Dokumen tersebut menjelaskan metode membagi dua untuk menemukan akar-akar persamaan non-linear. Metode ini menggunakan iterasi berulang untuk membagi interval yang berisi akar menjadi dua bagian sampai interval yang dihasilkan cukup sempit.

1. Akar-Akar Persamaan Non
Linear Membagi Dua
RISKY FIRDAYANTI
AMALIA
(A1I120027)
SARTINA
(A1I120029)
SRI RAHAYU ANAWULA
(A1I120031)
WA ELIS
(A1I10033)
WAHID AMALUDIN
(A1I120035)

2. Metode Membagi Dua
Untuk persamaan polinomial derajat dua, persamaan dapat diselesaikan dengan rumus
ABC (misalnya bentuk: ax2 + bx + c = 0, persamaan ini dapat dicari akar-akarnya secara
analitis). Sedangkan untuk persamaan polinomial derajat tiga atau empat, rumus-rumus
yang ada sangat kompleks dan jarang sekali digunakan, sedang untuk persamaan dengan
derajat yang lebih tinggi tidak ada rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya.
Bentuk persamaan tersebut misalnya, adalah:
f (x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0.
f (x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 – 3x – 1 = 0.
f (x) = ex – 3x = 0.
f (x) = 3x + sin x – ex = 0

3. Metode numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk
persamaan tersebut secara perkiraan hingga didapat hasil yang mendekati
penyelesaian secara benar (eksak). Penyelesaian numerik dilakukan dengan
perkiraan yang berurutan (iterasi), maka tiap hasil akan lebih teliti dari
perkiraan sebelumnya. Dengan berbagai iterasi yang dianggap cukup, akan
didapat hasil perkiraan yang mendekati hasil yang benar (eksak) dengan
toleransi yang diijinkan. Salah satu cara yang sederhana untuk penyelesaian
perkiraan, yaitumetode bagi dua.
Metode bagi dua adalah metode yang menentukan titik nol f bila f
kontinu. Metode bagi dua didasarkan pada teorema nilai antara untuk fungsi
kontinu, yaitu bahwa suatu selang [a, b] harus mengandung suatu titik nol f
bila f (a) dan f (b) berlawanan tanda, misalnya f (a) < 0, f (b) > 0. Hal ini
menyarankan metode pengulangan pembagiduaan selang dan dalam setiap
langkah mengambil setengah selang yang juga memenuhi persyaratan
tersebut.

4. Metode bagi dua memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal, sebut a dan b, a < b, yang
harus memenuhi f (a) < 0, f (b) > 0; selang (a,b) mengandung satu akar. Mula-mula
ditentukan titik selang (a,b) atau selang (a,b) dibagi dua sama panjang sebut titik
tengah T. Dua selang baru yang diperoleh yakni (a,T) dan (T,b), salah satu diantaranya
pasti mengandung akar tersebut. Berikutnya yang ditinjau adalah selang yang
mengandung akar tersebut. Proses diulangi dengan membagi dua selang tersebut dan
memeriksa setengah selang yang mana mengandung akar. Pembagiduaan selang ini
dilanjutkan sampai lebar selang yang ditinjau cukup kecil.
Metode ini merupakan bentuk yang paling sederhana diantara metode-metode numerik
lainnya dalam menyelesaikan akar-akar persamaan.
Langkah-langkah yang dilakukan pada penyelesaian persamaan dengan metode ini
adalah sebagai berikut:

5. 1. Menghitung fungsi pada interval yang sama dari x hingga ada perubahan tanda dari fungsi f (a) dan f
(b), yaitu bila f (a) x f (b) < 0.
2. Perkiraan pertama dari akar T dihitung dari rerata nilai a dan b:
3. Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub-interval mana akar persamaan berada:
a. Jika f (a) x f (T) < 0, akar persamaan berada pada sub interval pertama, lalu
b. Tetapkan b = T dan teruskan pada langkah ke 4.
c. Jika f (a) x f (T) > 0, akar persamaan berada pada sub interval kedua, lalu
d. Tetapkan nilai a = T dan teruskan pada langkah ke 4.
e. Jika f (a) x f (T) = 0, akar persamaan adalah T dan hitungan selesai.
4. Hitung perkiraan baru dari akar dengan menggunakan persamaan (1).
5. Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan), maka hitungan
selesai dan T adalah akar persamaan yang dicari, jika belum maka hitungan kembali ke langkah 3.
2
b
a
T



7. Contoh 1.
Carilah akar dari persamaan x2 + 3x – 6 = 0 pada interval [1,2]dengan menggunakan metode Bagi dua.
Jawab :
Iterasi 1:
a1 = 1
b1 = 2
f (x) = x2 + 3x – 6
f (a1) = 12 + 3(1)– 6 = 1 + 3 – 6 = –2
f (b1) = 22 + 3(2)– 6 = 1 + 6 – 6 = 4
f (a1). f (b1) < 0
f (1,5) = 1,52 + 3(1,5) – 6 = 2,25 + 4,5 – 6 = 0,75
5
,
1
2
3
2
2
1
2
1
1
1 





b
a
T

8. Iterasi 2:
Perhatikan bahwa f (T1). f (a1) < 0 maka b1 = T1 = 1.5 dan f (b2) = f (T1)
a2 = 1
b2 = 1,5
f (x) = x2 + 3x – 6
f (a2) = 12 + 3(1)– 6 = 1 + 3 – 6 = –2
f (b2) = 1,52 + 3(1,5)– 6 = 2,25 + 4,5 – 6 = 0,75
f (T2) = 1,252 + 3(1,25)– 6 = –0,6875
Untuk mencari nilai m
Jadi, m = 2
25
,
1
2
5
,
2
2
5
,
1
1
2
2
2
2 





b
a
T
3979
,
2
100
25
,
1
5
,
1
25
,
1
100
0
0
0
0
2
1
2
2








m
m
T
T
T

9. Iterasi 3:
Perhatikan bahwa f (T). f (2) > 0 maka a3 = T2 = 1.5 dan f (a2) = f (T2)
a3 = T2 = 1,25
b2 = 1,5
f (x) = x2 + 3x – 6
f (a3) = f (T2)= –0,6875
f (b2) = 1,52 + 3(1,5)– 6 = 2,25 + 4,5 – 6 = 0,75
f (T3) = 1,3752 + 3(1,375) – 6 = 1,890625 + 4,125 – 6 = 0,015625
untuk nilai m
Jadi, m = 2
375
,
1
2
75
,
2
2
5
,
1
25
,
1
2
2
3
3 





b
a
T
  m
m
m
m
T
T
T
















2
2
2
0
0
2
3
0
0
0
0
3
2
3
3
10
log
1818
,
0
log
10
1818
,
0
10
5
,
0
0909
,
0
10
5
,
0
0909
,
0
100
0
0
0
0

10. Jadi, m = 2
Iterasi 4
Perhatikan bahwa f (T3). f (a3) < 0 maka b4 = T3 = 1.375 dan f (b4) = f (T3)
a4 = 1,25
b4 = T3 = 1.375
f (x) = x2 + 3x – 6
f (a4) = 1,252 + 3(1,25)– 6 = 1,5625 + 3,75 – 6 = –0,6875f (T3)= 0,015626
f (b4) = f (T3)= 0,015626
f (T4) = 1,31252 + 3(1,3125) – 6 = 1,72265625 + 3,9375 – 6 = –0,339843
Mencari nilai m
3125
,
1
2
7625
,
2
2
375
,
1
25
,
1
2
4
4
4 





b
a
T
74040
,
2
74040
,
0
2
2
74040
,
0






m
m
m

11. Jadi, m = 2
Iterasi 5:
Perhatikan bahwa f (T4). f (a4) > 0 maka a5 = T4 = 1,375 dan f (a5) = f (T4)
a5 = T4 =1,375
b5 = 1,375
f (x) = x2 + 3x – 6
f (a5) = f (T4) = –0,339843
f (b5) = 1,3752 + 3(1,375)– 6 = 1,890625 + 4,125 – 6 = 0,015625
34375
,
1
2
375
,
1
3125
,
1
2
5
5
5 




b
a
T
0213
,
2
0213
,
1
2
2
0213
,
1
10
0952
,
0
10
5
,
0
0476
,
0
10
5
,
0
0476
,
0
100
3125
,
1
375
,
1
3125
,
1
100
2
0
0
2
0
0
0
0
2
4
0
0
0
0
0
0
4
3
4
4























m
m
m
T
T
T
m
m
m

12. f (T5) = 1,34375 2 +3(1,34375) – 6 =1,8056640625+4,03125 – 6= –0,163085938
Mencari nilai m
Jadi, m = 3
Iterasi 6:
Perhatikan bahwa f (T5). f (a5) > 0 maka a6 = T5 dan f (a6) = f (T5)
a6 = T5 =1,34375
b6 = 1,375
f (x) = x2 + 3x – 6
 
3334
,
3
3334
,
1
2
2
3334
,
1
10
log
0464
,
0
log
10
0464
,
0
10
5
,
0
0232
,
0
10
5
,
0
0232
,
0
100
34375
,
1
3125
,
1
1,34375
100
2
2
0
0
2
0
0
0
0
2
5
0
0
0
0
0
0
5
4
5
5

























m
m
m
T
T
T
m
m
m
m

13. f (a6) = f (T5) = –0,163085938
f (b5) = 1,3752 + 3(1,375)– 6 = 1,890625 + 4,125 – 6 = 0,015625
f (T6) = 1,359375 2 +3(1,359375) – 6 = –0,073974609
Mencari nilai m
Jadi, m = 3
359375
,
1
2
375
,
1
34375
,
1
2
6
6
6 




b
a
T
0
0
0
0
0
0
6
5
6
6 00114
,
0
100
359375
,
1
34375
,
1
1,359375
100 







T
T
T
 
6420
,
3
6420
,
1
2
2
6420
,
1
10
log
228
,
0
log
10
228
,
0
10
5
,
0
00114
,
0
10
5
,
0
2
2
0
0
2
0
0
0
0
2
6

















m
m
m
m
m
m
m

14. Iterasi 7:
Perhatikan bahwa f (T6). f (a6) > 0 maka a7 = T6 dan f (a7) = f (T6)
a7 = T6 =1,359375
b7 = 1,375
f (x) = x2 + 3x – 6
f (a7) = f (T6) = –0,073974609
f (b7) = 1,3752 + 3(1,375)– 6 = 1,890625 + 4,125 – 6 = 0,015625
f (T7) = 1,36718752 +3(1,3671875) – 6 = –0,02923584
Mencari nilai m
3671875
,
1
2
375
,
1
359375
,
1
2
7
7
7 




b
a
T

15. Jadi, m = 3
Iterasi 8:
Perhatikan bahwa f (T7). f (a7) > 0 maka a8 = T7 dan f (a8) = f (T7)
a8 = T7 =1,3671875
b8 = 1,375
f (x) = x2 + 3x – 6
f (a8) = f (T7) = –0,02923584
f (b8) = 1,3752 + 3(1,375)– 6 = 1,890625 + 4,125 – 6 = 0,015625
 
9430
,
3
9430
,
1
2
2
9430
,
1
10
log
0114
,
0
log
10
0114
,
0
10
5
,
0
0057
,
0
10
5
,
0
0057
,
0
100
3671875
,
1
359375
,
1
1,3671875
100
2
2
0
0
2
0
0
0
0
2
7
0
0
0
0
0
0
7
6
7
7

























m
m
m
T
T
T
m
m
m
m

16. f (T8) = 1,37109375 2 +3(1,37109375) – 6 = –0,006820679
Mencari nilai m
Jadi, m = 4
Jadi, akarnya adalah 1,3710
37109375
,
1
2
375
,
1
3671875
,
1
2
8
8
8 




b
a
T
 
2518
,
4
2518
,
2
2
2
2518
,
2
10
log
0056
,
0
log
10
0056
,
0
10
5
,
0
0028
,
0
10
5
,
0
0028
,
0
100
37109375
,
1
3671875
,
1
37109375
,
1
100
2
2
0
0
2
0
0
0
0
2
8
0
0
0
0
0
0
8
7
8
8

























m
m
m
T
T
T
m
m
m
m

17. Contoh 2.

18. Contoh 2.
Carilah akar dari persamaan x2 + 4x – 7 = 0 pada interval [1,3]dengan menggunakan metode Bagi dua.
Jawab :
Iterasi 1:
a1 = 1
b1 = 3
f (x) = x2 + 4x – 7
f (a1) = 12 + 4(1) – 7 = 1 + 4 – 7 = –2
f (b1) = 32 + 4(3) – 7 = 9 + 12 – 7 = 14
f (a1). f (b1) < 0
T1 =
𝑎1+ 𝑏1
2
=
1+ 3
2
=
4
2
= 2
f (T1) = 22 + 4(2) – 7 = 4 + 8 – 7 = 5
Iterasi 2:
Perhatikan bahwa f (T1). f (a1) < 0 maka b2 = T1 dan f (b2) = f (T1)
a2 = 1
b2 = 2
f (x) = x2 + 4x – 7
f (a2) = 12 + 4(1) – 7 = 1 + 4 – 7 = –2
f (b2) = f (T1) = 5
f (a2). f (b2) < 0
T1 =
𝑎1+ 𝑏1
2
=
1+ 3
2
=
4
2
= 2
f (T2) = 1,52 + 4(1,5) – 7 = 2,25 + 6 – 7 = 1,25

19. iterasi a b T f(a) f(b) f(T) f(a).f(T)
1 1 3 2 – + + –
2 1 2 1,5 – + + –
3 1 1,5 1,25 – + – +
4 1,25 1,5 1,375 – + + –
5 1,25 1,375 1,3125 – + – +
6 1,3125 1,375 1,34375 – + + –
7 1,3125 1,34375 1,32813 – + + –
8 1,3125 1,32813 1,32032 – + + –
9 1,3125 1,32032 1,31641 – + – +
10 1,31641 1,32032 1,31837 – + + –
11 1,31641 1,31837 1,31739 – + + –
12 1,31641 1,31739 1,3169 – + + –
13 1,31641 1,3169 1,31666 – + + –
14 1,31641 1,31666 1,31654 – + – +
15 1,31654 1,31666 1,3166 – + – +
16 1,3166 1,31666 1,31663 – + + –
untuk lebih mudah, iterasinya dibuat dalam bentuk tabel, sebagai
berikut.

20. Terlihat bahwa hasil hitungan diperoleh pada iterasi ke-16 yaitu T = 1,31663 dengan nilai m = 4.
Untuk mencari nilai m
 
34131
,
4
34131
,
2
2
2
34131
,
2
10
log
004557
,
0
log
10
004557
,
0
10
5
,
0
002278544
,
0
10
5
,
0
002278544
,
0
100
31663
,
1
3166
,
1
31663
,
1
100
2
2
2
0
0
2
16
0
0
0
0
0
0
16
15
16
16
0
0
0
0

























m
m
m
T
T
T
m
m
m
m

21. TERIMA KASIH