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- 1. Números Reales Estudiante: Anahis Rivero Sección: 0113 PNF Sistema de Calidad y Ambiente UPTAEB
- 2. “ Conjuntos Se denomina conjunto a la agrupación de elementos, que poseen una o varias características en común. Un conjunto es representado por una letra mayúscula, encerrándose sus elementos, separados por comas, entre llaves. Por ejemplo, el conjunto A, integrado por números primos , se representaría así: A= {2, 3, 5, 7, 11} Gráficamente se utiliza el diagrama de Venn, en homenaje a su creador, el británico John Venn, que son líneas circulares u ovoides cerradas, donde se disponen los elementos. 2 3 5 7 11 A
- 3. 3 Ejercicios • En un aula de clase se observa que 36 estudiantes tienen libro de matemática e historia, 42 tienen libro de matemáticas y 10 tienen únicamente libro de historia. Si se sabe que cada estudiante tiene por lo menos un libro: ¿ Cuantos estudiantes hay en clase? 52 estudiantes ¿Cuántos tienen solamente un libro? 16 estudiantes 6 36 10 H M • De 100 personas encuestadas para saber si practican fútbol o baloncesto, 20 no practican ningún deporte, 30 no practican futbol y 60 no practican baloncesto : ¿ Cuantas personas practican los dos deportes? 30 personas ¿ Cuantas personas practican solamente un deporte? 50 personas F B P 20 40 30 10
- 4. Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B. A B Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B. A B Diferencia: La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. A B Diferencia simétrica: La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene los elementos de A y B que no son comunes. Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A. A B A A _
- 5. 5 Ejercicios • Dados los conjuntos A= { 3,4,5,6,7 } y B= { 6,7,8,9 } Determinar: A ∪ B= ? , A ∩ B = ? 3 4 5 6 7 8 9 A ∪ B = { 3,4,5,6,7, 8, 9 } A ∩ B = { 6,7 } A B • Sea: A= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } B= { 2, 4, 6, 8, 10 } C= { 5, 6, 7, 8, 9 } Determinar: ( A ∩ B ) ∪ C , ( A ∩ C) ∩ (B ∪ C) • ( A ∩ B ) ∪ C A ∩ B = { 2, 4, 6 } ( A ∩ B ) ∪ C = { 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } • ( A ∩ C ) ∩ ( B ∪ C) A ∩ C = { 5, 6 } B ∪ C = { 2,4,5,6,7,8,9,10 } ( A ∩ C) ∩ (B ∪ C) = { 5,6 }
- 6. “ Número Reales Los números reales son todos aquellos valores numéricos que se encuentran contenidos en una recta real, desde el infinito negativo hasta el positivo. Es el conjunto de números que resulta de la unión de los números racionales e irracionales, que al mismo tiempo se clasifican en subconjuntos como los naturales y enteros. ℝ +∞ − ∞ Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella todos los números reales.
- 7. Conjunto de números reales Números Naturales: De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los números naturales se designa con la letra mayúscula N. Números Enteros: El conjunto de los números enteros comprende los números naturales; incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Se designa por la letra mayúscula Z . Ejemplo: -3, -2 , -1, 0, 1, 2 , 3,... ( 5 + 3 ) + 2 = 5 + ( 3+ 2) 8 + 2 = 5 + 5 10 = 10 -7.( -4 + 2 ) + 5 - ( -3 . 8) = -7.( -2 ) + 5 – ( -24) = 14 + 5 + 24 = 43 - 4 . 3 . 5 + 2 . 8 – 3 . 7 = - 60 + 16 - 21 = - 65 ( 7 . 2 ) . 8 = 7 . ( 2 . 8 ) 14 . 8 = 7 . 16 112 = 112
- 8. Números Fraccionarios: Forman parte del conjunto de los números racionales y se expresan en forma de fracción o como una expresión decimal periódica. Tienen la forma 𝑎/𝑏 (a partido de b, o a dividido por b), donde el denominador, b, es distinto de 0. Números Algebraicos: Forman parte del conjunto de los números irracionales o racionales que resultan de la solución de una ecuación algebraica representada en números reales o complejos. Son números con decimales no periódicos como por ejemplo las raíces no exactas. Los números irracionales que no son algebraicos se llaman trascendentes. 3 1 5 3 1 2 4 8 - + + 24 4 10 3 8 8 8 8 33 8 - + + = = 3 5 5 1 5 2 4 2 15 10 4 10 8 3 6 2 8 3 3 12 + 6 18 9 2 4 8 8 4 x - + + + = = = = = + ( ) ( ) ( ) = 3√5 + 8√5 - 4√5 = 7√5 (2 √72) = 2 (2 √ 2 . 3 ) = 2 √ 2 . 3 = 4 √ 2. 2 .3 = 4 . 2 . 3 √ 2 = 24√ 2 4 2 4 3 2 2 4 6 4 4 2 4 4 2 4
- 9. Números Trascendentales: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número π y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido. Log ( 6x + 70 ) = 6 2 = 6x + 70 64 = 6x + 70 64 - 70 = 6x -6 = 6 x -1 = x 2 6 3 = 81 3 = 3 Entonces 3x – 2 = 4 3x = 6 x = 2 3x - 2 3x - 2 4
- 10. “ Desigualdades Desigual a: ≠ Menor que: < Menor o igual que: ≤ Mayor que: > Mayor o igual que: ≥ Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. La notación a < b significa a es menor que b; La notación a > b significa a es mayor que b
- 11. Ejercicios 10x – 3x > 5 + 9 7x > 14 x > 2 10x – 9 > 3x + 5 -1 0 1 2 3 4 ( 2 , ∞ ) -6 ≤ 2x – 4 < 5 -6 + 4 ≤ 2x + 4 < 5 + 4 -2 ≤ 2x < 9 -2/2 ≤ 2/2x < 9/2 -1 ≤ x < 9/2 -2 -1 0 1 2 3 4 9/2 5 [-1, 9/2)
- 12. O sea, el valor absoluto de un número real es igual al mismo número si éste es 0 ó positivo y es igual a su inverso aditivo si es negativo. Sabemos que todo número positivo x tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa . A la positiva la denotamos con El valor absoluto de un número real a, denotado por a , se define como: a si a > 0 -a si a < 0 { } a = √ x y a la negativa con -√ x El valor absoluto de un número es la distancia de un valor desde el origen, independientemente de la dirección. El valor absoluto se indica mediante dos líneas verticales que encierran el número o la expresión. Ejercicios • 5 + 12 = 17 = 17 • -3 - 6 = 3 - 6 = - 3
- 13. “ Desigualdades con Valor Absoluto Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. La desigualdad x < 3 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4 Así, x > -3 y x < 3. El conjunto solución es { x -3 < x < 3 , x ∈ R } Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. 1. La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. 2. La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b si a < b, entonces a < b y a > -b
- 14. Ejercicios 3x – 2 < - 4 ∪ 3x – 2 > 4 3x < - 4 + 2 ∪ 3x > 6 3x < - 2 ∪ x > 6/3 x < -2/3 ∪ x > 2 3x – 2 > 4 -2/3 2 (-∞, -2/3) ∪ ( 2,∞) X – 3 ≤ 12 -12 ≤ x -3 ≤ 12 -12 + 3 ≤ x ≤ 12 + 3 -9 ≤ x ≤ 15 -9 15 [ -9 , 15 ]