Sesión presencial 3.2(Derivada direccionaly extremos).pdf

CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
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2
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Al finalizar la sesión, el estudiante:
❖Determina la derivada direccional de una función
real de varias variables en cualquier dirección.
❖Determina y clasifica las puntos extremos locales,
de una función real de varias variables

Temario
1.Derivada direccional.
2.Extremos de una función real de dos
variables.

Tema 1
❖ Derivada direccional

En una montaña se ubica el sistema tridimensional XYZ. Según este sistema, la
ecuación que modela a la superficie de la montaña está dada por:
Donde x,y y z miden en metros. Si un alpinista se encuentra en el punto (20;10;200),
¿en qué dirección debe dirigirse el alpinista para que ascienda por el camino
de mayor pendiente?
𝑧 = 1200 − 2𝑥2
− 2𝑦2
,
Derivada direccional
Revisemos el tema de derivada direccional.

Derivada direccional
6
Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario
𝐮 = 𝑎; 𝑏 𝑦 está dada por:
𝐷𝑢 𝑓 𝑥; 𝑦 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ𝑎; 𝑦 + ℎ𝑏 − 𝑓 𝑥; 𝑦
ℎ
Interpretación geométrica
𝐷𝑢 𝑓 𝑥; 𝑦 representa la pendiente de
la recta tangente a la curva de
intersección entre S y el plano que
sigue la dirección del vector u, en el
punto P.

𝐷𝑢𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦); 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) ⋅ 𝐮
Teorema
Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas, entonces f
tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector
unitario 𝐮 = 𝑎; 𝑏 y:
𝐷𝑢 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥; 𝑦 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥; 𝑦 𝑏.
El cual es equivalente a:
Recuerde que el gradiente de f se expresa como:
∇𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥; 𝑦 ; 𝑓𝑦 𝑥; 𝑦 .
7

Derivada direccional y gradiente
𝐷𝑢𝑓 𝑥; 𝑦 = ∇𝑓 𝑥; 𝑦 ∙ 𝐮 .
Ejemplo 1:
Finalmente:
8
Sabiendo que 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 . Halle 𝐷𝑢𝑓(1; −1) en la
dirección que va desde P(2;2) hasta Q(5;6).

Funciones de tres variables
∇𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦; 𝑧); 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦; 𝑧); 𝑓𝑧(𝑥; 𝑦; 𝑧)
Gradiente
derivada direccional
𝐷𝑢𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = ∇𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) ⋅ 𝐮
9

Máximos y mínimos de la derivada
El valor máximo de la derivada
direccional D𝑢𝑓(𝑥𝑜; 𝑦𝑜)es ||f(x0;y0)||
y se alcanza cuando el vector u tiene
la dirección del vector gradiente
f(x0;y0). Es decir, 𝐮 = k ∙ ∇𝑓 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 ,
donde k > 0.
El valor mínimo de la derivada
direccional D𝑢𝑓(𝑥𝑜; 𝑦𝑜) es –||f(x0;y0)|| y
se alcanza cuando el vector u tiene
dirección opuesta del vector gradiente
f(x0;y0). Es decir, 𝐮 = −k ∙ ∇𝑓 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 ,
donde k > 0.
10

Ejemplo 2: La temperatura en grados Celsius, sobre la superficie de una placa
metálica, viene dada por: T x; y = 20 − 4𝑥2 − 𝑦2 , midiéndose 𝑥 e 𝑦 en pulgadas.
Desde el punto (2; −3) ¿en qué dirección crece la temperatura más rápidamente? ¿a
qué razón se produce ese crecimiento?
Máximos y mínimos de la derivada
Ir a la actividad 3.2: ejercicio 1 y 2. 11

Tema 2
❖ Extremos de una función real de dos
variables.
13

Extremos absolutos y relativos
Un punto (a;b) del dominio de una función f , se llama punto de
mínimo absoluto de la función si ∀ 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐷: 𝑓 𝑎; 𝑏 ≤ 𝑓 𝑥; 𝑦 .
En este caso 𝑓(𝑎; 𝑏) se llama valor mínimo de 𝑓.
)
;
( y
x
f
z =
)
;
( b
a
f
14

Un punto (a;b) del dominio de una función f , se llama punto de
máximo absoluto de la función si ∀ 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐷: 𝑓 𝑎; 𝑏 ≥ 𝑓 𝑥; 𝑦 .
En este caso 𝑓(𝑎; 𝑏) se llama valor máximo de 𝑓.
15

La figura adjunta es la gráfica de 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦).
¿En qué punto del dominio de esta función, se alcanza su máximo
valor?
¿Cuál es el máximo valor?
(2; 4)
10
16

Extremos Locales: máximo y mínimo local
Nota. Si una función 𝑓 de dos variables tiene un máximo relativo o
un mínimo relativo en (a; b) se dirá que tiene un extremo
relativo o local en dicho punto.
I. Si se cumple que
para todo (x;y) “cerca” de (𝒂; 𝒃) se dirá que (𝑎; 𝑏) es un punto
de mínimo relativo.
II. Si se cumple que
para todo (x;y) “cerca” de (𝒂; 𝒃) se dirá que (𝑎; 𝑏) es un punto
de máximo relativo.
𝑓(𝑎; 𝑏) ≤ 𝑓(𝑥; 𝑦)
𝑓(𝑥; 𝑦) ≤ 𝑓(𝑎; 𝑏)
17

Si 𝑓 tiene un extremo local en (a;b) y las derivadas parciales de f
existen en dicho punto, entonces
𝑓𝑥(𝑎; 𝑏) = 0 , 𝑓𝑦(𝑎; 𝑏) = 0.
Teorema (Criterio de la primera derivada)
Punto crítico
El punto (a;b) se llama punto crítico de 𝑓 si 𝑓𝑥(𝑎; 𝑏) = 0 y 𝑓𝑦(𝑎; 𝑏) = 0
o alguna de estas derivadas parciales no existe.
18
Extremos Locales: máximo y mínimo local

Clasificación de los puntos críticos
Si en (𝑎; 𝑏) tenemos que 𝑓𝑥(𝑎; 𝑏) = 0 , 𝑓𝑦(𝑎; 𝑏) = 0.
Teorema (Criterio de la segunda derivada)
H 𝑥; 𝑦 = 𝑓𝑥𝑥 𝑥; 𝑦 𝑓𝑦𝑦 𝑥; 𝑦 − 𝑓𝑥𝑦 𝑥; 𝑦
2
.
∗ Si H a;b > 0 y 𝑓
𝑥𝑥 𝑎; 𝑏 > 0, entonces 𝑎; 𝑏 es punto de mínimo local.
∗ Si H(a;b) > 0 y 𝑓𝑥𝑥(𝑎; 𝑏) < 0, entonces 𝑎; 𝑏 es punto de máximo local.
∗ Si H(a;b) < 0, entonces 𝑎; 𝑏 es punto de silla.
∗ Si H(a;b) = 0, el criterio NO lleva a conclusión alguna.
Y las segundas derivadas parciales de f son continuas para todo
(x,y) cercano a (𝑎; 𝑏),definimos:
Es decir, (𝑎; 𝑏) es un punto crítico de f.
19

Ejemplo Halle y clasifique los puntos críticos de 𝑓 .
Extremos locales: máximo y mínimo local
a. 𝑓 𝑥; 𝑦 = 5 − 𝑥2
− 𝑦3
+ 6𝑥 + 3𝑦
20

Ejemplo Halle y clasifique los puntos críticos de 𝑓 .
b. 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑦𝑥2
− 𝑥𝑦 + 𝑦2
Ir a la actividad 3.2: ejercicio 3.
21

En cada caso, encuentre los puntos críticos y clasifíquelos
a. 𝑓(𝑥; 𝑦) = 2𝑥3 − 2𝑦3 − 3𝑥2 + 3𝑦2 + 36𝑦 − 12𝑥
b. 𝑓(𝑥; 𝑦) = 2𝑦3 + 𝑦𝑥2 + 6𝑦2 − 3𝑥2 + 6
Actividad 3.2: ejercicio 3.

Problema:
❖ Desarrollar la actividad de contexto semana 3 al
final del material.
23

Si se quiere construir un reservorio que tenga la menor área superficial interior, ¿cuáles son las
dimensiones de este reservorio? Justifique.

Interpretación
❖ Indicar los datos
relevantes del problema y
lo que solicita, para
determinar su solución.
Si se quiere construir un reservorio que tenga la menor área superficial interior, ¿cuáles
son las dimensiones de este reservorio? Justifique.

Representación
❖ Define las variables.
❖ Grafica el reservorio indicando las
variables definidas
❖ Determina la ecuación que
relaciona a las tes variables
(ecuación de enlace)
❖ Expresa el área de la superficie
interior de reservorio que depende
de tres variables

Cálculo
❖ Expresa el área de la superficie
interior de reservorio que depende
de dos variables
❖ Determina los puntos críticos de la
función
❖ Clasifica los puntos crítico y
determina lo solicitado

Análisis y argumentación

29
Repasemos
Derivación direccional
Extremos locales
En esta sesión hemos revisamos los siguientes temas:

ACTIVIDADES DEL FIN DE SEMANA 3
❖ La evaluación de entrenamiento es
una prueba que te prepara y refuerza
tus conocimientos para rendir
satisfactoriamente la EP1, además
habilita el remedial de la EP1.
30
SEMANA 3

Bibliografía
STEWART, James, (2010)
Cálculo de varias variables: Trascendentes tempranas , 7a edición.
México D.F.: Cengage Learning.
31

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