Solucionario geometría analítica de charles h. lehmann ( pdf drive )

y
LEHMANN
SOLUCIONARIO
Por: R. FIGUEROA G.

II
l'RHIERA EOICION : Febrero 1983
SEGutH>
A F.OICI OII : Oct ubre 1985
TERCERA F.OICION: .~bril 19&7
Relmpres1Ón de la
TERCERA EDICION: Octub re 1990
El método de plantear y resol ver los p roblemas ,
a s ! como la diagr-ama ción y disposi ción del li-
bro s on de propledad d·eJ •a u tor.
Todo~ l os DERECHOS RESERVADOS en c umpl i ~iento
del Oeoreto-Ley Hº 194)7, queda .hecho e l depó-
s.Lto, en la Biblioi e·ca Naci on1Jl, con el Nº 04!1,
seg~n Ley tt 0 1 3714.
1
Se prohibe t~rminanteme nte la reproducción to-
tal o pa l'cf al d~ la obra, s!n pel"srlsó e:,rpre.so
del autor.
P~OLO GO
Al p;:hli::~-!· este JtO:ro, ha. f"in.: rn! ir:téneión, cont.r:.-
buir Ft d~sp~r~a.r pl ! nts.rés y 1~ :.:1:·1 ; iin del oat.u¿i_i:!"".tt:;
~o-r al es~uiio de la :;f:;OJ:~ t?~{a .J...r..l:.J {t ... ::~. O~~o .aá.7a!--tlr
d~ a,tii.,~~a::o q_ut? (13téJ ~r;ibJ'. jo no t:..cnt: }?i"a te!l~i6n. g.Jrn:::-'l
dét ser un 1:..h""o d~dá·:!~i co o tle ~.ns.-~fit-.;iz11 ts.órice..
Cc1Jt;;id~:-o q,.~ e] libro e!~ C!f.IT. L~:,.:i:ar.n as eait·.fntc-
ill.én Ld ildácti_ ce, pcr el1a t.e p-e~:r.iti ext.:.~!H:?r, eri c,..¿:'i a.~
pítttlo .. ~l "hH!l~:J ~c.:n..12....,!i.S_y delilos"""~~rlo:;. r
..H3.ra des!n~Js r1
sol11::,: !:::~ pr,:-Clenie3 d ~- catle gl"'t:po. ?&r t i~ula?"m~.._.,ta m~
L#: e ~-...Ol"Ze,.do ~ar~"l qH1:t -~" p;t<>.bleit:1.u 1~;.essn re:H•!!!l:.o.s -:1.r.
foTDa : Ja.l'a y ~r.n ci.~la 7 ds m.an-Qrs :¡ u;. !tO ee.:1n <Jst.01·hadt)!.
por c.par~cio:ic:;. l:+T'1. t;;;.tioa.o e-ngc•r-r,:; L~ :J.
Al ,fi:ic.l de e<,é.[,. c" i:,ítiü.o '.lni:'luyri pi·obl e=.a s re31Jel,;os
1
:1,~·-los propuestos €t?'! el te:<to da lvs !"1e1·n.a.I!C1P De La Bc!'"-
bol ' a, por f"on s id9l'"ai-1os, da J
lH;to:r grado dz rfi ( i cul t-a.d 4'
lü~'> Oe lehme.nn. Es .lndudábl.e qye ·,s to p~roit irá ¡J es-:u-
di."J."ltl' adqui.rtr -ri-ayo;r dest~a~~ para. reeo::-,ar ot.roa 'tip~~
de. p.:-.:~le::.::u-:- que s o µ~.¡-die--ran praaer, LE..:r en el den~'--rolltJ
del cu~so d: ~oom~ tr.!a A
r-Afí t ics.
F-in~wen:ic . Jti !lgradaci.)üect~ !I to:Í!l.s I os µi:,r,mr ;¡s, q 1
nen ana •;aliona s a11gBr e u cÜ-1 s hi~1.itrcr:. 1)0Si óle 1.u. ~~f:11 iz1-
1 • r -
~ión de esta ºf~n. n~ aep,~~a.1,a ~~ joven ee~udiant e , a
t u de:1eo cls ad~t:iri:r .~ayor d<>;¡¡~Fº en s! tnna y a la ac.F.>J
tación :i::q de t.u :urrt.g ~a:e,g.,0al es°í1e n o-de,:;;to ttaba..j o.
El &.utor

PROBLEMAS y EJERCICIOS
de
GEOMETRIA
ANALITICA
Sol ucionario del Texto de:
CHARLES H. LEHMANN
Incluye un.a Seleccion d~ Problemas. Resueltos
del Texto ele F.J.Oe La Borbolla
K
TERCERA E01 C I ON
'
R. FIGU EROA G.

I'I
QuUn. e<1tá d ¿,./:uP-dO a ,:.,eali.za" rtf.vo,
Aal(.,:v,..á ic4 r.,edl<,A.
Ouiln n.o t~n.ga gana~ d~ AaeP--<-~, encon
:tAa.-,& '-= d ¿.;c1d.pa<1,

1NOIC:E GENER AL
1. Sistema11 de Coordenadas
1.1 Segme~to ~octiJ{r,eo Di~i&ido
1,2 S18tcoa Coorden.ado Lineal
1.3 S.t:,itt,mas de Coordem,das ,;n el plano
PKOBLEH/5 t!ESUi:I. TOS. Cz,upo l.
1. 1 Di&tll!lcia !!ntre dos puntos
1.5 División de un .;¡eg::;en;.o en una :>azón dadu.
PROBLEHAS RESUELTOS. Crupo 2 .
1. 6 Pencli ente de una recta.
1.7 Ar.g"1a POtre dos rectas.
PROBLEM:S RESUELTOS, Crupo 3.
1.8 Demostracjones de teorema s geométricos por el
ti~todo analítico,
PROBLEHAS ijESUELTOS. Cr upo 4.
2. Gráfi c a de una Ecua ció n
2, 1 Gráfica ele !na i,.c,uación. I:-rcerceptos
EY.ton,;ión • Asíntotas.
2. 7
PSlOOLEMM 1RESUElTOS, rupo ó,
Ecuacion'.?9 ra.ct<:>rillab ea
PROBLE14AS )RESUELTOS, Cru,¡,o 7,
2.6 Ecullción ae un Lugar Goom/trico .
PR08L(KAS RESUELTOS, Crup¡ 8,
3. L s Lí n e a Recta
3, 1 Formas de la ecuaci6n de una 1Ínc~ recta.
PR-OBL[IIAS SlfSUfLTOS. GrUP¡O ?.
J . 2 Forma Generrtl de l/l ocuao.i6n óc Unll racta.
). 3 Posicione~ relativas de ctroa rectas.
Pll 08l Et:AS RESUELTOS. Gr~o 10 ,
3. 4 Forma Normlll de l a e cuac¡6n de una T'tlct.a..
V
3
4
5
6
12
13
23
23
25
32
40
L6
57
60
67
68
76
76
??
87

'.l. 5 R>JCIUeci:fo a la foz·:i:a Normal
PHO!l.LE~~S RESUELTOS. Crupo 11.
3.é Aplica.clon'e!l· ..:e la forn:r:. :,oroal.
Pll06LENAS 11!:SUH rOS. Grup<> 12,
3. 7 :_rea de un t'rihl:.r:ul~ ..
J.e ,ami11& de r~ctac.
PROBLEM,s RE~UElTOS. Crupo 13
Pf<'H1LfHAS fltSUl:i ros. Crupo H
f'ilOfllEWIS AOlCIONALU
(r ..xta: F. lh, :;,;;. .E.:rt>-.>llnl
' d •
4 . .L• Circ1r-nfere~da
4• 1 Def1nic_lón y Ecuaci~'lC ~•.
P?09t-E1t.,s R[StlE:lTOS. C.:rupo 15.
4.2 Fo.r:n1i General de l&. ecuación d~ una Cir.:n;lll,~Tencia
PROBLEMAS RESUELTOS. Crupo 16,
4~4 Fasllia d~ Cira~nferenaiaa
.;;,.$ Eje 'ªU.cal.
PIWlllEHAS R(SUELTOS, Grupo 17
L. 6 Ta11~ent,, a Jllf. Circunférenc:ta,
l'ROBLtMS E!CSL"tl r,·s. Crupo !S
!.• 7 Teor9mnG 'i Pro bleTa.S C.i:: •11 gert:~ ge!>rr:St.t!~vs
~el~tivos a la c_rsu~ ~lt,nc~3.
:·. ;
ºROBlEK~S RfSUELTOS. Cr~pv 19
nROSLEMAS AOlCIONALCS,
(l,,xto: r. Oc• la Sorh,>1!,)
1
5. Transformaelón de Coorden•das
:'-r~!:la.c1lt ·l~ Ej<. r-: Cc ....r-d-.:... -dc3.
PROBL.ttAS RESUFL10S. C~'fº 20,
t:-i't.c.cié~ tl~ i.;e:1: Coc1·de.r.c..'J!>f;.
1
sci-
s9
<}J
95
105
1C6
107
i 1~
130
1.;<1
131!
1,:19
152
, é?
1f:7
17J
Co11t en. ¿do
PílOOIHIAS RCSUELIOS. Crupo Zl
S./. Si!T';)l.l.f;..canión de una e~u,;.ción po::- trens!orrao.-
ción :::e coo1•den..uas.
PROBLEHAS RSUELTOS . Grupo U
6. la Parábola
6. 1 O,;finiclón
6.~! Ec;.i.;~d., f.e lu pa.ábol:1 con v"rtice l''.'.l el -:-r5.een
PRC!3LEll~S HESU[LíCIS, Crupo ?J
6.) E~t.6.CiÓ:, éc la p;;:.:-áool ~ con ,1ér,. :.ca "n {h, :.,:) ..
6. 4 3c ,acién Ger.~ral do i..t111 Pa1·!bolo..
PHORLEil~S PFSUEL TOS. Cro¡,o 2'+
6. ~ Ec·H,~:én de l ll. tang':>nt.c a en,. ¡,a.:-á~lc
PRDULEMAS RESUELTOS. Crupo 25
PllODI.EMAS ADICIGllALES
(fnxto, F, De LA Aocboll~)
1. La Elipse
·7. 1 Ditfi11ició:i > ?• 2 EcunniÓ.n do la Alip ~c.
P,<OULFll1S RESl.lEL TOS. Crupo 27
7.) 3:-c·.ieaión de l" él lp3J con véi·tic" c:i (b, Id .
7.~ 3~~ación r,en~ral, dJ ~~ elirne
P:rn·LEHiS P.CSUfl ros. Gru~o 28
7,:, r:eu.1ci6'1 de le t1m1;,rnte 1una ffl ip11c.
:,. 1
P?D'LE~AS RFSUELTOS. Grduo ¿9
f.>:10:JLEi•W, llllICIO/lALES, 1
(TPxto: F. Oe La k~rbu ll~J
J
8. La Hipérbola
Jal ..niciér.. El e111en':-c s ¡¡., wi:, 1-,i¡,trbol ,:.
PROaLEHAS RFSUELTOS. c~~po JO
188
196
197
214
215
21~
2::;.1
22)
247
249
25i
259
1279
287
2'!8

2 Conicn idc
H.,( Aa!,,tota;; deo u:,;a hir,ér bo111
.:,.. 5 E...pé:~:. tt 1; ... t.~~·!-.-nr!"', 8.,6 H!.;Jér:x>;.e.s eor.j:.>t:P-daz
PROSLWAS rESUEETUS. Crupo 31
s. 7 S&~1md~ t::'!Ouaci&:n o.t"dlnar ia :;.e U!l.... h!pérO:..... e.
'RU~!..EIMS RESUELTOS. l,rupo 32
f,9 i:;C':U'd)i Ón ,., :.;i. t.o.rHTi:?t:t~ a 1
.HHI bip~.rlio1 J,t.
P~()13LEMAS RE%U H)S , ".;,:upe H
PA03l~M~S AO!CIO~!lfS (Te~to : F, o~ La B~rbolla)
9 .. 1
Intr"-d!l:.:ciÓt!. 4. 2 Zr-c.~afo t-~~cién _pcr 5Q~O:l6n.
9.3 Tlpos de C6n.ie~~. 9.4 Inv~riant~u.
PROOU:'.tloS RESUELTOS. Crupo }4
9, 5 Oefir.:lc i ÓL zn,e1<al. de la cónic a.
PROCIL EMAS RfSUElTOS. Cr· upo 35
9. 6· 1an~en~ a la cónica g en~ra! .
PRO~LEHAS RESUELTOS. Gr upo 36
1O. 1 .5i i,t e:nn. de c::>ordena::.11 s p eJ. :iy:s .
:-1. 2 Pa.r~Ja de ~co.,.de!ladat p an: ..in p ".lD~.,;, .
.; ?~, ~e coo~cezadas po2~res r. ~e~tar~rtü.are~ ~
·, l~ •1ers e..
1~. ...
Pfl{18l. Ei'<AS ll~Sl/!:1.ros. 1
Grl,upo 37
7~a~ito de ccrv~~ en zo=r~ ~~añ~s pcl*re s
PROBLEMAS ~ESU8..TOS. crtp~ 35
1
10 . 5 l:, ~ercccc _one~ d6 e~.L:va.2 ffr~ ao:,r i~?l.?.d1 a poltt.res .
.. ~. 6 r,( 3:t?:t.n::ia --ir.~l"e d.oa ¡,1.a:to
PílOJI E~ AS MCSUlL TOS, Grupo 3 ~
·; "'. '"! E=~nc::,.6n d~ u.:aa :oc~s er: co~r ~en ado.~ pc lar~'-4
10.'.:: - •uav.:1!l ."~ :ir.i !x:-·.1~::c~e:1cis s-~ t:cer -;.. ;ol.1.::~s
~). 9· r:r.~ .10.r:ién ge'1~I'"cl e.le la=- cén.i ,~as en noor d.. ·.,ol er?.s
ríi0!3LfHAS AHUELHJS. Gr upo 40
295
296
;¡_9'¡
304
Jft;
:n.?.
} 13
:,u
3~7
na
32'1
3/,0
31.1
347
3¡7
')57
'.; 57
358
.359
366
379
3S7
38~
389
39~
)
[

1
3
1
Sistemas de Coordenadas
l. l SECIIEllTO RECT! lltlEO DIRICIOO
?-
:,:· la g¡¡ome Lr ía elem
ental sabell!os que ls. porción de una
1 1
~~~ r ect a coopre~di d~ e~tre dos pu~tos A y E se l ls.as ~ ~g-
Q~nio. Per o e~ ella nos~ hacía la distinci6n en~rc los &cg-
ce::tos }3 y BA, porque noa inte::-aa<ibo. solamente la longitud
a~: ae~ ~cto . E.~ e: est~:iio de la Geo~etrí~ klal!tica es nec!
s~:-io ::,-;ntllderar ~a!lto la longitud co:co el :,é;o:°tido. Cua:nc:o
;,os :·e.f'iraa:os a J.a longitud de un segmento, l o con3icierarem
os
cono une eAntidac ~clatlua . Cuanjo n~a ::-efirazos tAnto e la
:.ct.¿¡:_:;u:i co=o el :;ct.tido ,ie u~ ·segao~to de. ra~-:a, l e ll=ere-
mo,1 ¿"?'"ento Cltú.n.iad.o. Entonc~s. entend(!)mOG por n gsento o-
r ientado s:¡uel c·:;;o sell.~ido po3it1vo 21e . sido &legido. In eer,-
tid~ pos'tivo se lnd!ca u3ual ~ente colocando ~na flooh~ en :.J
g:'.~ l ugar d&l seg:i en.to .
Figura 1
.S.:i!. la r ec ~ L ~3t' orisntad:. c:nao l o i cdics. 1;:. !lecl:c • lo·
cual significa q~o cual1uie::- longi tui oedidn de izquierSa a
dere cha s::>b!'e 111 reut a se consid.¡¡re. en ~ent1do pos1 t i ve. D<&o;
~os entcr.ce~ q~~ al segag~to I'§' as positivo, en t~~to ~ua si
E••fe::to Jrr es 1.-;1g11 t ivc. :n con~ido de un sog:ia:1to aer~ indl -
calc por el orden sn q ue oo escriben l.:is· oxtreno-
s del s~g:n,¡11-
t o. Por tnnto, ten$~Os la relación:
n =-3.t

4
Consld~re=o& la poeictón ac un tercer pu..~to C, eobro el ec3-
nento orlent,•do, cor. relnción !l. loe pun.toi.: A y B.
A .e
!"igure
D& lo figuro. 2,
Do la. :figure 3~
De la fieura 4:
H e A B
~- ------
?. Figi.::ra J
tsne;c;oa:
J!. = AC + CB
AB· = ~c-..e +· ci
+ ~=Tc+c'B
Ail. ·= Tc; ~ :§e
+ Afi'. = Tc. + 'BB
A 3
L+
.... o
'
I'igur ,. ~
(1)
P,n tanto, p1u•a lais trea, pooicionet1 ilu~traduo, es v,l.lida. la
xis~a roleci6n G
ntre loo see~entos. Esta relaci6n puede escrt
bi'!'se on la torua, a4s conveniente:
Xc'+ci3+Bi,:o
· l, 2 SISTEMA COllROENAOO LHIEAL
COb3idereQOS ur.a rcc~a !'X c~ya d.ireec1Ón positiva 68 ie
1zquie~d!l ~ ücreeh~, y se~· O un p~t.o !ijo ~obre ~sta línon,
Pa o ¡¡ Pi p
X'
--- - x
Í 1'2) (O} ('T) (x,) ü:)
Jieurs. 5
Si f, es w, ¡,unto ñe ,;•x rdt1.a<lo a lr, d&reeh~ de o. ls lone1.
tud OA pue.ic ccnoid;,1·=00 c,.,no u:iirl'-d de :.ougitud En..onee:i
t•l r,u.1-to P, situo.;lo um1h1á., n· la dc~·ed1:i. ha O, contiHe -.. ve..
et>~ la :.u1id.a ::dop-ti1ó:"! !l- l ..:,g:.Lttd .Y ó.'t'¿¡~,~n nite c1 p·.'i...nto •.
c.c:~.1t.t:.1>.t:.·•Vuie l 1u'{noro p::r."'tJ.v~ Y'. }41:álog:.ui<!n;;b r.1 P~ e~ ~1
•;U!!to ;:•tt.~do -r,. la i:1..:,u•.:>rda ao O, eni.r>!'ce:r, dl.I'<,moll que 1,l
,=t"-;o F~ e,· ,~.,;,t.r..r.t.:. ~ .D1-~ (1. 12.-.."a.t-ü.~ ;¡;_¡_.
!.., ~ú <:1,-t , b1-1.:10~ .t.nn~t,.11:!.dc il-1 ·t;c,!t:.cr;a pcr m~d..l.'o del cucl ~6
,)8 l:.. d!t'I ·;ui, d(l2,"",l¡lO.OJt1J<CÍl1 c,l;.r:ÍVO<)tl enf,,,3 ¡,1i11'1,v~ do UJ.ll.i
5
recta y los ndmeros reales, Tal esque11a ,;e llaoa un ¿,:-ó~a
eoo,,d¿¡-¡ado ·l.úu.af:.
Coc refsreceta a la figura 5. la recta l'X r,~ ll¡¡,¡¡¡a ~;e y sl
·punto ·o es el Mlg= dol sist!)ma coordenado lilleal. U .PUllto
P con su coordenada. (x) es la ~cpre~enteci6n geométrice o
gr~fics. del DÚll~ro real JC, y la coordenada (x) es la 11..t,,,.ic•
h&niaci6n anclltica del punto P. Juntos se es~ribe: P(x).
foorema 1. En un s:it1te!lla coordenado lir.cal, 1s. longitud del
oea~ento diri~ido que une dos puntos dadcs ae cb-
tieno, en ~ag:útud y signo, restando la eoordenada del ori•
¡¡on de la coordenada d-sl éxtre110.
Dcn:ostruci611:
En efoc~o, sea la rec.a orientada l'X
O P1 l'2
X' ~~~~~-..~~~~~o-~~~~-a--~~~~-4,,,¡
(O)
Según la relac1.6n (·¡) d,;l ar.tí culo 1.1, tenelllo&:
OP1 .. l5"iP2 = éW2
+ X1 +'Í>1P~ X2
de dunde: F;F;,=X.a - x 1
En a~bos ea.sos, la longitud del segaento óirigido se ob.le•
ne reatando la coordenada. del punoo il:J.icial de le coordeoaóc
del pun.~ Cinal.
S1 1·9pre~er,tamou por d la d1.otanci..t ,to ai.,d gida entre P, y
Pa. &acribiremos:
o bien:
1,3 SISTEHA COOROENAOO EH EL PLANO
La estructuro del siste~a de coordenc.daa an el plano
consiste en un par dA rectas orientadas porpendicularea, 11!
ma.do19 ejes coord11nado1I. La 1·ecta hol:'1:i:on~al es el eje X, la

6
vertioal el eje T, y :'>U 1nteraccci6o ol OA.i.f!M
}'..as cu11t¡•o partea en que el plano
qucd~ diviciido por lo~ ejoD ooor- y
deaados 60 llaoan ,~~ Y se II(-,t) I(+, t}
doeig~an p~r I. lI, III y IV ~n
se~tido contr=io 111 de las 11ane-
cilles del reloj. (Figura 6)
ll --- - -,- P(x,y)
Un p"!lllto 3e indica dnndo au senti-
do y diotencia re3pecto a los ejes
uoordenadoa. El ner~ento orientado
oi~ru> se ropr~s~nta por x y oc 11~
na at4ci4a del p~nto P. ll segnen-
to orientado OB•ii:P se reprooenta
por~ y se llama o~denada de P. i~
III(-,-) !V(+,-)
Fi¡ura 6
t1s dos c~ntidadee ae deno~!3an cooA.dc.n.ada~ del punto P y se
repre&ente por {x,y).
Si un punto est, a la derecha del eje Y, su 11bsciea es posi-
tin,, si est.t a lit izquierd11. o.el eje !, st: nbscise. es nee;att
v~. Si el p~~~o est, arriba del eje X, au ordene.da e, posit1
va, si está ab~jo dol eje X, su orden~de es negativa.
[.EJERCICIOS. Crupo l
9. ~allar la tliG~~ncia entre los puntoo cuy&u coordonade.e
son, (-5) y (6); (3) y (-?); 1-8) y (-12).
Scl,,ci6n, Por el teore11a 1 se tie:ne:
Pa.-ra loe puntos ?1(-5) y P1(6): rl(Pi,P:)=lx1 -xd.,l6-(-5)le11
Si P1(3) y Pa(-7) d(F1,!'2)=lx1-x:l=l(-7)-JI- -101=10
P1(-8) y ?~(-12) .,. d(Pi.P2)=lxz-x1 '=I (-12)-(-8)1=1-41-(
5. Le dlstanci~ ontre doo pw,tos 8$ 9. Si uno de los punto~
ea (-2), hallar ~l o,ro punto. (Do~ casos.)
Soluc.:611. Suponecmon quo P 1 (-2l y P 2 (x1 )
Fntonces, !IÍ d(P 1 ,P3 )=9 - 1Xz-(-:t} f•9
Sú,J"'"'~ d.c Coo~denacia 1
~ lx1+2l=9 .... x,T2=9 6 X2T2;- 9
..-.. x,~7 6 Xz•-11
7
Por tonto, los p•ir,tos buscedcs son: P,(7) ó Pi(-11)
6. En ur: s.!.st.ua eoo:rier
•.:d= 11:teal, ?i(xi) '/ .?2 (x 2 ) son los
p1.!11 tos oxtl'ono.s do.dos de un gcgnento dirigido. Demo3trar
que la eCOl'dtto3da {x) ie un pa:-ito P qu• di vio.e a J- 1p2 en
:!.a raz6r. r- (P,?):(Pl',); u:
x _ x, + rx, 4 •
- 1+r , rr-1
Dc1>.o.ái.r.ar:i.ór.. Er, efecto, por el teor~;a. se tie:.e:
?1P • x-x, :, PP, =x~-x • Lu!lgo, oi r ; hl + r,, x-x,
:'~2 X2•X
de dond<i: X
_ x1 + rx, 4 1
1+r ' xr-
7. Lll.Cieodo r~1 eJ lo f6 ·•41.a obtanida e, e: cjerciclo 6, d~
11:os~!'a.r qu~ la coor-it<nll.da del punto ned.!.o de un aag1e;to
r•ctilír,~o 03 h. t>c<l.io eri. tmé t:I ca de ::.ae coordenad:,! de
lon p~~.os cx;r~==3.
tJcMOdi.1t,,ci6n.. En efo1cto , si r.rl, en la fór:iiula ant1Jrior
se t.iena: X= x
1
n1 "'x¡;.x!
Halla~ les pun~cs de trisección y el FU~to ~edio del seg
1:11J11t,o dirigido cJyoa extrexoo son loo )>1,t.tos (-?) y (-19).
Sotucl/.o,
Se~n P:(-7) , P,(-19) y
los pur.tos de Lri$ecciún
?(x,) 'I Q(x,)
(-7)
? H
( l( ')
Si ? r Q <i!.,:.con al sei;,iento P 1P 0 '.!n -:.reo pu·tea i¡ulllei, =-
t.or,o,,s , P!:' • l - x,-(- 7 ) - 1 d d d
r,-z 2 -1':/-:<J ;¡ , e e:: e: x,•-11
, e:; pJ:1to c~d.io Ue Wi ... x,;: -1ltl-19) ~ -15
:-1 IIP p:n:.c - - Jlo de ¡-;p; x ~ - 7219 -1J
?o1' lo t,.nto: ~ ( -11 ) , Q(- 15) y M( -1J)

8
'.:l. 1/n extremo il:' 1m s-egnento diri¡;ido ::.s el pu:,to (-8) ,' su
pu:i.t,:i medio .,,., (3) . Hall.ar la coorclenatl.a af:11 otro ,01<treu.o
$i>luc-
Ur. . Sei,n P1(-8) , M(}) ;¡ Pz('X"~)
Según la ~órmula del ejoreici~ 7: J ; -8
2
Xg
de dor,de: :. ?,(1.i)
10. Los ertre~os de un segmento dirig~do son l os ptllltos P1(4}
y P~ (-2). Hallar la r.ni6u (.P"';F): (PP i) en que "'1 punto
?(7) divide ¿ esté oegmento.
Sotuci&n, entonoas por el teorema 1:
r e ~ , de donde: r~-3
ll. Un cuadrado , tle l _
ado igual a 2a, tiene su centro ~n el o-
rigen y sus l ados .son paralelos a los ejes coordenado$ ,
ITalla,r l as cot>:rdenada.s de aus cuatro .v,htic,e,s.
Sotui;Un, E'r, la interpre tt<oi6n grái'ica dol p-i•ob:l.e,aa pode-
mos o-hs-erv,u, quo~
Alil lifcl leje Y. luego, J,n abecis-a de
A y J es a, (derecha del eje Y) y la
de E y O e~ -a (iÑqui e rda ciel eje Y)
~ I IBDI [eje X, luego, li;. orcl-enacla de
A y a es a (ci,bre el ej& .X:) ,¡ la de
C y D es -n (d.,btijo del eje X) .
Por tanto, las coordenadas de lo$ 4
-v-&r,ices del ci:Rdrado son:
y
!!
-~ ó
e
A(a,a) , B(-a,a) , C(-a.,-a) y D(a,-a)
A
/!
D
12. Tre<: V'ár-':.ice$ de- un re-ctángulo son l()s puntos (2, -1 },
(7,-1) Y (7,3). ~allar el cuarto vértice y ou nrea,
foluci.6n, S-ee.n A(2, - 1), B(?,-1), C(7,J) y D(x,y)
Por el Teorema AB ~ 7-2 = 5
5c = 7-x
5=7-x , d.t donde,: x=2
- X
Análogamente: §e = 3-(-1) = 4 y
Ali D e
e y-(-1) ;
y+1 ···r----
Si iñ=BO ... 4=yt-1 .de donde: ;;r~3 1
Por lo que: D(.2, .3)
1
a.{AJ3CD) [ÁBJxfBcf X
= " 51e4 ;- 20 u2
A 13
.,r
13. Los vórtices de un triángulo rectángulo son A(l,-2) ,
B{l,-2) Y C(4,2). Determinar les longitudes de los cate-
tos, el área del~ y la longitud de la hipotenusa.
S.olu.ci&tr.., Por el 'l'eore.1n:t 1, se tiene:
lilif ;
lxa- • x_~1 14-1 I
y
"' 3 9
IJ:fül - l;1c - .Yal 12-(-2)1 ; 4
------..
Entonc~s~ a(AABC) =iJABjxjr,cJ 6 u..2
o X
Por Fit6.~orae; IA'cl 1
=liaJ 2
+1ac1 2
= 9+1b
11.°"'cl : 5 A B
14. Bn el triángllo rectángulo del ejercicio 13, déterminar
primero los puntos medios de ios catetos y, después, al
punto rned.io de la hip.otenusa••
S.o l.u.ci.611,
Si M(x,y) es punto m~dio de AB ; j(1+4) : -i
= i<-2-2) ~-2
_ {x~-2
1
(4+4) 4
N(x,y) es punto medio de Be+
1, )
y ; 2 '?-2 o
P(x,y) es punto nedio de AC • 2 2
{
x = 1(H4) : 2
y = Í(-2+2) ; O
Por lo tanto: M(i,O) , N(4,0} y P(1,D)
15. Ballar la distancia del origen al
So~uciéq, En la figura se tiene:
OA abscisa de P = a
AP ordenada de P = b
punto P(a, b) .
yt--·_7: P(a,b)
~ X
9

Kn ln .Cigurn •1e:
moe que ;
OA =abscina de~~ &
O
E : or denada ~e a = 1-BI = S
Por Pitá go':'a.s : 1.Gf'= lfü¡ªJ. Jo§/2
~ (6F"- ra>2=100
; . !!(.!i.,31=10
17. Lo¡¡ v.Sr tic<>a de un cuadriláter o
3(7. 3), C(9, 8J y D{J,8).
A(6, 0} y .&(0.. - 8).
Como CM 11 eje Y, la. abscisa. de C y-
e• es xc:1. tiil(.,(J-(-1) 1=4 + (Aii-j:2
Si el A!BC es equiJ.átero, entonces:
IACl=(Afijc4
En el AAMC: IA"c:J 2
=liMJ 2
+(MCl 2
+ (4) 2 c(2) 2 +(icJ 2 +JMCl.. (MC'le2,/J
iuego, la.e ordenadas de los vért1C$8
e y o• son: 1+2,IJ y 1-2/3 •
:. 0(1,1+2,IJ) y c•(1.1-21J)
11
C'
lj. De~ostrar que los punt os A(-5.0), B{0,2) y C(0,-2) son
los vét"t.ices do un tJl.i~!o is6$cel,e.s y ea}.c111ar su -'rea
,....e .. • : ~ ...
JI51.. (9-(-5) J=5 , (oBJ=(2-0(c2
y!ocl=lo-(-2)J..2
En el AAOB: IIBlª=JKóJ 2
t(o'Bl 2
=(5) 2 t(2)~=29 + IAB)s~
Rn e1. AAOC: IAC p .. l.@l2~ loé! .t
~(5) 2 +(2) 2229 + tACJ~
Por lo tanto, ·el A.ABO ea is6sc-eles.
a(Al,J3C) "'i~B'clxfoll e j<(4~{5) =10 v.l.
20 , Deiaostrar qua los punt.oa 0(0,0), !(3.~), B(8,4} Y c(,,O)
son los vértices de un rombo. y caJ.cular sn área.
D~mo4t4aei6n. Easta:rá deQOStrar que !IUil=IABlstCBJ;JOCJ
En efecto: IABl=l 8-3(;5
IOCl=l 5-0l=5
Las proyacciones de A y B sobre el
eje X son: A' (3,0) y B' (8,0).
EntoM-es: lói•f~l3-ok3-y lc'B•J..ls-51=3
Luego: IOAl 2 =(J}2 i(4)ª=25 + !OA(a5
ICBj2=0) 1 +(1.)h25 + ICB1=5
Por lo t.anto, el cuadri1ltero OABC es 1111 rombo.
a(OABC) = IOClxlAA'I r (5)(4) =20 u2

12 (j.e.vaei.A.la Anal!ti.ca JJt<ma
l. 4 DrSTAtlCIA EHTRE OOS l>IJNiOS !Ul)OS
TeoreRlct 2. La dilltancia e11trE dos puntos .1' 1 (x;,y1
) y
P: (xi,Y2) está élada por lz. fórmul a:
d(P1,P2 ) = /(x,-x:a.P + Cyi-y~ )2
Déll!04t,iaci.&,u
En efecto, por P1?a tracemos lus
.perpendicularas P1-A y PaD a ruibos
ejes coordenados, y sea E su pun-
to de intersección. Lae coordens-
a~s de los pies de las perpendicu
lares a los eje~ coordenados son:
A(x1,Q) , B(O,yi), C(xa,O) , D{O,y,) Pz
Luego, por el teorema 1, se tiena·
P1E=C!<=X1-X2 .• EP~=-ruJ=y1-12 - ·
y
B
En el 6P1BP2, por él teorema de P.1.·&f~ar~ª
- . . ~o lSé 'tiene:
JPiP:1
2
= IF°;EI~ + IEP1f2 , (e donde:
d(Pi.Pt} ,,. /(xl-.i:.2P+{y1~Y2P
l. 5 O!VlS.IOH DE Utf SECMENTO Et/ UNA RA!ON O/i.OA
Téore...a ). Si p (x p (
1 1,yi,2_ i >l.,a,.y~} ·so.n los extrélllOi! de
un. seg~ento P1P2, las co~rdenan.a~ íx,y) de un
punto p que divide a est.e $egmsnto en la rá~6n ~=P2P:PP2
x ., x¡+rx 2 h±!:Y~
l+r • r; ·~ , rJ-1
1Jcm.9~l11.a cUm:
En efecto, por los punto& P,.P Y P.
traz:-r:¡os paralelee a los ej ei. coor
ñ~naaos, que se i~terceptan en lo;
puntos Q Y R, tal co~o se indica
en la i'ig.ura adjunta.
t:.F 1QP : APRP:
E:.toi,c:cs: ¡;-; "-~ (a)
1 '
L----~ ...
.R ,- 2
Entonces, por e.l te:orema 1 se tiene:
~!
., r + x-X1 ,.. r
X11'-l<
de donde: X .. X¡ + rx¡
i+r .ri'-1
~ ~= de dondet Yl + ?J't r#-1
;
r. + r y ,:
Hr .
RP y-y2
:En el caso p,articular en que r"1 tenemos el siguiente
Corolario, Lea cooraenadas del punto m~io de un segmento di-
rigido de extrel!los P 1 ÚCi,Y1 ) y P2 (x~,y2 ) sen:
" = Yi + Y•
' 2
Ob~rvaciones. (1) Les razones de las rórmulas deX teoreoa 3
deben ser consid,erados con su signo, ya
que est"a~os tratando con ssgmentca r~ctilíneos dirigidos.
(2) Al usar las fórmulas del teorema 3, debe cuidarse de que
le sustitu<;:i6n de las coordenada• sea correcta. Por esta
raz~n freou4ntemente es preferi ~le no eustituir en eetas
f'Órnuláa sino ss·cribir directamente los valores de las rj!
zona~, tal como se da en {G).
(3) Si el pwt'to de división P B"a. externo al segmento dirigido
P1P1, 1a ra~6n r ·es nega.U,ra~
1E,)ERCICIOS. CrupG 21·
l. Ha.Llar el perímetro del cuadril.átero cuyos v6rtices son
A(-3,-1), B(0,3), C(3,4) J D(4,-1).
Sotuci.fm. Por la fórmula deI t.110rf!'1Da 2:
!Altl =/(0+3) 2
+(3+1}2
=19*16 = 5
1:ac1 = /0-0}2+(4.3)2 = 19+1 = /'TU
!cDI /(4.3)2
+<-1-4) 2
=/1+25 =126
e
IADI lxn - XA 1,. l4- (-J)I 7 A-------al)
pé.rímetro ~ 12 + ,l'fU + /i6 = 20,26
X

2.
D~ros~rar que los p~nto$ A(-2.-1), 8(2,2)
los verticea de u~ trilL~gul-0 is6s~elús,
Y C(5,-2) sor.
iJll.i;!o,l,l,ta_cidn •
En efi;,:~to, las longiT.Utlen
1
- t;::--:c-:--::,-,.--t-riát.g-ulo son:
AB/ ~ ,/(2+2)2+(2+1)2 = 116+9 = 5
de lo~ lados dsl
lact = IC5-21•+<-2-2J2 =19+16 =
5
/(5,+2)2+(-2+1)': /49+1 " :;/2 ~r:,~-....!......+--,- Y.
Sie~io lli'il=!BC! , el óABG os isóscele~.
e
3, D-ezostrar que len P:ltltoa A(2,-,!), B(-8, i) ( )
los é t · ~ 'I C 5, 3 son
v r ices de u11 /J rectánQ"Jllo,· v h•J.'1•:r
... ,? ~ c.. St:. área.
Ve~c~t4aci6~. ~n efecto, las loneit~des
/IR¡ ~ l(-8-2)2+( 4n)• =~
~ de cada laca son:
tiic/ = lcs-2) 2
+0+2)2 ~ ,r-;¡
IEG/ =lé.5+S}2+(3.4)2 = /Pro
Aho':; ~ien, fAB/'= 136' /Xc¡•,. .3_.....,_---~~~-,...~-Í......;,.);
Y 1a~1 : 110 = 136+34 = IA6J2t/BCIª
Se c:,mple el Ct!OreJl1a do Pit,
·1_ ago~as, por lo que ºl 'A3C
""-"61Jlo e.n A. a(A~BC) _ 1¡-¡ _ 1 ·· '· oe rett-
. - 2 AB x/AC( =,(/i36)(1}¡) = 34 ui
:+. D t
anos re, que lo.~ trss puntos -
son aolinsale~, e¡¡ deci~ ~ A(1~, 1), B(-J,-2) y C(2,-1)
·• GU- est<ai.r. sotre un~ nisma r~ ••
De.f!/OM ·,i , ~c,<1
. M1c~ n' S&gun la i:-e1aC':.6n ( 1) del t'
ar 1eulo 1.1 pa
ra oualquier po-sición do l . • -
C sohr; una !{nea os p~n~os A, By
rcctn, se deb~ ve:r·r1
_ _ • - · 1 car <:?Ut;:
ÍA3/ = (AC( t /C3f
En t1fecto, pcr- la .f'ón,ula
c!e d.is~a.ncies,
/ABf =l<-J-12)2+{-2-1)~ =/225+9 ~ 3~26
fAc/ "1(2-12)' +(- 1-1)2 - ¡ ~ -
_ - 100.¡.4 ~ 2./26
/OBI ~_!(it~Z+(-H2)2 = h5+1 -: -.'26
Co~o /AB/~l4Cj+je§j, los tres pw:~o~ ~on
- coli.neale s,
15
5. Demostrar- qu-e los puntos .A(O,1)•. B(J. 5), C(?,2) y D{4,-2)
~OJl lo~ vértice& de un cuadrado.
~o,¡;vuzei6n.. l!astará probar que las 1ongitode11 ele los 1~
dos son igualas y las diagonales tllllbién.
IABJ
1rsc1
1(3-0) 2 +(5-1)2 5
/(7-J)2t(2-5)Z; 5
jCDI " /(4-7)2+(-2-2)" "' 5
IDA! =l(-0-4}ª+{1+2) 2
~ 5
I/Cf =l(7-D} 2
+(2-1)Z /50
tDBI = ICJ-4)2
+(5+2) 2
=/so D
Por l o tllllto, el cuadrilátero A.BCD os un cuadrado.
Los vértice.s de un triángulo SOi!: A.(3,8), 8(2,-1} y C(6,-1)
Si D es el punto medio del lado BC, aal.cu1ar la l.ongitud
da la oedia»a AD.
Sol#ei6n. Sea D(x,y) el punto aedi.o de BC.
Entonces: x = ;<2+6) = 4 y" Í(-1-1) 0 -1 • D(4,-1)
Luego, IAiif =/(4-3}1+(-1-8)ª 2 182
7. n~mostrar que loe cuat~o puntos A(1,1), B(J,5), 0(11,6)
y D(9,2) son los vértices de on pa.r!llelograJ110.
Eh. efecto:
fABI = /(3~1) 2+(5-fr2 =/20
1001 = /(11-9) 2
~(6-2} 1
"12a
fiicl /(11-J>'+(6-5) 2
= m
1.rn1 1<9-1>2 +<2-n2
; m
e
Luego, f:ni!=l!iél Y IBCl=liilf, Con lo cua.l queda demostrado
que el coadrilÁtero ABCD es un paralelograao.

16
S. C.s.1.c'llar d árec del tdán1;ulo cuyos v,rtices son los pu~
tos A(O,O). B(1,2) 1 C(J,-4). (Sugest1ón. Use la fóroula
del 3emlJ)t'rÍoctro).
Scluri§rr. ?orla fór..,ula de di9ta.cc:1ila obt.eneoo:,:
/se/- a = 2,;ro , IA°cl• o ; 5, /4B/- e "'IJ
:u~go, p ~ i(~t2/lUt5) ; p-a a j(v'5t.5-2.ITO)
:;,-:: - ~c.r1+urtr-:) : ¡,-r. "';c5+.2rro-0J
Er.t.onces, ai a(~AilC) - lp(p-a)(p-h)(p-c) , se ~iene:
o. c1,AEcJ Q t1c0+2,m+ s> c0+5-2mi c21"io-J.0- 5) c2m+s-/s)
• Vc,o.15-,0><10+1Dl3) ,. V10oci0-1)(0+1)
. ..
••. eÍllAEC) = 5 u1
~. Uno do los extreooe da ~n soglllento rectilíneo de londltue
5 es ol pun~o A(J,-2). Si la abscisa del otro ~xtreao es
6, hnll1tr &~ ordenada. (Doe solucion~a.)
.i.g,luci6n. Si A!J,-2), B(6,y)_ y IIB/ ..5 , e.o tieno:
l(6-J)
2
+(y+2) 2
r 5 + 9+(y!~)i=25
-. (y+2)~~,6 ..... yt2=4 6 y+2=-L
- Y"'2 ó y•-6
10. Dsterl!!inar la ecuac:!.6n o.l¡¡ebraice qu.e expresa. el h"cho
de que el puuto P(x,y) equ:l.lliat.a d~ los puat.os A(-3.5) y
B(?,-9).
S,;{,.,_.-_,,..,.. Si ? equtc
ií~ta de A y ll enwr•ces:
IAfll = IBPI - l(:x+JP+(.r-5F = l(x-7F+{yt9P
+- x~+6x+9+yt.10y+25 =x 2-14.~+49+y 1+18y+81
-. Sx-7:,-2,..0
Ln ec~ñclón reaul~te cÓ l a ~eiiatria ie l~I.
l l. Ildlo.r lov µ1.ntos de t1•isecci6n y el punto tiedio del ºº.!
!llcnto n•1yoc extrel!os son Pi(-::1,J) y "'2(6,-3).
S oluci~.,. Eean r y Q los ?:J:1to11 de tr:'..ancc1ón y l{ '>l
r(~;2) = ~
+ 1·,,._., -1 +
B 2
P1
X -
y •
p Y.
2
3
{
¡( • t<1 + 6)
+ y • i<~-3) _,
,o
"3
- . M(-2+6 .1:.1) - !{(2,0)
Mes punto zeóio de P1~i v 2 • 2
Q ?,
p 'j·1)
. Q(,i,-1)
12. P (2 4) ,~ Pt(S,-4)
rle 11n segmento eon t • ~
Loi ptmto-s extremos . . d eta ca""e:ito en dos
P(. ·) que a< vi e a e ..-
Rallt.r el. pun t o x, JI -
pnrtes tales qi:.c (P,P): (P?i)a-2,
S0lu.c;i/J11:
rx-8 = -2
,:· p ,P • -2 .. lr--:2:x
~i ~ = -2
-y
+ x=-4
P(-4, 12)
. d . se¡¡monto es el (7, 8) Y
Uno Ü" los pur.tos ox.i:.1·e11100 e un
13. ~io ~~A<o oc (4,)). 3alla.r e1 otro eiCT.reno.
su pun" --~-
Solución. uea~ t ' •
" p (7 8) H(4,3) ~- P,(>ez,y¡)
P
-p ·> 4 "_21(7+,c,) + X2"'1
Si M bisaca al aegniento l •
>; J(s+y2 ) + Yt~-2
.·. P2 (1 ,-2)
e en~o oon lo5 puntos P1(7,4) y
~4 Lo11 or.tr(Ol!OS de un 'al f!:lll - - ) ua el punto
• Pz(-1,-4), Mellar~~ raz6n (P1P):(PPz en q
P(1,-2 ) divi~e al segmento .
S0luci61t:
x-11:1 - 1.;1... , do dondr,: r=J
Si~j~ + r·xrx- -1-1
15.. • 1 son (2. 5)
~os ~odios de los lados de un trio.ngu 0
Los pun. rd •dee de los 3 v8rtices .
( 4,l!) y {,,1). Uallar lav coo en~

19
B
P e
(4)
ol:,tenoitos:
l IS. Lo¡¡ ,,~,. t.·i ce ª" ,
e( 7 - -
) - e - Uf! tri~euJo eoii A(- 1 ~) B( ~• 5) "
, , - 1 • Si !J -ls ,,¡ _ ' • ;, ,
J;U!JvO llt'-'dio dtc>l l d -
to ~e~o del la~o §c d a O A3 Y~ os el pun
- • e10oct.-,u· q l , -
1rei:. to i5'! e>1 la ,d tf.d . ' i;" a ...oníitud del seg-
ne la. lo12g1tud del la<io AC.
.Soluc i6r,. '""'i D
,> tle pi.nto i.od!o de -
3 1 A3,
ot:t~Z:Ch · D' - ~)
• 1~ · 2 ....., ~(l,4)
E ~llnto l'lsdio do lfü .. i;'. (l:!:2 ~ 1
. _ •• z • 2-J - E(5.2)
Luego, lt>:;/~ /("-1J2L(2 •)Z =
., T - ~ ~ ..-20 .. 2""5
/Rj~ /Pi1Jrt(-1.3p ~ /a,j"" - ~
1Jividien1o: /DE 1 _ 20 . - 4 ~
;Xc¡ - ~, ue dor.d•: /DE/
l.J• !:n el 'ri.'
. • aneulo reot!n.,ulo dll .
e, "' ' e· ere! .1
- punto med!o de I~ ~ipo•e " 0 0 J , deD03trar qu•
"' r,u:1a eq"..lidist .....
!Jt,x:o,.¡_ ,ac.it,,. •
.,:i a da los vértices.
• ~ efecto, Sl. H ei;; pur.t
ontoncea, M( ~ ~)
1 7
• O llledfo tle Be,
2 , 2 . ++ H(-2•2)
Lueeo, Jiiñ¡ ".l(-6+-Jl2}2 t(~-7/2)' •
. i ,IT'fü
/MAi 1(2+3/2) 2 +(-2- 7/2)2 =l /1?0
lf«!I /(s+JnP~c3. 7/2P =~ IT'iO
19
Vemos que {iiBf=IHAl=IMél. por lo qua. el punto M equidista de
los troe vérticee.
18. Demo,trer que los se¡uentoe que unen lo& punteo medio1 de
los lados sucesivos del cuadrilátero del ejercicio 1 tor-
man un paralAlograJ110.
De.aodu«1.ci6n. Tene~os A(-3,-1), 3(0,3), G(J,4), n(,,-1)
Si K, H,P y a son los pu~ os nedios e
do los lo.dos .!el cundrilétero, on- ~ D
....~, •<-l.,i. •<H>. •<H> , < ,
R{i,-1) • Demostraremos que : ~
IMiil~iRi>I y l!iil.l•lfiPJ. En efecto: A R
1irn1 /e1 ~ lp+(1 - 1) • ,, l m IiP1ª /i
'"'
c1
...
_
-1.,...)-.-~-(
1
~..
- ,-)-ª: ~
22 2 2 22 2 2
IMfll lci • ~)~+c - 1-1>2 . ,111, IÑPI• /c~-i>2
+(~-~) 2
= ,111
Hemos de~ostrado que liiil~IIB>' y liii'tf:fH'PI, por lo truito •l
cuadrilátero ~NPR es un pa~alelogramo,
1,. Loe vértices de un triángulo son !(2,-1), B(-4,7) y C(8.0)
Hallar, Far~ cada une de las medianas, el punto do trise~
ci6n más cercano al punto m
edio del lado correspondlonte,
Demostrar que eEt.e punto es el misJDo , dra cada una de las
oedianas y, por lo tanto, que las eedilUlas concurren en
un punto. Es ~e punto se llama l.cvtic.f.At llo del triángulo.
llN11odt1Lae,6n, En efecto, sean M,
N y P 101 puntos aadios de los lados
dol trián~ula y C su baricen~ro.
Para ls Hd1$1a AH:
MC 1 x-2 _ 1
r ; GA • 2 • 2-x - 2
de donde: x•2 , y·~
B X

20
Pura. la modiana D:
r ~ fil! = 1 • ...!:.Í. - l y y?i/:2 =J , de donde: x~.2. y ..2
GB 2 -4-x - 2 -y ~
Pera la aediana CP:
r = ~ =1 • ~ "' ~ Y ~ =~ , de donde: x•2 , y-2
Queda de~ostrado que el ptlllto G{2. 2) en el mis~o para oada
una de las sedianas.
20. En el triángulo cuyos virticea son A(x1 ,y1 ), B(x2
,y2
) y
C(x 3 ,y1 ), deaoatrar que las c~ordenadas del baricentro
son:
cx1+32+x,.11+~,+i,)
De•96t..l.aei6n, En efecto, sean O(x,y) las coordenadas del
bricentro. Si Hes punto •odio de ic + M(x1
2
x,.~)
Por Ceometrre ele•ental snbeaoa gue
las 11edianas de un triángulo ne cor
tan en un ~iGeo punto eituarlo a 2/3
del vért.ice y a 1/J de le baiJe de
cada media.na.
Luego , para la •adiana 3H, se tiene:
r "~ " 2,/3 : 2 + X-l(2 ., 2
VM 17J" X!X>
- X
:. G{x,+:3¡,+x,,r1+)a+Yf)
Conprobaci6n pera el ejercicio 19:
X: j(2-4t8) "2 y• 1(-1+7t0) 2
:. 0(2,2)
o
S il,J;.o.a.i. de Coo.tde-u.:da-!
1(JERCIC!OS ADICION'LES 1
(Texto: F.J. De La 3orbolle)
1. Calcular ln dis.ancie entre los pur.toa ~(E,n) ~
., -m-n./J ntnl;J)
..t-r, -y-.
Soluuén. Por li,. fór.auln de dis~mche se t1cni1:
1,fa, /cB.:p - 0)2+(!!.±p - n)' "~ /(-n/;-::i)h(i:/J-d1
~ IOn1 12mn/3+ir.2 ) + ()m 2-?rtn,0+r:.') E ~ /41112
+1..n2
:. !Kili : /:s2+n•
21
2. A(3, 1) ? B{-1 ,-1 ) sor:. vértiaei: de n trlá::i¡ulc equildtero.
Calc:,ulc.r el tercer vértice y 91 lado del triángulo.
Soluciln. Se~~ C(x,y) las coord~na¿as del tercer ,é~t!ce.
Pn~a un triángulo oquilf-ero se debe
nr.:.fi car: IAC 1
• IEC l• IAB j
s1 /ACl•J.BCI .. /(~-.3)'t(y-1) 2
"' /(x+1)'-1-(y+1)2
dE" :::on:l.e: 2x+y-2e0 + y=2-2x (1)
IBC!=!ABI + l(x+1lª+Cy+1)2
~ /(3+1) 2
+(1+1) 2
ci'- donde: x 2 +y 2 ·12xt2y:1E,,.O (2)
y
su.tituye~éo (1) en (2), obtene¡¡¡os: x1 -2x-2=0.,. x~l i ,IJ
o ble~: x1=1+,/J ó x1~1-,IJ , en (1): y1=-~./j ó Y2=2.f!
,•, C(1+/J,-2fj) 6 G{i-/J,2./J)
3. A(-5,-2} y d{4,-5) aon des vártice~ ac ur. tri{ngulo. El
terco.r ,·értice C(x,y) ea hl c:n: l~l-4/3 Y liicl~51'.
DQ'tc1·m.:n2r C.
Sotuciln. S~ IAC)•4>', + l(x+5} 2T{y+2) 2= 4.13
Elevendo al c:.10.drs.do ootenemos: x2 +y~+i0x+4y-51"'0 (1)
s. liicl-512 ~ l(x-5) 1
+(yf5) 2 = 5,/2 + x2fl 2 -8xt10y-9~0 (2)
Ho3ts.ndo (1)-(2} se tiene: Jx-y-7=0 • y=Jx-7 (J)

.A:!. i:,u.;tltu.!.r (,) en {::) y el111¡>lh:ar rc:rnlt,~:
x2-~x-J10 ~ x 1:J ó x2--1
yi=2 6 y-22
-10
c(~.2) 6 -c--,-10}
i.. Calcular .,¡ cirC'ur.c:>ntro 0 1
y e: radio do Ia cLrc...niercn-
c'a circ"!.!loer~ta al t:iángul.o ac vé=ticc~ A(12,2),B(-J,5)
y 0(8,A).
5,..f,,cil-:! - E;. cilccnean•1·0 CA ~
~r~ánll!lo ~= h~llc en la i~terc~cci6n
0~ 1s~ r.iodi,;;t.•1.<!~!I de los lndoi> y
o:}'lidis~a t9 le,; ;.1·i;ss vértices.
F.n~m,e.:.c, ei f(ií¡; 1~ lO'ÍÍ · •e tidns:
/(::,:.1~) 2T(y-2)l : /(x7Jjlf(;{•5)i
de done:.,;: 5x-y- 19;0 (1)
El IQ'íal e Ic'é1 + ,.:"(;Z+;}il +(y- ; )2 = /~?-x---e"")""l-+{""y---8"")"'
1
Je don5": 11x+JrJ.'ir.O • f2)
f!eMlvi;,,·,o (1}-¡ (2) "bt~ne!::~11: x~~, :,=1 ••• 0'(4,1)
P.adlo J,., la c.:.rctu1J>,ronoia: r'-]6"i'il•IC&+J)2+(~ =165
5. G(2,J} e~ e: uaricer.tro de un éri.&!.6~lo ASC. C,(!,6) y
e; 1
(3, -1) t:r. le" l:,9.!"icer;t.ros da doe tr.i.<Í.n¡u:ton i'o:ne.dos
uni<>r.d:> G :o!'.! lo6 ,,,í,..iices A, B,ll. iJeterclniu· •stos 7érti-
c~s.
.;&li.:c,6.,, S""" .(x 1 ,¡r:), S(ii:2 .y,) Y C~x.,i~>
Par:l ::l t,A]J(l: X¡IT.¿fX3-'3(,;>)-6
Ytiy,•y ,~J0) - 9
En <;l t.,.'il3Cr : x 1 fx 2 t:;:=J(4}~1'2
( 1)
(2}
+ X¡ •x2 ;í0 {J)
7,•;,+J•J(6)•18 • y,+y,=15 14)
S11~•.1tuy13ndo (J) y {.0 .:-t1 (í) y (2)
resul~•, x,--t , :,,=-6 ..·• C(-4,,-6)
a
A
~~ •] ~ACG: ~1~x3f2=3(3)=9 + x,~11 ; y,+y,+J-3(-l)~J 4 y,=D
.'. 1,(11.01. "'n (3) y (4): x,=-1 , :ra~15 :. Bí-1,15)
2J
1. 6 POIOIEN Tf OE Ull. RECTA
Se denonlna p,:,ndiente o coeficiente ~g1Jlar de uaa rec-
ta a la iar:gent.. de s,, ángulo do incliniCi~n. Se tl4mcta
por~. de tsl 2odo q~9:
» Tg«
Ot>s..rvaciones,
(1) r1 interv lo cia ~ariación del
ér.gulo de inclint<C16n de una
recta esta dada por: O<a<1aoº
Según esto la ;endiectc puede
temor todos 103 valores reales.
(2) Si a es .,,gcrio, la p~ndien.t.e es
positivn r.omo para la recta ~1 de le t'iJura (Tga1>0}
(3) Sj a ~s op,usc, ~cmo psrs 11, la p~odiente ea ~egativa.
(Tga2 <0)
(4) Cuando a~~oº, la r~ndiante no está definida, y~ que
Tg90º= c•1yo sig:,.ifi,:edo no os uo n..:i::aro.
Tcore11a 4, Si ?1(x,,y .} )' ?,(x,,ya) sen dos p¡¡i;tos d:d'eren-
teij cualeRquiera de una récta, la pendiente d~
la recta es:
m,,'ll"h xh.
X1 - X:i • l l
o~moóutuc,6~. En efecto, proyect~mos
F1 y Po »cbre el oje X de tal mol: ~ue
A1(x1,0) y A1(x~.o). Po:- P2 tre.,~~o•
,;na pa:alela al eJ e .I que int.e:-c<>p,ta a
P,A1 en B, entonce5 B(x,.y1 ). Luego,
r.or el Teoreoa 1:
.(zii"X1•x1 y !11',=y,-ya
P:n el ll.P 1BP 1 : Tga • ~ + m " L.l:Z!
P2B x1•Xz
y

24
Teore~• 5, Un án.g11lo eepeei!icado 6 far•ado por do&.
re~ta oetá dáda por la !6nu.üa
'!'¡0 " tl ;l~i}, , 111,!Ja ~ -1
en dondt p, 1 eg l& ¡,endinte i;dc'i.al 'i mt ·u la pendiim-
te final co7respondiente al 4agulo e.
Deao4~,u+.S11.. !'1)r ~o,H,t.da sl~•eJi.ta.l ·eabau, g11e tod·3
á,tgulo nte:t'io~ a un trih~lo •• JI t
igual a l"'l Jll:l!4 da low Úg'lllJ• 11} J
te!;'ioTe$ A~ ~d,~centee. )ffltoni>a'a
ea el .l~~ <l!" ¡_.0,1
O 98&.t &. a1t ª••<l-1
..l.pltee.11élo tan.gu~ se tifUH 1
T.ill- ª T&~~ i 'l'¡ta.i
H T~¡Tgth
mt • ¡¡i, , •
P,e:.o e 1 c!l'tta.~ y ma"taoa, l¡¡e~1 TgO." , 11
1
.:
91 , 1111 • '-t ,.. ,
Ccyrolarlo 1, t,a eoadieió11 nu:&euia. y rntriciente pera que
,loe re,ou.• seu JJ0..1t.ahta.J> "4 que ~us pendient,,ss
e..an -1 g1,1a,.les. ea.to e.s. •:t L I I ILt - illc1 "' 111-.
~ ~teet~, doe r8ot&d aDn par!l.l.ol&~ ou,aodo·Q¡ úigLlo Ior~•do
po.L' ella• ,u, oº 6 180°, en t.oo~es si en la lf1ttüa dtol t.aol'el!ls
~ bacemoa1 &..o0 tsnira1lo11:
1111 - 1t1 = O '* Jll.1 "IIJ 1-
éorolnh 2. 1:,s eonilo16n neetcarla ¡ 11ufii::teot.e pars: que
dos reetia-1 $e&n trl6Jt.fJe1llilc."'twi.&..s 1mtre si, F;-!f
qua el p~du0-t;o <loa .sus p•11di.st1tA>• ""' i.g12al a •11 .ato e111
· L.1.I. loa ..... li ~-ss • • 1
En ,r.~1;.ci. si doe n.ch11 son J>ér~d.tmd•ill·e• e.l ifu¡11lo com-
~r•nd;l.do sar-o ell4i~ •~ 90º~ 1111~ees p~a qu41" fg9 no ast&
a.f:1.ni.<l,. en le fdntula, <te1 tecrnlllA 5. •a tle~ Cttlllpl.il' qua:
1+~2.mz. e ......... · 1
1E3ERCICIOS. Grupo 3 1
~ Los v~rtices de un triángulo son l~s puntos A(2,-2),
3{-1,4) y C(4,5). Calcular la pendiente de cada uno d~
sus la<io:1~
Soiu;ión , Por el t.eorena 4, 60 tiono:
y
e
Pe::idien-::.e de Afl: m1 4-t§) ~ -2
Pondiente ele §ü, 1'11 ff,r 1
~ = s'
Pendiente de AC: lll • =~-1
- - 2
25
r,. Del!!ostrar i,or medio de pendiante11 que los punto.a A(9,2),.
B(11,6), C{3, 5) y D(1,1} aon v6rtices d~ un paraldlog,
i>,,_,.,o,5:t,.ae-i.611, En afecto, probarecos que AiiJIDé, cll!!'JA
6-2 5-1
mA!l : 11-9 º 2 ; "'ne = 3::T = 2
Si mAB = mDC + iñ / IDC
6- 5 1 2-1 1
mOB = 11-.3 "' 8 ; "'oA = N = 8
Si .i
08 = m
0A + CBIID,
?orlo ·t~nto, el cuadrilátero ABCD ea un par!l~log~amo.
7. Une recte. de pendiente 3 p.aaa. por el punto (3; 2). Le.. ab$-
ciaa d~ otro punto da la recta ea 4. Rallar su ordenada.
_Sr,l'.uc U>n,
Por definición:
·s. Una recta de. prmq1,;n.te -2 pasa por el punto (2, 7) y por
los punto$ A Y B. 3! la orde~atla de A es 3 y la,absciea
d.e B es 6. .:uáJ. es la absciaa de A y c11Íl lia: ordenada de
~?
Sotu,:,:6n, Sean m=~2 , P-(2,7), A{x,3) y B(6,y)

26
lo• punt.{le eol111•lll••• •• debe nriticu que.:
• i:1 •-2' <!• donde: X".(
-
. i:t· -, + ¡.,=-t
,. ?ree v,rti~e~ da un panslelo¡ramo son 4(-1.4), B(1,.1J y
C(6,1), Si la ordonud8 del ouaPto vlrtice ea 6. eu!l &e
au ordenada!
Jgtuc{l!• See al vlrtica D(x,6)
(:011:0 BA IICD •
do dende: x•4
B
10, llf.llar loe lnguloa 1utorj.oreu del triángulo cu:,oa v~:Li-
o~a son loa puntos A(-2,l}, B{J,,} 7 C(S,-2), Coaprobar
los reeul tadoa.
~l!J$id~. Primeramente oll"i~fitamoa
la :i1noci6n podtiva (unUdo antiho•
rario) del ,ngulo de cada •'rtice. En
&egui1a dep1cn~moa por,
~1•:r,!' ••••cA 'ma•aA8
"1 . *i. •3 m- • H2
¿ .T-3
~~ '·1 i
. ;n.
l'g.
-~
&1--•1
B
e
5;,./,..iw.1; .t.r. Coc-td.er..:,á.rH
11. !)e:30:t:rar r;ue oa J:L~tos .,(1, 1), :(5,J). C(E,O) • (4,-Z)
son ,,~t·t1ces de un paralolo,::rono, '! hallar su Úof:lo nb-
t1,so.
Er efecto, desostrereaos ql!'! ITJ IGC :r
DA 1a. y
.1.::..1 1 _ 0+2 _ 1
mA.B = 5-1 =2 ªne - 8-4 - 2
B
Si 111A:I • m
0:: + A!Í 11 fic
1:1 :lli~.1;
JA 1-! e
Si CID.A. mcB + D
Pa:ra dsts~~1nar el én¡ulo obtuso B. designe~os por ~1ªnAB Y
a 2 =~c~, e:1tonce3, por el ~eore~& 5 se tiene:
~ " _ o.-:a¡ - -1 • 1/2 : -3 • m(fB)•i:({D}=10S0 26'
.go - 1+~1.~2 - 1 + 1/2
12. Dexostrar que los puntoa A(1,1), 3(5,J) y C(6,-4} aon ver
tice; de un tr!áns.lo is6scelea y ~allar o;da ur.o de loe
án¡:ulos 1g-1ales.
pemo1t4aciJn. BocLar~ prob~r que IICl•I.BCI
En efecto: jACI= /(6-1)2
+(-4-1) 2 • /50
fBCI= l(6-5Pt (-4-3) 2
• /50
Luego, el AABC es is6sceles,
;n~qAB ~ ~ = Í ; lltªªCB = ~ - -7
i,,..tor.cos:: '?gil
3
13, Ha.ll&r los &n6ulo8 del cuadrilát~ro cuyos v6rt1c~a son
lcr Jl'lr.;oa A(2,5), 8(7,J), C(6,1), D(O,O). Comprob«r be.
!'et _1tsdos.
Sclu.u6n. La ortent..ció:i pnsitiva del úgul:, é.e cad..
v6rr.1 oo ee tne11 tra. "'" la i'ir,;1,ra.
1-0 1 J-1 5-3 ~
m1=moc - "(;:o : b : a.,~mC.:l "'"'¡:"6 e 2 : lil1~mBA " ""'f7i:. 5
s,;cOA: Í . L~eg,, por el ~ao~•ma 5 se ti•~·:

29
TgC • ~ ,. 1/6•2
Oi,&¡ H2/6
.- 1'
, • -l.J75
:. c..126º2 •
TgB • m2••1 ~
T+a~.~, • 1-4/S º 12 + B•85º14•
X
Como •1,n• ••1, enton~-001 A•90º
Collprobaci6n 1
Oos ~ect,e se oor~an !oreando un án¡ulo de 135º ~ b'
lic que la recia final tlen, un• pendiente • ·ª.18!1•
la peodicnte de la recta io1c1 l de .J, aa.cular
• 111 •
i..~luei&r.. Tenemos: 9•135º v
J •1••J I ~oP el Teor~~a S:
15. roo rectas se cortlJll torm.ando un án o
Lnicial pase por los p , P( fUlo de 4S • La recta
un.os -2 , 1):, ~(9 ~}
f1nal pasa por el p::nto IO, 9
) • • Y la recta
c!sa es -2 Rallar 1• d 1 por el punto A cuy~ eb9
• -~ or en~d& de A,
.foCuc, 4a. Ses A(-2. )')
.:'e;id::.ente je p:¡ 1, 11 1
P~nil~nte de aBt D2
7. 1 f.
-~. rf
1> 1::.J. e 9•Y
-2-3 ,
Si :'€45º : 4!j•Cl 1
1+o, i , l!I~
.. l • (9-y )! S • 6/11
, + °"'~> 99· lli• )O
55+S4-6y
de don~e: :r••B
Hallar el áre4 u1l tr1iin
B(J,3) y r.(6,-1) ¡ulo cuyos v6rti:ea IOD A(1,~3),
eaple8Jldo •l teno 1el {agulo BAC.
:l:.!l!~. Seao1 mz=1t,U! y l:11•111 • ~l+J 1
AO ~ · 5
29
a(AA3C) - ~'A°clx15ill, poro lfffiJ•Ji!ISenA J S
E:,toaces: ,:i{ilABC)" Í IAC Ilr!ils.,nA (1) ·---~
IACI· /(6-1) 2 +<-1+.:l}i "ff9 :~
lnli· /c3-1)'tl3+3l 2
- um ºf-!. ____ _
Suat.ituyendo en ( 1) ae ti ene: :
s{M,l:IC) • ~(/29)(2.t10)(~) = 13 u
2
A
X
17, Por nedio de pendientes de=u,sureee que loe tr~s p~c~cs
A(6,-2), B(2,1) y C(-2,4) son co~iueales.
Dv,0AL1gci6n, BaGtarA probar qua las p~nd1et1tes ds lo~
?~n,oa to:itados dos• dos son •¡r~ala~.
En efecto:
:ll.!.9 =~ ..
,.
-~
4
m ~ 4.
,,1; .1
BC ~ l.
Por lo tan to, los ;,lll'ltoII A, B y C son ool!.netles.
19. üoa rech paoa 1>0r los puntos A(-2,-J}, D{4,1). Si un
punto do aoaci1>!!. 10 porteaeoo a la recta, ci.;.ál es :m o--
dena.da?
J;oiue,U«. Si i(-2,-3), B(~.1) y P(lO,y) os~ár e.' ,m;. •1!
1:U ~ -
oa ,.ecta, ent-0nc.es: mi.B = lilAP - 4+2 = 10•4 • '1
3
:,
19, !!elle le. eccaci6r: :itbe sati fa~r cualquier punto P(x, y)
q'.Jtl ¡,ertenezcit. a la. recta. qua ps.H por loa pu"'"ºª A(2,- l)
7 B(7,J).
ioiuqi6n, Si P(x,y), 1(2,·1) y B(7,J) pet-te~ec•n ~ ~a
~iaca recta, ontonees:
H1 ,,+1
mAB ~ ~AP ..... 7~ • 'i'=2, de donde, 4x-5y-1J:O
21. Ce~cstra~ que la raot~ que pliSa por los pun~es A(-2.J) y
B( l., 1) ";;; r,orpend:l. cular " la recta que pau. p~r loe :¡:,i;.,-
tos C(-1,1) y 0(3,7),
1lc•<>tl11.,;ci61t. Sea L 1 la recte. que pa3.-. por A y B,

. 7.1 1
Si L2 e9 la recta que pasa ~:r C ;1 D • 11, "' 3+1 = 2
Luego. 111.1 .1111 -= C-JH~} " -1
Por tanto. ~or el corolario Z dal teore11a 5: L1~Lz.
22. Una re eta t 1 pasa por lo.g punto• (J,2) y (• 4.-6) y otra
recta t.~ p~M por el p1u,to (.?.1) y 41 pu.n.o A cuya ord§
nada es -6, /!~lle.r la abeaisa de A, sabiendo qué L1 ti!
perpaodicular a L~.
Sotuc~~q. Saa A(x,-6)
-"t.-2 8
Pend1ent,e d-e L1: l!I-!" =:a=1 • "'1
• d 1, :6:1 ~
Pe11a!-e.1!,t& e a: 11,.0 7+'1; 'i+7
S.1 L1.J..t, -+ 1t1.m2"•1 +-+ (~)(~} " -1 , de donde1 x•~
23. J)Qmo~trar que loa tres pu.ntos A(2,5), B(S,•1) y C(-2,1)
son lo~ v,rticsa de un triángulo rectánElllo, y bel.lar
eu_e án g;,iloe ·a¡¡udoa.
ucaa4~~asi6a, !n ef~ato, ~endi&nt~
Pen.dümta :le nP-, 111> • ~ " -1
Como 11;~.m, 9 •1 • cl..diA
Lueg·~. el 6.A'BC ee reot&ngulo e!l P
..
hnclhn~ ti" ~: 11 1 ,. J~é •!
TgC e U•lll1 ,. t+1/S 'a~
~ 1-1/5 "
+ C • •rcTg(1.5) • ,~19•
T¡¡ll • ..J~,..!::.~L : • 1/!i+l ª ~ • 8•ara'l'g(2/3) a. 33º41 1
TI"mt.li1 1t 1/ 5 .,
s
2,. Domostrar quo los cuatro pl.ll'lt<>s A(2,4), B(?,3). c{6,-2}
T 0{1,-1) son v,rtj,cee ds UJl cuadre.dQ y qua sus diagon~
le3 aon perpendioúl&r&s y ee dividen autumente en par~s
iguales,
31
Üe..r/to~i#u¡ci 6n. 1'r9bare.nos prilllsra:mente que le.s lo..l'lg:itu-
cica de los 4 laaoa son <gual e a .
En efecto, liBI= /(7.2)2+.(J-4)2
= .126
lül = 1(6-7)2+(-z-.:l-)2 126
JC'ñl ; /(1-6)2
+(-1+2)~ 126
IDAI =/(2- 1)Z+(~+1)l = 126
Ahorá demostraremos que sus ledos
son perpendiculares. En efecto~
y
.4.
mtil , ~. = ; ; m
_
or " ~ " -i ; mlié =~ = 5 ;
- l+.2 1
mmy = 1-b = -5
e
Como tl)}A. mÁB : -1 y ºJro.mw"--1 + DA .i...IB y ÍÍC J. cjj
Por lo tanto, el cued:ilátero ABCD o.:i ,m cuadrado.
Finalmente, las pendian-:es de las diagon,ües oon:
mAC =~ = -~ ' ~D3 = ~ = j
Vemos que m!C'ºDB~-1 , ento~oes: ACJ..DB.
Si Mes pm:rt.o cedio de io + M(2; 6.~)-++ M(4,1 )
Si M' es p,mto oedi.o de fili + M'[1t1,~> ++ M1 {4,1)
Como M=M 1 , las diagona1es ¡;e biseeen mu1;1.1at1ente.
B
25. Demostrar o_oe los 4 pun.tos -~ (2', 2), B{5, 6), C(9. 9) y D( 6. 5)
son vértices aa un rombo y que &ua diagonele~ son per9en
diculsres.
iJe,ro4J.,r;ac.iótt. Eu efe eto, por 111 fdrmu.la de- di stnraciaa
se demueetra ~ne:
lAli1
"'¡ne¡~llilll ~1AD{=:5
, 0 ,iB= t~ e Í ; moc= t:i "' j
- - 9- 6 - ..2 • Cl - 5-2 - 2
·ac- T-3 - 4 • .-1.n- b-Z - 1¡
Luego: AB!JDG y 3é!IAD, Por t=to el
e
cuadrilátero ABCD as un. ro~bo. ....,o'*"--'~~"-'~~"-..._x
ºA.e~:=~ ; 1 ; m0B2
~-= -1 , enb:rnce~: !CJ.ÍIB

l. & OEHOSTílACTOH oc TE:OREHAS CEOMETRIC:05 POR H HlTODO -~NA-
llTICO.
j EJERCICIOS. Cru¡:,o lt 1
J. Lttc dia.1;nr.alc3 de tm paralelogTiu,¡o ª" ::!i viden outu,ioecte
~n partes iguale~.
D~•o,!,:/~aci/", 1a pos~cl6n náa oe~-
cilla, con r~l~c16~ a los cJen coordc- Y
nadoe, pare tu. parr 1elograoo cualquiera
ea el d-e la fi&4.c..1~n adj1
ln!.2:. iDpe.a:a.aoo
por oalgnn lon vértii;i..s A.(c.,O) y
C(b,c). Co~o CB os p~rnlclo e igual a
OA, entcncee, la orden,.Ja do B es i¡;ual
a !a ordenad11 de e ;¡ wa ab&e1ea ~3- a u-
nidades ~ayor ~ue l~ abscisa de C; lueio, E(~•b,c).
?ar:, o.leooatre.r que las dia;;cnales se bloecar. au•.11a:u1r: '9, b._.l!
ta:.i detentir.4::- q~c loe pon~º" medj_oa de dichan di1tgon'llti2
coinctdcn. Eu erecto:
F=to 111,dio de :cra: H'ª1b,j). Pm'!;o :,odio ue .~: M'(~,j)
Co1no H,,1'/
1
, qu,,(a denost:-itdo el ,;oore,Q~.
3. tac di,;gona.1.os d!I ur. ro:!ioo son perpo,idicularen entre si
y so eortan on nu pl!r!t.o modio.
VUlódi,,,ac 16n. Ca efect:>, aea el ¡,aralelo1;:-1U10 o~c. cL-
;,110 coordenada t!e s.i3 11htic~3 i:,c
deter11i~an como en el ejercicio 1. y
e(b. e)
Pendie.:ita de éTif:
~.(a,O)
Cono el ro~bo e" un pnrnlelograso de ladoe igua..leo, en el
AODC se ticno, por Pitñ1roras: 1~/2=/oélt-lODIª +
0
2,_a•-bi
!l2.i:,2
(1) •• lt:1.112 =b'-:..' • - 1
Sue-:.iti.yendo en
atb !i) . ?un.to medio de AC: M' (1;2 ,!)
Punto cadio de ºª: •Hz'2
,..e 111• diagon,.loo co~~id.,•• :o
Vemos qns ·os pun~os ~edjoa
'staa ~• cor'!;an en s~ punto medio.
cual del!lu9atra qu'e "
,., l . Punteo ~•dios d• do~ l~
!J. segmento de recta que Wle o
dos cu&leaquiera de un tr~ángulo es ?&rslolo al te~eer
lado O tgu&J. ~ au ml~ad,
DC594i54ei6n. Sea el t.OhB
Pendie.n.to J~ OB: m1 ={
IOBI
l~I
B(l.:,c}
5, d un tr16ngulo reetáng~
El punto m~fo de la hipotenusa e
lo equidista de. loa tres várt1ceet.
De<>?:<12c¿6n • nQb~os probar que: /KOl•JKBl=[IIAI
En ereeto, design~mos los vSrtieea
A(a,o} ~ B(2b,O).
81 M 0 ~ punto med.J.o do 0B • M(b,O)
Luego: fMOJ•IO-l>J•b : Jifüf .. l2b-,b-l"b
A(a,c)
Jiil ..,l(a-b)'+c• ~ ¡,.1_2ao+b1te2 {1)_.¿t;,_ _¡,,...~i-,..,-~';:::-7,
Fe::~: l]Jt¡2 •fCRlx liffil 0
Entonces: n2~a(2b-n)~2ab-a2
SiHl~ituyendo an (1): JM.Bf '"/cª-:2a.b+b2 : 2ab-"-1 ~ b
Por lo tanto, k ~qu1d1sts de los tras vértice&.

6. Loe énguloa opuestos a loe lndos iguales de un triángulo
is6sceles son iguala&,
U#AOhLA.aci6n. ~ebemos pro'>ar quo o=B
!n erecto, designemos loe vértices
A(2a,O} y B(a,b).
Pendiente de OE: ~1 =Tga =~ (1)
Pendiente de AB: lllz 5 Tg8 =~ =__g
a-..:a a
Pero: Smrr-8 + TgS • ?g(s-9} ~ -Tg6
Entonces: 'IgS -(- .2) =2 (2)
a a
De {1} y (2) se doduee que: Tgo =TgB + 028
8. Si las diagonaloo do un paro.lelogra~o son iguales, la f!
gl!ra es un roctkgu.lo.
DVIIOhl.A.oc i6n. Sea ol paral11lograD1o cuyos v,h· tJ.oes oc i!I
dican en la figure.
[éBJ • l(atb} 2 +c2
yIM°:I • /(a-b) 1
+ci y¡
Si ló'3l=IACI+ /(o+b) 2
+c• • /(a-h) 2
+c2
de donde: ab =O
Cono aiO + b=O . Si esto ocurre, en- ....,,
0
/1,1:.;...~~~..:..4-~,,.x
ter.ces las coordenadas de C y a scr!n:
C(O,c) y B(a , c), ee decir, loo ladoo del paralelogramo B<lrán
paralelos y ccinc11er.tes con los ojea coordenados.
Por tanto, ln fig~ra resultante es un reot..ngulo.
~- ~es eedianas correspondientes a ~oa lados iguales de un
t.riángulo io6acelei! oon iguales.
~rdcl6n. Sea el óOAB cuyos vértices se indican en
la figura,
Debemos probar que: i<IT!l=IANI
:'.n efocto:
1~ es p,.mto medio de AB .. M(Jl!l, b)
;e
(1)
X
l~I z /(2e. - ¡)Z~(b-0)' 1 /f.z + bl
De (1) y (2) se dedace que: lmi!•llll
(2)
35
11. Los dos segmentos que so obtionen uniendo nos vérti~ea o-
pues~os do un p~ral.ologrs~o cor. loa puntoo ~edios ne doc
lados opuestos son iguales y p~raleloo.
lJ.e.lflO6i1t-aS i 611., Sea el pare.lelogrago OABC cuyos v,rticea
so dan en la figure..
Punto 11edio de AB: M(2a;b.í)
y
Punto medio d.e OC: 11(} , ~)
IMél le~ - b>2+<~ e)•
f, /4a2+b2 +c 2 -4eb
"'
/(a - !i•+(~)¡ ~ ~ /4a2
-'-b2
~c2
-4ab
IM°cl = 1m¡
Osnoetrarellloe ahorP. que: MC 11Aii
En efecto. pendiente de ~C: ~1 ~ c-c/2 e
b
2atb =t:,;.
- --r
Pendiente de ÁU: m2 a c/2 - O - e
t/2 - a - D-2&
Si D1=m: + iicl 1n:
17. Sl eegaento que une los pun~o1 ~ed1oa de los ladoo no P!
ralalos do un trapecio os paralelo a las b1.1oos e igual 1t
su se11is~a.
DR.•o ~t,:,ac i.6n.. Sita ::1 tr11,peoio OABC cuyos lados paralelos
~1den a y h unijodes,
y ouyas coordenad1.1r, ¡e eua v,rtic, s ~
indican en la figur~. Las coordenadas
do loa puato3 aedioa de los lados OC y
AB oon: ff(.!< S) v JJ('!iibtc S)
2'2 • 2 '2
Venos que le ordecada do N y N son

J6
{.!1. d) "(a+b+c d)
Mi '2 y" ~·i
Vemos que las ordenadas de My N son iguales, por lo que la
fond1ente de MN es cero, o sea qua HN ea paralelo al eje X,
esto aei MÑI 161] /EB
F.. 1 .. ¡,¡,¡¡ atbtc e a.+b
1.na oen.e; ,.,. ,. -
2
- - 1 =2
!3. 81 segmento que une loa pun~ós neaio~ de las diagonales
de u.n trapecio es lg1
11ü a la m.i tad de la i!lfe?anaia. de
las longitudes .;ie los lao.loa paralelos.
v~mo~~~~ei6n. Se~ el trapecio OJSG, cuyas coordene.da.s de
sus vértices se inrli.can en la fig,.1r,;..
1
-¡ ~-b .
Jebepos probar que: ~N ~ ~
En eree,;o:
Las coordenada.a de los puntos medios
de las diagonales son:
~(b¿c,!) y N(ª~c.1)
Entonces: ¡m;,¡ ~ rª;º _b;c1 ~ ~
14. La suma cle loa cuadr~aoa de los lados ce un paralelograno
cualquiera es i~ual a la suma de .los cuadrados de aua d.i!
gocalP.s,
se ind l~an en la figura.
En+.oncee: Ifil J-= 1
cii /"a y
loe 1=/ AB 1-= /b2 +c 2
7
- /OAl 2
+JAiiJ2+fCBfª+jóef '= -
0
J,:;:_ _ _ _.;;,,1._ _ _ l(
~ a 2
+b~+c1
+a2 +b2 tc• • 2(aªthz+c2) A(a,O)
IAC /-= l(a-b)2tc'
+ IOiifl+/iIT:Iª ={a+b)Ztc2 +(a-b} 1 +c2 ~ 2(a~+b2tc2)
Cor:1par1Utdo con l.a i·guald?,d aoterio:r , ese de!,uce que 1
loitl 2
+IIlli•+lfüll 1
+/0GI' ~ IOF.i l 2 +1AC] 2
37
15• los s~gmectos cue uner; los pu.~tos n~~ios de cada dos la-
t · · u ~,.•
.;¡.drilátero se biseca11 entra si.
dos or,ues os a& n v
D=o,1,.t,.acil.,,.. Sea. ol cuadrilátero OABC, cuyas coordena-
das ce su:;vértices 3e imiici.r. en
la fi61.ra. !}abemos proba:- que los 'I
segm~::¡¡03 RS y PQ .,~ coi·tan en un
misso p:Jnto,
En ef~cto, las coordenad~s da los
puntos mgcios de los laáo5 del CU!
drils..;ir:, son:
· a +· b+d) o(º r¡ R(ª b)
?(2'2 : · 2'2 • 2'2 •
º(c+e d+f)
., 2 ' ·2
- ,,catete b+dtf)
Si ~~ ~s 9:1nto o:ie:dio de PQ + ·• 2 • 2
'f' (a+c+f>,h+d
2+rl
Si 1" 1
es ~unto inedio cl.t'.? RS ~ ' 2
Como M"M, , los se1;nar.tos PQ y E &e bisecar, antre si.
' ul • !a base a~ un trapecio isÓscel~s son igu~
18. Los a.~g os ~e
l.ss.
fJe.,o.6t1t.,1ci6n.. S<ia el tnapeeio i.s6sceles OABC, cuyos 1"--
dos paralelas nider- a f b unidad'.:_'.:.
Sea el vértice A(a,0). Como CBf IOA, y
en·tonoes la ordenada de C e11 la rtl§
aie de B.
OA:6iit5EiEi, + a.:x1 fbtx 1
- e.-b +
OE=ÓDtDE + X2= -2- ¡,
(a-b )
Por 1~ tar.:.to: C ~,e
&-b
+ Xi= 2
a+!:,
.. r.~= 2
a'b
y B(+,c)
oc: e
=
2,e
Pe~d!~ntC! de El - Tgt! ,._
c.... b
X¡
Pend.:.~r.:.te de AB : lt~ Tge _e_~ 2c _
X2-II. b-a -
De ( 1) y (2) 6C dedcce q_ue: Tgo = -Tg6 =
n ;
a
D
(1)
2c (2)
-a-h
-tg-(11- e) Tgl3

J6
{.!1. d) "(an+c j)
M 2 '2 y" ~'2
Vemos que las ordenadas de My N son iguales, por lo que la
fond1ente de MN es cero, o sea qua HN ea paralelo al eje X,
esto aei MNllóIJ/EB
F .. 1 .. ¡1m¡ a+b+c e a.+b
1.na oen,e; ,.,., ,. -
2
- - 1 =2
!3. 81 segmento que une loa pun~ós neaio~ de las diagonales
de u.n trapecio es lg111ü a la m.i tad de la elfe?anaia. de
las longitudes .;ie los lao.loa paralelos.
íYe.,110~.l11.a.ei6n. Se:.i. el t.i-a¡,ecio OJSG, cuyas coordenadas de
sus vértices se inélican en la fig,.1r,;..
1
-¡ ~-b .
Jebepos probar que: ~N ~ ~
En eree,;o:
Las coordenada.a de los puntos medios
de las diagonales son:
~(~ 1) N(a+c &¡
· 2 ., 1 2 '2
Entonces: ¡m;,¡ ~ rª;º - b;c1 ~ ~
14. La suma cie loa cuadr~aoa de los lados ce un paralelograno
cualquiera es i~ual a la suma de .los cuadrados de aua d.i!
gooalP.s ,
se ind loan en la figura.
En+.oncee: Ifil J-= 1
CB /"a y
loe 1=/ AB 1-= /b2 +c 2
7
- /OAl 2
+JAiiJ2+JCBfª+jóef '= - 0
~-~----_;;,,,,__ _ l(
~ a 2
+b~+c1
+a2 +b2 +c2 • 2(aªthz+c2) A(a,O)
J.dem,b: IOOI~ /(e+b}2+c2
IAC/-= l(a-b)2+c'
+ IOiifl+/iIT:Iª ={a+b)Ztc2 +(a-b} 1 +c2 ~ 2(a~+b2tc2)
Cor:1par1Utdo con l.a i·guald?,d aoterio:r , ese de!,uce que 1
loitl 2
+IIlli•+lfüll 1
+/0GI' ~ IOF.i l 2 +1AC] 2
37
~ug une".· los pu.~tos n~~ios de cada dos la-
15. los s"-gmer.tos " . ,.
- ~,.•
.;¡.drilátero se biseca11 entra si.
dos opuestos de un v
D=o,1,.t,.acil.,,.. Sea. ol cuadrilátero OABC, cuyas coordena-
das éie su:;vértices 3e imiici.r. en
la fi61.ra. !}abemos proba:- que los 'I
segm~::¡¡o3 RS y PQ .,~ coi·tan en un
misso p:Jnto,
En ef~cto, las coordenad~s da los
puntos mgcios de los laáo5 del CU!
drils..;ir:, son:
. (a+z btd) o(2. f) R(ª b)
? T•T : · 2•2 • 2•2 '
º(e+e d+f)
., 2 ' ·2
- ,,catete b+dtf)
Si ~r ~s 9:1nto o:ie:dio de PQ + ·• 2 • 2
'f' (a+c+f>,h+d
2+rl
Si M' es ~1,1nto medio cl.t'.? RS ~ ' 2
Como M"M, , los se_gnar.tos PQ y RS &e bisecar, antre si.
' ul • '-ª b•se d= un 't:t<a))_ec.io isÓscel<:<s son igu~
18. Los a.~g os ~e ~ -
~
l.ss.
·6 S<>n ·el t=an~e1·0 Ls¡¡'sceles OABC, cuyos la-
Demru,i:11.,1c,. "· ~- ~ ,,v
dos paralelas nider- ar b unidad'.:_'.:.
Sea el vértice A(a,0). Como CBf IOA, y
en·tonoes la ordenada de C e11 la rtl§
aie de B.
OA:6ii+5EiEi, + a.:x1 +btx 1
- - - e.-b "
OE=O(J+DE + X 2= -2- + V
(a-b )
Por 1~ tar.:.to: C ~,e
&-b
+ Xi= 2
a+!:,
.. r.~= 2
a'b
y B(+,c)
oc, e 2,e
Pe~d!~ntC! de El Tgt! ,._
= c.... b
X¡
Pend.:.~r.:.te de AB : lt~ Tge _e_~ ..k ..
b-a
X2-á
De ( 1) y (2) 6C dedcce q_ue: Tgo = -Tg6 =
n ;
a
G(x¡,c)
(1)
2c (2)
-a-h
-tg-(11- e) Tgl3

19. -:Ooe pu1•toe :¡¡,;dios de das lado" bp=.tastos de cuelq1er cue.-
drilá ~e::eo y 1.o s :,unt,oa :nodioa d~ la& d.i.aginia:..as so>' -.rar-
01 ees de un p~.:.""t;.l9-1cgri1.wo.
ti~l1 -de sus vé!'ti.c.es B& indica. en
1~ ficu:-s..
Debc:nos probar qt;I!: PÍI ! [~ y OHI !ÍlP
Rn ~dH:to, le.~ coc,:!7'i.eo~ii.as de loa.
puntos :nO"dioo u~ !ott l~dca :: las
üíag~nal~s del c&ad~il~~cro, son!
y
P,sndi enta de ..,,, '. m-1 º1Q="1,
Hf'
- T
'7.le
-i
f
- 2
=.!?
Sr. a
:e
23. te. su:r,i. d~ 1:>s e11adradoa. de las di:.tancia$ dn cualquier
punto de un pleno a dos v,rtiDes op.ueewe de .::Jalgui":
rcc~áneulc e~ igual al"- s~~a d~ l-03 cuadrados de s~s
d.J.s ter eit:..s r. los <")t..""'os de-a v-,.;rticcs ..
!l.c.f!l.rJ-:j~tr...ri.f!!i6r1.. Sr?ts. ~l ~e{.!tfugulo A8CD y ? :in punto ·::?t:.al-
Por h. :1"6:::mu1n. ria Ci1:;tac.ciae: y
jOPJ = /xa+(y-h)2; H!?I ~ ~T~+yz D(¡,;,b),(11',,-.,.:..~._,:¡;,
... pw¡ z+ ¡:ar¡2
= "''+C;--bP+(,c-e.P+y•
: 2.,•+2y'1-sz+h'-2(~x+by)
IJ..!'i 1 ~ /x2 +y2 ; jcliJ ~ /(x-..)Z+(j-b)~ A
~ IAPl 2
+IEP!~- x 2
+y•+x.2
- 2ax+a 2 ~y2 -2b¡r+b-2
= 2x 2
+2y2
tu,2
Tb
2
-2{1<Xtby)
39
Cooparando las dos iguald~des se deduce que:
Jnp¡i+tfilil" ., jAPl..+ICPl 2
2:,, S1 O,.lt,B y C 600 los ,,értices &ueea.ivoa de-un parn.lelogr.§
mo, y D y N los puntos ~édios de los la.dos AO y sé, ros-
p.ectivanent'i', l(>e segmentos DB ¡¡ ~ tM seean a la di&go-
nal iic.
fJ,..11ttui.-1.acion, La figura m-uestra el. _paral~logramo -OIBC
Junto con las CO(>rden.adao de su.a
vérticec; . y B(a+b,c)
E punto medio dé cá + E(ª+~h_ e)
D punto Elédio do 0A ... n<!,o>
Denostrareiooa que l>B brisea-a a X
la d.ia~onal AC.
En e.feci.o, /.l~ ·F(x.~·) l¡1s coord.enaéla~ de ll.ll p1,1nto P&AC.
r-, X
2a+b
s· CP
a-x = -:T
P{2a;b,j)
i PA e 2 +
-f.% e 2 + y
=i
y
F:·:l;,. i + X • 2atb
---y-
~= 2 + 2 . p(2a+b ~}
~ e 2
3 •}
+ y =j
y
Como e.nbos puntos ooin.cfden, e,ntonees P es punto dc¡, ir;I.Gee-
ción de la diagonal ie.
Análogamente se demuestra que Q es puot. de triseéción de CA.

iO 41
l.3 ·n~ercepclQ~ea oon loa [Jes Coordenados,
~ a) Con el e je l. Se obtiene haciendo y•O on la eeuaci6n
Gráfica de una Ecuación
,
Lugares Geométricos
l. l OOS PROBLEMAS f'OHOAltENTALES DE LA Cf:OMtTRIA ANAUHCA
I, Dada lila eouaeió~ interpretarla goométricaQonte, ·~
decir, co¡¡otruir la gr&Cioa eorreapondiente.
TI. Dalia ~na fig,,ra geoaétrica, o la condición que do•
ben cumplir loa pll.l'llos de la •lema, determinar su
ec,aci6n,
2,? f'R lMEII ¡.ROBLEM.t. FllNOAMENTAL. CRAl'ICA ~ UH,. E:CUAC1011
!n la diaeu1ión'7 el tra1ndo de la gr&tioa de una ecu~-
c16n da doe Tariables x • y, de la forma
f(x,y) , O
intervienen loa •i~e~tec p.aaoar
1, Intercepoiooea con los e¡a, ooorden~doa
2. Si•etr!a con re,pecto a loa ejes ooordenadoo y con el
orica11.
~- net•r•1nao1Ón de la extena!6n de la curva.
4. Detel'llinac!Ón de la• acuaeionea de laa aaíntotae ver-
tical.ea, bo:ri~ontalea u oblicuas que la cu~va puede
t.eoar.
s. talNlac16n de an n~aero suficiente de puntoe p•ra ob-
ttn•~ ~• 1r'1ica adecuada.
6. ?rallado de la cana.
• de la eurva y reaolrlendo la ecuaci6n
~osultan~e f(x,O)•O.
Por ejemplo, dada la ecuac16n E(x,y)1x2+yz-2x-2y-14=0, hallar
los ioterceptos con el eje X.
Solución. Para y=O ae tiene ~(x,0):x2 -2x-14•0
+ (x-7)(xt2)=0 ++ X1=7 ó x,·-2
Por ~an~o. los puntos sobre el eje X donde la ordenada eu ce-
ro son: P~(?,O) y Pz(-2,0)
b) Con el eJ& X. Se obttene haciendo en la ecu~ción xcO
y reaolviendo la ecuaci6n r(O,y)~O
Por ejemplo, ballar les intercepciones de 1~ curva de ecua-
ción y2 -2x-8y~12e0 con el eje Y.
Solución. Para x=O + f(O , y) :y2
-8y+12•0
+ {y-2)(y-6)=0 ++ Y1•2 6 y,=6
Por tanto, loo puntos sobre el eje Y donde la absciaa es cero
son: Pi(0,2 ) y P~(0,6)
al Sitnetría con respecto ;¡l i,je X. Si la ecuación de
una curva no se a -
tara cuando la va.riable y es rec~Dla;ado por -y, euto
es, r(x,y}=f(x,-y), la curva es s1aétr1ca con respec-
to al eje X. •
Por 6jemplo, sea la ecuación f(x.y):4.xt+31•.12
Háciendo y:-y se tiene r(x,-y): 4X1 +3(- y) 1
•4x1 +Jy2 x12
Como f(x,-y}•f(x,y). la curva as simétrica reapacto al eje X.
b) Si•ctrfa con respecto al cJe Y, Si la ecuación de
una curva no se altera cuando la variable x es reen•
pla11add. por -x, es~.o es, t'(x,y)~t(-x,y), la curva c-
ainétric.a con respecto al eje Y.

4.•
t'f.J<r 1-•,,e:!J.~1..,> ;.:;ee.. la :::cue.'!iÓ!t r(x,7):9x1 -4:,¡1 -..J6
L3.-cic~do x-..x ~~ tlftr.:e f{--x~:¡):9(-x)$-4y'2:9x2 -4:1 !-. 3~
ComtJ .:(.. x,y) - i'(x1y)> l b c:trt 1
· t:s Oilié'"",-~ea r<:Jsp~r.:t:; a.:._ ñJ~ t ..
cu1·vc !lO -ee alter~ al re-t:1~ple.~ar le.s variable~ x por .. x
~sto os, f(x, yi •f(-x,-y} la cu~va
. ,
iH.. 8"111':,.-
P~i· '51~eoplo , eea la r.eu&dÓn i'(x,l):8x l-y~O
P.scie!'!do ic=-x ~ ·
¡ - -y se t ~er,e f(-'>",-y):8(-x)'-{-y)•-Sx,+,i =O
í'( - x, - :;) :e,.•- y"'O
Co~Q f(x,yi-f(-~,-y}, la curvA e~ slmét ric1 rcs~soto ~l or~-
gc:n.
Mod~ante es t e pa5o se cte .er~i n1
e.1 iri t ervalo o lvs ~n te-r :v~las
de ,,a.ri 1
.H1-i6r. pa~a l os cuqlss J.ós v alcn;•r.s d9 x e y aon
~~ales .. E.sth infor~~~i6t ~s úvil por la~ sigu~e~tes r~~
t 1i l!E'lla.r t•l c,0:11.i.do dé h eoi:ac!é~...~~f.y'-2x-16:,+1)-~
Soh1ci61•. Dc-b~aos de!p~j.qr ,-f(;t)
01·dcn11.,ici.o l;, llcuaoi6n ts ticr~: Ly~-l&y+(~f2 -.2x~l,'3}cD
1
_ e ~ /64-d:io·-2-.:-13) ,,, s ± l."7x::ax_:!-E_
+ 3;y .... -4x~+ax+12:.0 4-+ ::t2
-2x-:i~o
++ (.x-1) 2
~4 ...... -2~x-11.,2
..... -1~x~.3
Por lo ta.nto, el dominio = [-1, 3]
(2) Hallar el rango de la ecuaci6o! y 2 -9x'-18x-8y-2=0
Soluc.i6n. Debemos despejar Jl=g(y)
Oredenando ia ecuación se tiene: 9x'+18x-{y~-8y-2 )c0
• X~ -9 t / $1t§(y
2
-8y-2) • 1 ! /y2-8yf7
+ 3x ++ ;y2
-8yt7~0 ++ {y-4)~~9 ++ Y-4~3 6 y-4~-3
++ y?-7 6 y,1
Luego, el rango de la ecuaci6n e1S: <-.,,1] o [7, +...>
Los ínter-v~los ir.fln::.'tos 'indican que la curvs se extiende
in.definidal!l'<lnte a lo largo del eje Y.
2, 6 A:.!ntotas. Si para una curva dada, eld-i,te une. recta tal=
que, a medida que un punto de la cu-rva ne a-
leja indefinidamente del origen, la distancia de ese pun
to a la recta decrece continuamente y tiende a cero, di-
cha recta so l l ama ~!ntota de la curva.
Existen tres cl ases do asíntota$:
a) Asíntotas Horizontales. Son rectas paralel as o coin~iden-
tes con el eje X, y tienen por e-
cuaaión : r=k
Para determinar las asíntotas horizonte.les se ordena la c-
cuaci6n f(x.y)=O en potencias decre....1.entes de x y se igaa-
la a cero ~l coeficlente de mayor potencia de x.
Ejemplo , Ballar las asíntotas hor12ontal-G-S de la ecuación
x
2
y
2
-y2
-4x2
+2x-4=0.
Soluci6n. Ordenamos la ecuación en potencias deereoient~s
de x: (y2
-4)x2 +2J1-{y2 +4)~0
La potencia más alta de ;x ea x 1, y su coeficiente es y 2 - 4.
Entonces: y 2
- 4"'0 ++ r-2 6 yc-2 ., :ron las asíntotas bori¡!;OJ!,
te.les de la curva dada.

b)
'on rec.~n patul.el& o coir~ide~t-s
11tl ej ti ":. y 1e--.dc por o.' sci. '!l
p;Jemplo. llallal' J.aa 4.r.íntotAn ·,"rtioalee ee la curva de
e~u:,.:ü.5r:.: x2 .v2-y~-1.x2
+2x-·1=0
Soluci6n. Ordr=-m'!lo ln ecuad!n er.:. potc:1cie.s dcc.r cie:itea
de y~ (x2.-1)y2 -(.:.X"-2x+1;-íl
1,a povencia ,tia alttt de y ea y 1 , y Stl 001:1!.i.ciente e~ x
2
-1,
L-~"º' x2 -1-0...,. x~t ó x=-1 , ~nr. las asínto~ao vcrticnJ.eo
de la curv& aad~. •
•
e) A~!ntotas O~llcua~. Son re.e L!i.ft ,pie ne son piu•e.l lll.1 e. nin
gtl.!lo de los ej g.s cool"der sdos y ti ener.
yea:xfk • ¡¡¡[O
Para deter~-n~r la9 u.~;ntota~ oclic~as, B& r&empls~e el v~
lor yeJJx+I:: ,m la .. cttu.oi6n dadn; ce ordena l.a !Hl'.1aci6n re-
s~l te.nts s, ~ot~acl~s decrecion~ec de x, luego, se irizala
a ce~o las dos pot~nciaa oás ~1 Aq de x.
Ej<,01r,lo. Iiall"r la1:1 a1J.Ín ,at,,, nbl1cua¡¡ de J.a curvA füi ,,_
~u3clÓa A'-xy~+2y~=O.
Sol.ció~. su~tituyendo y~ux+k en la ecuación dada:
x 3-x(D3fk} 2
t2yZzQ
,.¡.,, <!o:ide: ( 1-m•)x 1 -2:r..az.:;r~+2y1
=0
t 11.~ pote:.:ciu.s itle :1l.tae Ce A 0011 x 3
y x 1
•
uego, EegÚ!l,la regl~. 1-~'=0-+ ~=±1
-2::;k=O + k~O
Por tanto, le.a ae!ntota6 obl.icu,1t1 aon: y•:!x
~JERC1CIOS, C!"'u;,o 6
,, l. XY-2)'-3-0
Sol.u.c.i.6n, Sea r(x,y},xy-'-y-J"O
I) Ir.terccpcicr.e••
a) Ce>n el eje X: Si y~O .,
0-2(0)-J=O
b) Con el ~je Y:
.. -J=O r h
•
~,: •O ~y interoac~ióc
II) SimotrÍ'I.:
::. x~o .. -2;¡-.3.,:-, ~ y-.3/2 :. P(O,-J/2)
a) Co:i el 1
e.e X• f(x,-y):x{-y)-2(-yJ·-xyt2:,-3-0
•J'(x,-v)/.f(>c·) .
• ·•Y • · !.o 03 d::!Jtric.2
b} Con el ~je I : ~( )
- -x, Y , (-x)y-2y- J•. xy-2y- .J=O
+ f(-x,y)} t(x,y)
e) Con bl o~igen:
:ul .E'xtar.11ión.
xc:1-(2) :. Dominio = (-oo, 2> U <2, T»>
h} Rango a~ la cc11ac.!.6n: x•f'(y)
X a 1:i...1
¡ + ycP.-{O} ,', Rc.r.go <-°',C> IJ<O,+o,>
IV) .4síntotnti.
a) AcÍL,o:~s hOri• t,
' .on a.es: YX-2Y-3•0 + y~o e3 une A.?.
(x-2)y- 3~o ~ x 2 ~
b} .l.s.ínto•,.:,,s Ve r~i ~aies:
V) Tabla de ·,alorea.
y - 3
-~
Si X>2 - y ss (-1)
&f:·1,:'{_;i':B
·• -S U.R ,.[,
VI) Trn~~do de la grÍfica
l

.~- x::-,y-:.=0
fo!Jt.<'.<.ón. 3~,;, r{x,y) ,c,:;;-J~-1(-0
a) Ce~ el e;e ¡, Sl y=O ~ o-o-x=O • x=O
t) Con el ej•l !: $l x=: • C-31-:l-O - ;¡=0
•• L11 c,urva r/s& por .,:,_ ~rie;an
1I) Sim11trio..
a) coe d ;;je X: ..(.-:,-~·):x(-:,)- :3(-y) -x~-x:r+'.)y-x=O
"!>) -Con el eJ9 Y: .(-x,)'/: ;-:"'Y-J;r-(-x)->-xy-3;,+x~C
+ f(-x,;.) F f(x,:,r) ••• No e:i sio1H.r:.=a
e} Con e'- ~r'l.g:;,:. t(- ,:,-:,~:'-x)'-:r)-J(-)1)-(-,.;)~x-;1-J,+x='.l
.,. :f{··X, -Y) f, f{.:<, y) :. }fo eii ei:,,6tric.:a
r:1) ,xto+r.sión-
a) Doa!.nio <'.ic la ccua.ci6n. ,"f(x)
'I
- i ·• xc.F'.-:3)
x- 3
x - _1¡ + y~R-{1}
y-1
;. iJominio
f
lV) Asín-te L,,s.
a) lts!ntco; 11 iloriiont.al.,s. (,-')x-3-;='.) ·> y-1 ea unA A-"·
b) Asir.toU.fl v.,rticale~. {x-3br-x=O + x;;:} a¡; una A.V .
•) ~c~la de valoreu.
;, . i1
¡,,i X., 1, le (!'.ll"'II. S'> Aittia¡¡
de ellcioa e~ ~a rec~a y~i
Sl x<3, la otJr·1:1 ¡¡~ extlei:;
,le dob:ijo do la r.;cta ¡;,=1
'J
-------' ._
---
1'-_
-+- ---
'•1
1
1
1
':
{i1túlica d,:. ""'' ér.uaci(J11
7.
12,l«c,!n. 5ea ~e )
" x.y :xy-2x-2y~2•0
I • Tri ~er •"cc:.cn~s.
ll.
..l Con el J
" o X. f(x, -;r) :-xy-2..l-2yt2~0
... 1·(x,-:,l ., t( . )
,. x,7 ª
b) Con f>1 •
9,oY.í'(-Jty)• _
,2
' , ·XY7 x-2y+2-0
A(1,0)
B(C,1)
• f{x,-:,) f ~ix,r) No •• si11,tr.u:11.
t'(-x, -y) :xyt2x-r2y+2=0
e) Con ol orig~n.
r{-x,-y) I t(x 1J· ...
' •• • 0 oa oi•étrica
III • ~xten,dÓ!l.
IV.
.l) Do::inio de la e cuaoi ón,
y 2x-2
~ ~ • xcR-{2)
b) Re.n"O do la eoua.ción
X: 2y-§
y- + ycR-{2}
f.3Í11tot11s.
:. Do•inio=<-"'•2>u<:?, '"'>
x=.t(y)
it) Asíntot&a "
norizont6 les, (y-2}
b) AsÍn'to~~
3
V x-2y+2c0 + ~ 2 0
-~ 9t>t.i cale11. • ' - = + ::~2
V T bl ~~-2)y-2x~2c0 • x-2-"0 • -
• á a ae Valores - X·2
• VI. Xra1ado
y. 2x-2 da la ~rárica
~
. ~
/___
--r-------
X J 6 _, J/2
'i 5/2 4/3 -2
'

48 (i.eo..a.t,r.ln ,1.natl.:lica Pl.ano.
¡ 9. x~+lxy+y 2 +2x-2y·1=0
[oCuc.,.6n. S(IQ f(x,y) ,xit2xy+y2 ~2x-2y-l=O
I. 1nterseccíonea.
a) Con el eJc l . Sj 1~0 + :<2
+2x-1c0 +¡ x=-12.12
l:t) Con el eje 'í. Si x0 0 + y 2 -2y-1=0 •-• y=Hfl
II. Sime"'ría.
a) Con el oj~ X. f{x,-y):x1 -2x:y+y1 +2xt2y-1;0
~ f(x, y) 1- f(x,y) ••. No r.s siz6T.r1c..
b) Con el eje Y. f(-x,y):x2-2xyty2 -2x-2y-1ff0
.,. f(-x,y} f f(x,y} .•. tlo es sinhrica
e) Con el orígen. t ,-y):x~+2,cy+y2 -2x+2y-1=0
... f(-x,-y) ~ f(x,y) .•.
0
No eo aimchrica
L I. füctensión.
e} Dominio de lo ecuaci&i. y 2 +2{x-1)ytx2 +2x-1o0
•y= -(x-1)i /<x-1) 2
-(x2
+2x-1) & (1-x)!l2-4x
+ :l; - 2 4 .>O +-. x,1/2 ••• Dominio • <-oo, i/2J
b) Rácgo de lá ecuación. x2 l2(y:1)xty~-2y-1=0
... :< ~ -(y+1)! ,/(y+1l2-(¡,1 -2y-i) = -(y+1)2 l4y 2
+ 3x ++ 4)1i2::.D ..... ;v~-1/2 ;, Rango- .. [-1/2,4.,>
Il/ · ;eíntotns. Cnrio :tos eoe!'i~1entes de r2 a 1
• 800
const;:,n
tes, le. cur•,a óe eeue.ci6n dada no tifmo a~í~
totao horizout~les y vertic~leo. / -
V. Tabl~ de VP.loraa VI. 7razado dn la Gráfica
Y = (1-x}i ~ yA
¡-;i¡ 1/4 1/L -1/2 -1/2
1~ 7/4 -1/4 '1/2 -1/2
11.
l.
(,,i&/., cu ti~ u.na. lcuct:i.lm
io. 3+:r'-~) :.-o
fol1u.itr.. SCl!l f(x,y) :xJ+y~-4y•4=0
T ~e!"s.c~~o:i~o.
, a) Con ..1 eje x. 3i Y"O + X 1t/.-0 + x- 1
/-4
b) Coi: c:2 e_'c 'í.. !',i x~Cr -yj-4y.a.4,:C1 .. ·¡=2
t. ( 31::7,, O]
.S(0,2)
l. S1netr.ée..
1) Ccn e: eje X. f(x,-::} :.x:3
+y 2
+4y=C
.. f(x,-:,) I f(;.,y) f.o en s .. .Jttr1c~
t,) Con ~1 eje 1. f(-x,y) :-x 3
•y2
-Ly+4=)
+ f(-x,y) J
r f(x, y) No l(>I! r.ii:ót.ri ~e.
e) Con sl cr1gon, r(-x,-y):-x,ty't4y+L-0
• -"(-x,-:r) f f(ic,y) ••• !lo es :;i~átr!.~a
·r:. Ex':ensió,.. .
a) !lodr.io de le. ec·~acl.ón . y=i'(x)
(y-2) 2 ~x• + y=.2!xM
+ :iy .- -x>O - x<O ••• Domin1 o <-:o, O]
b) F_ango de la ecuacióx: . X"-t'(y}
x = l/ly-¡1-4 + JJ-y, x es renl. ~an~o ?
Iií. Aaío ~ota~.
Co~o ~o• cacf~ciectec ~- las variatlcs x' ~ y: son con§
tantcs, 18 curva no tiene asíntotaa horizontales ni veK
tlcdae.
V, !~bla de V~oco5. VI. T'r..zc.d~ e.e l~ gd!'ica
y - 2±x,/:X
; ¡ .3 -O.a2 1..n
R-11-1 ,-, ! -2 ,-2 1

50
12.
.I)
rr.
y 3-x2 +3.yc,?+2'x+3y;o0
Sotucion, La acuaoión podemos tr.~ñai~:rm&r.la del si•
guiente .modo:
(y~~3:,ztJy+i}. (x.2 ,24+1) ªº ... i(x. y): (y+i Jl=(x-1 )2
·rnterseccion¡t,-s.
a) Con ·el eja
,,
,,.._. Si :,::O .. (:;;;.1} ¿;;t +<+ x-·J=:1 ó x-1=-1
++ ..~2 6 X-'Ü ' ~2,0) '/ 0(0,0)
..
b) Con el ajo 1. ~i x..-0 + (;¡r+1} S.,-¡ + ;r::O .. :J(O,Oi
S:!.me-tda. f
a} Ck,n el aje X. f(:,i;, • y): (•:,+1P=íx•1-) 2
"'f(x, -~,) ,- 'f.(-it,y) ,', ilo es sit1étrice.
b} Con e'.l. &Je Y, i'(•x,y):(y+1'),::(G:{-1)2
+ f(.:i.,¡r) /, t(J!.,y) · .'. !lo es sim~·l;:i-ica
e) Con él o;rigl')n., f(~.i::,-yh(- y+1)ª=(sx-1) 2
i'~.<,•y) F f(x,y) • Ro es simétrica
UI. EX>tenaión.
a) Dol!!inio !ie la eeuaciÓrL. ;11=.f'(x)
y'l-1 "' 3
/fiZ-"Zr ... lly,-'h~.i. ,•, Dominio ·= R
b.) •Ran¡o d:c;,· la. ecuaci6n. x=.f{y)
x-1 ../(:,n)~ .. ilx •·+ :rH>.,D,.... y,<•1 ' hl.lgó=[··1,+«>,
r..r. Asintot.aá, c,uii'e lcie co...ii':l.c.:i.entea de x2 " y1 son o~n~t.aQ
~ 1 J _,-~
y 1-1 cr. 58 o. ,-a 1 , µs
X •
.51
i] .Co.n el a-.fa X-. S:. ;,
;~ff • x-0
b) ,lon e.l ej ~ ~'.. Si x=O + y~O
/. L,ii c~~va P,;l·Sa p:-:,t"" ~.:.. ·origcm ,
II ~ Simctr.{11..
a) :}on •
el e::;e X. ::'(x,-y}:-x2 y+t:r-x=.O
+ f' :x,-y) f :.'(x, y) No c·a s.lo10tdnE,
b) Don al aje Y. ~(-x,y):x'y-ly+x•O
e) Go:1: >;?l (;r::.géir. f( - x~ -y.) : ..x~y+4y+x = R 2}'- ,ty-~=O, ..._,,
+ f'(- x,-y} ~ f(x-'yJ !. Si e-0 s~u)étri<:n
rrr. Ezt':ll1:1 t 6-:i. ~
e) llomí~i.c rl-a 1.t;L eGU,'1:;i:i.6-n. · y=f'(>:) -,. :r
b) R.~ngo de l.;, ec:uaciór~. x~f:(y) + yx2
-x-ky~6
·<-+ ':;)C . .'. R:,w¡go : R - {O}
rl . .(',¡~Íil.1,o va3.
a) Adntc>tn.s F.o.:-i zontaltes: yxt-x- ~.y=O ... :,;~o
V) .1s~ntot~u Vcr't.i.cslíts ... (.~: 7.-4.)y-.x-o + x; 2 - 'f,=O +. x-=::2
V. ':'abls. ,le V11.J ore.s
'j - X
. - x:Z~,1,
' y 'f
:i ¡
!
n
:
¡~__
;. . . '-
X·/ ·r -] J [-3
: I-1 / /,.. 1 ! 1
315 j-J/5
I "-
1
¡,
¡,
1

52
IG, x ~y-xy-2y-l=0
Sol.oci.6n. Stta t'{x,y) ,x•y-xy-2.y-1=0
I. Tn"ter saccione:s-
a) Con el tije x. Si ro -,., -1!:0 ;. No hay in.~urGocción
b) Oon e1 eje Y. Si xoO + -2y-1=0 -,. y=-1/2 .'. A(0,-1/2)
Il. Sioetrfa.
8 ) Con ñl eje X. f(x,-y),-x 2
y+xy+2y-1-0
f(x,-y). / f(r.,y) llo ee sioétr:;.c¡¡.
h) Ccn el eje Y. f(··x,y) :x2
ytxy-2y-1=0
f(-x,y) ! f(x,y) No ea si~ét~ica
e) Con el c,rigen, f{-x,-y) :-x•y-xyt2y-1=0
·> f(-x,-y) f, ~{x.y) .:. 'uo "11 s:i.mJtl'ic!l.
1
a) :Jm,;inia de la ec:oia-ción, :r=r·(x) + Y ~ (x-2){:,+1)
-+ ;;y ~ #2 , x;,l-1 :. Dominio ; R-{2, -1}
b} Rango de la e;,cua.cí.Ón, x~t(y) + yx:2
-yx-(2yt1)=0
.. ,,, y!:. 1'9:r2
44'l. + 3 _ ...... 9yz+•,.-~o,. ,,,.,o
!Je dO!l,;8 : X
2-y ~ "'• ~ t"
_.. ::,,>O ó Y$-4/9
Rango· = -
<-cc,:4{9]u<G,+n::..,_
IV. Asíntotas.
,¡ ..
a) Asíntotat Eo~izottP..l~s. y;c2
-yx-.2y~1=0 + y:O
::,) !s.Í:ntc,tar; Ver"..; ce.les. (x' -x-.2):/-·l=O + x ª-.i--.2:0
_,_ l(=- i 6 X"2
:rabla d~ 'lillore$, VI·; T1·e2ado d-a la gr!i:.r:tca
1
_)' !L
y
t.x-2Hx+t1
3 -2 -3
- 1/2 ij,.¡ 1/l. 1/·¡g
--.¡ 1
1
i
f 1
1
1
5)
18-. X :r-xy..5y .,t)
.J.•lud6,¡;, Sea f(x.yJ ::>(
2 -xy+5y;0
I. Intcrsecoióner, .
gen.
Como :?.a ecuación caree~ de términ-o in-
cl:-;,«ndiE<u t.e, Ja curvit pa:ia por .,¡ or•-
II. Si111.e-crí:,_.
a) Con el ej e X. f(:,.. , -y) :x 2
+){y-5y"O
f(x.-y) f f(x,y)
!>} Con al e;je Y. r( -x.y) :xz+Jcy+5y=O
!fo e,; 3.1.:éi'.rica.
+ .f(-x,y) 1' t'(x,y) • No eo 9i~étric¡¡,
e) Con ol origen. f(-x,-y):x'-;,.:y-5"¡=0
!II. Extenaión.
f(-x,-y) f f(x,y) No. es 5irnétriert
a} Do~inlo de la at,uación. y=f(x) ...
.'. flOlllil).iO " R- { 5}
h) ri<Ulgo (le 1:,, ecuación . x=f ry}
Ilf..
~sír, ~otas .
:. .Rango = <-... oJ 11 (.20, ~~>
V.
a) Aa;ntota,; !!ori,t,o:rtt·al-,s. 'lo tiene
b) Asíntotas Vei,tioalos, (5-li)ytic'=O , 5-x=O + x-5
e) As:Íl1to'tas Oblicu:,,,, y-=:i,;,.:tlt ( l)
Su:d,i tuy"'ndo en 1.a eci:ac.ión dada y .orij-tn<>ndo téniir.os
'H' tiolle : (í-ia}x
2
t(.5m-k)x+5k=O yf . , _ _
+ 1-a=O ·• :.~1 y 5n-k;Q -> k=$ '
Luagó. an (1): y~x+5
Tabla d-o- Valo~ec
2 0
,
~ , -
y ~-¡::-5 1 ~--;¡-:¡.('5
l, /6 I ¡:¡ .:;, -5 ,J.----:
_, '
-~--·_
6
LJ_6J_64::./..:3L-....:L
:'../.:.7i:l-~5~i2:J. ~ X

54
Soluú.fr.. Sea f(x,y) :x2
y-x2
-!;:qt/_y<J
I) Jnt,r.:l"$t:l'.!Cicne!l. C~tto la ecuaci6r_ ca!'ece U.a t.é1~m:.no in-
OepU-ndivnte, la curva pase ?Or el origen.
I I) Sitte-trÍA.
al Con el eje X. f (x,-y):-;, 2 y-x'-+4x:;- 4y:O Ufo<,.$ s.:.r...)
b) Con •l ejo Y•. f(-x,y):x2
y-x2
+txyT47- 0
-> 'r(-x,y) f. f (x,y) :. Jfo ,;:; sl~,J~r.i.c:a
e) Cnn el origen. f(-x,-y):-x1
y-x'-4xy-4y=O
' f(-x, ..}') = f(xt~· ) .. }lo es sirn.át,.ric.,
I II} Ex-:ensi.6n.
a} Dominto de 1~ e~uación. yef(x) •) y =.
(x-2)?.
+ :iy,~x#2 :. !Joüni.o = R-{ 2 }
h) l{;¡{'lg-<> de la e~'1r.r.ién. x=f(y) .. (y-1)x2-~.yx+t.y=O
+ Jo: i= 2y± /4y~
·-(y-1 ){4y) ~ 2y± ;;v/:
"
,/
:> :lx -.. y;i.O .-_ Rar.go = [Ci,f.,,
II!. ;¡-;;;fr,totRs.
v_
a), tsír,tots.s t!ei-:-izóntale~ . (y-1)x 2
-4yx+!,y=ü + y=1
b) ft-ij:í:ntote.s Ve..r.ti~ales, (.x-2) 1 y-x 2 "'0 ...· x-2=0 ... -x~2
T,,_:,1~ el.o 1
.i-c.l o!"e.s VL 'I're.z!id"l de l a er-
(fj.ca
-y yl
6 1-2
1
j•
9/ 4 1Í4 1
1
1
a) :oti e:. eje ·x..f>.i. ~-={) -~ ...{:(
2
::::0 ·~ ;i•O
-~ ) Con ;,: aj" ~- Si x=:) -. -,'.;¡2
-él + 'J"'O
55
/ . ¡i;J. o.t:l .gell es·"nn p~n'":,c c_ue . pé::"tnuP.:3 a. la g1·áflca..
!L. St.rr ~~rí~ . Dors,() t,odos l o.i..~ L
-ér:ninos ce ~e cG~:::tclÓn cl.-~,ifl.
~o:t de Jr~rlo par. ln c~:f·ie. 1
::<.l r:,i.n;étriva l"se
pectd dd ! os ~jes X e Y, y ~l origec.
III. li.:J(i..e:1!l1Ón.~
. '
eCUi'!Cl.0!! •
±2x
¡;;-~¡
• Do1!!lni:::
yz>4 ~ y~2 9 ·y<- 2.
·•.
:.. flan.ge,-~ <-<·~-> -2~.l.1<2~~~;,
IV . ,iefntat as,
•
(y.2 - 4 );,:'·- 4:t:,:~{J-
y2-·,4.=::0' *f .y~2 .
ó y ~-2
e,) P
.dntc,:t.<is Ve1'j;ica.lo-
~. ,(-x'-4}y2
-;.X:'"º
_J'J t
..,_ ! ~
- -~
' 1 .
---~
--
-,,¡ ºÍ ;' >X
----: =r-~;;:~-
·1: l :¡
1 l;

• 211, x ª -xy•+2y~..--O
Solucdu,. Soa ;·(x,y):x'-xy2 t2y2
.-0
I. Int.ersecc1on-:,s.
8 ) Co-n el ojo X. Si y=O + x 3=0 • x=O
b} r.on el <'.ie Y, Si x~o + 2y'=v .. y:{}
II. Stmevría. Cvno la va~iab:a y ed de grado par, la cu~ve
s~ sicétrica ~6lo coj el ~je X~
III. .Éxtenai6r,.
-0.) Dominio de ls 11c1;a,;:iÓn, J-,,.f(x) ~ y = :':x J-x
'x-2
Dom, = <-"', D]U<2, to>>
-,¡. Así'n-t;otas.
a)
b)
e)
AS-Íri~cts.$ Ror.i.zoiüaleo. No tiena.
Asíntotas Ver·~iealoa. (.2-x)y2 +x 3 ~o + 2-x~o ·• x:::-2
Asíntotas Obliet:an. y=::nx+:C {1)
Sustjt~yaa46 ~n la ecuación da~a y orden~nño términos
se tiene: (1-,L2)x'+2(m 2-rnk)x2-(k2-/.xk:¡x+2k·LO
cEntoi:ees: 1-n,'=O...,. m1 =1. 6 n 2 Q-1
o 2
-mk:O - k ,-=1 ó ·k.i=-1
Luego, en ( 1), la,; aeínt,otas oblicuas ci.e la curva son
L, :y:x+1 , 1, :y:-x-1
'f. 1 /
V. Tc.bla dei 'l11lores y C"áfica. 'V,Á/
' // L,
1 /
tx J X
x-2
-í -2
y ±.5-2 :t.!i.6l ;.0.5? .tl.41
1 /
i /
y'
/1
/1
1
1
-j
{i1t1i/.i~ d.e w,.11 f cuac i (,n
2. 7 CCUACIONES íACTORIZA8LES
Son aqu.ellas eeuaciones que ptHHlen escribirse en forma
del producto de dos o más factores variables igi.oala~os
a e.ero. Est-o es:
Si F{x.y) : u.v.z, y si F(x,_y)=O, entonces:
u f(x.y) O
v "' r(x.y) = o
z = f(x;y) =O
La gráfica QO F(x,y)=O constará de las trá~ioas rlo las
ecuaeibnea obtenidas al igualar a cero cada uno de los
factores .
!EJERCICIOS, Grupo 1¡
Ec c~da uno de los ejercicios del 1-10, factorizar la ecua-
o16n oo'rrespond1ente y trazar su gráfica.
, l. x 1 -4yz=o
Solusi6n. Soa F(x,y)
. ~ {x+2y:0
Si ?(1<.,y)=O ~
Jt-.2y=O
Tablas de Valores y &rÁ.fioa
xz-4y1.
(1)
(.2)
(1) ~ .
GEE
{2).00
~ - @mj
(2) ILiillJ (') Li:.lI[JJ
-~
.,.

58 q,,.a...,,i,,,.I,; A,,all:l.ica 1'la.na
I 4. x 2 +2xy+yi=l
Solación. Sea F(x,y},:(xty}Z-1=0 + (x+ytí)(.x+;t-1)=0
Tab~a de Valores y Grlficaa.
{ 1)
~
~
{2)
ffiffi
(1)
(2)
Sea F(x,y)=6xltxy-2y2 +7x+?~-j=O
3x 2y -1
2xX-y.><,
3n l.oaces F{x, y)= ( Jx+Zy-1} (2x-y+J)
{
.3x+2v-1 "0
Si F(x,y)=O - .
2x-y~Jee0 (2)
( 1)
'i'abla de Yalorea y Gráf; ca¡¡
(1) (2)
fffl Effiffi
6. ~•+y'+~!Y4X.l'~-~~-4y:O
Solu.tJ,:,5a, Sea F{x,y)=x~+y•+x•y+xy2 -4.>t-4y
y
·> F{x,y) = (x+y}(x2 -xy+.,'Jtxy(-x+y}-4(x+y) (x+y )(x2
ty~-.o
St F(x,y)eO +
{
xbr=O ( 1j
x 2 +y~4 (2)
Tabla :le VaJ ores
( 1)
GTIDJ
~
y Grá!icns
(2)
y
(1
• X
1
J
r' 7. ,.3_><":--xy.-yz~o
Sol,ic.J..6n.
Sea F'{x: ~') =x•-x2
y-xyty •::x2 (x-y)-y (ir-~;)
'-'(x-")(xZ-y)
Si F(x,y)=O +[x-y=O
x2
-y=O (2)
Tabla de 'l'11lore11 y GrÁficas
(1)
!'I) (2)
EHHI3 [;1±~ 1±:1
B. X
2
y 2
-4xª+4xy 2 -y''=O
(1)
Sea F(x, y}=x'- (7
2
-4,c)-y • (y•- 4x) =(x2-yz) (y•-
4
x)
~ (xty){x-y}(y2-~~)
Sob.u;i6n.
(1) y
(2)
O)
Tablaa de Valoras y Gráficas
(1) (2) (3)
GTI:J1l [ITITD [illI,l
~ .~ ~
sol!.1.,c.í.l,,,. S&a F(x,y)
f:d1"'0
+ lx1+2y2-4~a
Tabla de Valeros de (2)
Si F(x,y)=O
~ xl~xz+2xy2+2y2-Áx-4
X~{x+1)+2y~ (Jt•1 )-4{xfj}
( x+1)(x2 t2y2- ,1)
(1)
(2)

6J
2.8 ECUACION DE UN LUGIR CEOHETR!CO
se llana ~cuación de "n lugnr geo~Gtric<> plano a una e-
~u~oión de la fo~uar
f(x.y):cO ( 1)
~uy.as aoluc:ion~s reales pa!"a ,,.alo!"es corra1;;pondi&nte,;
de x e y ~on todaa la~ coordenadas dG aquel1o~ puntos
~ue ~a~isfaccn l& condición o condiciones §Oooétricas
di!ld,¡,s gu,.. ,le='int+:i el ltlgar georuétricn.
i;l proc~dimiento papa obta11ar la oc1iación da !lll lugar
gaoaétrico es como s1gue!
i) Se supone que el punto P . de coordenados (x,y), es u~
~UAto Qualqui~ra que sct1sfaoe la condici&n o con<lici2
nes dndss, y, pcr lo tanto, un punto col ~.G.
ii) !'k expresa., ahslít:.c11l1lente. la <londici6n o condiciones
geomhtrier+o dadas~ por ~edio de una ecuttción o ecllaciQ
ne s en lae c.oordenade.;; v11rii.bles x e y .
iii) Ss simpli!lca, M . ea n,eceaar1c, la ecuaci.Ón obtenida en
el paoo i~) de ~!12 nanera que tone la ~orm& (1).
1EJEnercros. Gcupo n
3. un punt.o se mueve de tal lllil?>era qu,;, su di stc.ncia al t1je
Y dis,?:inuina an J as siecnpre igual el dohle t!,l su dis',an
datl aje; r. Billar la ecullción !;le su lugar ·goenétrjco y
ci.e.r .su 1nt.erprets.c.ión g:t1ométcice .
i) 8aa P(x, ;¡,) un punto del L.r.. y
11) Pg pi,j Q X .?.....
- 3 ~ ~
i.i:!) 3 2y ...... x-2:,-:,-o /
-y
Y. - =
ta ecuación dél L.O. es un~ .recta.
--ºf--
..... X
61
distancia al or~-
4. Un pu:ito ae m,H>lf'9 de t.al manera que su -
. _1 a 2 He.llar la ecuación ca su lu6ar
g.an ea siempre J.fiU~ • ,, • .
geométrico ..
Y da.r- su in-l.erpret_aci6n geometrica •.y ,
Solue¿l,11.. i) g9 a p(l(,y) ~n puoto del L.G. ,,-r){'
/ 1/
-¡ 1
1
e 1 >x
ii) IOP· =2 , º¡' !
lii) /x,?+y• = ;~ + :c•i:,'=4 ',_t...,.,
El lugar geom~trico ea una oirounferetteia
i)
ii)
iii)
6.
Uil r;,u:nto ee :r.ueve de tal man.era que su
A
.(2~ )) ee siempre i~Jal a 5, Hallar le.
, · interpretaci6n
gar geo~etrico y aar su
S,oluei6n.
Sea P(x, ~) un punto del L.rt.
IAPI = 5
/(x-2)'+(y-J)' = 5
(le· d<>itde : x2 +y2 -J.x-6y- 12=0
El L . G. es una oirc'.m:ferenaia de
raoio 5 y centro A(2., 3) •
distancia al punto
ecuación 4e su lu-
r,eo;nétrica.
> X
. ' d 1 L G de un punto que se mueve de
P.allar la ecuaci on e. · • •
· ·distante de los
tal manera oue se con-
serva siom
¡:re cqui
· trui~
puntos ,l,(1,-2) y B{5,:¡I,). Id,mti!ioar el L,G, y cons -
lo graficuonte.
Sofoc<6n,
y
:í) Sea ¡>(x, y) :.in put1to del L. G. ,
u) IAJIJ=l~I (Con.d.ición de equidista.'loie, _
0
4...;_,1-_;..,._~
iii) /(x-1) 2
t{y+2) 2
= /(x•5) 2
:<:r- 4)'
Da donde: 2x~3~-9=0
7,
~l t.G. es una recta ~ediRtri~ del seg~ento AB,
Bna racta contiene a los puntos A(-1,5) Y B(1,J). Expre-
sar anal!tica~ente, ol ~echo de que un punto acalquie?'a
P(x,y) está sohre 1& recta. Deducir la ecuBción de le re~
ta.

i) Sa" P(x,y) ·1n· pur.,,c r.!H L.G.
i5) Cooo L l3 y t ,on co1illt"e2es,
"A" - ¡¡¡/¡l)
iii) ~ .,.1.:2
xIT Hl , ti~ dcnrla: x,y-4-0
s. Hr.llar l:i
se EU:::V
al p;wto
&,hcil11.
o1
•
::.j P(:x,,,
EJa. u pJ.:nc cwl !..";..
' P(:r..,¡)
ii) IAP! ~ !~i
-
iii) :.l(x-4)•+(7-i)~)2 : ,:.
A
1.1.. donde: ,:ify'-9X-2¡iT17~0
o X
,. ll•1a recta 1, e¡-, ;:esa por ~- ,:iunto ,( 5 1} .
cular a e 1wrn. -,.
9
c ta da .., - :
1
• ~~ !,e.rpr.• :t_-
' · "~dier.te 1/2• .:.)Qrt>ear 111v.1Ht1ca-
1111>1,.e, el l,;ech;;i de q!ia un punto c.1alcplera P(:it v) e ,•á
sot.rc 1~ re-:~a I,, 'l dei.:~i.r a·· • .,· , • ...
• q :::;¡ .ui, iJ se"..ls.ción.
ol.u.c.ién.
i) So, P(x,y) = ."111~0 del L.G. y •
z, =1¡2
1._.) Jlt.lCAf' : -1 ., .:iAf'~-2
1ii) ,;nLonCAIH .:i.:J.... -~
>
..,.5 · • ,i., dc,r.de1 2:dy~9-0
10. !!:111 circ1 !1:e1·c,ncla de rad.io 3 ti ene ~i.: r.r.ntro en el pw,-
to C(-3,-2). A ,artir de la ae~l·1~16n,
• u - hall.!r l,;. ecu,i-
ci6n de ~~ta circunra~o~cic.
J.:l!.ue/6B.
~) 3~a P(x,y) un punto de1 t.~.
i¿) .&n c~ol~1 ier pos!ci6n ie ?: j~J=~
1.i.l) "r l(x+3¡a·H,~2i• - J
di! 5ond": x'+y"t6xHy+4-c
--~¡J ,.
¡' cr,,1
.
' .
' /
....__,,,,,.,.,,
6)
ll, Un punta se mueve da tal aanera que au distancia al oJe
X ea siempre igual a au distancia del ~unto A{0,4). Ha-
llar la ecuee~6, de ,u lugar neoa,tr1co.
&.l..uei.6n. ',
i) $ea P(x,¡) un punto del L.G.
.i1)
iii)
IQPI O
li!>I
y= lx2 t(y-4Ji +-+ x2
-8yt16•0
!l L.G. es une parábola.
'
' ,_
y
12. Hallar la ecuac16n del lugar geoaétrico de un punto que
•• aueve de tal manera que le auaa de los cuadrados de
sus diatancia• a loe doe puntos A{),5) y B(-4,2) ea eie!
pt'e igual a )O,
Sotuei.6n.
t) Sea P(x,y) un punto del L, G.
iil IKPl 2
+lfil>l2
= 30
111) (/(x-j) 1+(y-5)1 ) 2 t{/Cx+L) 2
t(y-2) 2
)
2
=)0
de dondo, x2 +y1 +x-7y+12=0
13, Hallar la acuac16n del lugar geométrico de un punto qoe
se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadra-
dos de sus distancias a los puntos A(2,-2) y B(4,1) es
sieapre igual a 12, (Doe casos)
S0tuci611,
i) Sea P(x,y) un punto del L.G.
ii) IKP l2- IBP l2212 (PTber caso)
liiPl 2 - l.i:Pl 2 ~12 (Segundo caso)
iii) (/(x-2) 2 +(y+2) 2 ) 2 -(/(x-4)2
+(y-1 )2
)
2
•12 ++ 4X+6y-21:0
(/(x-4)~+(y-1) 2 } 2 -(/(x-2)1+(y+2)1) 2
=12 ++ 4x+6y+)•O
14. Un punto se mueve do tal manera que su distancia al pun-
to A(2,4) e~ siempre igual a au distancia de1 eJe Y au-
aentoda en), Hallar la ecuaci6n da au lugar geoa6trico.
Solucl611,

¡;,,.,...,_t.c..t.a. Anattti.c.a Plana
i} Sea l'{x,y) <.:n :¡.LllltO del L.G,
ii) !:Gil " lfQI + ::
iii) /(A-2) 2 +(y-~); ~ x+)
do dond~! y2 -10x-8y+11•0
15. Hallar lá ecuaoi6n dol lu&ax eoo~6trico de un punto qie
8 ~ nueva de tal car,era que la s,u,,a de sus dist-0.ncias a
los do11 pu:itoa ~{3.0) y P.(-3,0) es oloop1·e igual a 8.
J.o tuel611.
1) Sea P(x,y) un pw:to cualquier~ dwl ~.G.
1n !:A'.PI + lal>J " q
1ii) /(x-3) 2 ~y1 + /(x:Jl 2
+y· - 8 • /(x-J)'+y• • B-l(x+J)'+¡•
¡;:1evondo sl e uad:-ado y simpli ticando rooul ta:
4 /x'+6xt9~y2 ~ Jxi16
Elevando nuev~men'.:.e tl c11adra!io y siapli:f'ic:uido se cbt.::.!l
Le: 7i.2 +16yt:112
17. 'Jn pu:ito so mue•1e de tal manera qu& la difsranoia de sus
diotru:.ciao A loe do~ puntos A(0,3) y B(0,-3) es 'lÍR~prw
igual a 4 ílal 1.e.r lo. ecuaci6n cie. su lugsr geométrico.
S,. lcCL6.'t.
i) Sea P(x,y) Jn punto del t.G,
if i?I - !fil"' : L
i1i} /(:v:-:n~+y• - i(x+3l'+y2• 4 + /(.:.-J)2+y1
r:1,n.,,ndo nl cundrado y elmplificando re8ult11!
~ /x1 t6x+9+y 2 e {+Jx
Elc'land? ol cuer.l.rndo se obtione .tinalaPnte:
5x2 -4y '· ~20
19. lir. círculo de rr.dio 4 tiene :su centro en el punto C(1,-1;
Hallar le.. ocueción del lu¡:er geomd trico do loo puntos me-
dio~ d~ todos ~us r~~ico.
Solu.cl&n,
i) E:c" P(x,y) un rnr.';,o del L.G.
65
ii) Si~ es un punto do la circunferencia de centro C(1,-1)
entonce:s: l~i=4; luego, ICPi•2
iii) /(x-1)'+(yt1) 2 '• 2
de don1e: x 2 fy 2 -2x+2y-2•0
JO . Un punto se mueve de ~al oanera que ~u dlstancia al punto
A(3, 1) es stcopre igual~ la m!tad de su distancia al eje
Y. Ballar la ecaación de ~u l~gar gaooétrlco. •
So l.uci6ri,
y
i) Saa P(x.y) un punto del L.Q., JC
ii) JKPJ • iJQ1>1 Q
A/•P
iiJ.) /(x-3) 1
+(y-1)~ • ~
o X
de donde: Jxi+4y2- 21.Jt-8y+40~0
21. Un p~nto se ~uevc de tal manera qua au di,tancia al punto
A(-1 , 2) as s.ic;;pre el dobl9 de cu ü1s~ano1a al sje X. Ha-
ll8r la ecuación do su lugar geouétrlco.
Soluci611.
y
i) Sea ?(x,y) un p1into del L.C.
ii) IAP 1 • 21.PQI
iii) /(x+1) 1 +(y-2) 2 • 21 X
dP donde: xZ-Jy1+2x- 4y+,•O
Zl, Un seg!llen~o rect1tíneo de longit~d, se aueve de talma-
nere aue uno de los puntos extrends erw~r.ece siearre ag
tro ,¡1 ej o X y .,¡ o~ro per!llane ce 31 eiipre sobre el aj e r.
Ha.llar la ecuaci6n del L.G. del :;:un+o ;;ccio del sega..nto.
Solur:.ibi,
i) Sra P(x,y) ~n punto del L.~ .
Seen A(O,y,) y B(x1,0)
ii) IÁF-1 • ~
ili} ~ ~ l, pero: x1:2x. y1~2y
• /(2x) 1+(2y) Z • 4 ++ xz+,~=4
A
B x

66
23. Dns de los v,~,.t!.eos de un ~rinnguJ.o son les p-;mtos fijoe
,1(-1,3) y B(5,1), Hall.ar l:i. .,,,uaci6n del L.G. del t,;rcer
v~rtiee G ~i "e .:ueve d.i ttl :m,nc.,.A que le 1.:enc.:.ente :!el
lado AC as sioopre al doble do 1~ del lad~ iffi.
i) Sef. C(x,y) >.m p!111:.0 :iel L.G.
1:.) m1ic 2 mnc
iii) ~-3 - ~tl_:j_,
m - ,.,¡·.::,'
de -i<>ndec: .it¡¡ ,x+'ly-17~0
·+::!·''
--+=·-X
:?.<;.. ])os d..- los vérticc,s ds, t.n trik!gulo aon log puntos fijos
A{1,0) y B(5,0). Hallar la oeua.c.ión del L; Q. del Mrcer
;r,9ri.ic~ C s:.. se cu.evn de. tal ~or-.sr~ q~e l~ diferencia e~
t, e lao loiogitudee Je loa lafüia P.C y BC el.' :;ieopro igual
a la mitad de la lo~git~d del laóo AB.
Soe,,-cUm,
i) Saa e(,,.,} un tiunto dec1 1.0. y
ii} !Kcl-iBCI ,,,--t
: 2 1!'9,
iii) /(x-1)2+y2 - ,-lf.x-5}ª+y• ~ ;1 s-1 I
-~o..¡.."=---...;¡,...- >-
• Íi. 3
->- lxz-2.x+1+y' = 2+h.2
-~0x!25fy
2
-
de donda: /x2
-10xl·2.5+y.1.· ~ 2x-7
El11ve.ndo al cQac1rado rcsuJ.tl!.: . J-.c'-r'-1Sx+2·4=0
25, !.-Os extrem~e ds.lE he~s de un triár,guJ.o son I9s pU!Itos
A.(0,0) :{ E(J,O). H.tll!l.r la ecue.c.dn !iel. L.G. ,fol vérti~e
opu,e.,t,o C si ec t:tu<'lire de tal rue.ner-« que el é.ngulo cie 1s.
base G(B es siemp:e i ei;.al al doble del. ángulo en la be..ae
.:;BA.
_Sof1,,r.i.ór~.
:!.) Sea c(:x,y) un p=t<> del. 1.,0.
;i.i) Si p=2n + Tga;: ~ (1}
iii) 'fgjl " "AC =~ : mBC ='l'gB~·-1'¡:;c.= x;J -A+.;.;.--.J,;;:B~..4.x
Su~tituyeudo en (-i) .N,sult.i.: .3x
2
~y
2
-1Z:x;9~0
67
3
La Línea Recta
3,1 FORHAS DE LA ECUACION Df UNA LJHEA RECTA
(1) forma Punto-Pendiente. La r1'cta que pasa por un PUU
to dado P 1 (xi,y·¡) y tiene la
pendiente dada 11, tiene por ecuaci6n:
Y - Yl • m{x - x1)
(2} Fo_rma ~endiente-Ordenada en el origen.
La recta c~ye pendiente &6 m Y cuya ordenada en el Q
rigen os b, tiene por ecueci6n:
Y~ mx+b
()) Recta que pasa por dos puntos.
La recta qua pasa por dos puntos dedos P1{xt,yi} y
Pa(x,,y2) tiene por ecuación:
Y - Y1 = ~~=i:{x • xi) • xih.~
La ecuo.ción (3) puede escribir,se ta.cbi&n en
dete~nante: forma de
o
(4) íormo S!~étrlca. La recta cuyas intereepQi<l!U)S con
los -ejes X e y ooo o. Y b, respect;
vamente, tiene por ecuaci6n ;

68
l.
2,
[EJlRCICIOS.• Gruµo !11
!follar la ecuaci6n de 111. recta que pasa por el punto
A{1,5) y t.1.ene pendiente 2,
sotn~i6n. según la ~orma (•), lo ecU>.ccjÓn de la recta
ee: y-5=1(:<-1) ++ L:2x--yH=O
Halle la ec•1acl6n rle 1-,:, ¡·eeta. que pasa :por el punto
A(-6, -3) y t.ü;ne un áng,llo de incl.inaeión da 45°.
SclncL6n. Como o=Tgá + m=Tgl5°= 1
Según la fo~~n (1): yt)c1(x+6) ++ L~x-y+3=0
3. !ls.:la.r 1a ec11aciór. ile la recta cuya pendiente es -3 Y C1!
ya intersccc~6n con el eje Y eG -2.
5
2-.~1,,eiór.. Tenenos: m~-3 y b--2
Según la formá (2): y~-3x-2 ++ L:3x+y+2=0
Halle la ecuación de la recta que paee. por los punt.-0s
A(4,2) y B(-5,'1).
Sofocl6n, Según la iorm.a .(3): y-2
de donde:
2-7{ t)
4+5 x-,
Los v~-rtieee de un cuadrilá~ar.o s-on A(0,0), B(2,,;).c(6,7)
y :D( 8, O). Halle las e cuacionea d,a s;,1$ lados.
Solue-i~n. S-egüo la f6rnrula (J) l;.10 t,iene:
AB: y-O = 'f.i(x-0) ++ AB:2x-y~o
y e
31:: ;¡- 7 : ~{x-6) ++ ne :J:x-4¡1+10=0
CD: y-O 0-7 ( )
= 8-b x-8 ++ CD:7x+2y-56=0
AD: y=O {Et:uaaiÓn del eje X)
/ •
-~
I
1.
8-,
'J.
l.a Llri.e.a íkc:f.a. 69
J.>e segmentos que una rec1.a .deteJ:mina sob1·e 2os ejes X e
r son 2 y -.3 respectivamente. Ha.lJ.ar S1.I ecuaci6n.
Soluei6n, Tenemos: a=2 y b=-J, ent~nccs por la ~or~s
{_4): ! + :J = 1 +-> L:Jx-2y-6~o
lfna recta pasa por los .J:untes At-J,-1) y B(2,-6) . .'falle
~u acuae16n en la for~a simJtrica.
Solución, Según la forma (3): y+1
de donde; L:xty=-4
Dividiendo entre -4 se tiene, L : -~ + ::f=1
Una recta de pendiente -2 pasa por el punto A(-1,4). Ha-
1·1e su e-ovación en la foril!a. simétrica.
.SolucUm. Por la :forma (1): y-4=-·2(x+1) +-+ L:2x+y"2
~ividiendo ontre 2 se tiene, L: Tt Í =1
Halle la ecuac.i6n de la mediatriz del segJDen·~o A(- .3,2),
:B(1, ó}.
Soluci.6n. Si P(x,y) es un punto de
la mediatriz, en cualquier
posición.de P se debe verificar que:
J.U>HBPI
+-/(x+-J)it(y-2)' ~ /(x-1)2+{¡,-6) 2
de do~de: x+1-3=0
'KtB
)/}_L
of
10, Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la rec
ta que pata por C(-2,2) y D(J, -4). Hallar 5U ecuación. -
Soluc;.ón. Si L1 es la recta que pasa por C y D, entonces
m1
2
~ =- ~
S1 LI IL1 + b 2
1111 ~-6/5 , luego: y-S ; -1(x-7)
de donde : L:6xt5y-82~0

70
11. He.l.l.&r la ecuación de la recta que pasa po~ 61 puo"'>
A(-2,4) y dete-Nlina sobre el eje X el seguer.to .q.
Soluc~6A, La reo~a buscada paa~ vor A(-2,~} y B(-9,01
Luago, por la fol"'lla (J) $11 •C'llfl~6n es: y-4 :_~(x+2)
,i,.. uonde, L, 4X-7yt J!rsO.
J.2. De!ilostra.r q11e los puntoe !(-;..,a), B(1,A) y C(4,5) .!Ion 11~
lin~ales hnlJ.a.ndo la ecuaei6u te la recta qwe paaa por 2
d-o estoe puntos.
¡cd.u.f:i.6:a, liallecr•>lf la &CU!l.~ÓD. de la reeta que pau poi:-
A y 6, Sagd~ (J): y-2 =~(xt5) •• L:x-Jy+11~0
Si A,B y C 30n .aoll.n~a.lé6, bll•ta~á probar ~ua C€L.
En efeoto, si CEL + 4•3(5)+1t~o
+ 4.15+11~0 ·~ º"°
Por tant<S, A, a 'I C s.on coliA••l"a .
13, 4All~t la acuaei~n de la a.acUatr1~ d~l ság;aeato qae los
ajea coordenados detet"llll.n~.l'l. •n la_ recta L-,:Sx+Jy-15•0.
l.21_uci~. Pasando 11 a su ~er~a 5im4triea ae tiene:
L1: ) + i % 1
Luego, asJ y b~5 + A(~,OJ 1 B(0,5)
Si P ll II tt~ pun.to de la taeii.1,atr11,
¡;e deoo •1<n•iticar :¡us• :At¡..¡¡¡p¡
4 /(>c-3)A+y2 " /xª"(y.51f
de donde, L:Jx•~y+8•0
Los 1:jetcicios 14.z, &;8 l'6f1ar&n al. trián.gulo cuyos v6r.icae
aon A(~2.1) , B(4,7} J C(6.-3),
1~. Hallar lu eéuac16n de eua lados.
joll,c¿6n.. Aplioan~ la fórmula (J) para ~ada lado se tit
n~: Alh 1•1 "fü(x+i) ...,. Ilhx-;y-+3=0

15,
La Llnea ~eta
Hallar la ccua.ci6n de la reota que pasa
y es paralela al lado opue&to OO.
71
por el vértice A
S;,lu.c.i64 ,
Tene~os: A(-2, 1), B(4 )
, 7 , C(6,-J)
Pendiente de Be: m = ~ =_5
ecuación de la recta· LI urn
1 y quepas~ por A es
y- = -S{x+2) ++ L:5x+y+9&0
Luego, la
16. ltalla.r la,:i ecuaciones_ de laa rectas
tice By tris que p~san por el v6~
n.
ee4n al lado opuesto J.C.
Sot..uci61l. A(-2,1) • B(4,7) 'I C{6,-J)
Sean ~ ,~ Q·{lo:+~t;s de ttiseoaióc de
AP 1 ~ - 2 • x.=2/3
. S-i ~ =2.... .}'::J 1
~,;;:y; 2 + Y,:-1/J
Q es punto medio de Pe.
B
Entonceo: Q(2/5+6, -14-3) _ 1Q
2 A
~ Q( 3•-3> Q e
Po:r la í'orrn-e. (J), BP: y-7 =::J.l.1:::!(x-i,,)
2/3- , ....... BP: T1 x- 5:y- 9=0
RQ: 1-7 = 7+5/3 (x- - . "
4-10/J 4} +-+ 11Q:i.3x-y-45'=0
llalJ.11:r los vértioe·s del triifu l
que Pasan ¡:,or los , t . gu e formado nor las rectas
. ver ices A,B G
lado~,opues-tos. ' Y son P~ralelas a los
So luc<.6n. H 2 1)
' ' - ' • B(4,7) y C(6,-3)
Re~ta que pasa por
Recta que pasa Por
Recta :i:110 pasa por
A Y es paral-'a a "C
""" ., : :Y-1~-.5(x+7.)
·'· L1: 5x+y+9;0
8 y es pai:~lela 8 AC: y-7 " - :}(x-4)
.'. L,:x+2y-t8=0
C y es paralela a AB: Y~3=Hx-6)

I.a1x~y.9..o
!.u-ego~ t,,,, l.t•C•4, 11) 1 L1 .. La.. (O.-i'r -f .t., A L,a(1'2.)l
13, Hallar las eo~acionea is l&o median~, y lae coord$ba4aa
de su ~llll~ de 1ater,ecci6n.
Las coordenada& dt loe puntos medios de
cacla lado :lon:
M(1,4), 11(2,•1) 'l P(5,2}.
Luego, la~ ecuaoionen de los ~edianaa,
u.g'fu¡ la f 6niila (3), 10111 A....__....__~.._ e
11
)le,fiana ff, y•1 • ~(x+.c) -• APrx-7yt9•0
Mediana §!Ir y-'I. • ~(¡¡:.'-) ._ 6ii!4JC•y•,9"0
Vadiana CÑ: f"+) '" tt(lt-6} - Ci!l7it+5y•27•0
Coo:rdenaau del baricenro, (K-7)'+9-0) a (41r.1.9..o} • G{J,i>
Co.a.o ~omprob&eión podeiso¡r hallar ias oac¡.l'denadas del barloeo-
tr~ apli~ando la t6rcula del ZJBrcicio 20, Cr~po 21
!:C-2+,+6, H~-J¡ ++ ~(j-,,j)
19. Ra1l~r laa ecuaciones de les mediatricea de los lados y
laa coord,rnad&• de su pwito de inte.rHani611. !lst& punto
s& llama u:•c1111~0.
~il.' A(.,:2,1), -8(4,7) y e(6.. •.3)
S•3n (~,y) lae aoor&ett~&s de ~ada ut!O
ñe l<,;a pu:ntl:ls P,Q y R de lM! med.iatri~&a
del tr.lLngulo J.J3C.
Por d41llini c16n de llled.i&.tri'.!, u tiene 1
A.
la11•1~1 • /(x-4}•+(y.1)•.~r.(x-·..,.60-,}•=-
+"""(rt
__
3,_)
1
de dond.u ll'• 5y+5"0 (Med1.a.tr1• del lit.do Be)
liQl•IB'QI • l(x+2)•+(7-1}ª & .1<;•6}~+(1 +J)*
de, <londe, l• aediatrh del l.l.do Ka ea: .211-r·s-o
/
73
1
~1=1BRI + /f,it2)2t(y-1)Z ~ /(x-~)~:{y-7)"
C:s donde, la ecuac16n de la mediatl."iz del lado iÍii as: x+:r-5=0 ·
L'<ego, (2x-f•.5"'0) t> (x+y-5:0) = I(~Í)
,fo, Rallar las e.cu.acionae de lás alturas y su pWlto d,; .ilt,n··
IHtci:i6n, Este pun t.o se 1.lá!Ba c1tioce11.t.Jtó
Sol:u;,i612. A(-2', 1), .8(4,7) y C(6,-3)
I.as pendientes de ceda lado son:
t1!.~" 1 , 111B!l"·5 y 11lAc"'·1/2
i:.u~go, las pqndiente-s de las alturs:s
co:-1·e$ponciientes a. cadQ lado son t
B
nc, ~-1 , fl}J/'-1/5 y m5g=2 11·,J.---.,-----.:::bc
y sus ec1.1acione-s, según la i'orr1a ( 1). son:
Altura CF : y+~:.i {x-6} ++ fü<:xty-J.=O
AJ.tura iñ: ,Y-1~1/5(x+2) - ADb~5yf.7"0
Alt.ura BE: :t- ·7=2<xM4} <4 BE:2x-:y-1•0
Por :!.o tanto. (x+y~3•0) A (2x-y-1c0) = lI_
(j_,3)
21, H
allar laa eo~rdenadao del pie de la altura oorreapnndie¡:¡
te al lado Ké. A pa~tir de estas coordenadas hÁlle.aa la
l ongitud do la altura y luego al área del triángulo.
l2J..~. A(-2,1), B(4,1J y C ( 6 , . J ) ~
Ecue.ci6n de J:li!x~2y=O (Ej .14) ·
Ecuaci 6n de BE!2X-y-1=0 (EJ.20) 1
+ (:r.+2r0) t.. {2x-y-1m0) "' E(i,-1) E C
h=IEBJ= /(4-2/5) 2
+(7+1/5}ª2 18~ ¡ IAlll~ /{6+2)~+(-3-1) 2
=4/5
1uego, a(óABC) =flA'é!h =~(4v3){18~) a 36 uZ
l2. Hallar la e~~ao~6n da la recta de pendi~nte -4 y quepa•
i;o por- el punto da intel;'aeoción de le.& roct.as L ,!2Xty=8
y La: 3x-2y+');0.

Soluef411, Sea Pt(La" Li) + (2x+y..8)" (Jx-2yt9=0}..P(l, 6)
:.1Jei:o, por J.& t61'11ul.a (1): 1·.,...-4(x-1} - L:4X+y-lO=O,
Z). Lne acuac1onea de los ?udos de u.n cuadrilátero son:
3x-8y+J6~o , x+y-10~0, )x-87-19=0, x+y+1=0. De•ostrcr
q~e la figura es un paralslograoo y h~llar las coorden§
dsa de suE v, rt 1ces,
Soluc!6n. Pasesn3 cada una de las ecu~clones e la forma
J'"EX+b
Seso L1 :3x-~yt36eO ++ L1•Y =jx • i + •1~ Í
t.2 rxi-y-10=0 •• L2:y•-x+10 + m....1
L•:Jx-ey-19•0 .... L,:y =lx · 1i • '1
11,• 8
L.,:x+y +1=0 •• L-:yc-x-1 • 111,.,.1
Vecoa quer lll¡"D1 + !:.1IIL1 y a,•11, 4 Lzlft,
Lueso, al c~edrilátero cuyos lados est,n coct.enidoe en las
reetall dadas es un par,.l,,lo~uo.
!.1 • t.2"A(4,6) l La A L,•6(9, 1) : L,,.. L~"C(1,-2)1Li"L••D(•4,3)
z•. ffallsr el &rp11 del triángulo re~t4ngulo rornado po. los
ejes eoordensdoe 1 la recta cuya eeuaci&n es 5x+4yt20•0.
jot..c,6n. Inta~sectando 14 recta eun loe eJae coordens•
do11, ee tiene:
Sl y~O • 5x•202 0 - x,s•v-4 y si x•O • 4y+20=0 • y•ba-5
lrea dd triúgulo .e Ílabl ~ il(-4)(-!i)I • 10 uª
25, tea coordenadas de un puntQ P son (2,6), y la ecuaoi&n de
una recta Les J.Jt+3y=12. Rallar la distancia del punto P
s la recta L •i~iendo en orden loa airuien~ea paaoa:
a) R..ilt.r la pendiente de L. b) tiallar la acuaai&n d~ la
• recta L1 qua pasa por P y es perpendicular a L. e) Ballar
l•• coordenada• da P,, pur.to de iateraaeei&n de L y t 1 •
Hall.-.r la lon¡itud del segsento PP1,
l,fJac{f~. a) L14X+Jy~12 ++ L:~-.(-4/3)~+4 + a ~-4/J
la lúui.a ~et.a
75
b) Si L.LLt ·';_.11J1=~/1, • 11iy-6~ i(x-2) .....,. L1; J.:•4yt18a()
c) LAL1 " (4XiJy-12•0) " (3x-4y+18.,0} :: p ( 6 108}
• 1 -n, °25
d) d(P,L) • ,!PPif= /(2 +.J>2+(6-~)'.• ri l(S6)1t (~2P
de do11de: d(P,l) .. ~
2ó. E~ punto P' de orc!eo3da 10 oat,í sobre la recte euyn p,an-
dientc OG 3 y que p!18a por el pLUlto A(7,-2), Cal ~ular la
absei:ia de P.
Sotuc,'.6n.
por A cr.:
Si P(x,10)cL ..
L_. ccu11ci6n de la rec tn que l)asa
y+2=3(x-7) ~+ t:3x•y•23=0 •
3x-10-23<>0 • xc11
27. Determinar ~l valor de los eoetieicr.tes A~ n ~ ¡
6 · ,, " ..e a ecu11.
ci n Ax-By+4~0 de una recta, si debo pasar por loa pur.to/1
C(-3, 1) .Y D{1,6).
Soluc,§.a_, Sea la recta t,Ax-By+4..o
Si C(-3,1)cL + -JA-B+4=0 (1)
D(l,6)~L • A-6s•,=O (2)
llffolvienc!o (1) y (2) se obtiene: A "
1
2
9
0 B 16
' • ·19
28. Las eeuRciones de los lados de
9x-2y-15=0, 4x+5yt11c0, Hallar
los N/l'Jlt~oc.
,fotual~n.
9x-2y-15~0 .-
UD tri1fog,1
lo IIOL 5x-7y~.27
su.; ~ngulos './ eomproliu

Solucionario geometría analítica de charles h. lehmann ( pdf drive )

Solucionario geometría analítica de charles h. lehmann ( pdf drive )

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Solucionario geometría analítica de charles h. lehmann ( pdf drive )

Similaire à Solucionario geometría analítica de charles h. lehmann ( pdf drive ) (20)

Dernier

Dernier (20)

Solucionario geometría analítica de charles h. lehmann ( pdf drive )