo cual se deberán verificar todos.
• Considerar todas las situaciones posibles,
normales y aún las anormales.
• La Depuración consiste en eliminar los errores
que se hayan detectado durante la prueba, para
dar paso a una solución adecuada y sin errores.

Documentación.
• Es la guía o comunicación escrita que sirve como
ayuda para usar un programa, o facilitar futuras
modificaciones. A menudo un programa escrito
por una persona es usado por muchas otras, por
ello la documentación es muy importante; ésta
debe presentarse en tres formas: EXTERNA,
INTERNA y AL USUARIO FINAL.

• Documentación Interna. Consiste en los
comentarios o mensajes que se agregan al código
del programa, que explican las funciones que
realizan ciertos procesos, cálculos o fórmulas
para el entendimiento del mismo.
• Documentación Externa. También conocida
como Manual Técnico, está integrada por los
siguientes elementos: Descripción del Problema,
Nombre del Autor, Diagrama del Flujo y/o
Pseudocódigo, Lista de variables y constantes, y
Codificación del Programa, esto con la finalidad
de permitir su posterior adecuación a los
cambios.

Manual del Usuario.
• Es la documentación que se le proporciona al
usuario final, es una guía que indica el usuario
como navegar en el programa, presentando
todas las pantallas y menús que se va a encontrar
y una explicación de los mismos, no contiene
información de tipo técnico.

Mantenimiento.
• Se lleva a cabo después de determinado el
programa, cuando se ha estado trabajando un
tiempo, y se detecta que es necesario hacer un
cambio, ajuste y/o complementación al
programa para que siga trabajando de manera
correcta.
• Para realizar esta función, el programa debe
estar debidamente documentado, lo cual
facilitará la tarea.

1.1.4 FLUJOS DE EFECTIVO
• Uno de los elementos fundamentales de la
Ingeniería Económica son los flujos de efectivo,
pues constituyen la base para evaluar proyectos,
equipo y alternativas de inversión.
•
• El flujo de efectivo es la diferencia entre el total
de efectivo que se recibe (ingresos) y el total de
desembolsos (egresos) para un periodo dado
(generalmente un año).

• La manera más usual de representar el flujo de
efectivo es mediante un diagrama de flujo de
efectivo, en el que cada flujo individual se
representa con una flecha vertical a lo largo de una
escala de tiempo horizontal.
• Los flujos positivos (ingresos netos), se representa
convencionalmente con flechas hacia arriba y los
flujos negativos (egresos netos) con flechas hacia
abajo. La longitud de una flecha es proporcional a la
magnitud del flujo correspondiente.
• Se supone que cada flujo de efectivo ocurre al final
del periodo respectivo.

Esquemas de flujos de efectivo.
• Para evaluar las alternativas de gastos de capital,
se deben determinar las entradas y salidas de
efectivo.
• Para la información financiera se prefiere utilizar
los flujos de efectivo en lugar de las cifras
contables, debido a que estos son los que reflejan
la capacidad de la empresa para pagar cuentas o
comprar activos.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA
INGRESO (EFECTIVO)
TIEMPO
(PERÍODOS)
EGRESO (EFECTIVO)
1 2 3
n
0
+
-

Los esquemas de flujo de efectivo
se clasifican en:
• Ordinarios
• No ordinarios
• Anualidad
• Flujo mixto

• FLUJOS DE EFECTIVO ORDINARIOS:
Consiste en una salida seguida por una serie de
entradas de efectivo:

• FLUJOS DE EFECTIVO NO ORDINARIOS:
Se dan entradas y salidas alternadas. Por
ejemplo la compra de un activo genera un
desembolso inicial y una serie de entradas, se
repara y vuelve a generar flujos de efectivo
positivos durante varios años.

• ANUALIDAD (A):
• Es una serie de flujos de efectivo iguales de fin
de periodo (generalmente al final de cada año).
Se da en los flujos de tipo ordinario.
Anualidades vencidas Anualidades anticipadas

FLUJO MIXTO:
• Serie de flujos de efectivos no iguales cada año, y
pueden ser del tipo ordinario o no ordinario.

VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL
TIEMPO.
• Es un concepto basado en la premisa de que un
inversionista prefiere recibir un pago de una
suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el
mismo monto en una fecha futura. En particular,
si se recibe hoy una suma de dinero, se puede
obtener interés sobre ese dinero.
Adicionalmente, debido al efecto de inflación (si
esta es positiva), en el futuro esa misma suma de
dinero perderá poder de compra.

• Todas las fórmulas relacionadas con este
concepto están basadas en la misma fórmula
básica, el valor presente de una suma futura de
dinero, descontada al presente.

• Algunos de los cálculos comunes basados en el valor
tiempo del dinero son:
• Valor presente (PV) de una suma de dinero que será
recibida en el futuro.
• Valor presente de una anualidad (PVA) es el valor
presente de un flujo de pagos futuros iguales, como los
pagos que se hacen sobre una hipoteca.
• Valor presente de una perpetuidad es el valor de
un flujo de pagos perpetuos, o que se estima no serán
interrumpidos ni modificados nunca.
• Valor futuro (FV) de un monto invertido (por ejemplo,
en una cuenta de depósito) a una cierta tasa de interés.
• Valor futuro de una anualidad (FVA) es el valor
futuro de un flujo de pagos (anualidades), donde se
asume que los pagos se reinvierten a una determinada
tasa de interés.

INTERÉS SIMPLE
• Existen dos entes que intervienen en toda
transacción económica
• PRESTADOR. Es el propietario del dinero
• PRESTATARIO. Es el que pide el dinero.
• Es la cantidad ( $ ) que resulta de multiplicar la
cantidad de dinero prestada por la vida del
préstamo y por la tasa de interés.

FORMULA:
• I = n i P
• Donde:
• I = Cantidad total de Interés Simple
• n = Periodo del préstamo (tiempo) o (vida del
préstamo)
• i = Tasa de interés (expresada en decimal)
• P = Principal (cantidad de dinero prestada)
• NOTA:
• Tanto n como i se refieren a una misma unidad
de tiempo (generalmente un año)

• Cuando se hace un préstamo con interés simple
no se hace pago alguno sino hasta el final del
periodo del préstamo; en este momento se pagan
tanto el principal como el interés acumulado;
por lo que la cantidad total que se debe puede
expresarse como:
• F = P + I = P ( 1 + n i )
• Donde:
• F = Cantidad futura, o bien: cantidad a n
periodos del presente, que es equivalente a P con
una tasa de interés i

EJEMPLO
• Suponga que usted pide a su vecino $3,000.00
para terminar sus estudios. Su vecino accede a
prestárselos siempre y cuando Ud. le pague un
interés simple a una tasa del 5.5% anual.
Considere que podrá pagarle el préstamo
completo en dos años.
• ¿Cuánto dinero tendrá que pagar?

• F = P + I = P (1 + ni)
• F = 3,000 [( 1 + ( 2 ) (0.055)] = $ 3,330.00
• NOTA:
• Tanto n como i deben estar en una misma
unidad de tiempo (por ejemplo un año)

INTERÉS SIMPLE
• Donde I es dinero ganado o perdido e i es la tasa
de interés (no expresada en forma porcentual).
I = ( i P) N

• Es el interés o beneficio que se obtiene de una
inversión de una empresa que vende o bien
puede ser financiera o de capital cuando
los intereses (los cuales pueden ser altos o bajos,
dependiendo del problema planteado)
producidos durante cada periodo de tiempo que
dura la inversión se deben únicamente
al capital inicial, ya que los beneficios o intereses
se retiran al vencimiento de cada uno de los
periodos. Los periodos de tiempo pueden ser
años, trimestres, meses, semanas, días o
cualquier duración. O sea el interés se aplica a la
cantidad inicial, los intereses no se agregan
al capital productivo.

• El interés simple es normalmente utilizado para
problemas de proporcionalidad al igual que el
interés compuesto ya que se utiliza para hacer
cantidades exactas y proporcionales lo cual es de
gran utilidad para gráficas ya sea de barras
lineales ETC.

INTERÉS SIMPLE
• Ejemplo: se prestan $1,000 al 14 % anual.
¿Cuánto dinero se deberá al cabo de tres años
si se utiliza interés simple?
Solución:
interés por año = 1.000 x 0.14 = $ 140
total de intereses = 1.000 x 3 x 0.14 = $ 420
= 1.000 + 1000 (3) (.14) =$1420Cantidad total a
pagar
I = ( i P) N

INTERÉS SIMPLE
Fin de
año
Cantidad
prestada
Interés Cantidad adeudada
Cantidad
pagada
0 1.000
1 ... 140 1.000 + 140 = 1.140 0
2 ... 140 1.140 + 140 = 1.280 0
3 ... 140 1.280 + 140 = 1.420 1.420

INTERES COMPUESTO
• Capitalización periódica del Principal más el
Interés.
• FORMULA
• F = P ( 1 + i )ⁿ

EJEMPLO
• Suponga que usted deposita $ 1,000.00 en una
cuenta de ahorros que paga intereses a una tasa
del 6% anual capitalizado anualmente. Si se deja
acumular todo el dinero, ¿Cuánto dinero tendrá
después de 12 años?
• Compare esta cantidad con lo que hubiera
acumulado si le hubieran pagado interés simple.

• FORMULA
• F = P (1 + i ) ⁿ
•
• F = 1,000 ( 1 + 0.06)¹² = $ 2,012.20
• Si le pagaran interés simple:
• FORMULA
• F = P (1 + ni)
•
• F = 1,000 [ ( 1 + (12) (0.06) ] = $ 1,720.00

INTERÉS COMPUESTO
• La cantidad acumulada al final del primer
periodo sería P + Pi , es equivalente a la cantidad
que se tiene al final del primer periodo P ( 1 + i ),
mas los intereses generados por esta cantidad
quedaría
• P ( 1 + i) i, es decir, la cantidad acumulada al
final del segundo periodo sería P ( 1 + i)².
• Siguiendo esta misma lógica se pueden seguir
obteniendo las cantidades que se acumulan al
final de los siguientes periodos.

Fin de
año
Cantidad
prestada
Interés Cantidad adeudada
Cantidad
pagada
0 1.000
1 ... 140,00 1.000 + 140 = 1.140 0
2 ... 159,60 1.140 + 159,6 = 1.299,6 0
3 ... 181,94 1.299,6 + 181,94 = 1.481,54 1.481,54
Interés compuesto

INTERÉS COMPUESTO DISCRETO
Discreto : Tasas de interés utilizadas serán
anuales, semestrales, mensuales, etc.

CONCEPTO DE EQUIVALENCIA
• En el análisis económico, “equivalencia” significa “el
hecho de tener igual valor”. Este concepto se aplica
primordialmente a la comparación de flujos de
efectivo diferentes.
• Como sabemos, el valor del dinero cambia con el
tiempo; por lo tanto, uno de los factores principales
al considerar la equivalencia es determinar cuándo
tienen lugar las transacciones. El segundo factor lo
constituyen las cantidades específicas de dinero que
intervienen en la transacción y por último, también
debe considerarse la tasa de interés a la que se
evalúa la equivalencia.

EJEMPLO
• Suponga que en el verano Ud. estuvo trabajando de
tiempo parcial y por su trabajo obtuvo $1,000.00.
• Ud. piensa que si los ahorra, podrá tener para el
enganche de su iPhone.
• Su amigo Panchito le insiste en que le preste ese
dinero y promete regresarle $1,060.00
(1,000*0.06+1,000) o bien, (1,000 * 1.06) dentro de
un año, pues según él, esto es lo que recibiría si Ud.
depositara ese dinero en una cuenta de ahorros que
paga una tasa de interés anual efectiva del 6%.
• ¿Qué haría usted. Depositaría los $1,000.00 o se los
prestaría a su amigo Panchito?

Solución
• Consideraremos que Ud. tiene únicamente esas
dos alternativas, entonces las dos son
equivalentes, ya que las dos le proporcionan
$1,060.00 (1,000*0.06+1,000); dentro de un
año como recompensa por no usar el dinero hoy;
por lo que dada esta equivalencia, su decisión
estará basada en factores externos a la ingeniería
económica, tales como la confianza que le tenga
a su amigo Panchito o la alternativa de obtener
su iPhone, entre otros.

• Por otro lado, si Ud. tuviera otra opción de
invertir su dinero con mayor rendimiento, por
ejemplo al 9% anual, el valor equivalente de su
dinero dentro de un año, sería de $1,090.00
(1,000*0.09+1,000); por lo tanto las alternativas
de prestar o ahorrar, ya no serían equivalentes.
• No siempre se puede distinguir la equivalencia
de manera directa, ya que existen flujos de
efectivo con estructuras muy distintas, tales
como transacciones por diferentes cantidades
efectuadas en diferentes momentos, pueden ser
equivalentes a cierta tasa de interés.

FACTORES DE PAGO DE UN PRESTAMO
Factor de pago único: un F dado P
• PAGO ÚNICO: Se hace un solo pago futuro (F)
dado un valor presente (P).
P
F
1 2 N
0

Fórmula de equivalencia que relaciona una
cantidad presente con una cantidad futura
•F = P (1+ i ) ⁿ
• P = representa el desembolso inicial, el cual
ocurre al principio del primer período.
• F = la cantidad que se va a recuperar al final del
período n.
• n = Es el número de periodos durante los cuales
se está ganando una tasa de interés de i %.

• Factor de cantidad compuesta de un Pago
Único
• F= P ( 1 + i )ⁿ ( F/P, i%, n )
• Nota:
• El proceso de determinar F a menudo se
conoce como proceso de capitalización.

EJEMPLO
• Una persona pide prestado la cantidad de $
1000 para pagarla dentro de 5 años a una tasa de
interés del 20% anual. ¿ Cuánto pagaría esta
persona al final del quinto año?
F = P (1+ i ) ⁿ
F = 1000 ( 1 + 0.2) ⁵
F= 1000 (2.4883)= 2488.30
Cantidad a pagar en el
quinto año Lic. Ana Laura Ramírez Jaramillo

EJEMPLO
• Suponga que Ud. deposita $1,000.00 en una
cuenta de ahorros que paga interés de 6% anual,
capitalizada cada año. Si Ud. deja que el dinero
se acumule, ¿qué cantidad tendrá después de 12
años?

• Datos:
• P = $1,000.00
• i = 6% anual, capitalizada cada año
• n = 12 años
• F = ?
• Fórmula
• F=P (1 + i ) ⁿ ( F/P, i%, n)

Pago único: P dado F
• Formula de equivalencia dado un valor futuro
para obtener un valor presente.
P = F
1
( 1 + i) ⁿ
 La cual se utiliza para determinar la cantidad
presente que se tiene que invertir durante n
periodos a una tasa de interés i %, para
acumular una cantidad F.

EJEMPLO
• Suponga que Ud. depositará cierta suma de
dinero en una cuenta de ahorros que paga
interés anual a la tasa de 6% anual, capitalizado
anualmente. Si permite que todo el dinero se
acumule, ¿cuánto deberá depositar en un
principio para disponer de $5,000.00 después
de 10 años?

• Datos:
• F = $5,000.00
•
• i = 6% anual, capitalizado anualmente
•
• n = 10 años
•
• P = ?
• Fórmula P= F(1+i)ˉⁿ (P/F,i%,N)

• Se debe tener cuidado con las operaciones
aritméticas, es decir, no debe redondear
operaciones intermedias, ya que de lo contrario,
el resultado tendrá un error significativo.

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