Ecuciones

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MENCIÓN
MATEMÁTICA
VINCULACIÓN CON LA SOCIEDAD
Tema: Ecuaciones
Integrantes:
Cazares Andrés
Lincango Janeth
Rodríguez Fernando

2. Ecuaciones Algebraicas Ecuación de Primer grado en una
variable
Se llama ecuación algebraica a la igualdad
que contiene una expresión algebraica con
exponentes racionales. Es decir, a la
igualdad que incluye una suma finita de
términos en los cuales la variable tiene
exponentes racionales. Las ecuaciones
algebraicas, pueden ser: polinómicas,
racionales, irracionales y con valor
absoluto. Por ejemplo:
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝟎 𝟑
𝒙 + 𝟐 = 𝟎
Se llama ecuación de 1er grado a la igualdad
que contiene una expresión polinómica
(polinomio) de 1er grado, en una variable.
Son de la forma:
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 ; 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑹 ∧ 𝒂 ≠ 𝟎

3. Las ecuaciones de primer grado se resuelven
transformándolas en otras equivalentes,
considerando los siguientes teoremas:
Observación: en el teorema 8 si el factor c contiene la
variable no es recomendable simplificarlos porque se
pueden perder posibles soluciones.
Resolución de Ecuaciones de primer grado
Resolver una ecuación de primer grado es
determinar los valores de la incógnita que
hacen verdadera la igualdad. Los valores
obtenidos se conocen con el nombre de
raíces o soluciones.
Procedimiento:
1. Transponer los términos que contienen la
variable al 1er miembro.
2. Transponer los términos que no contienen la
variable al 2do miembro.
3. Reducir términos semejantes.
4. Despejar la variable:
• Si el coeficiente de la variable que resulte es
distinto de 1, pásese al segundo miembro.
• El valor obtenido en el 2do miembro es la raíz o
solución de la ecuación.

4. Ejemplo 1. Resolver: 5𝑥 − 6 = 3𝑥 + 12
Proposiciones Razones
1. 5𝑥 − 6 = 3𝑥 + 12 Dato
2. 5𝑥 − 3𝑥 − 6 = 12 𝑇: 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 = 𝑐 − 𝑏
3. 5𝑥 − 3𝑥 = 12 + 6 𝑇: 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 = 𝑐 + 𝑏
4. 2𝑥 = 18 Términos semejantes
5. 𝑥 =
18
2
𝑇: 𝑎. 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 =
𝑐
𝑏
; 𝑏 ≠ 0
6. 𝒙 = 𝟗 Simplificación
Verificación: para comprobar que 9 es la
raíz, se sustituye el 9 en la variable “x”.
• 5𝑥 − 6 = 3𝑥 + 12
• 5(9) − 6 = 3(9) + 12
• 45 − 6 = 27 + 12
• 𝟑𝟗 = 𝟑𝟗

5. Escriba aquí la ecuación.
Ejemplo 2. Resolver: 4𝑦 − 2 = 2𝑦 +4
Proposiciones Razones
1. 4𝑦 − 2 = 2𝑦 + 4 Dato
2. 4𝑦 − 2𝑦 − 2 = 4 𝑇: 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 = 𝑐 − 𝑏
3. 4𝑦 − 2𝑦 = 4 + 2 𝑇: 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 = 𝑐 + 𝑏
4. 2𝑦 = 6 Términos semejantes
5. y =
6
2
𝑇: 𝑎. 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 =
𝑐
𝑏
; 𝑏 ≠ 0
6. 𝐲 = 𝟑 Simplificación
Verificación: para comprobar que 3 es la
raíz, se sustituye el 3 en la variable “y”.
• 4𝑦 − 2 = 2𝑦 + 4
• 4(3) − 2 = 2(3) + 4
• 12 − 2 = 6 + 4
• 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎

6. Escriba aquí la ecuación.
Resolución de ecuaciones que contienen
signos de agrupación
Proposiciones Razones
1. 2 − 3 𝑥 − 1 = 3𝑥 − 2(4𝑥 − 3) Dato
2. 2 − 3𝑥 + 3 = 3𝑥 − 8𝑥 + 6 𝑇: −𝑎 𝑏 + 𝑐 = −𝑎𝑏 − 𝑎𝑐
3. −3𝑥 − 3𝑥 + 8𝑥 = 6 − 2 − 3 𝑇: 𝑎 ± 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 = 𝑐 ∓ 𝑏
4. 2𝑥 = 1 Términos semejantes
5. 𝑥 =
1
2
𝑇: 𝑎. 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 =
𝑐
𝑏
; 𝑏 ≠ 0
6. 𝒙 = 𝟎, 𝟓 Definición de división
Verificación: para comprobar que 0,5 es la raíz, se
sustituye el 0,5 en la variable “x”.
• 2 − 3 𝑥 − 1 = 3𝑥 − 2(4𝑥 − 3)
• 2 − 3 0,5 − 1 = 3 0,5 − 2 4 0,5 − 3
• 2 − 3 −0,5 = 1,5 − 2(2 − 3)
• 2 + 1,5 = 1,5 − 2(−1)
• 2 + 1,5 = 1,5 + 2
• 𝟑, 𝟓 = 𝟑, 𝟓
Para suprimir los signos de agrupación, que puede
contener una ecuación, se utilizan los teoremas:
T1: a (b + c) = ab + ac
T2 : - a (b + c) = - ab – ac.
Ejemplo 1. Resolver: 2 − 3 𝑥 − 1 = 3𝑥 − 2(4𝑥 − 3)

7. Escriba aquí la ecuación.
Resolución de ecuaciones con
coeficientes fraccionarios
Proposiciones Razones
1. 3𝑥 −
2𝑥
5
=
𝑥
10
−
7
4
Dato
2.
15𝑥−2𝑥
5
=
2𝑥−35
20
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜
3.
13𝑥
5
=
2𝑥−35
20
𝑇. 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
4. 13𝑥 =
5(2𝑥−35)
20
𝑇:
𝑎
𝑏
= 𝑐 ⟺ 𝑎 = 𝑏. 𝑐; 𝑏 ≠ 0
5. 13𝑥 =
(2𝑥−35)
4
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛
6. 52𝑥 = 2𝑥 − 35 𝑇:
𝑎
𝑏
= 𝑐 ⟺ 𝑎 = 𝑏. 𝑐; 𝑏 ≠ 0
7. 52𝑥 − 2𝑥 = −35 𝑇: 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 = 𝑐 − 𝑏
8. 50𝑥 = −35 𝑇. 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
9. 𝑥 =
−35
50
𝑇: 𝑎. 𝑏 = 𝑐 ⟺ 𝑎 =
𝑐
𝑏
; 𝑏 ≠ 0
10. 𝒙 =
−𝟕
𝟏𝟎
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Verificación: para comprobar que -7/10 es la raíz,
se sustituye el -7/10 en la variable “x”.
• 3𝑥 −
2𝑥
5
=
𝑥
10
−
7
4
• 3
−7
10
−
2
−7
10
5
=
−7
10
10
−
7
4
•
−21
10
−
−14
10
5
=
−7
100
−
7
4
•
−21
10
+
14
50
=
−7
100
−
7
4
•
−105+14
50
=
−7−175
100
•
−91
50
=
−182
100
•
−𝟗𝟏
𝟓𝟎
=
−𝟗𝟏
𝟓𝟎
El método general que se emplea para resolver una ecuación con
coeficientes fraccionarios consiste en transformarla en una
ecuación entera (sin denominadores).
Ejemplo 1. Resolver: 3𝑥 −
2𝑥
5
=
𝑥
10
−
7
4