1. A dissertação trata de um modelo matemático para o dimensionamento de lotes de produção e o seqüenciamento de uma máquina em uma indústria química, visando minimizar custos e evitar rupturas de estoque.
2. O modelo integra o planejamento tático e operacional da produção através de um horizonte rolante, permitindo interrupções de lote quando necessário.
3. O modelo é formulado como um programa linear inteiro misto e aplicado numericamente a um caso real para verificar sua viabilidade.
Utilização da ferramenta VMI – Vendor Managed Inventory em uma empresa do set...
Dissertacao Mestrado
1. Antônio Marcos dos Santos
Dimensionamento de lote de produção em um
problema de seqüenciamento de uma máquina com
tempo de preparação: aplicação a uma indústria
química
Dissertação apresentada à Escola de Engenharia da
Universidade Federal de Minas Gerais para obtenção
do título de Mestre em Engenharia de Produção.
Orientador: Prof. Carlos R. V. de Carvalho
Belo Horizonte - MG
31 de março de 2006
2. Antônio Marcos dos Santos
Dimensionamento de lote de produção em um
problema de seqüenciamento de uma máquina com
tempo de preparação: aplicação a uma indústria
química
Dissertação apresentada à Escola de Engenharia da
Universidade Federal de Minas Gerais para obtenção
do título de Mestre em Engenharia de Produção.
Orientador:
Prof. Carlos Roberto Venâncio de Carvalho
Mestrado em Engenharia de Produção
Linha de Pesquisa: Engenharia Logística e de Manufatura
Departamento de Engenharia de Produção
Escola de Engenharia
Universidade Federal de Minas Gerais
Belo Horizonte - MG
31 de março de 2006
3. Dissertação de Mestrado sob o título Dimensionamento de lote de produção em um pro-
blema de seqüenciamento de uma máquina com tempo de preparação: aplicação a uma in-
dústria química, defendida por Antônio Marcos dos Santos, em 31 de março de 2006, Belo
Horizonte, Minas Gerais, na presença da banca examinadora constituída pelos doutores:
Prof. Dr. Carlos Roberto Venâncio de Carvalho
Departamento de Engenharia de Produção - UFMG
Orientador
Prof. Dr. Maurício Cardoso de Souza
Departamento de Engenharia de Produção - UFMG
Prof. Dr. Carlos Andrey Maia
Departamento de Engenharia Elétrica - UFMG
Prof. Dr. Solon Venâncio de Carvalho
Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada - INPE
4. Dedico este trabalho aos meus colegas de classe pelo companheirismo; ao Renato, pelo
apoio e amizade eterna; aos professores, pela maestria e à família, pela paciência.
5. Agradecimentos
Agradeço a Deus pela plenitude, à família pela paciência, aos amigos Renato, Irce, Iana,
Lásara, Luciano, Marcellus, Leandro e Rogério pelo companheirismo, aos professores
pela maestria e ao meu orientador, Carlos, pela sabedoria em seus ensinamentos.
6. Acho que se pode perder tudo, inclusive a riqueza, menos a dignidade, a opção e a
capacidade pensar. Explico melhor: somente uma formação sólida e bem estruturada
traz para dentro de nós essa liberdade incrível, esse poder fantástico de pensar que
chamo de liberdade cultural. Com ela enxergamos sutilezas que a camuagem da vida
impede muitas pessoas de ver. Com ela tomamos decisões sensatas e edicantes que
seriam inviáveis para aqueles que não puderam desenvolver este raciocínio lógico nos
bancos escolares e no trato com a reexão, com o trabalho e com a dialética diária entre
você e o seu interior.
Embora possa ser acusado de quixotesco insisto, não por teimosia, mas por convicção,
que uma boa formação prossional é o primeiro passo para alcançar esse objetivo. Com
esta base, poderemos viajar pelo passado, presente e futuro entendendo e, sobretudo,
degustando o amplo universo, não somente do seu interesse prossional, mas também o
maravilhoso universo das ciências, da literatura, da música, enm, de todas as artes que
iluminam o nosso mundo. Com essa bagagem você pode não car rico mas, certamente,
será competitivo, bem sucedido, e o que é mais importante, muito mais feliz!
Acredito também, meu caro amigo, que através da aquisição desse amplo leque de
cultura, teremos muito mais competência para contribuir na construção da vida dos que
virão depois de nós e irão precisar desse discernimento e de tantas outras coisas que só
o conhecimento aliado ao esforço construtivo de um trabalho digno coloca dentro de nós.
(Carta recebida do amigo Marques).
7. Resumo
Esta dissertação foi motivada por um problema real de dimensionamento e seqüenciamento
de lotes de produção de uma máquina em uma indústria química. Nesta indústria, vários
itens são produzidos em uma mesma máquina, o que implica em tempos de preparação de
máquina na troca de um item para outro. Todos os itens são fabricados em grandes reci-
pientes denominados tachos. Por questões de restrições tecnológicas, somente é permitida
a fabricação de tachos cheios, logo, o tamanho dos lotes de produção de cada item devem
ser múltiplos de tachos. O objetivo do planejamento da produção é dimensionar os lotes
de produção e seqüenciá-los de modo a evitar rupturas de estoque dos itens e minimizar
os custos de manutenção desses estoques.
Para isso, foi elaborado um modelo de otimização matemático-computacional para apoiar
a tomada de decisões do planejador de produção no chão-de-fábrica. O modelo integra
os planejamentos tático e operacional da produção que são interdependentes. O primeiro
contempla um horizonte de planejamento mensal e o segundo contempla somente a semana
imediata onde o seqüenciamento é efetivamente implementado. Além de satisfazer a de-
manda aos nais dos períodos semanais e mensal, também é preciso satisfazer a demanda
corrente que é continuamente atualizada.
No planejamento tático da produção é feita uma distribuição da previsão de demanda
mensal em semanas, coordenando a disponibilidade da máquina com a necessidade de
satisfação da demanda semanal de cada item. A formação de estoques distantes do seu
momento de consumo aumenta os seus custos de manutenção, mas pode ser inevitável a
sua formação nas semanas iniciais para a satisfação da demanda concentrada no nal do
8. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 8
mês. Além disso, a empresa adota estoques de segurança como forma de proteção contra
as oscilações normais da demanda e garantia do nível de serviço requerido.
O planejamento operacional da produção ocorre apenas no período imediato porque a
perda de exatidão dos parâmetros ao se distanciar no tempo torna o seqüenciamento
da produção desnecessário para um período mais extenso. As decisões para os outros
períodos a jusante são utilizadas somente para se coordenar a capacidade disponível e
projetar o que será produzido para efeito de reposição de materiais e alocação de recursos
de produção. Após o encerramento do período corrente, o horizonte de planejamento é
avançado mais um período e o modelo de programação é aplicado novamente com todos
os parâmetros atualizados.
Como o modelo matemático integra simultaneamente os planejamentos tático e opera-
cional da produção, as restrições de seqüenciamento vão garantir que os lotes de produção
dimensionados sejam viáveis de se seqüenciar. Para isso, é permitida a interrupção dos
lotes de produção para antecipar a data de início de fabricação dos outros itens. Esta
data não pode ser maior que a data prevista de ruptura de estoque dos itens.
Ao nal é feita uma análise dos resultados do modelo matemático de Programação Linear
Inteira Mista para vericar a sua coerência e aplicabilidade ao problema estudado. Tam-
bém será analisada a sua robustez computacional, visto que as decisões no planejamento
da produção às vezes não podem esperar muito tempo para serem tomadas.
Palavras-chave: Programação Linear Inteira Mista, seqüenciamento de produção de
uma máquina, dimensionamento de lotes, coordenação de capacidade e interrupção de
lote.
9. Abstract
This dissertation was motivated by a real problem in a chemical plant that produces a lot
of items in a single machine. The problem is to determine how much to produce in the
long term to minimize the holding costs and how to sequence the items in a short term to
minimize the setup costs and avoid stock-outs. The Mixed Integer Program Model (MIP)
should be able to integrate the tactical and the operational levels because they depend on
each other.
The scheduling will happen just in the rst period of the planning horizon which is rolled
after the end of each period. At this level, the demand is continuous at a known rate and
must be met. Through these rates it is possible to know the stocks run-out-times, i.e., how
long the stocks will last and then the denition of the lot sizes of each item must consider
all the run-out-times to avoid stock-outs.
In practice, the model must allow for lot preemption in order to reestablish the balance
of the system when it is necessary. In some circumstances, preemption is the only way
to reach the targets or dealing with some constraints, specially deadlines as due dates.
Otherwise, in this case study, preemption increases the number of variables and also the
time. Therefore it is useful just when it is really necessary. The products are highly
replaceable (delayed sales usually are lost sales), so delivery in time is important.
Key-words: Mixed Integer Linear Program, lotsizing, single-machine scheduling, rolling
horizon, preemption.
16. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg vii
5.12 Quantidades Xip efetivamente produzidas por semana . . . . . . . . . . . . 63
5.13 Sistema sem ruptura de estoque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.14 Resultados computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
17. Lista de Abreviaturas
ELSP . . . . . . . . . . Economic lot scheduling problem;
Problema de seqüenciamento de lote econômico.
EMQ . . . . . . . . . . . Economic Manufacturing Quantity;
Lote econômico de produção.
IGLZ . . . . . . . . . . . Nome ctício dado à empresa pesquisada nesta dissertação.
MRP . . . . . . . . . . . Materials requirement planning;
Planejamento das necessidades de materiais.
MRP II . . . . . . . Manufacturing resource planning;
Planejamento dos recursos de manufatura.
PLIM . . . . . . . . . . Programação Linear Inteira Mista.
PCP . . . . . . . . . . . . Planejamento e Controle da Produção.
SAD . . . . . . . . . . . . Sistema de apoio à tomada de decisões.
SELSP . . . . . . . . Stochastic Economic Lot Scheduling Problem;
Problema de seqüenciamento de lote econômico estocástico.
Tabela 1: Abreviaturas encontradas no texto.
viii
18. Capítulo 1
Introdução
A concorrência no mercado faz com que as empresas busquem agilidade e exibilidade
para se adaptarem às mudanças de necessidade dos clientes que exigem cada vez mais
produtos sob medida e serviços de qualidade. Além disso, a empresa também deve ter um
preço competitivo, conseguido através do controle dos seus custos e otimização dos seus
processos.
Essa concorrência leva a um conito entre produtividade e exibilidade que inuencia
diretamente o sistema de manufatura das empresas. Atualmente, muitos gestores de
produção ainda não dispõem de sistemas computacionais de apoio à tomada de decisão e,
apesar de todos esforços dedicados ao cumprimentos das metas, os resultados nem sempre
são satisfatórios.
Nesse contexto, a otimização dos processos produtivos é uma forma de transformar os de-
saos do sistema de manufatura em vantagem competitiva, através do aumento da produ-
tividade, exibilidade e redução dos custos nas organizações. Ferramentas de otimização
como a Programação Matemática, entre outras, ajudam na busca de melhores soluções
para esse problema.
Tanto no planejamento tático da produção quanto no operacional, as ferramentas de
1
19. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 2
otimização podem melhorar a agilidade e coerência das decisões nos mais diferentes sis-
temas de manufatura. Essas ferramentas, como sistemas de apoio à tomada de decisão,
contribuem reduzindo os desperdícios e otimizando a alocação de recursos tais como
máquinas, mão-de-obra, capital, matéria-prima, tempo, espaço físico, dentre outros.
Dessa forma, a Pesquisa Operacional pode contribuir na investigação de dois problemas
interdependentes existentes na gerência de produção: o primeiro se refere ao planeja-
mento tático da produção cujo objetivo é denir os tamanhos dos lotes no horizonte de
planejamento para atender à demanda. O outro problema é a programação da produção,
que consiste no planejamento operacional de tarefas, cujo objetivo é o de determinar a
seqüência e a data de início das operações sobre os recursos de produção.
Ultimamente, a evolução dos computadores com ampliação de memória e capacidade de
processamento e o desenvolvimento de novas bibliotecas de otimização está contribuindo
muito para a solução dos problemas de planejamento e sequenciamento de produção.
Neste trabalho, por exemplo, o modelo de otimização proposto possui muitas variáveis
que podem elevar muito o tempo computacional e ser inviável a espera da solução, pois
as decisões no chão-de-fábrica devem ser tomadas rapidamente. Gallego [14] arma que é
importante se dispor uma política de recuperação ou correção de planejamento, porque as
coisas nem sempre saem conforme planejado. Isto se deve ao grande número de variáveis
aleatórias e eventos imprevisíveis perturbando continuamente o sistema de produção.
Esta dissertação propõe um modelo matemático-computacional para apoiar a tomada de
decisões no chão-de-fábrica no tocante ao planejamento tático e operacional da produção
em uma máquina. O objetivo deste modelo matemático é apresentar uma contribuição à
gestão de operações da empresa estudada através do balanceamento e redução dos níveis
de estoques de cada item. Rupturas de estoque não são admitidas.
20. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 3
1.1 Motivação da pesquisa
Problemas de dimensionamento de lotes de produção e seqüenciamento são muito com-
plexos de serem resolvidos por ser difícil representar todas as variáveis do mundo real em
um modelo matemático e conseguir resolvê-lo em um tempo computacional viável. Entre-
tanto, é um problema que afeta a rotina do planejador de produção, havendo a necessidade
de se desenvolver modelos que conciliem qualidade de solução e tempo computacional,
como ferramenta de apoio à tomada de decisão. Como o ambiente do chão-de-fábrica não
é estático e algumas variáveis são aleatórias, o modelo de planejamento deve ser capaz de
lidar com essas características e fornecer soluções de qualidade aplicáveis à realidade.
Em empresas com gestão da demanda para pronta-entrega e produtos de alta substituição
no mercado, a disponibilidade imediata de produto para satisfazer a demanda é fator
crítico. Segundo Ballou [3], para absorver as variações da demanda e dos tempos de
entrega, além das perturbações do sistema real de manufatura, é necessário a formação
de estoques de segurança proporcionais aos níveis de serviço requeridos pela empresa. O
grande desao das empresas é otimizar todos os seus processos para diminuir as incertezas
e atingir os níveis de serviço requeridos sem aumentar muito os estoques de segurança.
Quanto mais eciente a empresa for neste quesito, maior será sua eciência operacional e
menores serão os custos, tornando a empresa mais competitiva no mercado.
Neste aspecto, o PCP tem uma importância fundamental e direta no resultado da empresa,
pois é nesse departamento que são tomadas as decisões do que produzir e quando, o que
comprar e o que estocar. Como os recursos de manufatura são nitos, a eciência do
planejamento tem impacto direto no resultado global da empresa. Portanto é de suma
importância a existência de um sistema para apoiar as decisões do gestor de PCP que,
aliado com o seu conhecimento empírico, vai prover eciência operacional para o sistema
de manufatura da empresa.
21. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 4
1.2 Objetivos da dissertação
1.2.1 Objetivo geral
O objetivo geral é compreender o sistema atual de dimensionamento dos tamanhos de lotes
e seqüenciamento da produção da empresa e propor um modelo matemático-computacional
para o auxílio à decisão. Tal modelo deve apoiar o planejador de produção no controle
dos níveis de estoques e na previsão das rupturas desses estoques.
1.2.2 Objetivos especícos
• estudar o problema, identicando seus parâmetros e variáveis e situá-lo na lite-
ratura;
• buscar suporte bibliográco para o entendimento do problema e construção de um
modelo matemático;
• levantar informações a respeito da estrutura da planta, tais como taxas de produção,
taxas de demanda, comportamento da demanda, níveis de estoque, entre outras;
• desenvolver um modelo matemático-computacional que seja viável e eciente no
tratamento desse tipo de problema de produção;
• validar o modelo, vericando a qualidade das soluções e seu desempenho computa-
cional.
1.3 Organização da dissertação
Esta dissertação está estruturada em seis Capítulos, sendo que este Capítulo 1 contex-
tualiza o problema no ambiente em que a organização estudada está inserida, cita os
22. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 5
objetivos, descreve a motivação da pesquisa e apresenta a organização do documento.
No Capítulo 2 é apresentado o contexto da pesquisa com um detalhamento maior da
empresa, do problema e das variáveis importantes.
O Capítulo 3 consiste na revisão bibliográca para demonstrar o nível de desenvolvimento
atingido pela ciência na atualidade relacionado ao tema desta dissertação. Este levanta-
mento teórico será usado para descrição do problema e auxiliará no desenvolvimento do
modelo matemático para a sua solução.
No Capítulo 4 é apresentado o modelo matemático para resolver o problema de pesquisa
apresentado nos capítulos anteriores, bem como o raciocínio lógico que orientou a sua
construção.
Em seguida, o Capítulo 5 contém os resultados computacionais obtidos e as análises
pertinentes, validando o modelo proposto no capítulo anterior. Também é apresentada
uma seção que relata a experiência do autor no PCP da empresa, mostrando outros
aspectos relacionados ao planejamento da produção.
As conclusões nais estão no Capítulo 6 com sugestões para realização de outros projetos
de pesquisa. Ao nal de cada capítulo tem uma conclusão parcial que demonstra em que
o capítulo foi útil para a dissertação, com o objetivo de ajudar o leitor a entender melhor
o raciocínio do autor e dar uma consistência lógica ao trabalho.
23. Capítulo 2
O contexto da pesquisa
Introdução
O objetivo deste capítulo é levantar as principais características do sistema de produção
estudado e algumas variáveis determinantes, de modo que o seu entendimento sirva de
parâmetro para o desenvolvimento do restante do trabalho, especialmente do modelo
matemático.
2.1 A empresa
Foi dado um nome ctício de IGLZ à empresa onde foi realizado o estudo de caso. É
uma empresa de médio porte que fabrica e comercializa produtos de limpeza doméstica,
prossional e automotiva. Suas atividades tiveram início em abril de 1960 quando a pro-
dução de cera era em tambores esquentados em fogão à lenha, processo que era realizado
manualmente pelo proprietário. Em 1963, a empresa transferiu-se para uma área maior
de aproximadamente 2.000 m2
, ampliando assim as suas instalações. Em 1967, mudou-
se para sua sede denitiva com 14.862 m2
. Atualmente, as atividades da empresa se
6
24. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 7
concentram na fábrica recém inaugurada com uma área de 140.000 m2
e cerca de 500
funcionários.
Nos seus primeiros anos, fabricou apenas cera pasta nas latas conhecidas como marmita.
Atualmente possui cerca de 200 itens de produtos de limpeza, estando em constante
pesquisa para o desenvolvimento de novos itens. Este aumento do número de itens é um
complicador para o planejamento da produção, visto que os itens geralmente concorrem
aos mesmos recursos de produção (máquina, mão-de-obra, espaço físico etc.). Dentre
os produtos hoje fabricados estão as ceras, desinfetantes, detergentes, amaciantes para
roupas, lustra-móveis, ceras para uso automotivo, velas, soda cáustica, removedores de
ceras, multi-usos e limpa vidros. A empresa também se dedica à produção das embalagens
plásticas que são utilizadas para a comercialização de seus produtos.
Mesmo disputando o mercado com grandes corporações multinacionais, a IGLZ aumentou
a sua participação no mercado, isso devido principalmente à qualidade, variedade e preço
de seus produtos. Em 1997 a empresa conquistou a liderança nacional de mercado no
segmento de ceras para assoalho. A empresa teve um crescimento muito acentuado no
mercado nos anos 90, quando prossionalizou seu quadro de pessoal e investiu em novas
tecnologias e em pesquisa e desenvolvimento. Hoje a empresa exporta produtos para a
América Latina e África, com distribuidores em todo o Brasil, sendo sua atuação muito
forte no estado de Minas Gerais.
Seu parque industrial possui vários setores produtivos interconectados, sendo que o prin-
cipal deles é o setor denominado Envase. É este setor que dita o ritmo de produção de
toda a fábrica e é responsável pelo abastecimento e manutenção dos estoques de produ-
tos acabados. Atualmente a empresa não dispõe de um sistema informatizado para o
apoio à tomada de decisão para o planejamento da produção. O planejamento é feito de
acordo com a experiência acumulada dos atuais planejadores de produção. Verica-se que
freqüentemente ocorrem rupturas de estoques.
A empresa optou por um balanço entre capacidade instalada e níveis de estoque, ou
seja, como há uma parcela de capacidade ociosa, os níveis de estoques não precisam ser
mantidos tão altos devido à capacidade de reação das linhas de produção. Sridharan [27]
25. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 8
mostra que esta política é muito comum nas empresas como forma de minimizar os custos
de manutenção dos estoques.
Para o estudo de caso foi escolhida a linha de produção que é responsável pela maior
parcela de volume de produtos fabricados por período. Esta linha fabrica um total de 5
itens. O grande desao do planejador de produção é determinar os tamanho dos lotes de
produção e a seqüência de fabricação de cada item. O objetivo é evitar ruptura de estoque
e, ao mesmo tempo, não formar estoques desnecessários. Quando possível, a minimização
da quantidade de preparações de máquina ajuda a manter o ritmo e a estabilidade do
processo de produção, pois o excesso de regulagens atrapalha o funcionamento estável das
máquinas. Além disso, as preparações de máquina consomem uma parcela de tempo da
capacidade instalada, diminuindo, assim, o tempo disponível para a produção.
2.2 O problema
Foi feito o levantamento das principais características que predominam no sistema de
produção estudado. Essas características são consideradas na modelagem matemática
do problema levantado. Dentre elas se destaca, por exemplo, a precariedade das infor-
mações sobre os impactos das decisões do planejador de produção num horizonte maior
do que aquele imediatamente planejado. As decisões de seqüenciamento da produção são
baseadas em regras que priorizam aqueles itens cujos tempos de esgotamento de estoque
são menores e tendem a entrar primeiramente em ruptura de estoque. Essas regras são
objetivas e coerentes para a empresa, entretanto são regras imediatistas porque seu obje-
tivo é apenas evitar a ruptura de estoque instantânea. Seu inconveniente é não considerar
aspectos futuros tal como a coordenação da capacidade de produção disponível ao longo
de todo o horizonte de planejamento, podendo faltar capacidade de produção no futuro
devido ter se gastado muito tempo com preparações no presente.
Tão importante quanto saber a seqüência de produção é denir o tamanho do lote de
produção de cada item de forma que satisfaça a demanda prevista e, ao mesmo tempo,
minimize os custos de manutenção dos estoques. Quanto maiores os tamanhos dos lotes,
26. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 9
menores são os tempos totais de preparação de máquina, isso porque há um número menor
de troca de ferramentas. Por outro lado, se o tamanho do lote de produção de um item
for muito grande, implica que maior é a data de início de produção dos itens subseqüentes
que podem entrar em ruptura de estoque.
Os estoques dos itens i nos períodos semanais p são consumidos por uma taxa de demanda
contínua rip que varia de item para item e de período para período. O objetivo do
planejador da produção é diminuir os níveis de estoques e evitar rupturas através de uma
seqüência que deve respeitar o tempo dispoível para a produção no período. Apesar de
a ociosidade da máquina atualmente girar em torno de 10%, ainda ocorrem rupturas em
momentos de picos de vendas por falta de um planejamento de capacidade da linha de
produção ao longo de todo o horizonte de planejamento.
Atualmente a máquina produz 5 itens concorrentes entre si, com tempos unitários de
processamento Pi conhecidos. A produção é em lotes múltiplos de tachos, sendo que seu
mínimo é igual a um tacho e seu máximo é igual à previsão de produção do período. No
decorrer do mês, é necessário garantir o estoque para a satisfação da demanda concen-
trada no nal do mês. A gestão da demanda é para pronta-entrega, pois são produtos
padronizados de produção em massa. Venda adiada, quase sempre, é venda perdida.
O ambiente de chão-de-fábrica é afetado pela ocorrência de vários eventos aleatórios per-
turbando o ritmo de produção. Vieira et al. [29] destacam alguns eventos clássicos que
interferem no planejamento da produção. Dentre eles se destacam as falhas de máquina,
a chegada de pedidos grandes e urgentes, a mudança de prioridade dos itens, a variação
das taxas de produção e/ou demanda, o cancelamento de pedidos grandes, o atraso de
entrega ou falta de matéria-prima, retrabalhos e absenteísmo.
Esses eventos geralmente forçam uma mudança rápida do seqüenciamento para que a
produção retome seu ritmo normal. Como os níveis de estoque da empresa estudada são
baixos, qualquer um desses eventos que cause o esgotamento do estoque de um item, leva
a um ciclo de perseguição de demanda até se recompor os estoques desse item novamente.
No modelo proposto neste trabalho, deve-se considerar que o ambiente fabril está vul-
nerável à ação de todos esses eventos e, portanto, deve ser possível o replanejamento em
27. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 10
tempo viável.
Considerando os aspectos anteriores, esta dissertação propõe um modelo de Programação
Linear Inteira Mista para apoiar a tomada de decisões no chão-de-fábrica no tocante
ao planejamento tático e operacional da produção em uma máquina. O objetivo deste
estudo de caso é apresentar uma contribuição à gestão de operações da empresa estudada
através do balanceamento e redução dos níveis de estoques. Rupturas de estoques não
são permitidas.
No nível tático, o modelo matemático distribui a previsão de produção mensal em períodos
semanais p, respeitando o tempo disponível para a produção Qp, minimizando os níveis de
estoques Iip de cada item i aos nais dos períodos e garantindo que as demandas semanais
Dip sejam atendidas. O modelo no nível operacional trabalha somente na primeira semana
p do horizonte H de planejamento mensal, pois a perda de exatidão dos parâmetros ao
se distanciar no tempo torna o seqüenciamento da produção desnecessário para períodos
muito longos. À medida em que as semanas vão passando, o horizonte de planejamento
vai rolando e adota-se a semana subseqüente como período imediato para o detalhamento
da programação.
Halang [17] arma que vários itens disputam espaço em uma mesma máquina por uma
razão de economia. Neste caso é preciso que haja um seqüenciamento da produção para
otimizar a utilização da máquina e de todos os recursos envolvidos. Neste trabalho, o
seqüenciamento deve respeitar as datas de ruptura de estoque Ti dos itens e os tamanhos
dos lotes devem ser dimensionados para manter o balanceamento dos níveis de estoques.
Em suma, o modelo deve fazer um renamento do planejamento tático da produção para
o período imediato p através do monitoramento constante dos tempos de esgotamento dos
estoques dos itens (datas de ruptura de estoque previstas).
28. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 11
Conclusão
A contribuição deste capítulo para a dissertação está no entendimento e esclarecimento
dos aspectos relevantes do problema para ser trabalhado nos capítulos posteriores. O
contexto em que o problema está inserido, sua especicidade, os objetivos, diculdades e
restrições estão claramente delineados. No próximo capítulo, a revisão bibliográca está
focada nos aspectos inerentes ao problema aqui caracterizado para subsidiar a eleboração
de um modelo matemático para resolvê-lo.
29. Capítulo 3
Modelagem matemática de problemas
de planejamento da produção
Introdução
Este capítulo aborda alguns métodos de planejamento e seqüenciamento da produção
relacionados ao problema estudado nesta dissertação. As abordagens desses métodos são
bem diferentes entre si: alguns métodos são exatos e outros, heurísticos; outras vezes
são estocásticos ou determinísticos; alguns abordam o planejamento tático da produção e
outros o operacional. Independente das abordagens, o objetivo deste capítulo é apresentá-
las e absorver delas vários aspectos e pontos de vista diferentes que justicam a elaboração
do modelo matemático deste trabalho. O método de solução mais adequado será escolhido
através da análise dos pontos fortes e fracos de cada abordagem e, assim, será vericado
o impacto disso no problema estudado.
O planejamento e controle da produção é fundamental para a redução dos custos de manu-
fatura e melhoria dos níveis de serviços aos clientes. Anthony e Govindarajan [1] estudam
como os sistemas de gerenciamento de manufatura podem ajudar a atingir esses objetivos
alinhados com as estratégias corporativas da empresa. Parte da literatura cientíca que
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30. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 13
trata do assunto está diretamente ligada à solução dos problemas de planejamento de pro-
dução como elo importante do sistema de manufatura. Esses problemas geralmente estão
sujeitos a restrições de prazos de entrega, capacidade ou uma combinação entre eles. Um
aspecto importante que afeta o PCP das empresas é a integração do planejamento tático
da produção com o operacional em busca de soluções viáveis para os dois níveis. Essa
integração geralmente não é tão simples, por causa dos conitos de objetivos entre os dois
níveis de decisão. Às vezes os tamanhos dos lotes de produção dimensionados no nível
tático não são possíveis de se seqüenciar pois as restrições operacionais do chão-de-fábrica
não foram consideradas.
Em 1998, Carvalho [8] propôs um método de resolução para um problema de integração
entre os planejamentos tático e operacional da produção que conduziu a uma solução
global, respeitando os principais interesses econômicos da hierarquia de decisão. Adotando
o método de Benders, Carvalho consegue obter uma das características mais importantes
para a resolução do problema de integração que é a conservação da descentralização das
decisões, fazendo com que cada nível permaneça autônomo e responsável pela geração de
suas próprias estratégias de produção.
Esses problemas de dimensionamento de lotes de produção podem ser classicados em
categorias baseadas no número de estágios ou níveis do sistema produtivo, no número
de itens considerados, no número de máquinas, na presença ou ausência de restrições
de capacidade e na característica da demanda (estática ou dinâmica e determinística ou
estocástica). Esses modelos acima podem, ainda, incluir diferentes estruturas de custos,
permitir ou não atrasos e admitir um ou vários itens para serem produzidos por período.
Esquematicamente, a Fig. 3.1 apresenta uma organização gráca onde os problemas de
dimensionamento de lote podem ser localizados. O problema de dimensionamento de
lotes de produção neste estudo de caso é do tipo uma máquina, um nível, multi-item,
capacitado, estático e determinístico. A tabela está abreviada, porque a ramicação
também aumenta para o seu lado direito, em seus vários níveis.
Segundo Buxey [6], o problema de seqüenciamento da produção consiste no planejamento
operacional das tarefas, determinando a seqüência e a data de início das operações sobre
31. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 14
Dimensionam.
Uma máq. Multi-máq.
Um nível Multi-nível
Multi-item Mono-item
Capacitado Não capac.
Estático Dinâmico
Estocástico Determiníst.
Figura 3.1: Classicação dos problemas de dimensionamento de lotes de produção
os recursos de produção. Geralmente, o seqüenciamento da produção deve satisfazer
requerimentos de entrega e as restrições de capacidade de máquina ou disponibilidade de
recursos. O objetivo é otimizar a utilização desses recursos, em busca da redução dos
custos de preparação de máquina, de ruptura dos estoques, de atrasos, dentre outros.
Para o desenvolvimento do conteúdo desta dissertação, as seções seguintes se organizam
da seguinte forma: a seção 3.1 demonstra as diculdades e limitações de alguns métodos
de planejamento da produção; a seção 3.2 mostra alguns métodos de dimensionamento
de lotes de produção multi-períodos; a seção 3.3 contém alguns métodos de seqüencia-
mento de lotes econômicos; a seção 3.4 mostra a importância de se interromper os lotes
de produção para a melhoria da solução em alguns casos; a seção 3.5 apresenta a téc-
nica de Horizonte Rolante para o planejamento da produção e a seção 3.6 estabelece um
comparativo entre os métodos revisados anteriormente, mostrando seus pontos fortes e
fracos.
32. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 15
3.1 Considerações sobre técnicas de planejamento da
produção
Existem várias técnicas de planejamento da produção, dentre elas o MRP (Planejamento
das Necessidades de Materiais) e MRP II (Planejamento dos Recursos de Manufatura).
Buxey [6] arma que essas técnicas são, de maneira geral, boas formas para se gerenciar
o sistema de manufatura das empresas, mas as soluções desenvolvidas pelas próprias
empresas costumam ser mais exíveis ao lidar com as várias situações de chão-de-fábrica.
A exibilidade exigida nos modelos de planejamento de produção se originam no grau de
incerteza sempre presente no ambiente fabril, tais como ocorrências aleatórias de quebras
de máquinas, pedidos urgentes, estimativas não precisas, dentre outras que podem destruir
a credibilidade de qualquer planejamento ambicioso.
Como ainda arma Buxey [6], uma das vantagens do MRP é que ele impõe uma abor-
dagem de planejamento disciplinada através de força computacional. Ele opera em modo
reverso para a coordenação da capacidade e sincronismo do abastecimento de peças. O
MRP transcreve entradas do Plano Mestre de Produção (MPS) em seqüenciamentos co-
ordenados para os níveis inferiores de compras e manufatura. Entretando, o MRP perde
atratividade em ambientes dinâmicos de produção em massa com freqüentes correções do
MPS. A presença de instabilidade e falta de previsibilidade da demanda, tão fundamentais
para seu funcionamento, degeneram a qualidade das suas soluções.
Apesar da diculdade da sua integração na realidade, MPS, MRP e Controle da Produção
são interdependentes e funcionam seqüencialmente da seguinte forma:
• primeiramente se faz o planejamento de requerimentos de capital e equipamentos;
• depois se faz um planejamento de recursos materiais e laborais sobre um horizonte
de aproximadamente 2 anos, revisando trimestralmente;
• o MPS estipula as saídas de produtos acabados por semana, sobre um horizonte de
aproximadamente 12 meses e atualizado mensalmente;
33. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 16
• o MRP extrapola o MPS para os níveis inferiores da hierarquia de planejamento de
manufatura;
• a partir de então são tomadas as decisões diárias de seqüenciamento para atingir
alta produtividade;
• os planos são checados para vericar se são mutuamente compatíveis e são feitas as
modicações necessárias;
• nalmente o controle da produção deve ser feito através do monitoramento do pro-
gresso dos itens e das ordens de compra. As modicações são realizadas novamente
sempre que necessário.
Outro fator muito enfatizado por Santos e Rodrigues [23] no artigo sobre controle de es-
toque é que os padrões de demanda distintos de cada item exigem diferentes formas de
tratamento no dimensionamento dos estoques de segurança e na denição das políticas de
ressuprimento. Para o planejamento da produção, essa característica da demanda tam-
bém inuencia na estratégia de produção adotada. Dependendo da tipologia do sistema
de produção (volume de produção X variedade de itens) e dos padrões de demanda de
cada item (contínuo X esporádico e regular X irregular), pode haver a necessidade de
se empregar técnicas híbridas de administração da produção. Dessa forma evita-se que
apenas uma técnica padrão seja adotada em favorecimento de alguns padrões de demanda
de alguns itens em detrimento dos outros.
Quanto às variações na demanda total que interferem muito nos sistemas de planejamento
da produção, elas podem ser absorvidas através de estoques de segurança ou através
de perseguição da demanda quando há capacidade ociosa. Neste aspecto a Pesquisa
Operacional tem sido muito prolíca em publicações na área de dimensionamento de lotes
de produção e seqüenciamento, dentre eles Anthony e Govindarajan [1], Ballou et al. [3],
Leachman e Gascon [20] e Manne [21]. Entretanto, cada empresa tem uma peculiaridade
na qual os modelos desenvolvidos devem considerar de forma a associar a teoria à prática.
Buxey [6] ainda arma que algumas técnicas de PO mais utilizadas no planejamento da
produção são baseadas na Programação Linear. Dentre elas estão as técnicas de branch
34. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 17
and bound ou branch and cut, teoria dos grafos, programação dinâmica entre outras.
Algumas vezes essas técnicas focam exclusivamente a redução do tempo total de execução,
o que torna a otimalidade das soluções, na maioria dos casos, extremamente difícil de se
garantir frente à complexidade do chão-de-fábrica. Uma alternativa prática seria usar
regras de despacho, mas têm o incoveniente de serem míopes e imediatistas, sem garantir
a otimalidade global do sistema de produção.
Considerando algumas técnicas acima, as seções seguintes tratam modelos de dimensiona-
mento de lotes de produção e seqüenciamento que servirão de inspiração para a construção
do modelo matemático para a solução do problema deste estudo de caso.
3.2 Dimensionamento de lotes de produção
Os modelos abaixo buscam denir o quanto produzir de cada item por período de forma a
minimizar os custos totais de preparação de máquinas, manutenção dos estoques e horas-
extras, considerando que a taxa de demanda e os custos variam com o tempo. Todos eles
consideram múltiplos períodos e fazem uma coordenação de capacidade ao longo de todo
o horizonte de planejamento tático.
As pesquisas sobre problemas de dimensionamento de lotes partiram da fórmula clássica
de dimensionamento de lotes econômicos de produção, conhecida como EOQ (Economic
Order Quantity). Esta fórmula determina a quantidade de produção para cada item
individualmente, considerando as trocas compensatórias entre os custos de manutenção
dos estoques e os custos de preparação de máquina. Devido às restrições dessa abordagem,
dentre elas o fato de os lotes de produção dimensionados serem soluções independentes, ou
seja, não considera a interferência de um produto no outro na linha de produção, surgiram
outros modelos de dimensionamento de lotes de produção. Uma versão desses problemas
é apresentada por Hax e Candea [18]. Considerando a programação de produção de
um produto, cujas taxas de demanda são conhecidas em um horizonte de planejamento
composto por T períodos, temos:
35. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 18
Parâmetros:
• cst: custo de preparação de máquina no período t;
• ht: custo de manutenção do estoque no período t;
• dt: demanda no período t;
• T: número de períodos.
Variáveis de decisão:
• qt: quantidade a ser produzida no período t;
• It: estoque nal do produto no m do período t.
Formulação matemática do problema:
min.
T
t=1
(cstδ(qt) + htIt) (3.1)
s.a :qt + It−1 − It = dt ∀ t = 1, ..., T (3.2)
qt, It ≥ 0 ∀ t = 1, ..., T (3.3)
Sendo a seguinte restrição a condição para que os custos de preparação de máquina só
sejam incluídos quando houver produção do produto no período:
• δ(qt) =
1, se qt 0
0, se qt = 0
36. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 19
A função objetivo (3.1) minimiza os custos de preparação de máquina e manutenção dos
estoques. A equação (3.2) balanceia os estoques, ou seja, a quantidade produzida em um
período, mais a quantidade inicial, menos a quantidade em estoque ao nal do período,
deve ser igual à demanda do período. A restrição (3.3) dene os domínios das variáveis
de decisão.
Trocando a função δ(qt) por uma variável binária de preparação de máquina yt e acrescen-
tando uma restrição que garanta que o custo de preparação de máquina seja considerando
somente quando existe produção no período, temos:
Parâmetro adicional:
• M: número sucientemente grande.
Variável adicional:
• yt: variável binária que indica se ocorre preparação de máquina no período t (yt = 1)
ou não (yt = 0).
Formulação matemática do problema modicado:
min.
T
t=1
(cstyt + htIt) (3.4)
s.a :qt + It−1 − It = dt ∀ t = 1, ..., T (3.5)
qt ≤ Myt ∀ t = 1, ..., T (3.6)
qt, It ≥ 0, yt ∈ {0, 1} ∀ t = 1, ..., T (3.7)
Na restrição (3.6), M é um número sucientemente grande para evitar a limitação da
produção. M é dado pela somatória de todas as demandas do período. Se substituirmos
M pela capacidade do período Ct, teríamos um problema capacitado.
37. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 20
O modelo apresentado acima considera apenas um único produto, mas pode ser estendido
para vários produtos. Neste caso teríamos um modelo não capacitado, um nível e multi-
produto, da seguinte forma:
Novos parâmetros:
• csit: custo de preparação de máquina do produto i no período t;
• hit: custo de manutenção do estoque do item i no período t;
• dit: demanda do produto i no período t;
• T: número de períodos.
Novas variáveis de decisão:
• qit: quantidade do produto i produzida no período t;
• Iit: quantidade estocada do produto i no nal do período t;
• yit: variável binária que indica se ocorre preparação de máquina para o produto i
no período t (yit = 1) ou não (yit = 0).
Nova formulação matemática do problema:
min.
N
i=1
T
t=1
(csityit + hitIit) (3.8)
s.a :qit + Iit−1 − Iit = dit ∀ i = 1, ..., N; t = 1, ..., T (3.9)
qit ≤ Myit ∀ i = 1, ..., N; t = 1, ..., T (3.10)
qit, Iit ≥ 0, yit ∈ {0, 1} ∀ i = 1, ..., N; t = 1, ..., T (3.11)
38. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 21
Sendo que N representa o número de produtos.
A produção dos vários produtos foi incorporada nas restrições (3.9), (3.10) e (3.11). Como
não há restrição de capacidade, o problema poderia ser decomposto em N problemas
independentes, um para cada produto.
Na tentativa de adequar cada vez mais os modelos à realidade, surgiram os modelos de
dimensionamento de lotes capacitados. Assim, o problema passa a ser multi-item, um
estágio, com horizonte de planejamento nito dividido em períodos, cada um com uma
demanda especíca e capacitado.
Considerando
• pi: parcela de capacidade necessária para produzir uma unidade do produto i;
• Ct: capacidade disponível no período t,
temos:
min.
N
i=1
T
t=1
(csityit + hitIit) (3.12)
s.a :qit + Iit−1 − Iit = dit ∀ i = 1, ..., N; t = 1, ..., T (3.13)
piqit ≤ Ctyit ∀ i = 1, ..., N; t = 1, ..., T (3.14)
N
i=1
piqit ≤ Ct ∀ t = 1, ..., T (3.15)
qit, Iit ≥ 0, yit ∈ {0, 1} ∀ i = 1, ..., N; t = 1, ..., T (3.16)
A função objetivo (3.12) e a restrição de balanceamento dos estoques (3.13) não se al-
teram em relação ao modelo anterior (multi-produto não capacitado). A restrição (3.14)
39. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 22
garante que a produção de um item ocorre somente se a preparação para aquele item ocor-
rer. A equação (3.15) representa as restrições de capacidade, sem descontar os tempos
consumidos nas preparações de máquinas.
Um modelo que considera os tempos de preparação de máquina pode ser formulado
modicando-se apenas a restrição de capacidade (3.15) da seguinte forma:
N
i=1
(piqit + stiyit) ≤ Ct ∀ t = 1, ..., T (3.17)
sendo sti o tempo de preparação de máquina para o produto i. Observe que o tempo
consumido na preparação de máquina reduz a capacidade total do período, enfatizando
que o tempo de preparação do processo é um fator crítico para esse modelo matemático.
Manne [21] também propõe um modelo para o dimensionamento de lotes de produção
com uma abordagem diferente da anterior. Seu modelo busca determinar a quantidade de
cada item que deve ser produzida e estocada por período, considerando-se restrições de
tempo, capacidade disponível e requerimentos de demanda em cada período, sendo que
o fracionamento dos lotes de produção aumenta os custos de preparação de máquina. O
objetivo é minimizar o número de horas-extras.
O artigo de Manne [21] faz uma clara separação entre seqüenciamento de curto prazo e
de longo prazo, enfatizando apenas o segundo. No curto prazo, o seqüenciamento trata
de detalhes, enquanto que no longo prazo, é tratado o problema geral de coordenação de
recursos para honrar os compromissos de entregas e denir quais políticas adotar para
suprir determinada insuciência (hora-extra, treinamento, recrutamento etc.).
O modelo trata o seqüenciamento dos lotes de produção de forma agregada por similari-
dade. Essa agregação reduziu o número de variáveis do problema, sem perder a precisão
necessária do modelo de PL. As variáveis não se referem ao tamanho dos lotes de produção
de cada item em cada período de tempo, mas à fração de tempo destinada à produção do
item para satisfazer a demanda no período.
40. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 23
As variáveis de decisão são:
• xij: fração dos requerimentos totais de produção dedicada ao produto i para ser
suprida pela alternativa de sequência j;
• lt: número de horas-extras requeridas durante o período t;
• st: variável de folga de mão-de-obra durante o período t;
• vt: variável de folga de hora-extra durante o período t;
Os coecientes das variáveis são:
• βijt: parcela de mão-de-obra requerida durante o período t para cumprir a sequência
de produção j − esimo para o item i;
As constantes do problema são:
• St: disponibilidade máxima de horas de mão-de-obra durante o período t − esimo;
• Vt: disponibilidade máxima de horas-extras de mão-de-obra durante o período t −
esimo;
O modelo de programação linear é:
41. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 24
minimize :
t
lt (3.18)
s.a :
j
xij = 1 ∀ i = 1, ..., I (3.19)
i j
βijtxij − lt + st = St ∀ t = 1, ..., T (3.20)
lt + vt = Vt ∀ t = 1, ..., T (3.21)
xij, lt, st, vt ≥ 0 ∀ i, j, t (3.22)
Nesse modelo, a função objetivo 3.18 representa a minimização do montante de horas-
extras de mão-de-obra; a restrição 3.19, representa o total de requerimentos para o item
i−esimo que deve ser atendido pela combinação de uma ou mais sequências de produção
para aquela parte; a restrição 3.20 garante que o total de horas de mão-de-obra requeridos
para satisfazer determinada demanda em um período não exceda o total de mão-de-obra
disponível mais as horas-extras; a restrição 3.21 impõe limites superiores para o uso de
hora-extras e a restrição 3.22 garante a não-negatividade das variáveis de decisão.
A seção seguinte apresenta alguns métodos de seqüenciamento da produção que são muito
próximos do problema de produção estudado.
3.3 Métodos de seqüenciamento de lotes econômicos de
produção
Os métodos de seqüenciamento de lotes econômicos são aqueles que usam como solução
inicial as soluções clássicas do lote econômico de produção. Estes são oriundos da troca
compensatória entre os custos de preparação de máquina e os custos de manutenção dos
estoques. Como esses lotes de produção geralmente não são viáveis de se seqüenciar
por serem soluções independentes, esses métodos vão alterando os tamanhos dos lotes
42. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 25
até tornar seu seqüenciamento viável de acordo com alguma restrição (data prevista de
ruptura de estoque, por exemplo).
Segundo Doll e Whybark [10], se não houvesse o fenômeno da interferência, ou seja, cada
produto sendo programado em n máquinas independentes em vez de uma só máquina, o
problema de dimensionamento de lotes de produção se reduziria a se encontrar tempos de
ciclos individuais, como no problema clássico de lote econômico de produção.
A solução independente leva ao custo mínimo da solução, entretanto, seu seqüenciamento
raramente é viável porque um item interfere no outro ao disputarem vaga na mesma
máquina para serem produzidos (fenômeno da interferência). Como estes lotes de pro-
dução possuem custo mínimo, no seu seqüenciamento, a melhor solução será aquela que
menos modicar os seus tamanhos originais, ou seja, aquela que mais vai se aproximar
do custo mínimo. É calculado um tempo de ciclo econômico T∗
, sobre o qual os lotes de
produção de todos os itens serão calculados.
As seções seguintes abordam as versões determinísticas e estocásticas desse problema e
apresentam alguns métodos de solução desenvolvidos para tratá-lo.
3.3.1 ELSP - Problema de Seqüenciamento de Lote Econômico
Elmaghraby [11] introduz o Problema de Seqüenciamento de Lote Econômico (ELSP)
como sendo o desejo de acomodar padrões cíclicos de produção baseados nos Lotes Econômi-
cos de Manufatura (EMQ) para itens individuais em uma máquina. Gallego e Shaw [15],
armam que, devido ao fenômeno da interferência, surge a complexidade do problema que
leva alguns pesquisadores a se connarem ao domínio de seqüenciamentos cíclicos, onde
a seqüência se repete ao término de um intervalo nito de tempo.
Muitos autores pesquisaram os seqüenciamentos cíclicos, dentre eles Campbell e Mabert [7]
e Sandbothe [22]. Mesmo uma versão muito restrita deste problema é NP-hard, segundo
Hsu [19]. Gonçalves e Leachman [16] não adotam os seqüenciamentos cíclicos e preferem
43. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 26
discretizar o tempo em pequenos intervalos, conseguindo uma boa aproximação com a re-
alidade, entretanto o modelo gasta muito tempo computacional devido ao grande número
de variáveis.
A fórmula do EMQ chega à uma solução independente T* (equação 3.23) dos tamanhos
dos ciclos. Essa solução corresponde ao custo mínimo total de produção (equação 3.24)
que é o limite inferior de custos da solução.
T∗
i =
2Si
rihi(1 − ri/Pi)
(3.23)
Sendo:
• i: itens (i = 1, ..., n);
• S: custo de preparação de máquina por corrida;
• h: custo unitário de manutenção dos estoques por unidade de tempo;
• r: demanda por unidade de tempo;
• P: produção por unidade de tempo.
C∗
i = 2Sirihi(1 − ri/Pi). (3.24)
Se esses ciclos independentes são viáveis de se seqüenciar, a solução do EMQ é ótima.
Como geralmente esses ciclos independentes não são viáveis, é preciso que suas durações
T∗
sejam otimizadas, através da alteração dos seus valores até que os ciclos sejam viáveis de
se seqüenciar. A alteração dos tamanhos de ciclo T∗
implica, naturalmente, na alteração
dos tamanhos dos lotes de produção.
44. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 27
Em geral, a condição necessária para a viabilidade da solução é a restrição de capacidade
dada por:
i
σi
Ti
≤ 1 (3.25)
Sendo:
• σi: tempo total de produção mais preparação de máquina por lote do item i;
• Ti: tempo de ciclo individual para o item i;
Segundo Gallego [14], no ELSP as taxas de produção e demanda são assumidas como
conhecidas e constantes. Rupturas de estoque não são permitidas e o objetivo é minimizar
os custos de manutenção de estoques e preparação de máquina.
A literatura clássica propõe duas maneiras de otimizar as durações dos ciclos individuais
e, Elmaghraby [11], uma terceira. Seu método garante a viabilidade da solução através
da imposição de algumas restrições aos tempos de ciclo, corrigindo as suas durações. Seu
modelo tem as seguintes características:
• assume um ciclo longo o suciente para acomodar a produção de cada item exata-
mente uma vez em cada ciclo (Ciclo comum - CC). Geralmente a solução é viável,
entretanto longe de ser ótima, sendo considerado um limite superior de custo da
solução viável do seqüenciamento;
• admite diferentes ciclos para cada item mas insiste que cada ciclo Ti deve ser um
múltiplo inteiro de um período básico W. Esta abordagem proposta pelo autor é
uma extensão da abordagem do período básico;
45. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 28
As abordagens desse problema se dividem entre duas grandes categorias de horizonte
innito: (i) abordagem analítica que atingem o ótimo para versões restritas do problema e
(ii) abordagem heurística que atinge boas soluções aproximadas para o problema original.
Elmaghraby [11] trata apenas de heurísticas que assumem o período básico W, variando
os ciclos individuais Ti = kiW, onde ki é um multiplicador inteiro do ciclo básico W,
chegando à restrição de viabilidade 3.26 que leva imediatamente a um modelo de progra-
mação dinâmica.
i
σi =
i
(si +
rikiW
pi
) ≤ W (3.26)
Sendo:
• ri: taxa de demanda do item i;
• pi: taxa de produção do item i;
• si: tempo de preparação de máquina do item i.
Dobson [9] resume os objetivos do ELSP como uma questão de selecionar a seqüência em
que os itens serão produzidos em uma máquina e determinar os tamanhos dos lotes de
produção de cada corrida de cada item. A questão do dimensionamento dos lotes deve
considerar tempos e custos de preparação de máquina. No seu método, a produção de
um item envolve um tempo de preparação de máquina si, um tempo de produção ti e
um tempo ocioso ui. No tempo ocioso, os outros itens são produzidos até fechar o ciclo
em v, antes que o item corrente seja produzido novamente (Fig. 3.2). Este ciclo pode ser
repetido indenidamente. O objetivo é a satisfação da demanda e minimização dos custos
de preparação de máquina e manutenção dos estoques.
O modelo garante que seja alocado tempo suciente para a satisfação da demanda ao
longo do ciclo de produção e que a quantidade a ser produzida de cada item dure até a
próxima vez que o item for produzido novamente.
46. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 29
Tempoti
outros
si ui v
0
Estoque
Figura 3.2: Evolução do estoque de um item
3.3.2 SELSP - Problema de Seqüenciamento de Lote Econômico
Estocástico
O problema de seqüenciamento de produção em uma máquina com demanda estocástica
com o objetivo de reduzir a soma dos custos de preparação de máquina e de manutenção
dos estoques é estudado na literatura sob o nome de SELSP - Problema de Seqüenciamento
de Lote Econômico Estocástico - (SOMAN et al.) [25]. O SELSP é uma versão estocástica
do ELSP. Apesar de a literatura ser vasta sobre ELSP, seu ponto de vista determinístico
impede sua difusão nas indústrias. Tal como no ELSP, no nível tático, ciclos alvos são
calculados para equilibrar os custos de preparação de máquina e os custos de manutenção
dos estoques, enquanto que no nível operacional, o objetivo é tentar seguir esses ciclos
alvos, fazendo ajustes para evitar rupturas e balancear o sistema de produção, mantendo
os custos o mais baixo possível. Segundo Hsu [19], a solução deste problema é tida como
muito difícil, mesmo na ausência de demanda estocástica.
Sox [26] cita que os artigos que tratam do SELSP se dividem em duas categorias: se-
qüenciamentos dinâmicos e seqüenciamentos cíclicos. Os primeiros se adaptam melhor à
realização da demanda, variando tanto a sequência de produção quanto os tamanhos dos
47. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 30
lotes, entretanto têm a eciência reduzida em ambientes de altas taxas de utilização de
capacidade. Por outro lado, as políticas de seqüenciamentos cíclicos usam uma sequência
xa pré-determinada e só variam os tamanhos de lotes para acomodar a utuação da
demanda, sendo mais fáceis de se implementar computacionalmente.
Gallego [14] e Bourland e Yano [4] adotam seqüenciamento cíclico, enquanto que Vergin
e Lee [28] e Leachman e Gascon [20] adotam seqüenciamento dinâmico em seus artigos.
Todos esses autores trataram heuristicamente o SELSP através do desenvolvimento de
algoritmos de dimensionamento de lotes e usaram uma política de revisão periódica em
tempo discreto para que as decisões sejam tomadas em épocas conhecidas.
A seguir são apresentados alguns dos principais métodos de seqüenciamento de lote
econômico com demanda estocástica.
3.3.2.1 Método de Gascon
Em 1988, Leachman e Gascon [20] propuseram um método de seqüenciamento de produção
pertencente à classe dos seqüenciamentos dinâmicos baseados em tempo de esgotamento
dos estoques (duração prevista para o estoque de um item). A política, que chamaram
de heurística de tamanho de ciclo dinâmico (DCL), integra o controle baseado no moni-
toramento dos níveis de estoques com a manutenção de ciclos econômicos de produção. A
política é aplicada período por período de tempo para se tomar decisões do que produzir
e em quais quantidades durante o próximo período. Estas quantidades reetem os ciclos
de produção revisados a cada período de tempo em resposta às diferenças entre os níveis
de estoques projetados e os níveis reais e às mudanças nas taxas de demanda.
Este método lida bem com a variabilidade da demanda e distúrbios no chão-de-fábrica
devido à sua característica de restauração de equilíbrio do sistema, mas não lida com o
problema de planejamento em si. Posteriormente, este método foi estendido para integrar
seu uso com o planejamento tático da produção. Quando a demanda for mais esporádica e
não puder ser caracterizada por uma taxa, o desempenho da heurística DLC se deteriora.
48. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 31
A DCL usa os tempos de ciclos-alvo do ELSP como solução inicial por serem econômicos
mas, corrige-os para atender às novas restrições de sincronismo dos itens na máquina. O
tempo de ciclo T é a principal variável de decisão no modelo, acompanhando a trajetória
do estoque (BOURLAND e YANO) [4].
Os parâmetros e variáveis utilizados no problema são:
• ROj: tempo de esgotamento do estoque do item j;
• ci: tempo de preparação de máquina para passar do item i para o j;
• ri: taxa de demanda do item i;
• pi: taxa de produção do item i;
• Ti: tempo de ciclo operacional do item i;
• Tp: tempo total disponível no período p;
• H: horizonte de planejamento;
• m: tempo que representa o lote mínimo de produção;
• ssi: nível de estoque de segurança;
• σi: tempo de preparação de máquina mais tempo de processamento do item i.
O Método de Gascon detalhado nesta seção não é utilizado diretamente na elaboração do
modelo, entretanto inspirou conceitos importantes para a modelagem do problema, tais
como tempo de ciclo variável e tempo de esgotamento dos estoques. O primeiro passo do
método faz um ordenamento por ordem não decrescente dos tempos de esgotamento dos
estoques dos itens (ROi), de modo que RO1 ≤ RO2 ≤ RO3 ≤ ... ≤ ROn (Fig. 3.3).
Utilizando-se do ciclo alvo T∗
do ELSP, a DCL verica se há uma folga positiva TSj entre
os tempos de esgotamentos dos itens (restrição 3.27). O sistema só estará em balanço
(sem rupturas de estoque previstas) se todas as folgas entre todos os pares de itens forem
49. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 32
Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5
RO2
RO5
RO4
RO3
σ1
σ4
σ3
σ2
Tempodeesgotamento
(dataderupturadeestoque)
Figura 3.3: Sistema de produção em balanço
positivas para que o item comece a ser produzido antes que seu estoque acabe. Observe na
Fig. 3.3 que os tempos de processamento mais preparação de máquinas (σi) não invadem
o tempo de esgotamento de estoque do item subseqüente. Dessa forma, todos os itens
podem começar a serem produzidos na data em que seus estoques estão previstos acabar.
Por outro lado, na Fig. 3.4, a folga entre os itens 3 e 4 é negativa, ou seja, o estoque do
item 4 vai se esgotar no momento em que a máquina ainda estará produzindo o item 3,
porque σ3 está invadindo a data limite RO4 (folga negativa). Diante disso, o item 4 vai
entrar em ruptura de estoque.
TSj = ROj −
j−1
i=1
ci − T∗
j−1
i=1
kiri
pi
∀ (j = 2, 3, ..., n) (3.27)
A folga calculada pela equação 3.27 é o tempo de esgotamento de estoque do item j menos
50. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 33
Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5
RO2
RO5
RO4
RO3
σ1
σ4
σ3
σ2
Folga negativa
Folga positiva
Tempodeesgotamento
(dataderupturadeestoque)
Figura 3.4: Sistema de produção fora de balanço (folga negativa para o item 4)
o somatório dos tempos de preparação de máquina dos itens i anteriores, menos os tempos
de processamento dos itens i anteriores. Quando as folgas T∗
são negativas, o ciclo alvo
T∗
deve ser diminuído até tornar as folgas positivas e restaurar o balanço do sistema de
produção. Daí tem-se o ciclo operacional T que é o mínimo entre o ciclo alvo T∗
e a folga
mínima entre cada par de itens (equação 3.28).
T = min
T∗
, min
j=2,...,n
ROj −
j−1
i=1
ci
j−1
i=1
kiri
pi
(3.28)
Quando a folga entre dois itens consecutivos for pequena, a restrição 3.29 força um es-
51. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 34
paçamento entre eles para que os dois tenham tempo suciente para serem produzidos
sem invadir o tempo limite do outro.
ROi − ROi−1 ≥ ci−1 +
Ti−1 ri−1
pi−1
∀ (i = 2, 3, ..., n) (3.29)
O nível máximo de estoque Si a ser atingido é dado pela restrição 3.30.
Si = ssi +
Tiri(Pi − ri)
Pi
∀ (i = 1, ..., n) (3.30)
A restrição 3.31 de capacidade instalada também deve ser respeitada.
i
ri
pi
≤ 1 ∀ (i = 1, ..., n) (3.31)
Na parte nal do artigo, os autores demonstram uma preocupação de integrar a heurística
com o planejamento tático da produção para lidar com as sazonalidades e montam um
esquema de geração de estoques para satisfazê-las. Assim eles incrementaram os pontos
de ressuprimento para começar a produzir um item antes que seu estoque seja esgotado.
Sox [26] arma que o método de GASCON tem bom desempenho porque mantém altos
níveis de serviço com custos relativamente baixos. Outros autores, tais como Seki e
Kogure [24], também trabalharam com o conceito de tempo de esgotamento de estoque
na elaboração de seu método de seqüenciamento cíclico e conseguem bons resultados.
3.3.2.2 Método de Vergin e Lee
Este método também pertence à classe dos seqüenciamentos dinâmicos e tem uma e-
ciência extremamente alta em termos de custos. Ao contrário da heurística DCL, este
52. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 35
método é muito bom para evitar lotes de produção muito pequenos e funciona bem em
ambientes com altas taxas de utilização de capacidade. Outra diferença é que este método
busca manter estoques sucientes para lidar com a utuação da demanda total de todos
os produtos em vez de monitorar a evolução da produção e os níveis de estoques de cada
item, tal como no método de Gascon.
Vergin e Lee [28] derivam uma taxa ai que é uma proporção mínima de estoque de um
item. Essas taxas são usadas para monitorar os ciclos dos itens. A produção de um
item continua até que o estoque de algum item se esgote ou o estoque do item i atinja
a proporção ai do total de estoque em mãos. Nessa hora a produção é trocada para o
produto com menor tempo de esgotamento.
A taxa ai é a razão do estoque máximo do item i e o estoque médio total de todos os
itens no sistema (restrição 3.32). Esta expressão assume um ciclo comum, ou seja, cada
produto é produzido somente uma vez em cada ciclo.
ai =
(1 − di/pi)
1/2 N
j=1 dj(1 − di/pi)
(3.32)
Sendo:
• di é taxa de demanda;
• pi é taxa de produção;
Soman et al. [25] modicam esta expressão para que mais de um produto seja produzido
por ciclo. O fator ki indica que o produto i é produzido somente um vez a cada período
básico k (restrição 3.33).
ai =
(1 − di/pi)kidi
1/2 i(1 − di/pi)kidi
(3.33)
53. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 36
Para prevenir excesso de estoque, os autores estabeleceram níveis de estoques máximos
para cada item.
3.3.2.3 Método de Gallego
Este método pertence à classe dos seqüenciamentos cíclicos. A seqüência cíclica f é
computada assumindo demanda aleatória com taxa média constante, permitindo atra-
sos. O objetivo é reduzir os custos de manutenção de estoques, atrasos e preparação de
máquina. Em seu método, Gallego [14] propõe uma ferramenta de seqüenciamento em
tempo real desenvolvida em três passos: (i) De acordo com a demanda esperada, calcula
os seqüenciamentos cíclicos alvos e (ii) estuda o seqüenciamento da máquina após alguma
perturbação que gere um desequilíbrio dos estoques. Finalmente, (iii) se calcula os esto-
ques de segurança para proteger o sistema das aleatoriedades. O objetivo do método é
uma recuperação dos ciclos alvos com o mínimo de custo extra.
As pesquisas sobre ELSP buscam encontrar seqüenciamentos cíclicos ecazes em termos
de custos, onde as posições de estoques se repetem após cada ciclo, pois se considera
as demandas determinísticas. Na prática, as demandas são aleatórias e as rupturas são
inevitáveis, o que diculta a existência de seqüenciamentos cíclicos. Entretanto, seqüencia-
mentos cíclicos baseados em demandas esperadas formam a coluna vertebral da ferramenta
de seqüenciamento proposta por Gallego [14].
Os pressupostos deste artigo são os mesmos do ELSP, com exceção da demanda aleatória
e pedidos em carteira serem permitidos, apesar de limitados. Se estes pressupostos forem
relaxados, o problema recai no ELSP. Entretanto, combinações intermediárias são de
grande interesse, tais como considerar a demanda constante.
Uma ruptura de um seqüenciamento cíclico pode ser causada por vários eventos impre-
visíveis, tais como quebra de máquinas, falta de matéria-prima e variação da demanda.
O artigo mostra como recuperar um seqüenciamento após uma perturbação, denindo
w como um nível de estoque alvo ao nal do ciclo. Quando as perturbações são muito
grandes, talvez seja conveniente alterar a seqüência dentro do ciclo. O autor propõe uma
54. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 37
heurística para isso.
Conforme apresentado na Fig. 3.5, o ciclo padrão é composto por quatro vetores: (i)
sequência de produção f, (ii) estoques iniciais w, (iii) tempo ocioso u e (iv) tempo de
processamento t. Quando a linha de estoque de um item está ascendente, signica que o
item está em processamento. Quando a linha está descendente, signica que o item está
ocioso. Cada item tem, no mínimo, uma posição no ciclo T. Cada posição de um item na
sequência é composta de um tempo ocioso, um tempo de preparação de máquina e um
tempo de processamento, sendo que a posição de estoque w se repete ao nal do ciclo T.
Apenas um item é produzido por vez na máquina.
TempoT
Estoques
0
w1
w2
w3 w3
w2
w1
i = 1
i = 2
i = 3
Figura 3.5: Um seqüenciamento cíclico
3.3.2.4 Método de Bourland e Yano
Este método também pertence à classe dos seqüenciamentos cíclicos que se repetem para
minimizar os custos esperados por unidade de tempo. Os itens são produzidos em uma
55. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 38
sequência cíclica, por exemplo A-B-A-C. É um sistema que preza a estabilidade do se-
qüenciamento a partir do gerenciamento das folgas de capacidade na forma de tempos
ociosos planejados dentro dos ciclos.
O modelo de Bourland e Yano [4] trabalha com o conceito de ponto de ressuprimento r,
onde a preparação de máquina de um item começa assim que o seu ponto de ressuprimento
é atingido. O objetivo é minimizar os custos por unidade de tempo em estoque, os custos
de preparação de máquina e os tempos extras.
A demanda é considerada a uma taxa constante e há três decisões no nível de controle:
(i) estender a produção do item corrente adentro do tempo ocioso do próximo item, (ii)
usar tempo extra para produzir a quantidade excedente ou (iii) permitir que o estoque
caia abaixo do nível alvo. O tempo ocioso deve ser usado somente para antecipar o início
da produção ora planejado devido às alterações da demanda.
A Fig. 3.6 exemplica um caso em que a demanda do item i excedeu a taxa prevista e
o seu estoque atingiu o ponto de ressuprimento antes do tempo ocisoso projetado para o
item i, sendo necessário a alocação de tempo extra para completar a produção do item
1. O tempo ocioso funciona como tempo de segurança para os casos em que a demanda
aumenta além da média, sendo que a sua administração colabora para a estabilidade do
sistema.
3.4 Seqüenciamento preemptivo
Seqüenciamento preemptivo é o ato de interromper um lote de um item em uma sequência
de produção que vai levar a um resultado indesejado e, assim, tornar a solução viável.
O lote de produção é fracionado para que se antecipe a data de início de produção dos
itens subseqüentes ou aproveite os pequenos espaços de tempos ociosos na máquina, para
diminuir o atraso máximo ou o tempo total de processamento, entre outros objetivos.
Segundo Brucker et al. [5], a interrupção dos lotes de produção geralmente melhora a
56. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 39
Tempo extra requerido
item 1 item i
Nível de estoque
projetado (item i)
Nível de estoque
real (item i)
Tempo
Estoque
Produção +
preparação
planejados
Figura 3.6: Níveis de estoques real X planejado com tempo extra
solução de problemas cujo objetivo é reduzir o atraso máximo e quando os itens possuem
datas de liberação para serem produzidos. Na Fig. 3.7, quando não há interrumpção do
lote de produção, o atraso máximo (Lmax) é de um dia porque o item 1 deveria ter sido
entregue na data d = 5 mas foi entregue na data d = 6. Como a data de liberação do
item 2 é na data r = 1, ele não pode começar a ser produzido antes dessa data. Como
seu tempo de processamento P é 1 dia, este item deve necessariamente começar a ser
produzido na data 2 para ser entregue na data 3. Dessa forma, se o item 1 for fracionado,
parte do seu lote pode ser produzido entre a data 0 e 1, e o restante será produzido após
a data 2, cumprindo, assim, a data de entrega prevista d = 5. Este é um dos exemplos,
entre outros, onde a interrupção dos lotes de produção é fundamental. Entretanto, em
alguns casos o fracionamento dos lotes de produção pode ser redundante se não melhorar
o resultado da solução.
57. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 40
Seq. Preemptivo
Lmax = 0 ∑Cj = 7
Seq. não-preemptivo
Lmax = 1 ∑Cj = 8
P1 = 4 r1 = 0 d1 = 5
P2 = 1 r2 = 1 d2 = 2
1 2 1 2 1
0 1 52 3 4 0 1 52 3 4 6
Figura 3.7: Interrupção não é redundante para 1 | rj | Lmax e 1 | rj | Cj
3.5 Planejamento da produção através de Horizonte
Rolante
Horizonte Rolante é uma técnica de planejamento onde um horizonte de planejamento
maior é subdividido em períodos e vai deslizando ao longo do tempo na medida em que é
executado o planejamento de cada um dos períodos. Um planejamento de produção que
usa a técnica de Horizonte Rolante implementa a programação detalhada somente para
os períodos imediatos (Fig. 3.8). Segundo Buxey [6], não há nada que possa ser ganho
com cálculos exaustivos relacionados a períodos muito distantes de planejamento, pois
o detalhamento perde precisão ao se distanciar no tempo. Após o encerramento de um
período, o horizonte é rolado mais um período e o modelo é aplicado novamente com as
informações atualizadas de estoque, capacidade e demanda (itens que foram produzidos na
rodada são subtraídos na carteira de pedidos). O planejamento para os períodos futuros
é feito apenas para a avaliação da capacidade. Esta atitude diminui drasticamente o
número de variáveis do modelo.
Araújo et al. [2] descrevem vários aspectos que devem entrar no modelo de planejamento
de produção de uma fundição e depois propõem uma modelagem adequada. No seu estudo
de caso, todos os pedidos têm prazos de entrega e o objetivo é minimizar os atrasos. O
Horizonte de Planejamento considerado foi de 5 dias, sendo que apenas o primeiro dia foi
58. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 41
subdividido em pequenos períodos com corridas elementares li de 2 horas, que é o tempo
equivalente que o forno leva para processar uma carga.
2
Semana t1 (corrente) Semana t2 Semana t3 Semana t4
2 2 2
Figura 3.8: Aplicação do Método de Horizonte Rolante
Os autores mostram a importância de se utilizar um modelo com Horizonte Rolante para
simplicar o número de variáveis do problema. No modelo, apenas o primeiro período do
Horizonte H é detalhado, diminuindo muito as variáveis de decisão. Ao nal, para agilizar
a solução, eles propõem um método de busca local para ir diminuindo o valor da função
objetivo, até que um critério de parada seja satisfeito.
3.6 Comparação entre os métodos
Neste capítulo foram revisados vários métodos de planejamento e seqüenciamento da pro-
dução, desde métodos exatos de PL até métodos heurísticos de seqüenciamento de lotes
econômicos de produção. A vantagem desses últimos é sua capacidade de monitoramento
e reação para perseguição da demanda, além da simplicidade e aplicabilidade. Por outro
lado, possuem o imprevisto de serem métodos imediatistas e reativos demais, não sendo
viáveis para ambientes de altas taxas de utilização de máquina. Neste caso, os métodos
muito reativos começam a gerar muitas preparações de máquina para restaurar o equi-
líbrio do sistema e acabam gerando instabilidade na produção devido ao alto número de
regulagens que alteram o funcionamento normal das máquinas e ao aumento da agitação e
nervosismo dos operadores que são forçados a fazerem trocas de produtos constantemente.
A necessidade de apuração precisa dos custos de manutenção de estoques e preparação de
59. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 42
máquinas é um fator dicultador da utilização desses métodos heurísticos. Entretanto,
eles foram aplicados em problemas semelhantes a este estudo de caso e trouxeram muitos
conceitos que poderão ser incorporados a outros métodos para a geração de soluções
viáveis.
Por outro lado, os métodos exatos de dimensionamento de lotes de produção revisados
neste capítulo são mais estáveis e provêm maior visibilidade das decisões tomadas em
toda a cadeia de manufatura, apesar de serem mais difíceis de se implementar. Uma
combinação de alguns conceitos dos métodos heurísticos com os métodos exatos pode
trazer uma boa solução para o problema deste estudo de caso.
Os seqüenciamentos com interrupção de lotes também foram revisados e são formas de
tornar um plano de produção viável. A técnica de horizonte rolante também se apresenta
como uma forma racional de colaborar para a viabilidade da solução ao direcionar esforços
apenas para os períodos imediatos.
60. Capítulo 4
Modelo matemático proposto
Introdução
A necessidade de apuração precisa dos custos para determinação dos lotes econômicos
de produção foi um dos motivos pelos quais os métodos heurísticos de seqüenciamento,
tais quais os revisados neste trabalho, não foram adotados na solução do problema deste
estudo de caso. Outro motivo é a necessidade de coordenação do planejamento operacional
de curto prazo com o planejamento tático de médio prazo para gerar planos viáveis para
ambos os níveis, aspecto que esses métodos não consideram. A característica fortemente
reativa desses métodos heurísticos pode gerar uma instabilidade muito grande no chão-de-
fábrica ao reagir rápido a qualquer evento ou utuação da demanda. Essa instabilidade
pode gerar perda de produtividade e problemas de coordenação de capacidade devido
ao aumento de preparações de máquinas e de regulagens, com conseqüente variação das
taxas de produção das máquinas.
Entretanto, esses métodos foram fundamentais para o entendimento do problema e inspi-
raram conceitos que são usados no modelo de Programação Linear Inteira Mista elaborado
nesta seção. Um dos conceitos é o tempo de esgotamento de estoque dos itens i que foi
traduzido como data de ruptura Ti, uma das principais restrições do modelo matemático.
43
61. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 44
O outro conceito é o tempo de ciclo variável para manter o sistema em equilíbrio sem rup-
turas de estoque. Este ciclo variável foi traduzido para o modelo matemático através da
subdivisão do período p imediato em subperíodos b de tamanho utuante, com a mesma
função de evitar ruptura de estoque dos itens.
Portanto, o modelo matemático elaborado concilia a coordenação da capacidade instalada
dos métodos exatos de dimensionamento de lotes com a capacidade de monitoramento de
estoque das restrições de seqüenciamento inspiradas nos métodos heurísticos. Assim, o
modelo adotado será um modelo de integração do nível tático com o nível operacional, ou
seja, consiste em dois níveis de decisão inter-relacionados (Fig. 4.1).
di di di ... dn
Dip
Iip Iip Iip
IipIi0
Xip
Comportamento típico da demanda durante o mês
0
8000
16000
24000
32000
40000
Dias úteis por período
Quantidade
Limite da capacidade
produtiva diária
Dip DipDip
rip
Figura 4.1: Apresentação do problema
No nível tático, o modelo matemático faz a coordenação de capacidade ao longo de todo
62. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 45
o horizonte de planejamento H, subdividido em 4 períodos p. O objetivo é reduzir os
custos de manutenção dos estoques que incidem sobre as quantidades estocadas Iip aos
nais dos períodos p e satisfazer a demanda Dip ao término do mesmo período. Apesar
de o nível tático considerar a demanda na forma de montantes que devem ser satisfeitos
aos nais dos períodos, na prática a demanda é contínua, utuando em torno de uma
taxa rip média que também deve ser satisfeita ao longo da semana. As quantidades a
serem produzidas Xip por período devem ser sucientes para atender à demanda ao nal
do período e garantir um estoque mínimo (de segurança) ao nal do mesmo período. Os
estoques iniciais Ii0 do horizonte de planejamento H também são considerados no cálculo
das quantidades a serem produzidas no período 1.
O renamento do planejamento da produção vai se dar apenas para o período imediato
devido ao fato de perder precisão ao se distanciar no tempo. Para Fransoo et al. [13], o
objetivo no nível operacional é controlar o comportamento do sistema detalhado, de modo
que a taxa esperada de satisfação da demanda seja atendida e, conseqüentemente, os obje-
tivos alcançados. Nesse nível, se as datas de ruptura de estoque Ti previstas forem baixas,
pode ser necessário a interrupção e o fracionamento dos lotes de produção ideais para a
redução dos custos de manutenção dos estoques no nível tático. Essa medida antecipa
a data de início de produção dos itens subseqüentes e evita as prováveis rupturas de es-
toque. É importante ressaltar que o planejamento tático da produção e o seqüenciamento
respeitam simultaneamente todas as restrições do sistema.
A seção 4.1 apresenta os modelos matemáticos elaborados para a solução do problema
estudado. Para facilitar o entendimento de como o fracionamento em subperíodos é
fundamental para se evitar ruptura de estoque, os resultados serão demonstrados no
capítulo 5.
4.1 Modelagem matemática
Nesta seção será tratada uma situação real de planejamento e seqüenciamento de produção
onde será aplicado, primeiramente, um modelo matemático que não permite subdivisão do
63. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 46
primeiro período p de planejamento e depois, um modelo que permite a sua subdivisão em
subperíodos b (interrupção de lotes de produção). Posteriormente será feita uma análise
comparativa dos resultados dos dois modelos.
A interrupção dos lotes de produção para a sua subdivisão é uma ação que aumenta o
número de variáveis do modelo matemático, tornando o problema mais complexo para ser
resolvido computacionalmente. Entretanto, pode ser a única saída para que as datas de
início de produção ti dos itens subseqüentes na linha de produção sejam antecipadas e,
assim, as rupturas de estoque evitadas. Quando ocorre a interrupção do lote de produção
de um item, sua quantidade faltante participa novamente do seqüenciamento em outro
subperíodo b, agora com nova data projetada de ruptura de estoque. Mesmo com a
interrupção dos lotes de produção, todos os itens deverão ser produzidos antes do nal do
mesmo período p.
4.1.1 Parâmetros e variáveis utilizados
Todos os parâmetros, coecientes e variáveis utilizados nos dois modelos apresentados
nesta seção estão agrupados a seguir:
Índices:
• i: tipos de itens;
• p: período de planejamento;
• b: subperíodo do primeiro período de planejamento.
Dados do problema:
• J = {1, . . . , n}: conjunto de itens;
• H = {1, . . . , h}: conjunto de períodos de planejamento;
64. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 47
• B = {1, . . . , m}: conjunto de subperíodos do primeiro período de planejamento;
• Dip: demanda do item i no m do período p (unidade);
• Ii0: quantidade em estoque do item i no início do horizonte de planejamento
(unidade);
• Qp: tempo de máquina disponível para o período p, já descontados os tempos de
preparação de máquina médios para os períodos subseqüentes ao primeiro;
• fi: nível do estoque de segurança do item i (unidade);
• rip: taxa de demanda do item i (unidade / tempo);
• Pi: tempo unitário de processamento do item i;
• sij: tempo de preparação de máquina para passar do item i para produzir o item j;
• Ti: data de ruptura de estoque do item i no subperíodo 1, onde Ti = Ii0/rip;
• wi: custo de manutenção de estoque do item i (R$).
Variáveis:
Comuns aos dois modelos:
• Xip: quantidade do item i produzida durante o período p;
• Iip: quantidade em estoque do item i ao m do período p;
Referentes ao modelo sem interrupção de lote:
• ti: data de início de produção do item i no primeiro período;
• t∗
: data de m do período;
65. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 48
• yij =
1, se o item j é produzido depois de i
0, caso contrário
Referentes ao modelo com interrupção de lote:
• Xb
i : quantidade do item i produzida durante o subperíodo b;
• tb
i : data de início de produção do item i no subperíodo b;
• t∗
b: data de m do subperíodo b;
• yb
ij =
1, se o item j é produzido depois de i no subperíodo b
0, caso contrário.
4.1.2 Modelo de integração sem interrupção de lote
Este modelo não permite que os lotes calculados para o primeiro período do horizonte de
planejamento sejam interrompidos e terminados mais tarde. O problema geral é assim
postulado: dado um grande número de itens i para serem processados em uma máquina e
alguns requerimentos de demanda individuais Dip por período p ao longo de um horizonte
de planejamento H, determine, no nível tático, a quantidade Xip de cada item que deve
ser produzida por período, considerando restrições de tempo de máquina disponível Qp
e, no nível operacional, determine a seqüência de produção para o primeiro período de
planejamento, considerando restrições de datas de ruptura Ti. O objetivo é reduzir o
somatório dos custos de manutenção dos estoques aos nais dos períodos, ressaltando que
rupturas de estoques não são permitidas pelo modelo matemático.
66. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 49
min. Z =
n
i=1
h
p=1
wiIip (4.1)
s.a :Iip−1 + Xip − Iip = Dip ∀ i ∈ J; p ∈ H (4.2)
Iip ≥ fi ∀ i ∈ J; p ∈ H (4.3)
n
i=1
PiXip ≤ Qp ∀ p = 2, . . . , h (4.4)
t∗
≤ Q1 (4.5)
M(Xi) ≥ yij ∀ i, j ∈ J, i = j (4.6)
tj ≥ ti + PiXi1 + sijyij − M(1 − yij) ∀ i, j ∈ J, i = j (4.7)
ti ≥ tj + PjXj1 + sijyij − M(yij) ∀ i, j ∈ J, i = j (4.8)
ti ≤ Ti ∀ i ∈ J (4.9)
t∗
≥ ti + PiXi1 ∀ i ∈ J (4.10)
Xip ∈ N ∀ i ∈ J; p ∈ H (4.11)
Iip ≥ 0 ∀ i ∈ J; p ∈ H (4.12)
yij ∈ {0, 1} ∀ i, j ∈ J; i = j (4.13)
A Função Objetivo 4.1, para o horizonte de planejamento, minimiza a soma total dos
custos de manutenção dos estoques aos nais dos períodos p. Para que os estoques aos
nais dos períodos sejam minimizados e a demanda satisfeita, a restrição 4.2 garante que
a soma do estoque inicial mais a quantidade produzida em cada período de produção
seja igual ao estoque nal mais a demanda. A restrição 4.3 garante que as quantidades
estocadas aos nais de cada período não sejam menores que os estoques de segurança
adotados pela empresa e, assim, o seqüenciamento é protegido das utuações normais da
taxa de demanda.
O tempo de produção disponível nos períodos p = 2,...,4 é descontado dos tempos de
preparação médios por período, sendo garantido pela restrição 4.4. Entretanto, no primeiro
67. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 50
período, a restrição 4.5 não desconta os tempos de preparação médios porque esses tem-
pos serão calculados no seqüenciamento. Em seguida, a restrição 4.6 garante que sejam
seqüenciados somente os itens que são produzidos no período 1. A constante M é impor-
tante principalmente nos casos em que as quantidades a produzir não são inteiras.
A constante M foi denida como 7 por ser um valor grande o suciente para anular
uma das restrições de seqüenciamento (4.7 ou 4.8). M é um valor superior ao tamanho
máximo de um período (6 dias). Se i for produzido depois de j, a primeira restrição
é anulada. Caso contrário, a segunda restrição é anulada. Essas restrições forçam as
variáveis binárias e garantem que o item subseqüente só comece a ser produzido após o
tempo de processamento do item anterior mais o tempo de preparação entre eles. Além
disso, permitem que um item que não seja produzido no período não seja seqüenciado.
A seqüência de produção deve respeitar as datas de ruptura de estoque expressas pela
restrição 4.9. Observe que não há a necessidade da conclusão do lote antes da data de
ruptura; basta que se inicie sua produção antes dessa data porque as taxas de produção,
na maioria das vezes, são maiores que a taxa de demanda. Nos períodos em que as taxas
de demanda forem maiores que as taxas de produção, os estoques formados nos períodos
anteriores somados à taxa de produção, conseguem garantir o atendimento da demanda.
A restrição 4.10 dene a data utuante do m do primeiro período p de produção, data
essa que deve respeitar a capacidade de produção disponível. Essa data é a data de início
de produção do último item seqüenciado, mais o tempo de processamento desse item,
mais o maior tempo de preparação de máquina desse item para qualquer outro item. O
modelo não trata os tempos de preparação na transição de um período para outro.
As restrições 4.11, 4.12 e 4.13 representam os domínios das variáveis de decisão.
No Capítulo 5, esse modelo será aplicado a um exemplo prático de seqüenciamento no
chão-de-fábrica e os resultados serão avaliados.
68. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 51
4.1.3 Modelo de integração com interrupção de lote
Se as datas de rupturas de estoques dos itens fossem grandes o suciente, as quantidades
Xip de cada item por período poderiam ser produzidas de uma só vez, ou seja, não haveria
a necessidade de se interromper a produção do lote de um item i para a começar a produção
do item j subseqüente. Entretanto, a data de ruptura de um item j pode não permitir
que todos os itens i anteriores tenham seus lotes Xip produzidos de uma só vez mais os
tempos de preparação de máquina. Assim, os tamanhos dos lotes dos itens i devem ser
reduzidos até que a data limite de ruptura de estoque dos itens j seja respeitada, gerando
a necessidade de interrupção do lote de produção. Essa redução leva a uma divisão do
período p em subperíodos b, onde cada item pode ser produzido, no máximo, uma vez
em cada subperíodo (Fig. 4.2). Esse método será aplicado usando a técnica de horizonte
rolante, onde o renamento do planejamento ocorre apenas para o período imediato. Ao
se nalizar um período, adota-se o período seguinte como o imediato.
O tamanho de cada subperíodo é variável, desde que seu somatório de tempo não ul-
trapasse os 6 dias disponíveis por semana. Quanto mais se fraciona o período imediato,
mais preparações de máquina ocorrem, mais variáveis terá o modelo e mais tempo com-
putacional será necessário. Entretanto, isso aumenta muito a exibilidade da produção
para perseguir a realização da demanda, principalmente se as datas de ruptura forem
muito pequenas e próximas, forçando a produção de pequenos lotes para percorrer todos
os itens em menos tempo. A prioridade do seqüenciamento é evitar ruptura de estoque,
respeitando as datas-limite de início de produção e, quando possível, diminuir os tempos
de preparação de máquina.
Outro fator importante é que, se a solução for viável através de um período dividido em
dois subperíodos, fracioná-lo em três subperíodos não melhora a solução e só aumenta o
tempo computacional. Da mesma forma, se a solução viável for possível sem fracionar
o período, dividí-lo em dois subperíodos também não altera a solução. No caso deste
trabalho, se for possível se produzir tudo em determinado período sem fracioná-lo, o
modelo deve procurar fazê-lo. Por outro lado, se a solução viável exigir o fracionamento
do período em três subperíodos, fazê-lo em dois levaria à ruptura de estoque de, no
69. Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção - Dep/Ufmg 52
p = 5 p = 6 p = 7
semana 1
semana 2
semana 3
semana 4
b b
b b
b = 1
b b
p = 1 p = 2 p = 3 p = 4
H
1º subperíodo 2º subperíodo
t*
b0 t*
b
Xi
b
Xi
b
Xip
b = 2
b = 1 b = 2
Figura 4.2: Planejamento detalhado da produção com horizonte rolante
mínimo, um item.
O problema geral é assim postulado: dado um grande número de itens i para serem
processados em uma máquina e alguns requerimentos de demanda individuais Dip por
período p ao longo de um horizonte de planejamento H, determine, no nível tático, a
quantidade Xip de cada item que deve ser produzida por período, considerando restrições
de tempo de máquina disponível Qp e, no nível operacional, determine a seqüência e
os tamanhos dos lotes de produção Xb
i para cada subperíodo b do primeiro período de
planejamento, considerando restrições de datas de ruptura Ti. O objetivo tático do modelo
a seguir é reduzir o somatório dos custos de manutenção dos estoques aos nais dos
