1. การดาเนินการของเซต
เซต สามารถนามาเขียนความสัมพันธ์ระหว่างเซตโดยเชื่อมโยงด้วยแผนภาพ
และแสดงการดาเนินการของเซตซึ่งมีหลักการเกี่ยวกับการเขียนความสัมพันธ์
ของเซต
ยูเนียนของเซต (Union of Sets)
พิจารณาความเกี่ยวข้องของเซต A, B และ U
กาหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 3, 5, 7}
B = {5, 6, 7, 8, 9}

2. เขียนแผนภาพเวนน์ -ออยเลอร์ แสดงเซต A, B และ U ได้ ดงนี้
ั
บทนิยาม ยูเนียนของเซต A และเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรื อของเซต B
หรื อของทั้งสองเซต ยูเนียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A  B
สัญลักษณ์ยเู นียนของเซต A และเซต B คือ
AB = {x | x  A หรื อ x  B}
ในที่น้ ี ใช้คาว่า “หรื อ” ในความหมายทางคณิ ตศาสตร์
หมายถึง x อาจเป็ นสมาชิกของเซต A หรื อเซต B หรื อทั้งเซต A และเซต B

3. จากภาพประกอบ 1
A = {1, 3, 5, 7}
B = {5, 6, 7, 8, 9}
ดังนั้น AB = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}

4. ตัวอย่ างที่ 3 กาหนด U = {1, 2, 3, ..., 20}
A = {x | x หารด้วย 3 ลงตัว}
B = {x | x หารด้วย 2 ลงตัว}
จงหา A  B
วิธีทา A = {x | x หารด้วย 3 ลงตัว}
= {3, 6, 9, 12, 15, 18}
B = {x | x หารด้วย 2 ลงตัว}
= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
ดังนั้น A  B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}

5. เขียนเป็ นแผนภาพได้ ดงนี้
ั

6. ทบทวนความเข้ าใจ
1) กาหนด U = {1, 2, 3, . . . , 30}
A = {x | x เป็ นจานวนที่ 8 หารลงตัว }
B = {x | x เป็ นจานวนที่ 7 หารลงตัว }
จงหา A  B และ B  A และเขียนแผนภาพประกอบ
วิธีทา A = ……………………………..
B = ……………………………..
AB = …………………………….
BA = …………………………….

7. ทบทวนความเข้ าใจ
1) กาหนด U = {1, 2, 3, . . . , 30}
A = {x | x เป็ นจานวนที่ 8 หารลงตัว }
B = {x | x เป็ นจานวนที่ 7 หารลงตัว }
จงหา A  B และ B  A และเขียนแผนภาพประกอบ
วิธีทา A = ……………………………..
B = ……………………………..
AB = …………………………….
BA = …………………………….

8. 2) กาหนด U = {x | x เป็ นจานวนนับ }
A = {x | x เป็ นจานวนคี่บวกที่นอยกว่า 7}
้
B = {x | x เป็ นจานวนเฉพาะที่นอยกว่า 10}
้
จงหา A  B และ B  A
3) กาหนด U = {x | x เป็ นจานวนคู่บวกที่นอยกว่า 20}
้
A = {x | x เป็ นจานวนคู่บวกที่อยูระหว่าง 4 และ 16}
่
B = {x | x2 = 16}
จงหา A  B และ B  A
4) กาหนด U = {1, 2, 3, . . . , 10}
A = {1, 2, 8} , B = {2, 4, 8, 10}
จงหา A  B และ B  A

9. อินเตอร์ เซกชันของเซต (Intersection of Sets)
พิจารณาความเกี่ยวข้ องของเซต A, B และ U
กาหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 3, 5, 7}
B = {5, 6, 7, 8, 9}
จากภาพประกอบ เซต A และเซต B มีสมาชิก 5 และ 7
ที่เป็ นสมาชิกของทั้งเซต A และเซต B
A = {1, 3, 5, 7}
B = {5, 6, 7, 8, 9}
ดังนั้น A  B ={5, 7}

10. บทนิยาม
่ ั
อินเตอร์ เซกชันของเซต A และเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยูท้ งใน
เซต A และเซต B อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A  B
สัญลักษณ์อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B คือ
A  B = {x | x  A และ x  B}

11. ตัวอย่ างที่ 1 กาหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 30}
A = {x | x หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1}
B = {x | x หารด้วย 4 ลงตัว}
จงหา A  B
วิธีทา จาก A = {x | x หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1}
= {4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28}
B = {x | x หารด้วย 4 ลงตัว}
= {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}
ดังนั้น A  B = {4, 16, 28}

12. คอมพลีเมนต์ (Complement)
พิจารณาตัวอย่ าง U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {3, 5, 7, 10}
เขียนแผนภาพแสดงเซต A และส่ วนเติมเต็มของเซต A ได้ ดงภาพประกอบ 1
ั
ภาพประกอบที่ 1
จากภาพประกอบที่ 1 ส่ วนที่แรเงาคือส่ วนเติมเต็มของเซต A

13. ่
บทนิยาม ส่ วนเติมเต็มของเซต A คือ เซตของทุกสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ U ที่ไม่อยูใน A
เขียนแทนส่ วนเติมเต็มของเซต A ด้วย A/
สัญลักษณ์ส่วนเติมเต็มของเซต A คือ
A/ ={x | x  U และ x  A}
จากภาพประกอบ 1
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {3, 5, 7, 10}
และ A/ = {1, 2, 4, 6, 8, 9}

14. ตัวอย่ างที่ 1 กาหนด U = {1, 2, 3, 4, ..., 20}
A = {x | x หารด้วย 3 หรื อ 5 ได้ลงตัว}
จงหา A/
วิธีทา เนื่องจาก A = {x | x หารด้วย 3 หรื อ 5 ได้ลงตัว}
= {3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20}
ดังนั้น A/ = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19}
12478
u
A A/
3569
10 12 15
18 20
11 13 14 16 17 19

15. ให้นกเรี ยนหาคอมพลีเมนต์ของเซตต่อไปนี้พร้อมทั้งเขียนแผนภาพ
ั

16. ผลต่ างของเซต (Set Difference)
พิจารณาตัวอย่าง
กาหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 5, 9}
B = {2, 4, 5, 8}
เขียนแผนภาพแสดงสมาชิกของเซต A ที่ไม่เป็ นสมาชิกของเซต B ได้ดงส่ วนที่แรเงา
ั
ภาพประกอบที่ 1 เราเรี ยกเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A
ที่ไม่เป็ นสมาชิกของเซต B ว่าผลต่างของเซต A และเซต B

17. บทนิยาม ผลต่างของเซต A และเซต B คือ เซตของทุกสมาชิกของเซต A ที่ไม่เป็ นสมาชิก
ของเซต B เขียนแทนผลต่างของเซต A และเซต B ด้วย A - B
สัญลักษณ์ผลต่างของเซต A และเซต B คือ
A - B = {x | x  A และ x  B}
ตัวอย่ างที่ 1 กาหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 4, 6}
B = {3, 4, 5, 6, 7}
จงหา 1) A - B และ B - A
2) U - (AB)

18. วิธีทำ เขียนแผนภาพแสดงความเกี่ยวข้ องของ A, B และ U ได้ ดงนี ้
ั
A B A B
4 3 3
1 1 4
6 5 5
2 2 6
7 7
8 9 10 8 9 10
A–B = {1, 2} B-A = {3, 5, 7}

19. A B
3
1 4
5
2 6
7
8 9 10
AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
ดังนั้น U - (AB) = {8, 9, 10}

20. ตัวอย่ าง กาหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 4, 6}
B = {3, 4, 5, 6, 7}
จงหา 1) (A  B) - B
2) A/ - (AB)
AB = {4, 6}
ดังนั้น (A  B) - B = {4, 6} - {3, 4, 5, 6, 7}
= {}

21. ตัวอย่ าง กาหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 4, 6}
B = {3, 4, 5, 6, 7}
2) A/ - (AB)
ดังนั้น A/ = {3, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A/ - (AB) = {8, 9, 10}

22. ตัวอย่ าง กาหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 4, 6}
B = {3, 4, 5, 6, 7}
C = {6, 7, 8, 9}
จงหา 1) (A - C)  B/
2) (AC)/ - (A-B)
A-C = {1, 2, 4}
B/ = {1, 2, 8, 9, 10}
(A - C)  B/ = {1, 2}

23. ตัวอย่ าง กาหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 4, 6}
B = {3, 4, 5, 6, 7}
C = {6, 7, 8, 9}
จงหา 1) (A - C)  B/
2) (AC)/ - (A-B)
AC = { 6}
(AC)/ = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}
(A - B) = {1, 2}
(AC)/ - (A-B) = {3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}

24. แบบฝึ กหัด กาหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
B = {3, 4, 5, 6, 7}
C = {5, 6, 7, 8, 9}
จงหา 1) (A - B)  C/
2) (A-C)  (A-B)
3) (AB)  (A  C)
4) (C-B)  A/
5) (B  C) – (A C)

25. จานวนสมาชิกของเซตจากัด
จานวนสมาชิกของเซตจากัด A ใด ๆ จะเขียนแทนด้ วยสั ญลักษณ์ n(A)
ซึ่งสามารถแยกโจทย์ปัญหาเกียวกับจานวนสมาชิกของเซตจากัดและแผนภาพเวนน์ -ออยเลอร์
่
สามารถใช้ แสดงการดาเนินการของเซตได้ และในการแก้ปัญหาทีเ่ กียวกับเซต
่
มักใช้ แผนภาพเวนน์ -ออยเลอร์ เพือช่ วยอธิบายความเกียวข้ องต่ างๆ
่ ่
ซึ่งช่ วยให้ การคิดคานวณ ทาได้ ง่ายขึนได้ ดังนี้
้
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C) – n(B  C)
+ n(A  B  C)

26. แบบฝึ กหัด
กาหนด n(U) = 90 , n(A) = 60, n(B) = 55 และ n(A  B)=30 จงหาจานวนสมาชิกของเซต
ในแต่ละข้อ
1. A  B
2. A-B
3. B-A
4. A/
5. B/
6. A  B/
7. A/  B/

27. นักเรียนชั้น ม. 5 โรงเรียนแห่ งหนึ่ง จานวน 100 คน ได้ รับรางวัลเรียนดี 20 คน
ได้ รับรางวัลมารยาทดี 30 คน ในจานวนนีได้ รับรางวัลทั้งสองประเภท 10 คน
้
จงหา 1. จานวนนักเรียนทั้งหมดที่ได้ รับรางวัล
2. จานวนนักเรียนทีไม่ ได้ รับรางวัล
่
วิธีทา ให้ A แทน เซตของนักเรี ยนที่ได้รับรางวัลเรี ยนดี
B แทน เซตของนักเรี ยนที่ได้รับรางวัลมารยาทดี
จากโจทย์จะได้ n(A) = 20 , n(B) = 30 , n(A  B) = 10
จาก n(A  B) = n(A) + n(B) + n(A  B)
แทนค่า n(A  B) = 20 + 30 – 10
= 40
จานวนนักเรี ยนที่ไม่ได้รับรางวัล = 100 – 40 = 60
จานวนนักเรี ยนทั้งหมดที่ได้รับรางวัล = 40

28. ตัวอย่ าง นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 4 จานวน 100 คน
ลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาจีน 43 คน
ลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาฝรั่งเศส 76 คน
ไม่ ได้ ลงทะเบียนเรียนทั้งภาษาจีนและภาษาฝรั่งเศส 10 คน
มีนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาจีนและภาษาฝรั่งเศสกีคน
่
วิธีทา ให้เรี ยนทั้งภาษาจีนและภาษาฝรั่งเศส x คน
ดังนั้น เรี ยนภาษาจีนอย่างเดียว 43-x คน
เรี ยนภาษาฝรั่งเศสอย่างเดียว 76-x คน
ไม่เรี ยนทั้งภาษาจีนและภาษาฝรั่งเศส 10 คน
นักเรี ยนชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 4 ทั้งหมด 100 คน
นาข้อมูลจากข้อ มาเขียนสมการ และหาค่า x
จะได้ x+(43-x)+(76-x)+10 = 100
x = 29

29. นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 4 จานวน 100 คน
ลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาจีน 43 คน
ลงทะเบียนเรี ยนวิชาภาษาฝรั่งเศส 76 คน
ไม่ ได้ ลงทะเบียนเรียนทั้งภาษาจีนและภาษาฝรั่งเศส 10 คน
มีนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาจีนและภาษาฝรั่งเศสกีคน
่
วิธีทา ให้เรี ยนทั้งภาษาจีนและภาษาฝรั่งเศส x คน
ดังนั้น เรี ยนภาษาจีนอย่างเดียว 43-x คน
เรี ยนภาษาฝรั่งเศสอย่างเดียว 76-x คน
ไม่เรี ยนทั้งภาษาจีนและภาษาฝรั่งเศส 10 คน
นักเรี ยนชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 4 ทั้งหมด 100 คน