Uej

1. Matemática
Tabla de propiedades
VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS MULTIPLOS DE 30º Y 45º (π
π
π
π/6 Y π
π
π
π/4)
Función
Ángulos del 1er. cuadrante Ángulos del 2do. cuadrante Ángulos del 3er. cuadrante Ángulos del 4to. cuadrante
0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π π
6
7π
4
5π
3
4π
2
3π
3
5π
4
7π
6
11π π
2
sen 0
2
1
2
2
2
3 1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
−
−
−
−
2
2
−
−
−
−
2
3
−
−
−
− 1
−
−
−
−
2
3
−
−
−
−
2
2
−
−
−
−
2
1
−
−
−
− 0
cos 1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
−
−
−
−
2
2
−
−
−
−
2
3
−
−
−
− 1
−
−
−
−
2
3
−
−
−
−
2
2
−
−
−
−
2
1
−
−
−
− 0
2
1
2
2
2
3 1
tg 0
3
3 1 3 3
−
−
−
− 1
−
−
−
−
3
3
−
−
−
− 0
3
3 1 3 3
−
−
−
− 1
−
−
−
−
3
3
−
−
−
− 0
ctg 3 1
3
3 0
3
3
−
−
−
− 1
−
−
−
− 3
−
−
−
− 3 1
3
3 0
3
3
−
−
−
− 1
−
−
−
− 3
−
−
−
−
sec 1
3
3
2 2 2 2
−
−
−
− 2
−
−
−
−
3
3
2
−
−
−
− 1
−
−
−
−
3
3
2
−
−
−
− 2
−
−
−
− 2
−
−
−
− 2 2
3
3
2 1
cosec 2 2
3
3
2 1
3
3
2 2 2 2
−
−
−
− 2
−
−
−
−
3
3
2
−
−
−
− 1
−
−
−
−
3
3
2
−
−
−
− 2
−
−
−
− 2
−
−
−
−
FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE LA TRIGONOMETRÍA
Funciones de un ángulo:
1. 1
cos
sen 2
2
=
=
=
=
+
+
+
+ α
α
2. 1
tg
sec 2
2
=
=
=
=
−
−
−
− α
α
3. 1
tg
c
csc 2
2
=
=
=
=
−
−
−
− α
α
4. tg
cos
sen
=
=
=
=
α
α
5. α
α
α
tg
c
sen
cos
=
=
=
=
6. 1
csc
sen =
=
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅ α
α
7. 1
sec
cos =
=
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅ α
α
8. 1
tg
c
tg =
=
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅ α
α
Expresión de una función mediante otra (del mismo ángulo):
1.
α
α
α
α
α
α
α
α
csc
1
sec
1
sec
tg
c
1
1
tg
1
tg
cos
1
sen
2
2
2
2
=
=
=
=
−
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
=
+
+
+
+
±
±
±
±
=
=
=
=
+
+
+
+
±
±
±
±
=
=
=
=
−
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
=
2.
α
α
α
α
α
α
α
α
csc
1
csc
sec
1
tg
c
1
tg
c
tg
1
1
sen
1
cos
2
2
2
2 −
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
±
±
±
±
=
=
=
=
+
+
+
+
±
±
±
±
=
=
=
=
−
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
=
3.
1
csc
1
1
sec
tg
c
1
cos
cos
1
sen
1
sen
tg
2
2
2
2
−
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
=
−
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
=
−
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
=
α
α
α
α
α
α
α
α
4. 1
csc
1
sec
1
tg
1
cos
1
cos
sen
sen
1
tg
c 2
2
2
2
−
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
=
−
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
=
−
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
= α
α
α
α
α
α
α
α
Fórmulas de conversión:
Para cada circunferencia de ángulo central α, se mide
por la razón entre del arco l correspondiente a este
ángulo y la longitud del radio r de ésta circunferencia:
r
l
=
=
=
=
α
)
radianes
(
180
º
π
α
α =
=
=
= ;
180
º
)
radianes
(
πα
α =
=
=
=
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8

2. Matemática
Tabla de propiedades
Funciones de la suma y la diferencia de ángulos:
1. β
α
β
α
β
α sen
cos
cos
sen
)
sen( ±
±
±
±
=
=
=
=
±
±
±
±
2. β
α
β
α
β
α sen
sen
cos
cos
)
cos( m
±
±
±
±
3.
β
α
β
α
β
α
tg
tg
1
tg
tg
)
tg(
m
±
±
±
±
=
=
=
=
±
±
±
±
4.
α
β
β
α
β
α
tg
c
tg
c
1
tg
c
tg
c
)
tg(
c
±
±
±
±
=
=
=
=
±
±
±
±
m
5.
γ
β
α
γ
β
α
γ
β
α
γ
β
α
γ
β
α
sen
sen
sen
sen
cos
cos
cos
sen
cos
cos
cos
sen
)
sen(
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
6.
γ
β
α
γ
β
α
γ
β
α
γ
β
α
γ
β
α
sen
sen
cos
sen
cos
sen
cos
sen
sen
cos
cos
cos
)
cos(
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
Funciones de ángulos múltiples:
1. α
α
α cos
sen
2
2
sen =
=
=
=
2. α
α
α 3
sen
4
sen
3
3
sen −
−
−
−
=
=
=
=
3. α
α
α
α
α sen
cos
4
sen
cos
8
4
sen 3
−
−
−
−
=
=
=
=
4. α
α
α 2
2
sen
cos
2
cos −
−
−
−
=
=
=
=
5. α
α
α cos
3
cos
4
3
cos 3
−
−
−
−
=
=
=
=
6. 1
cos
8
cos
8
4
cos 2
4
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
= α
α
7.
α
α
α 2
tg
1
tg
2
2
tg
−
−
−
−
=
=
=
=
8.
α
α
α
α 2
3
tg
3
1
tg
tg
3
3
tg
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
9.
α
α
α
α
α 2
2
3
tg
tg
6
1
tg
4
tg
4
4
tg
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
10.
α
α
α
tg
c
2
1
tg
c
2
tg
c
2
−
−
−
−
=
=
=
=
11.
1
tg
c
3
tg
c
3
tg
c
3
tg
c 2
3
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
α
α
α
α
12.
α
α
α
α
α
tg
c
4
tg
c
4
1
tg
c
6
tg
c
tg
c 3
2
4
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
Funciones de ángulo mitad:
1.
2
cos
1
2
sen
α
α −
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
=
























2.
2
cos
1
2
cos
α
α +
+
+
+
±
±
±
±
=
=
=
=
























3.
α
α
α
α
α
α
α
cos
1
sen
sen
cos
1
cos
1
cos
1
2
tg
+
+
+
+
=
=
=
=
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
−
−
−
−
±
±
±
±
=
=
=
=
























4.
α
α
α
α
α
α
α
cos
1
sen
sen
cos
1
cos
1
cos
1
2
tg
c
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
−
−
−
−
+
+
+
+
±
±
±
±
=
=
=
=
























Suma y diferencia de funciones:
1. 






















 −
−
−
−























 +
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
2
cos
2
sen
2
sen
sen
β
α
β
α
β
α
2. 






















 −
−
−
−























 +
+
+
+
=
=
=
=
−
−
−
−
2
sen
2
cos
2
sen
sen
β
α
β
α
β
α
3. 






















 −
−
−
−























 +
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
2
cos
2
cos
2
cos
cos
β
α
β
α
β
α
4. 






















 −
−
−
−























 +
+
+
+
=
=
=
=
−
−
−
−
2
sen
2
sen
2
cos
cos
β
α
β
α
β
α
5.
β
α
β
α
β
α
cos
cos
)
sen(
tg
tg
±
±
±
±
=
=
=
=
±
±
±
±
6.
β
α
β
α
β
α
sen
sen
)
sen(
tg
c
tg
c
±
±
±
±
±
±
±
±
=
=
=
=
±
±
±
±
7.
β
α
β
α
β
α
sen
cos
)
cos(
tg
c
tg
−
−
−
−
=
=
=
=
+
+
+
+
8.
β
α
β
α
β
α
cos
sen
)
cos(
tg
tg
c
+
+
+
+
=
=
=
=
−
−
−
−
Producto de funciones:
1. (
(
(
( )
)
)
)
)
cos(
)
cos(
2
1
sen
sen β
α
β
α
β
α +
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
2. (
(
(
( )
)
)
)
)
cos(
)
cos(
2
1
cos
cos β
α
β
α
β
α +
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=
3. (
(
(
( )
)
)
)
)
sen(
)
sen(
2
1
cos
sen β
α
β
α
β
α +
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
=
=