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1. OSCILACIONES
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.-
DEFINICIÓN Se llama movimiento armónico simple a todo
movimiento PERIÓDICO en torno de una POSICIÓN DE
EQUILIBRIO estable.
Este movimiento se origina cuándo sobre un objeto actúa
una fuerza de restauración proporcional a la deformación (o
elongación) del objeto respecto a la posición de equilibrio
(F=-kx) o cuando es sometido a un torque de restauración
( =- θ)

2. Ejemplo 1E
𝐹𝑖 = 𝑚𝑎
−kx = m𝑥
k𝑥 + 𝑚𝑥 = 0
𝑥 +
𝑘
𝑚
𝑥=0
𝑥 + 𝑞𝑥= 0 → Ecuación diferencial
↓ del MAS donde q =
𝑘
𝑚
fuerza por unidad de masa
Ejemplo 22
𝑖 = 𝐼𝛼
−𝑚𝑔𝑏𝑚𝑔 = 𝑚𝐿2𝜃
−𝑚𝑔𝐿 sin 𝜃 = 𝑚𝐿2
𝜃
−𝑔 sin 𝜃 = L𝜃
𝜃 +
𝑔
𝐿
sin 𝜃 = 0 Para θ pequeño senθ≈θ
𝜃 + 𝑞𝜃 = 0
Ecuación diferencial del MAS donde q =
𝑔
𝐿
V=
0
θ
bmg
=Lsen θ
L
m
T
O
θo
x
v
vo
Lo
Posición de equilibrio
estable
m
A
V=0
Amplitud
K

3. • SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MAS
• 𝑥 + 𝑞𝑥 = 0
•
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −𝑞𝑥
• 𝑑𝑥 =- qx(dt)
• 𝑑𝑥 = − 𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
•
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −𝑞𝑥𝑑𝑥
• Por integración directa
•
1
2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
2
= −𝑞
1
2
𝑥2
•
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= ± −𝑞x → 𝑖 = −1
•
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= ∓𝑖 𝑞x →
𝑑𝑥
𝑥
= ∓𝑖 𝑞𝑑𝑡 → 𝑙𝑛
𝑥
𝑥𝑜
= ±𝑖 𝑞𝑡 → 𝑥 =
𝑥𝑜𝑒±𝑖 𝑞𝑡

4. 𝑥 = 𝐵𝑒𝑖 𝑞𝑡 + 𝐶𝑒−𝑖 𝑞𝑡
𝑥 = 𝐵 cos 𝑞𝑡 + 𝑖 sin 𝑞𝑡 + 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑡 − 𝑖 sin 𝑞𝑡
𝑥 = 𝐵 + 𝐶 cos 𝑞𝑡 + 𝐵 − 𝐶 𝑖 sin 𝑞𝑡
Como la solución es real
𝑥 = 𝐴 cos 𝑞𝑡 + ɸ donde A = B+C

5. El MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Mientras P describe una trayectoria circular de radio A con velocidad angular
constante 𝜔𝑛, P‘ se mueve sobre el eje X entre x = A y x = -A realizando un
movimiento periódico con un período T y una frecuencia angular 𝜔𝑛 iguales a los del
movimiento circular
De la figura vemos que
𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑛𝑡
Derivando tenemos
𝑥 = −𝐴𝜔𝑛 sin 𝜔𝑛𝑡
Volviendo a derivar tenemos
𝑥 = −𝐴 𝜔𝑛
2 cos 𝜔𝑛𝑡 = − 𝜔𝑛
2(𝐴 cos 𝜔𝑛𝑡)
𝑥 = − 𝜔𝑛
2
x
𝑥 + 𝜔𝑛
2
𝑥 = 0 ↔ 𝑥 + 𝑞𝑥= 0
Comparando esta ecuación con la del ejemplo 1 tenemos que:
𝜔𝑛
2
= 𝑞 ó 𝜔𝑛= 𝑞
Es decir, la frecuencia angular natural de oscilación de un MAS es la raíz cuadrada del
coeficiente q de x y viene expresada en rad/s.
X
A
P
P'
θ= 𝜔𝑛t
b a
X
Y

6. .
𝜔 =
∆𝜃
∆𝑡
→ ∆𝜃 = 𝜔∆𝑡 → 2𝜋 = 𝜔𝑇 → 𝑇 =
2𝜋
𝜔
𝑓 =
1
𝑇
→ 𝑓 =
𝜔
2𝜋
(
1
𝑠
)
Hertz (Hz)
𝜔 = 2𝜋𝑓

7. Para encontrar la ecuación diferencial de un sistema físico que realiza un
movimiento armónico simple se puede usar:
a) el método dinámico (como en los ejemplos 1 y 2)
es decir,
𝐹𝑖 = 𝑚𝑎
ó 𝑖 = 𝐼𝛼
b) El método energético. Usa el hecho físico de que en un MAS no existe
disipación de energía y por tanto la energía mecánica es constante
E = K + U = ctte
Derivando
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑑𝐾
𝑑𝑡
+
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= 0

8. .
Ejemplo 3.- Para un sistema masa resorte, de masa
m=2 kg, A = 0,05 m, k = 200 N/m, encuentre la:
ecuación diferencial y solución, si xo =A m y Vo = 0
MÉTODO DINÁMICO
Del ejemplo 1 y de la solución general para la
ecuación diferencial del MAS tenemos
−kx = m𝑥
𝑥 +
𝑘
𝑚
𝑥 = 0
𝑥 = 𝐴 cos 𝑞𝑡 + ɸ = 𝐴 cos
𝑘
𝑚
𝑡 + ɸ
𝑥 = 0,05 cos
200
2
𝑡 + ɸ = 0,05 cos 10𝑡 + ɸ
Como en t = 0 x =A=0,05
0,05 = 0,05 cos ɸ → cos ɸ = 1 → ɸ = 0,
con lo que
𝑥 = 0,05 cos 10𝑡
Su frecuencia natural es 10 rad/s
MÉTODO ENERGÉTICO
En este ejemplo
𝒌 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒙𝟐
y 𝑼 =
𝟏
𝟐
𝒌𝒙𝟐
𝑑𝐾
𝑑𝑡
+
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= 0
𝒎𝒙𝒙 + 𝒌𝒙𝒙 = 𝟎
𝒎𝒙 + 𝒌𝒙 = 𝟎
𝒙 +
𝒌
𝒎
𝒙 = 𝟎
Cuya solución es
𝑥 = 0,05 cos
200
2
𝑡 + ɸ = 0,05 cos 10𝑡 + ɸ
Y por las condiciones iniciales se mostro que ɸ = 0 y
la solución es
𝑥 = 0,05 cos 10𝑡
Su frecuencia natural es 10 rad/s y su período T será
𝑇 =
2𝜋
𝜔𝑛
=
2𝜋
10
= 0,628 s f= 𝜔𝑛/2𝜋 = 1,59 Hz
V=0
Amplitud
A
Posición de equilibrio
estable

9. .
Ejemplo 4.- Hallar la: ecuación diferencial , solución. frecuencia angular natural, frecuencia
y el período, para un péndulo simple de longitud L = 0,5 m por el método de energía
𝑘 =
1
2
𝐼𝜔2
y 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔𝐿 1 − cos 𝜃
𝑑𝐾
𝑑𝑡
+
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= 0
𝑑
1
2
𝐼𝜔2
𝑑𝑡
+
𝑑 𝑚𝑔𝐿 1 − cos 𝜃
𝑑𝑡
= 0
𝐼𝜔
𝑑𝜔
𝑑𝑡
+ 𝑚𝑔𝐿 sin 𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 0
𝐼𝜔
𝑑𝜔
𝑑𝑡
+ 𝑚𝑔𝐿 sin 𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 0 como I = m𝐿2
m𝐿2𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑚𝑔𝐿 sin 𝜃 𝜃 = 0 → 𝐿𝜃 + 𝑔 sin 𝜃 = 0 → Para θ pequeño sen θ ≈ θ
𝜃 +
𝑔
𝐿
θ = 0 → 𝜃 = 𝜃𝑜𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛𝑡 + ɸ) → por las cond. iniciales ɸ = 0
𝜃 = 𝜃𝑜𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛𝑡)
𝜔𝑛=
𝑔
𝐿
=
9,8
0,5
= 4,427
𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑇 =
2𝜋
𝜔𝑛
=
2𝜋
4,427
= 1,419 s, la frecuencia del péndulo
es 𝑓 =
𝜔
2𝜋
=
4,427
2𝜋
= 0,704 𝐻𝑧
V=0
θ
bmg
=Lsen θ
L
m
T
O
θo
h = L-Lcos θ

10. :
Ejemplo 5.- Una partícula en movimiento armónico simple tiene un desplazamiento
inicial de 0,043 m y una velocidad inicial de -3,2 m/s, su masa es m = 4 Kg y su energía
total es de 79,5 J. a)Escriba la solución y b) encuentre la distancia viajada por la
partícula en 0,4 s.
𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑛𝑡 + ɸ → 𝑥𝑜 = 𝐴 cos ɸ (1)
𝑥 = −𝐴𝜔𝑛 sin(𝜔𝑛𝑡 + ɸ) → 𝑥𝑜 = −𝐴𝜔𝑛 sin ɸ (2)
𝑥𝑀𝑎𝑥 = 𝐴𝜔𝑛
𝑥 = −𝐴 𝜔𝑛
2
cos(𝜔𝑛𝑡 + ɸ)
𝐸 = 𝐾𝑚𝑎𝑥 =
1
2
𝑚 𝑥𝑚𝑎𝑥
2
=
1
2
𝑚 𝐴𝜔𝑛
2
𝐴𝜔𝑛
2 =
2𝐸
𝑚
=
2∗79,5
4
= 39,75 → 𝐴𝜔𝑛 = 6,304 m/s (3)
De (2) −3,2 = −6,304 sin ɸ → sin 𝜙 = 0,504 → 𝜙 = 30,26ᵒ →𝜙 = 0,528 𝑟𝑎𝑑
De (1) 𝐴 =
𝑥𝑜
cos 𝜙
=
0,043
cos 30,26
= 0,05
De (3) 𝜔𝑛 =
6,304
𝐴
=
6,304
,05
= 126,08 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑥 = 0,05 cos 126,08𝑡 + 0,528

11. :
b) 𝑇 =
2𝜋
𝜔𝑛
=
2𝜋
126,08
= 0,049 s
La distancia recorrida será igual al # de oscilaciones multiplicado por 4A donde 4A es la
distancia que recorre en cada oscilación.
El # de oscilaciones N es
𝑁 =
𝑡
𝑇
=
0,4
0,049
= 8,16 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑑 = 𝑁 ∗ 4𝐴 = 8,16 ∗ 4 ∗0, 05 𝑑 =1,632 m
Ejemplo 6.- Dos resortes están unidos a un bloque de masa m que puede deslizarse
libremente sobre una superficie sin fricción, como se muestra en la figura..
a) Demuestre que la frecuencia de oscilación del bloquees:
𝑓 =
1
2𝜋
𝑘1+𝑘2
𝑚
b) Escriba la elongación en función del tiempo si en t=0 x=0 y v = v0

12. .
Usando el método de energía
a) 𝒌 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒙𝟐
y 𝑼 =
𝟏
𝟐
𝒌𝟏𝒙𝟐
+
𝟏
𝟐
𝒌𝟐𝒙𝟐
𝟏
𝟐
𝒎𝒙𝟐
+
𝟏
𝟐
𝒌𝟏𝒙𝟐
+
𝟏
𝟐
𝒌𝟐𝒙𝟐
=Ctte
Derivando
𝑚𝑥𝑥 + 𝑘1𝑥𝑥 + 𝑘2𝑥𝑥 = 0
𝑚𝑥 + 𝑘1𝑥 + 𝑘2𝑥 = 0
𝑚𝑥 + (𝑘1+𝑘2)𝑥 = 0
𝑥 +
(𝑘1+𝑘2)
𝑚
𝑥 = 0
𝜔𝑛
2
=
(𝑘1+𝑘2)
𝑚
𝜔𝑛 =
𝑘1+𝑘2
𝑚
como 2𝜋𝑓 = 𝜔 𝑓 =
𝜔
2𝜋
𝑓 =
1
2𝜋
𝑘1+𝑘2
𝑚
𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑛𝑡+ɸ) en t = 0 𝑜 = 𝐴 cos(ɸ) ɸ = n𝜋/2
𝑥 − 𝐴𝜔𝑛 sin(𝜔𝑛𝑡 + ɸ) en t = 0 y n=-1 Vo =−𝐴𝜔𝑛 sin(−𝜋/2) → 𝑉
𝑜 = 𝐴𝜔𝑛
Despejando A = Vo/𝜔𝑛= 𝑉
𝑜
𝑚
𝑘1+𝑘2
𝑥 = 𝑉
𝑜
𝑚
𝑘1+𝑘2
cos
𝑘1+𝑘2
𝑚
−
𝜋
2
x
x
k1 k2
m

13. .
Ejemplo 7.- Encontrar la ecuación diferencial para un sistema masa - resorte que
oscila verticalmente.
Si a partir de la nueva posición de equilibrio estiramos el resorte, hasta que su
deformación sea Yo+A, mediante la aplicación de una fuerza externa Fext, y luego
soltamos, el bloque adquirirá un MAS al rededor de la nueva posición de equilibrio.
En una posición cualquiera «y» tenemos que
−𝑘𝑦 + 𝑚𝑔 = 𝑚𝑦 donde y = Yo+y‘
−𝑘(Yo+y‘) + 𝑚𝑔 = 𝑚𝑦
Lo
Yo
Posición de
equilibrio estable
mg
kYo
mg = kYo
k
A
mg
Fext
K(Yo+A)
Yo+A
Y
Y
Y'

14. .
−𝑘Yo− ky‘ + 𝑚𝑔 = 𝑚𝑦′ pero 𝑘Yo = mg
−𝑚𝑔− ky‘ + 𝑚𝑔 = 𝑦′
Resultando la ecuación
−𝑘𝑦 = 𝑚𝑦′ → m 𝑦′+ky = 0
𝑦′ +
𝑘
𝑚
y = 0
Esta ecuación muestra que el bloque oscila con la misma frecuencia que si el sistema
estuviese sobre una superficie horizontal sin fricción, en otras palabras como si no
habría la fuerza mg y eso es lógico porque en todo momento esta fuerza es anulada
por kyo , solo que ya no oscila en torno de y = 0 sino en torno de y = yo.
𝑦′

15. ..
Ejemplo 8 Hallar la ecuación diferencial, la solución y la frecuencia de oscilación del sistema mostrado.
Considere la polea como un disco uniforme
De la figura y por la cinemática del movimiento
Circular tenemos que
𝑥 = 𝑉 = Ω𝑅 → Ω =
𝑥
𝑅
El momento de inercia de la polea es 𝐼 =
1
2
𝑀𝑅2
Usaremos el método energético para encontrar
la ecuación diferencial
𝐾 =
1
2
𝑚𝑉2
+
1
2
𝐼Ω2
=
1
2
𝑚𝑥2
+
1
2
1
2
𝑀𝑅2 𝑥
𝑅
2
=
1
2
𝑚𝑥2
+
1
4
𝑀 𝑥 2
K =
1
4
2𝑚 + 𝑀 𝑥2
𝑈 =
1
2
𝑘𝑥2 como vimos no es necesario considera la energía potencial gravitacional
𝑑𝐾
𝑑𝑡
+
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= 0 →
𝑑
1
4
2𝑚+𝑀 𝑥2
𝑑𝑡
+
𝑑
1
2
𝑘𝑥2
𝑑𝑡
= 0 →
1
4
2𝑚 + 𝑀 2𝑥𝑥 +
1
2
𝑘2𝑥𝑥 = 0
1
2
2𝑚 + 𝑀 𝑥 + 𝑘𝑥 = 0 → 𝑥 +
2𝑘
2𝑚+𝑀
𝑥 = 0
k
x
x
m
M, R
V
Ω
P

16. .
𝜔𝑛 =
2𝑘
2𝑚+𝑀
la solución será: 𝑥 = 𝐴 cos
2𝑘
2𝑚+𝑀
𝑡 + 𝜙
a) 1 oscilación en 16 s 1 s → 1/16
f = 0,0625 Hz
b) A = 10 cm
c) T = 16 s
d) ωn = 2 𝜋f = 2𝜋(0,0625) = 0,393 rad/ s

17. .
Ejemplo.- Para el sistema de la figura determine la ecuación diferencial del
movimiento armónico simple, su frecuencia y su solución . La polea es ideal.
Método energético
𝐾 =
1
2
𝑚𝑥2
𝑈 =
1
2
𝑘
𝑥
2
2
𝑑𝐾
𝑑𝑡
+
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= 0
𝑑
1
2
𝑚𝑥2
𝑑𝑡
+
𝑑
1
2
𝑘
𝑥
4
2
𝑑𝑡
= 0
𝑚𝑥𝑥 + 𝑘
1
4
𝑥𝑥 = 0
𝑥 +
𝑘
4𝑚
𝑥 = 0
𝜔𝑛 =
1
2
𝑘
𝑚
→ 𝑓 =
1
4𝜋
𝑘
𝑚
→ 𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑛𝑡+ɸ)
𝑥 = 𝐴 cos(
1
2
𝑘
𝑚
𝑡+ɸ)
k
m
x/2
x

18. .
a) En la posición de equilibrio la energía
total es:
𝐸1 =
1
2
𝑀 𝑣1
2
En x = A1
𝐸1 =
1
2
𝑘 𝐴1
2
Por tanto
1
2
𝑀 𝑣1
2
=
1
2
𝑘 𝐴1
2
𝑣1 = 𝐴1
𝑘
𝑀
Después que se deposita la masa por conservación del momento lineal
𝑣2 =
𝑀
𝑀+𝑚
𝑣1

19. .
.Después de depositar la masa m 1
2
𝑘 𝐴2
2
=
1
2
𝑀 + 𝑚 𝑣2
2
1
2
𝑘 𝐴2
2
=
1
2
𝑀 + 𝑚
𝑀
𝑀+𝑚
𝑣1
2
1
2
𝑘 𝐴2
2
=
𝑀
𝑀+𝑚
1
2
𝑀 𝑣1
2
1
2
𝑘 𝐴2
2
=
𝑀
𝑀+𝑚
1
2
𝑘 𝐴1
2
𝐴2
2
=
𝑀
𝑀 + 𝑚
𝐴1
2
𝐴2 =
𝑀
𝑀+𝑚
𝐴1 como 𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝑘
𝑇2 = 2𝜋
𝑀+𝑚
𝑘
b) Como en el momento en que se deposita la masa tanto el momento lineal como la energía cinética es cero
La energía mecánica es igual a la potencial
𝐸 =
1
2
𝑘 𝐴1
2
inmediatamente después que se deposito la energía cinética sigue siendo cero y y como la
amplitud sigue siendo la misma la energía total es
𝐸 =
1
2
𝑘 𝐴2
2
El período será: 𝑇2 = 2𝜋
𝑀+𝑚
𝑘

20. .
P1.- Una partícula de masa m=0,2 kg. Se mueve según la ecuación:
𝑋 = 0,08 cos 20𝜋𝑡 +
𝜋
4
𝑚
Encuentre: La velocidad, la aceleración de la partícula, y la fuerza que actúa sobre ella.
Sabemos que: sin 𝜃 = − cos 𝜃 +
𝜋
2
P2.- Para el problema anterior encuentre la energía cinética y la energía potencial.
P3.- Determinar el periodo de oscilación de un péndulo en un ascensor que se mueve:
a) Con aceleración dirigida «a» hacia arriba. b) Con aceleración «a» dirigida hacia abajo.
P4.- Un bloque de masa desconocida está unido a un resorte de constante elástica 6,5 N/m y
experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de 0,1 m. Cuando el bloque está a la
mitad entre su posición de equilibrio y el punto extremo, su rapidez medida es 0,30 m/s. Calcule a) la
masa del bloque, b) el periodo del movimiento y c) la máxima aceleración del bloque.
P5.- Una placa de acero de masa “m” oscila como se muestra
en la figura. Hallar la frecuencia natural de oscilación y
el periodo del sistema.

21. .
• . P1.- Una partícula de masa m=0,2 kg. Se mueve según la ecuación:
• 𝑋 = 0,08cos 20𝜋𝑡 +
𝜋
4
𝑚
• Encuentre: La velocidad, la aceleración de la partícula, y la fuerza que actúa sobre ella.
• Sabemos que: sin 𝜃 = − cos 𝜃 +
𝜋
2
• Resp. 𝑥 = 1.6𝜋 cos 20𝜋𝑡 +
3𝜋
4
[m/seg.], 𝑥 = 32𝜋2
cos 20𝜋𝑡 +
5𝜋
4
[m/seg2]
• 𝐹 = 6.4𝜋2
cos 20𝜋𝑡 +
5𝜋
4
[N]
•
• P2.- Para el problema anterior encuentre la energía cinética y la energía potencial.
• Resp. 𝐸𝐾 = 2.5cos2
20𝜋𝑡 +
3
4
𝜋 ; 𝑈 = 2.5cos2
20𝜋𝑡 +
5
4
𝜋
• P3.- Determinar el periodo de oscilación de un péndulo en un ascensor que se mueve:
• a) Con aceleración dirigida hacia arriba. b) Con aceleración dirigida hacia abajo.
• Resp. a: 𝑇 = 2𝜋
𝐿
𝑔+𝑎
; b: 𝑇 = 2𝜋
𝐿
𝑔−𝑎
• P4.- Un bloque de masa desconocida está unido a un resorte de constante elástica 6,5 N/m y experimenta un
• movimiento armónico simple con una amplitud de 0,1 m. Cuando el bloque está a la mitad entre su posición de
• equilibrio y el punto extremo, su rapidez medida es 0,30 m/s. Calcule a) la masa del bloque, b) el periodo del movimiento y
• c) la máxima aceleración del
• bloque.
• Resp. a) m = 0,542 Kg, b) T = 1,81 s, c) 1,20 m/s2
• P5.- Una placa de acero de masa “m” oscila como se muestra en la figura. Hallar la frecuencia natural de oscilación y el periodo del sistema.
•
• Resp. 𝜔 =
3𝑔
5𝑏
; 𝑇 = 2𝜋
5𝑏
3𝑔
•

22. .
PÉNDULO FÍSICO
Un péndulo Físico está formado por un objeto suspendido de un punto cualquiera de
él, como el que se muestra en la figura,
𝜏𝐴𝑖 = 𝐼𝐴 ∗ 𝛼
−𝑚𝑔𝑑 sin 𝜃 = 𝐼𝐴𝜃 Para ángulos pequeños senθ = θ
-mgdθ =𝐼𝐴𝜃
𝐼𝐴𝜃 + 𝑚𝑔𝑑𝜃 = 0 → 𝜽 +
𝒎𝒈𝒅
𝑰𝑨
𝜽 = 𝟎
d es la distancia del CM al punto de suspensión A
𝜔𝑛 =
𝑚𝑔𝑑
𝐼𝐴
→ 𝑓 =
1
2𝜋
𝑚𝑔𝑑
𝐼𝐴
→ 𝑇 = 2𝜋
𝐼𝐴
𝑚𝑔𝑑
A
CM
mg
d sen θ
d
θ

23. .
Ejemplo Calcular la frecuencia y el período de una barra uniforme, de longitud L, que
cuelga de uno de sus extremos
El momento de inercia de una barra respecto de un eje
que pasa por uno de sus extremos es:
𝐼𝐴 =
1
3
𝑚𝐿2
𝑓 =
1
2𝜋
𝑚𝑔
𝐿
2
𝐼𝐴
=
1
2𝜋
𝑚𝑔
𝐿
2
1
3
𝑚𝐿2
=
1
2𝜋
3𝑔
2𝐿
𝑇 =
1
𝑓
→ 𝑇 = 2𝜋
2𝐿
3𝑔
→ ω𝑛 =
3𝑔
2𝐿
A
CM
mg
L/2 sen θ
L
θ
d

24. .
P5.- Una placa de acero de masa “m” oscila como se muestra en la figura. Hallar la
frecuencia natural de oscilación y el periodo del sistema.
El momento de inercia respecto del eje G que es
perpendicular a la placa es 𝐼𝐺 =
𝑚 2𝑏 2
6
, G es el CM de la placa
Respecto del eje O paralelo al eje G es
𝐼𝐴 =
10𝑚𝑏2
6
𝜔𝑛 =
𝑚𝑔𝑑
𝐼𝐴
=
𝑚𝑔𝑏
10𝑚𝑏2
6
𝜔𝑛 =
3𝑔
5𝑏
CM
d
A

25. MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO
.Inicialmente discutimos el caso del MAS ideal, en el cual la energía total permanece
ctte. Y los desplazamientos siguen una curva co-sinusoidal (o sinusoidal),
aparentemente por un tiempo infinito. En la realidad algo de energía es disipada, en
cada oscilación, por un proceso resistivo o viscoso, la presencia de esta resistencia al
movimiento significa que una nueva fuerza está activa, tomaremos el caso en el que
esta fuerza es proporcional a la velocidad (𝐹𝑑𝑖𝑠 = −𝑏𝑥) y actúa siempre opuesta a la
aceleración del sistema
𝐹𝑖 = 𝑚𝑥
−𝐺𝑥 − 𝑏𝑥 = 𝑚𝑥
-Gx es la fuerza de restauración
-b𝑥 es la fuerza resistiva b es una ctte. que describe la intensidad de la fuerza
amortiguadora y es conocida como ctte. de fricción fluida.
𝑥 +
𝑏
𝑚
𝑥 +
𝐺
𝑚
𝑥 = 0 → si llamamos p =
𝑏
𝑚
y q =
𝐺
𝑚
=𝜔𝑛
2
𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 = 0 EC. 1
𝑥
𝐹𝑑𝑖𝑠

26. .
Para resolver la ecuación diferencial anterior( 𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 = 0) usaremos sin
demostración el método de solución de la teoría de ecuaciones diferenciales basado
en la ecuación auxiliar que tiene la forma
𝑚2
+ 𝑝𝑚 + 𝑞 = 0
Cuyas raíces están dadas por
𝑝2
< 4𝑞 Movimiento armónico levemente amortiguado
𝑚 =
−𝑝± 𝑝2−4𝑞
2
𝑝2 = 4𝑞 Movimiento críticamente amortiguado
𝑝2
> 4𝑞 Movimiento sobre amortiguado
Fig. del libro de Serway Física para
ciencias e ingeniería volumen 1

27. MOVIMIENTO ARMÓNICO LEVEMENTE AMORTIGUADO
𝑚 =
−𝑝± 𝑝2−4𝑞
2
=
−𝑝± −1 −𝑝2+4𝑞
2
=
−1 4 𝑞−
𝑝2
4
2
𝜆 = −
𝑝
2
Parámetro de amortiguamiento
𝑚 =
−𝑝
2
± 𝑖 𝑞 −
𝑝2
4
𝜇 = 𝑞 −
𝑝2
4
Frecuencia de oscilación del
movimiento amortiguado 𝜔𝑑
La solución a la ecuación 1 es:
𝑥 = 𝐵𝑒 𝜆+𝑖𝜇 𝑡
+C𝑒 𝜆−𝑖𝜇 𝑡
𝑥 = 𝑒𝜆𝑡
𝐵𝑒 𝑖𝜇 𝑡
+ 𝐶𝑒 −𝑖𝜇 𝑡
tarea demuestre que esta solución se
puede escribir como:
𝑥 = 𝑒𝜆𝑡
𝐸 cos 𝜇𝑡 + 𝐹 sin 𝜇𝑡
Que también puede escribirse como
𝑥 = 𝐴𝑜𝑒λ𝑡
cos 𝜇𝑡 + 𝜙
Las cttes. E y F o el ángulo de fase inicial se determinan usando las condiciones iniciales del
movimiento
.

28. .
Existen varios parámetros relacionados con el grado de amortiguación de una oscilación,
entre ellos tenemos
a) El decremento logarítmico (δ) que esta
definido de la siguiente manera:
𝛿 = 𝑙𝑛
𝐴𝑜
𝐴1
b) La razón de amortiguamiento definido por
𝜁 =
𝑏
𝑏𝑐
bc es la constante de fricción fluida que
corresponde a la situación críticamente amortiguada.
Se puede mostrar que
𝛿 =
2𝜋𝜁
1−𝜁2
Y que 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 1 − 𝜁2
𝑨𝒐 𝑨𝟏

29. .
Ejemplo 1.- El movimiento de una masa de 2 kg está descrita por la ecuación
𝑥 + 4𝑥 + 13𝑥 = 0
a) Encuentre la solución
b) Determine la ctte. De fricción fluida «b»
c) La frecuencia angular natural 𝜛𝑛
d) La frecuencia del movimiento amortiguado 𝜔𝑑
e) El parámetro de amortiguamiento 𝜆
Si en t=0 x = 1 m y 𝑥 = 0
La ecuación auxiliar auxiliar es 𝑚2
+ 4𝑚 + 13 = 0
De donde 𝑚 = −2 ± 3𝑖
𝜆 = −2 𝑠−1
y 𝜇 = 3 rad/s
La solución será 𝑥 = 𝑒−2𝑡
𝐸 cos 3𝑡 + 𝐹 sin 3𝑡
En t=0 x=1 1 = 𝐸 cos 0 + 𝐹 sin 0 → E = 1
En t=0 𝑥 = 0 𝑥 = −2𝑒−2𝑡
𝐸 cos 3𝑡 + 𝐹 sin 3𝑡 + 𝑒−2𝑡
−3𝐸 sin 3𝑡 + 3𝐹 cos 3𝑡
0 = −2 𝐸 cos 0 + 𝐹 sin 0 + −3𝐸 sin 0 + 3𝐹 cos 0
0 = −2 𝐸 + 3𝐹 0 = −2 + 3𝐹 → 𝐹 =
2
3

30. .
𝑥 = 𝑒−2𝑡
cos 3𝑡 +
2
3
sin 3𝑡
b) b = pm =4*2 = 8 kg/s
c) 𝜔 𝑛 = 𝑞 = 13 = 3,60
𝑟𝑎𝑑
𝑠
d) 𝜔𝑑 = 𝜇 = 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠
e) 𝜆 = −2 𝑠−1

31. .
MOVIMIENTO CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO
Considerando la ecuación diferencial de los movimientos amortiguados,
𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 = 0
Y su ecuación auxiliar 𝑚2 + 𝑝𝑚 + 𝑞 = 0
El movimiento críticamente amortiguado se da cuando 𝑝2
= 4𝑞
𝑚 =
−𝑝± 𝑝2−4𝑞
2
=
−𝑝
2
Por lo que 𝜆 = −
𝑝
2
y 𝜇 = 𝑞 −
𝑝2
4
= 0
Por lo que la solución particular es
𝑥 = 𝑒𝜆𝑡
𝐵𝑒 𝑖𝜇 𝑡
+ 𝐶𝑒 −𝑖𝜇 𝑡
Que se reduce a 𝑥 = 𝑒−
𝑝
2
𝑡
𝐵 + 𝐶 → B+C =D
𝑥 = 𝐷𝑒−
𝑝
2
𝑡
En ecuaciones diferenciales se muestra que la solución general es
𝑥 = (𝐴𝑡 + 𝐵)𝑒−
𝑝
2
𝑡
Las constantes A y B se determinan por las condiciones iniciales

32. .
Ejemplo 2.- Un objeto de masa m=3 Kg se mueve según la ecuación 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 0
Si en t=0 x=0 y v=4 cm/s, encontrar:
a) Que tipo de amortiguación tiene
b) La solución
c) La ctte de fricción fluida
d) La frecuencia natural
e) La frecuencia amortiguada
su ecuación auxiliar es 𝑚2 + 2𝑚 + 1 = 0
𝑚 =
−2± 22−4(1)
2
=
−𝑝
2
=-1
a) En este caso 𝑝2 = 4𝑞 el movimiento es críticamente amortiguado
b) La solución es 𝑥 = (𝐴𝑡 + 𝐵)𝑒−𝑡
0 = (𝐵)𝑒0
B = 0
𝑥 = 𝐴𝑒−𝑡 + 𝐴𝑡 + 𝐵 −1 𝑒−𝑡 A = 4 cm/s
Por lo que 𝑥 = 4𝑡𝑒−𝑡
c) 𝑏𝑐 = 𝑝𝑚 = 2 ∗ 3 = 6; d) 𝜔𝑛 = 𝑞 = 1 = 1rad/s; e) 𝜇 = 𝑞 −
𝑝2
4
= 1 −
22
4
= 0

33. MOVIMIENTO SOBRE AMORTIGUADO
Considerando la ecuación diferencial de los movimientos amortiguados,
𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 = 0
Y su ecuación auxiliar 𝑚2
+ 𝑝𝑚 + 𝑞 = 0
El movimiento sobre amortiguado se da cuando 𝑝2 > 4𝑞
𝑚 =
−𝑝± 𝑝2−4𝑞
2
Por lo que sus raíces serán
𝑚1 =
−𝑝
2
+
𝑝2
4
− 𝑞 = 𝛼
𝑚2 =
−𝑝
2
−
𝑝2
4
− 𝑞 = β
Y la solución será
𝑥 = 𝐵𝑒𝛼𝑡
+ 𝐶𝑒𝛽𝑡
Las constantes B y C se determinan por las condiciones iniciales

34. .
Ejemplo3.- Resuelva la ecuación diferencial 𝑥 + 5𝑥 + 4𝑥 = 0 con las condiciones
iniciales en t= 0 x=4 y 𝑥 = 0
𝑚 =
−𝑝± 𝑝2−4𝑞
2
=
−5± 52−4∗4
2
=
−5±3
2
Como 𝑝2
> 4𝑞 el movimiento es sobre amortiguado entonces
𝑚1 = 𝛼 = −1; 𝑚2 = 𝛽 = −4
𝑥 = 𝐵𝑒𝛼𝑡
+ 𝐶𝑒𝛽𝑡
𝑥 = 𝐵𝑒−1𝑡
+ 𝐶𝑒−4𝑡
en t=0 4 = 𝐵 + 𝐶
𝑥 = −𝐵𝑒−𝑡
− 4𝐶𝑒−4𝑡
en t=0 0= -B – 4C
De donde B=16/3 y C = -4/3
𝑥 =
16
3
𝑒−𝑡
−
4
3
𝑒−4𝑡

35. .
Ejemplo 4.- suponiendo que el sistema del ejemplo 1 (m=2kg) de esta sección es un
sistema masa resorte (𝑥 + 4𝑥 + 13𝑥 = 0) 𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 = 0
a) Escriba la solución (𝑥 = 𝑒−2𝑡
cos 3𝑡 +
2
3
sin 3𝑡 ) 𝑥 = 𝑒𝜆𝑡
𝐸 cos 𝜇𝑡 + 𝐹 sin 𝜇𝑡
b) Calcule las frecuencias 𝜔𝑛 𝑦 𝜔𝑑
c) Calcule los coeficiente de fricción fluida b y 𝑏𝑐
d) Calcule la razón de amortiguamiento 𝜁
e) Calcule el decremento logarítmico 𝛿
𝜔𝑛 = 𝑞 𝜔𝑑 = 𝑞 −
𝑝2
4
= 𝜇

36. Movimientos forzados
En este caso se añade una nueva fuerza llamada fuerza perturba tris 𝐹𝑚á𝑥 cos 𝜔𝑡 donde ω es la frecuencia de la fuerza
perturba tris y F su amplitud
Sin demostración daremos la amplitud de la oscilación forzada
𝐴 =
𝐹𝑚á𝑥
𝑘 − 𝑚𝜔2 2 + 𝑏2𝜔2
Si ω= 𝜔𝑛=
𝑘
𝑚
el paréntesis del radical se hace cero y A alcanza su valor máximo
𝐴𝑚á𝑥 =
𝐹𝑚á𝑥
𝑏𝜔𝑛
Cuando A alcanza su valor máximo se dice que el oscilador está en resonancia, fenómeno por demás importante. A
medida que b tiende a cero 𝐴𝑚á𝑥 tiende a ∞
𝐹𝑖 = 𝑚𝑥
𝐹𝑚á𝑥cosωt−𝑏𝑥 − 𝐺𝑥 = 𝑚𝑥
𝜔𝑛
𝜔𝑑
𝜔𝑛
Fig. del libro de Serway Física para
ciencias e ingeniería volumen 1

37. .
Problema libro sears Z, 12 ed
𝐴𝑚á𝑥 =
𝐹𝑚á𝑥
𝑏𝜔𝑛
→ 𝐴1 =
𝐹𝑚𝑎𝑥
𝑏1𝜔𝑛
a) Si b=3𝑏1 𝐴2 =
𝐹𝑚𝑎𝑥
3𝑏1𝜔𝑛
=
𝐴1
3
b) Si b=
𝑏1
2
𝐴3 =
𝐹𝑚𝑎𝑥
𝑏1
2
𝜔𝑛
= 2𝐴1

38. PROBLEMAS VARIADOS
Problema libro sears Z, 12 ed
𝜔𝑛 =
𝑘
𝑚
=
2,1∗106
108
= 139,44 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑓 =
𝜔𝑛
2𝜋
=
139,44
2𝜋
= 22,193 𝐻𝑧
Como f<35 no satisface el requisito de la NASA

39. .
Problema libro sears Z, 12 ed
𝜏𝑜𝑖 = 𝐼𝑜𝛼 → - 𝑘𝑥 𝑦 =
1
12
𝑚𝐿2
𝜃 → - 𝑘
𝐿
2
sin 𝜃
𝐿
2
cos 𝜃 =
1
12
𝑚𝐿2
𝜃
Para θ pequeño senθ=θ y cosθ=1
- 𝑘θ =
1
3
𝑚𝜃 → 𝜃 +
3𝑘
𝑚
𝜃 = 0 → 𝜔𝑛 =
3𝑘
𝑚
→ 𝑇 =
2𝜋
𝜔𝑛
= 2𝜋
𝑚
3𝑘
o
𝑥 =
𝐿
2
sin 𝜃
𝑦 =
𝐿
2
cos 𝜃
𝒌𝒙

40. .
Problema.- Una masa de 2,20 kg oscila junto a un resorte cuya constante elástica y
período son 250 N/m y 0,615 s respectivamente
a) ¿Se trata de un movimiento amortiguado?
b) Calcule la constante de fricción fluida «b»
Solución
a) El periodo del oscilador armónico simple asociado es
𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝑘
= 2𝜋
2,2
250
= 0,589 𝑠 como T < Tdado entonces el movimiento es
amortiguado
𝜔𝑑 =
2𝜋
𝑇𝑑
=
2𝜋
0,615
= 10,2165
𝑟𝑎𝑑
𝑠
Su 𝜔𝑛 es 𝜔𝑛 =
𝑘
𝑚
=
250
2,2
= 10,667 rad/s
Como 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛
2 −
𝑏2
4𝑚2 → 10,216 = 10,6672 −
𝑏2
4∗2,22 → b=13,50 kg/s

41. .
Problema.- Un objeto de 0,05 kg se mueve en el extremo de un resorte de constante
k= 25 N/m su desplazamiento inicial es de Ao = 0,3. Una fuerza amortiguadora actúa
sobre el objeto, y la amplitud del movimiento disminuye a A = 0,1 m en 5 s
Calcule la ctte de fricción fluida «b»
𝑥 = 𝑒𝜆𝑡
𝐸 cos 𝜇𝑡 + 𝐹 sin 𝜇𝑡 En t=0 x=Ao=0,3m y v=0
𝑥 = 𝐴𝑜𝑒−
𝑏
2𝑚
𝑡
cos 𝜇𝑡 + 𝜙
𝐴 = 𝐴𝑜𝑒−
𝑏
2𝑚
𝑡
0,1 = 0,3𝑒
−
𝑏
2∗0,05
∗5
1
3
= 𝑒−50𝑏
𝑙𝑛
1
3
= −50𝑏
b = 0,024 kg/s
𝑨𝒐 A

42. .
Problema.- Un ratón de 0,3 kg, que se mueve sujeto al extremo de un resorte, de ctte.
Elástica k = 2,50 N/m, esta sometido a la acción de una fuerza amortiguadora.
a) Si el coeficiente de fricción fluida es b = 0,9 kg/s, ¿Qué frecuencia de oscilación
tiene el ratón?
b) ¿Con que valor del coeficiente de fricción fluida será crítico el movimiento?
Solución
a) 𝜔𝑛 =
𝑘
𝑚
=
2,5
0,3
= 2,886 𝑟𝑎𝑑/𝑠 → 𝜔𝑛
2 = 8,333
𝑟𝑎𝑑
𝑠
2
Como 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛
2 −
𝑏2
4𝑚2 = 8,333 −
0,92
4∗0,32 = 2,466 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Tomando en cuenta que
𝑝𝑐
2
= 4𝑞 = 4
𝑘
𝑚
= 4 ∗
2,5
,3
= 33,3333
𝑝𝑐 = 5,77 𝑠−1
𝑝𝑐 =
𝑏𝑐
𝑚
→ 𝑏𝑐 = 𝑝𝑐𝑚 = 5,773 ∗0,3
𝑏𝑐 = 1,732 𝑘𝑔/𝑠

43. .
Problema.- Un peso de masa m= 1kg, sujeto a un resorte de ctte. Elástica k = 20 N/m,
puede oscilar sobre una varilla horizontal de acero, el desplazamiento inicial, a partir
de la posición de equilibrio, es de 0,3 m. Calcule el número de oscilaciones que el peso
realiza antes de llegar al reposo. El coeficiente de fricción cinético entre el peso y la
varilla es 𝜇𝑐 = 0,05. Use g=10
𝑚
𝑠2
Solución La fuerza disipativa es 𝑓𝑟 = 𝜇 𝑚𝑔 𝑦 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
La energías en los puntos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, serán
𝑈𝑖 =
1
2
𝑘𝐴𝑖
2
La perdida de energía al ir de Ai a Ai+1 es
𝑄𝑖,𝑖+1 = 𝜇𝑚𝑔 𝐴𝑖 + 𝐴𝑖+1
𝟏
𝟐
𝒌𝑨𝒊
𝟐
= 𝝁𝒎𝒈 𝑨𝒊 + 𝑨𝒊+𝟏 +
𝟏
𝟐
𝒌𝑨𝒊+𝟏
𝟐
1
2
𝑘(𝐴𝑖
2
− 𝐴𝑖+1
2
) = 𝜇𝑚𝑔 𝐴𝑖 + 𝐴𝑖+1
1
2
𝑘 𝐴𝑖 + 𝐴𝑖+1 𝐴𝑖 − 𝐴𝑖+1 = 𝜇𝑚𝑔 𝐴𝑖 + 𝐴𝑖+1
𝑨𝟏
𝑨𝒐
𝑨𝟐
𝑨𝟑
𝑨𝟒
𝑨𝟔
𝑨𝟓
𝑵
𝒎𝒈

44. .
𝐴𝑖 − 𝐴𝑖+1 =
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
→ 𝐴𝑖+1 = 𝐴𝑖 −
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
0 a 1 𝐴1 = 𝐴0 −
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
1 a 2 𝐴2 = 𝐴1 −
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
→ 𝐴2 = (𝐴0−
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
) −
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
→ 𝐴2 = 𝐴0 − 2 ∗
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
2 a 3 𝐴3 = 𝐴2 −
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
→ 𝐴3 = (𝐴0−2 ∗
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
) −
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
→ 𝐴3 = 𝐴0 − 3 ∗
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
3 a 4 𝐴4 = 𝐴3 −
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
→ 𝐴4 = (𝐴0−3 ∗
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
) −
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
→ 𝐴4 = 𝐴0 − 4 ∗
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
4 a 5 𝐴5 = 𝐴4 −
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
→ 𝐴5 = 𝐴0 − 4 ∗
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
−
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
→ 𝐴5 = 𝐴0 − 5 ∗
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
Generalizando
𝐴 𝑛 = 𝐴0 − 𝑛 ∗
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
Cuando 𝐴 𝑛 = 0 0 = 𝐴0 − 𝑛 ∗
2𝜇𝑚𝑔
𝑘
de donde 𝑛 =
𝑘𝐴𝑜
2𝜇𝑚𝑔
=
20∗0,3
2∗0,05∗1∗10
= 6
Pero n es media oscilación por tanto el número de oscilaciones N será n/2
N =3