Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear kongruen dan cara menyelesaikannya. Sistem persamaan linear kongruen adalah sistem persamaan yang menggunakan operasi modulo dan hanya melibatkan variabel berpangkat satu. Dokumen tersebut menjelaskan teori dan contoh penyelesaian sistem persamaan linear kongruen, termasuk menentukan invers dan jumlah penyelesaian.

1. SISTEM
PENGKONGRUENAN
LINEAR
ARIF JULIANSYAH
&
M.RENALDI

2. Sistem Pengkongruenan Linear
 Perkongruenan Linear :
Perkongruenan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi kekongruenan. Perkongruenan linear adalah
suatu perkongruenan yang memiliki variabel berpangkat paling tinggi satu. Misalnya : 3x ≡ 4 (mod 5), 2x ≡ 7
(mod 10), dan sebagainya.
Bentuk umum perkongkruenan linear adalah :
ax ≡ b (mod m) dengan a tidak kongkruen dengan 0
Pada pengkongkruenan linear 3x ≡ 4 (mod 5), apabila x diganti dengan 3 memberikan 3.3 ≡ 4 (mod 5) atau 9 ≡ 4
(mod 5), yaitu suatu kalimat kekongkruenan yang benar. Begitu pula jika x di ganti berturut-turut oleh ,-7,-
2,8,13,... akan memberikan kalimat-kalimat kongkruen yang benar. Perkongkruenan linear ax ≡ b (mod m) akan
mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika ada bilangan x dan k yang memenuhi persamaan ax ≡ b + km.
Suatu perkongruenan linear dapat mempunyai satu solusi (seperti contoh di atas), ada yang memiliki lebih dari
satu solusi, atau mungkin tidak memiliki solusi sama sekali, misalnya 3x ≡ 5 (mod 12) tidak memiliki
penyelesaian, sebab tidak ada x yang memenuhi 3x – 5 = 12.k atau 12∤(3x – 5), untuk x dan k bilangan bulat.
(akan dibahas lebih lanjut di aplikasi perkongkruenan linear).

3. CONTOH
 3x ≡ 4 (mod 5), merupakan perkongruenan linear.
X4 – 5x + 7 ≡ 5 (mod 7), bukan merupakan pengkoreanan linear.
Untuk perkongruenan linear 3x ≡ 4 (mod 5),
Jika x = 3 maka : 3.3 ≡ 4 (mod 5)
9 ≡ 4 (mod 5), merupakan suatu kalimat pengkongruenan linear yang benar.
Jika x = -7 maka : 3 (-7) ≡ 4 (mod 5)
-21 ≡ 4 (mod 5), merupakan suatu kalimat pengkongruenan linear yang benar.
Dan untuk nilai – nilai x yang lainnya, seperti : ......, -12, -7, -2, 3, 8. ....
Karena ax ≡ b (mod m), berarti ax – b = km atau ax = b + km.
Jadi, perkongruenan linier ax ≡ b (mod m) akan mempunyai solusi atau penyelesaian jika dan hanya jika ada bilangan-bilangan bulat x dan k yang
memenuhi persamaan ax = b + km.
Misalkan r memenuhi perkongruenan linier ax ≡ b (mod m),berarti ar ≡ b (mod m). Maka setiap bilangan bulat ( (r + m), (r + 2m), (r + 3m), ..., (r – m), (r –
2m),...) memenuhi perkongruenan itu sebab,
a(r +km) ≡ ar ≡ b (mod m) untuk setiap bilangan bulat k
Diantara bilangan-bilangan bulat ( r + km ) dengan k = 0, 1, 2, 3, ...,-1, -2, -3,... ada tepat satu dan hanya satu katakan s dengan 0 ≤ s < m, sebab suatu
bilangan bulat mesti terletak diantara dua kelipatan m yang berurutan.
Jadi, jika r memenuhi perkongruenan ax ≡ b (mod m) dan km ≤ r < (k+1)m untuk suatu bilangan bulat k, maka 0 ≤ ( r – km) < m.
Jadi, s = r – km untuk suatu bilangan bulat k.
Dengan kata lain, s adalah residu terkecil modulo m yang memenuhi perkongruenan ax ≡ b (mod m). Selanjutnya s disebut solusi ( penyelesaian ) dari
perkongruenan itu.
ax ≡ b (mod m).

4. TEORI 5.10
 Jika (a,m) + b maka perkongruenan linier ax ≡ b (mod m) tidak memiliki
solusi.
BUKTI : (Pembuktian dengan kontraposisi)
Misalkan r adalah solusi dari ax ≡ b (mod m) maka ar ≡ b (mod m) sehingga
ar – b = km untuk suatu bilangan bulat k.
Perhatikan bahwa ar – b = km, (a,m) │a dan (a,m) │b. Terbuktilah kontraposisi
dari teorema itu, sehingga terbukti pula teorema itu.
Contoh :
6x ≡ 7 (mod 8) karena ( 6,8 ) = 2 dan 1 + 7 maka pengkongruenan 6x ≡ 7 (mod 8)
tidak mempunyai solusi.

5. TEOREMA 5.11
 Jika ( a,m ) = 1, maka ada bilangan bulat r dan s sehingga ar + ms = 1. Jika kedua ruas dari persamaan ini dikalikan b, diperoleh
:
(ar) b + (ms) b = b
a (rb) + m (sb) = b
a (rb) – b = -(sb) m
Persamaan terakhir ini berarti bahwa a (rb) – b adalah kelipatan m
Jadi, a (rb) = b (mod m)
Maka residu terkecil dari rb modulo m adalah solusi dari perkongruenan linier itu. Sekarang tinggal menunjukkan bahwa solusi itu
tunggal.
Andaikan solusi perkongruenan linier itu tidak tunggal, misalkan dan masing-masing solusi dari ax ≡ b (mod m), maka
ar ≡ b (mod m) dan as ≡ b (mod m)
Dengan sifat transitif diperoleh bahwa
ar ≡ as (mod m). Karena (a,m) = 1, maka
r ≡ s (mod m). Ini berarti m │(r – s)
Tetapi karena r dans adalah solusi dari perkongruenan itu, maka r dan s masing-masing residu terkecil modulo m, sehingga
0 ≤ r < m dan 0 ≤ s < m
Dari kedua ketidaksamaan ini diperoleh bahwa -m < r - s < m, tetapi karena m │(r - s) maka r - s = 0 atau r = s. Ini berarti bahwa
solusi dari perkongruenan linier tunggal (terbukti).
Salah satu cara menyelesaikan perkongruenan linier adalah memanipulasi koefisien atau konstan pada perkongruenan itu, sehingga
memungkinkan kita untuk melakukan konselasi (penghapusan).

6. CONTOH 5.11
 1. 4x ≡ 1 ( mod 15 )
4x ≡ 16 ( mod 15 )
x ≡ 4 ( mod 15 )
x = 4 + 15 k untuk suatu k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Residu terkecil dari 4x ≡ 1 ( mod 15 ) adalah 4.
 2. 14 x ≡ 27 ( mod 31 )
14 x ≡ 58 ( mod 31 )
7x ≡ 29 ( mod 31 )
7x ≡ 91 ( mod 31 )
x ≡ 13 ( mod 31 )
x = 13 + 31 k untuk suatu k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Residu terkecil dari 14 x ≡ 27 ( mod 31 ) adalah 13.
Jika ( a,m ) = 1 berdasarkan teorema 5.11 maka perkongruenan ax ≡ 1 ( mod m ) juga mempunyai tepat satu solusi. Solusi itu disebut invers dari a modulo m yang
disebut a-1.
a-1 (mod m ) dapat ditulis dengan ax ≡ 1 (mod m)
Contoh :
Tentukan 2-1 (mod 13)
Jawab :
2x ≡ 1 ( mod 13 )
2x ≡ 14 ( mod 13 )
x ≡ 7 ( mod 13 )
x = 7 + 13 k untuk k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Residu terkecil dari 2x ≡ 1 ( mod 13 ) adalah 7.

7. TEOREMA 5.12
 Jika ( a,m ) = d dan d │ b maka perkongruenan linier ax ≡ b ( mod m )
memiliki tepat d solusi.
BUKTI :
1. Pengkongruenan linier memiliki d solusi.
(a,m) = d, berarti ada a¢ dan m¢ sehingga
a = da¢ dan m = dm¢
d │b berarti ada b¢ sehingga b = db¢
sehingga dari ax ≡ b (mod m) memberikan
da¢x ≡ db¢ (mod dm¢) atau
a¢x ≡ b¢ (mod m¢).
Dari (a,m) = d memberikan (da¢, dm¢) = d atau (a¢,m¢) = 1. Menurut teorema
5.11. Jika (a¢, m¢) = 1, mka a¢x ≡ b¢ (mod m¢) memiliki satu solusi. Misalkan solusi
itu r, maka d buah bilangan, yaitu r, r + m¢, r + 2m¢, ..., r + (d - 1) m¢ atau e +
km¢ untuk k = 0, 1, 2, 3, ..., (d -1) semuanya adalah solusi dari perkongruenan ax ≡
b (mod m).

8. LANJUTAN TEOREMA 5.12
 Hal ini ditunjukkan demikian.
Pertama setiap r + km¢ dengan k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1) memenuhi perkongruenan ax ≡ b (mod m).
ax = a (r + km¢) = da¢ (r + km¢) = da¢r + da¢ km¢
= a¢rd + a¢ km¢ d
Karena a¢r ≡ b¢ (mod m¢) dan m¢d = m, maka
ax ≡ a¢rd + a¢ km¢ d (mod m) ≡ b¢ d + a¢ km (mod m)
≡ b¢ d (mod m)
ax ≡ b (mod m) karena b = b¢ d
Jadi, r + km¢ untuk k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1) memenuhi perogruenan ax ≡ b (mod m).
Kedua, setiap r + km¢ dengan k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1) adalah residu terkecil modulo m. Ditunjukkan demikian
r adalah solusi dari a¢x ≡ b¢ (mod m) berarti r ≥ 0 sehingga 0 ≤ r + km¢
r + km¢ ≤ r + (d - 1) m¢ untuk setiap k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1)
r + (d - 1) m¢ < m¢ + (d - 1) m¢
m + (d - 1) m¢ = dm¢ = m
Jadi, 0 ≤ r + km¢ < 1.
Ini mengatakan bahwa r + km¢ untuk k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1) adalah residu-residu terkecil modulo m.
Ketiga, tak ada dua bilangan di antara r + km¢ untuk k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1) yang kongruen modulo m, sebab r + km¢ untuk
k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1) adalah residu-residu terkecil modulo m yang berbeda.

9. LANJUTAN TEOREMA 5.12
2. Tak ada solusi lain, kecuali d buah solusi.
Jadi diambil bahwa r adalah solusi dari perkongruenan ax b (mod m). Misalkan solusi lain maka as ≡ b (mod m) dan ar ≡ b (mod m).
Jadi, as ≡ ar ≡ b (mod m).
Karena (a,m) = d dan as ≡ ar (mod m) diperoleh bahwa
s ≡ r (mod m/d)
s ≡ r (mod m¢) karena m = dm¢.
Ini berarti s - r = tm¢ atau s = r + tm¢ untuk suatu bilangan bulat t.
Karena s adalah residu terkecil modulo m, sedangkan semua residu terkecil modulo m berbentuk r + km¢ dengan k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1).
Maka s = r + tm¢ adalah salah satu di antara r + km¢.
Jadi tak ada solusi lain, kecuali d buah solusi, yaitu r + km¢ dengan k = 0, 1, 2, 3, ..., (d - 1).
Contoh :
Selesaikanlah 6x ≡ 15 ( mod 33)
Jawab :
6x ≡ 15 ( mod 33) karena (6 , 33) = 3 maka
2x ≡ 5 ( mod 11) karena (2 , 11) = 1 maka
2x ≡ 16 ( mod 11)
x ≡ 8 ( mod 11)
ini berarti x = 8 + 11k, untuk setiap bilangan bulat k.
untuk k = 0 maka x = 8
untuk k = 1 maka x = 19
untuk k = 2 maka x = 30
Jadi 6x ≡ 15 ( mod 33) mempunyai 3 buah solusi yang berbeda yaitu 8, 19, dan 30.

10. TEOREMA 5.13
 Bentuk umum persamaan linear Diophantus adalah
ax + by = c dengan a, b ≠ 0 dan a, b, c, x , y bilangan-bilangan bulat.
Dari persamaan ax + by = c dapat dibentuk
ax ≡ c ( mod b) atau by ≡ c ( mod a)
Untuk menyelesaikan persamaan linear Diophantus kita dapat menyelesaikan salah satu perkongruenan linear tersebut.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 9x + 16y = 35
Jawab :
16y ≡ 35 ( mod 9) karena (16 , 9) = 1 maka
16y ≡ 44 ( mod 9)a
4y ≡ 11 ( mod 9) karena (4 , 9) = 1 maka
4y ≡ 20 ( mod 9)
y ≡ 5 ( mod 9)
ini berarti y = 5 + 9t untuk setiap bilangan bulat t
Subsitusikan y = 5 + 9t ke persamaan 9x + 16 = 35
9x + 16(5 + 9t) = 35
9x + 80 + 144t = 35
x = -5 – 16t untuk setiap bilangan bulat t
Jadi himpunan penyelesaian dari 9x + 16y = 35 adalah {(x, y) │ x = -5 - 16t, y = 5 + 9t dan t bilangan bulat} Jika t = 0, maka x = -5, y = 5, sehingga (-5,
5) adalah suatu penyelesaian dari persamaan 9x + 16y = 35.
Hal tersebut dapat dikatakan bahwa apabila (x0, y0) adalah suatu solusi dari persamaan linier Diophantus ax + by = c maka solusi-solusi lainnya adalah
(x0, + bt, y0 - at) untuk setiap bilangan bulat t.

11. LANJUTAN TEOREMA 5.13
 Persamaan linear diophantus a¢x + b¢y = c¢ yang diperoleh dari ax + by =
c dengan a¢ = a : (a , b), b¢ = b : (a , b), c¢ = c : (a , b) mempunyai suatu
penyelesaian (solusi) x = r dan y = s, maka himpunan semua penyelesaian dari
ax + by = c adalah {(x, y) │ x ≡ r + b¢t, y ≡ s - a¢t dan t bilangan bulat}.

12. TEOREMA 5.14 ( TEOREMA SISA )
 Sistem perkongruenan linier x ≡ a1 (mod mi), i = 1, 2, 3, ..., k dengan (mi, mj) = 1 untuk
setiap i ≠ j memiliki solusi bersama modulo (m1, m2, m3, mk) dan solusi bersama itu
tunggal.
BUKTI :
1. Sistem perkongruenan linier x ≡ a1 (mod mi) untuk i = 1, 2, 3, ..., t mempunyai solusi
bersama modulo (m1, m2, ..., mt).
Pembuktian dengan induksi matematika untuk bilangan asli k.
Untuk k = 1 berarti x ≡ a1 (mod m1) jelas mempunyai solusi.
Untuk k = 2, yaitu sistem perkongruenan x ≡ a1n(mod m) dan x ≡ a2 (mod m2) dengan (m1, m2)
= 1.
x ≡ a1 (mod m1) berarti x = a1 + k1 m1 untuk suatu bilangan bulat k1.
Sehingga a1 + k1 m1 ≡ a2 (mod m2)
k1 m1 ≡ a2 - a1 (mod m2) dengan k1 suatu variabel.
Karena (m1, m2) = 1 maka perkongruenan terakhir ini mempunyai satu solusi untuk k1 modulo
m2, katakanlah t, maka k1 = t + k2 m2 untuk suatu k2 memenuhi perkongruenan terakhir itu.
Jadi x = a1 + k1 m1 = a1 + (t + k2 m2) m1
x = (a1 + tm1) + k2 m1 m2
Ini berarti x ≡ (a1 + tm1)(mod m1 m2).

13. LANJUTAN TEOREMA 5.14 (TEOREMA SISA )
 Perkongruenan ini memenuhi perkongruenan untuk k = 2. Sekarang, sebagai hipotesis diambil bahwa sistem perkongruenan linier x ≡
a1 (mod m1) mempunyai satu solusi bersama untuk i = 1, 2, 3, ..., (r - 1).
Misalkan solusi bersama itu s, maka sistem x ≡ a1 (mod m1), i = 1, 2, 3, ..., (r - 1) dapat dinyatakan sebagai suatu perkongruenan, yaitu :
x ≡ s (mod m1, m2, m3, ..., mr - 1)
Sehingga r perkongruenan itu dapat dinyatakan sebagai dua perkongruenan yaitu :
x = s (mod m1, m2, m3, ..., mr - 1)
x = ar (mod mr)
Sistem perkongruenan dari dua perkongruenan ini mempunyai solusi bersama mod (m1, m2, m3, ..., mr - 1, mr) = 1 sebab mi dan mj saling
prima untuk i ≠ j.
2. Solusi bersama itu tunggal.
Misalkan r dan s adalah solusi-solusi bersama dari sistem tersebut, maka :
r ≡ ai (mod mi) dan s ≡ ai (mod mi)
Sehingga (r - s) ≡ 0 (mod mi) ini berarti bahwa mi │ (r - s) untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., k.
Jadi (r - s)suatu kelipatan persekutuan dari m1, m2, m3, ..., mk, Karena (mi, mj) = 1 untuk setiap i ≠ j, maka (m1, m2, m3, ..., mk) │ (r - s).
Tetapi ingat bahwa r maupun s adalah solusi-solusi perkongruenan, berarti r dan s adalah residu terkecil modulo (m1, m2, m3, ..., mk) sehingga
:
-m1, -m2, -m3, ..., mk < r - s < m1, m2, m3, ..., mk
Mengingat bahwa (r - s) adalah kelipatan persekutuan dari m1, m2, m3, ..., mk dam (mi, mj) untuk i ≠ j dapat disimpulkan bahwa :
r - s = 0 atau r = s
Jadi solusi bersama dari sistem x = ai (mod mi) untuk i = 1, 2, 3, ..., k adalah tunggal.
catatan :
(mi, mj) =1, untuk i ≠ j dengan i = 1, 2, 3, ..., k dan j = 1, 2, 3, ..., k dikatakan m1, m2, m3 saling prima dua-dua.

14. KESIMPULAN
 Jika m suatu bilangan positif maka a kongruen dengan modulo m (ditulis a ≡ b
(mod m)) jika dan hanya jika m membagi (a-b) atau ditulis m | (a-b). Jika m
tidak membagi (a-b) maka dikatakan a tidak kongruen dengan b modulo m.
Pada a ≡ r(mod m) dengan 0 ≤ r < m, r disebut sisian terkecil dari amodulo m.
Untuk kekongruenan ini , {0,1,2,3,...,(m-1)} disebut himpunan sisian positif
terkecil modulo m.
Himpunan bilangan bulat r1,r2,r3,.....,rm disebut sistem sisaan lengkap modulo
m jika dan hanya jika setiap bilangan bulat adalah kongruen modulo m dengan
satu dan hanya satu diantara r1,r2,r3, ,atau rm.

16. Dari shahabat Abi Shirmah radhiyallahu Ta’ala ‘anhu beliau berkata, Rasulullah
shallallahu ‘alayhi wa sallam bersabda:
“Barangsiapa yang memberi kemudahan kepada seorang muslim, maka Allah akan
memberi kemudahan kepadanya, barangsiapa yang merepotkan (menyusahkan) seorang
muslim maka Allah akan menyusahkan dia.”