El documento define conjuntos, operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia, y tipos de números reales como enteros, racionales e irracionales. Explica el concepto de valor absoluto y cómo resolver desigualdades que incluyen valor absoluto.
2. Definición de
conjuntos:
Un conjunto es una agrupación de objetos
considerada cómo un objeto en sí. Los objetos del
conjunto pueden ser cualquier cosa: personas,
números, colores, letras, figuras entre otros. Cada
uno de los objetos en la colección es un elemento o
miembro del conjunto. Por ejemplo: el conjunto de
los colores del arcoíris es:
AI= {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad
que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para
los números naturales, si se considera la propiedad
de ser un número primo, el conjunto de los números
primos es:
P= {2,3,5,7,11,13...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus
miembros y por nada más. En particular, un
conjunto puede escribirse como una lista de
elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o
añadir elementos repetidos no define un conjunto
nuevo. Por ejemplo:
S= { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}
={ martes, viernes, jueves, lunes miércoles}
3. AI= {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}=
{amarillo, naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto
de los números naturales es infinito, pero el conjunto de
los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho
elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse
mediante operaciones, de manera similar a las
operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de
que no es posible definirlos en términos de nociones más
elementales, por lo que su estudio puede realizarse de
manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por
otro lado, son el concepto fundamental de la matemática:
mediante ellos puede formularse el resto de objetos
matemáticos, como los números y las funciones, entre
otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción
de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras
mayúsculas.
Los objetos que componen el conjunto se llaman
elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al
conjunto y se denota mediante el símbolo∈:n 1 la
expresión a ∈A se lee entonces como «a está en A», «a
pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción
contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo: 3 ∈A , ♠∈D
amarillo ∉B, z ∉C
4. Igualdad de conjuntos:
Conjunto vacío:
Un conjunto está totalmente determinado por sus
elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece
como:
Propiedad de la extensionalidad
Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son
el mismo conjunto, A=B
Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo
conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas,
en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo el
conjunto A de los números naturales menores que 5 es el
mismo conjunto que A , el conjunto de los números 1, 2 ,3 y
4 también:
B= {verde, blanco, rojo} = {colores de la bandera de México}
C = { a, e, i, o, u} = { vocales del español}
el orden en el que se precisa los elementos se tiene en
cuenta para comparar dos conjuntos:
B = { verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blanco}
C = {a e, i, o, u} = {e, i, u, a, o}
El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el
conjunto vacío y se denota por ∅ o Simplemente {}. Existe un
único conjunto vacío, ya que lo único que distingue a un
conjunto son sus elementos.
Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada
elemento de A es a su vez un elemento de B.
5. •Ejemplos.
•El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto
propio del «conjunto de todas las personas».
•{1, 3} ⊊{1, 2, 3, 4}
•{1, 2, 3, 4} ⊆{1, 2, 3, 4}
A
B
Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, ya que
siempre se cumple que «cada elemento de A es a su vez
un elemento de A». Es habitual establecer una distinción
más fina mediante el concepto desubconjunto propio: A
es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B
pero no es igual a B. Se denota como A ⊊B, es decir: A ⊆
B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un
superconjunto propio, B ⊋A).n 2
6. Conjuntos disjuntos:
Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y
B, que se representa como A ∪B, es el conjunto de
todos los elementos que pertenecen al menos a
uno de los conjuntos A y B.
Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos
conjuntos A y B es el conjunto A ∩B de los
elementos comunes a A y B.
Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A
con B es el conjunto A B que resulta de eliminar
de A cualquier elemento que esté en B.
Complemento: (símbolo ) La diferencia del
conjunto A con B es el conjunto A B que resulta
de eliminar de A cualquier elemento que
esté en B.
Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen
ningún elemento en común. Por ejemplo, los
conjuntos de los números racionales y los números
irracionales son disjuntos: no hay ningún número
que sea a la vez racional e irracional. La intersección
de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío.
Operaciones con conjuntos:
Existen varias operaciones básicas que pueden
realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados,
obtener nuevos conjuntos:
7. Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica
de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los
elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no
a ambos a la vez.
Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano
de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los
pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a
perteneciente a A, y un segundo elemento b
perteneciente a B.
Ejemplos:
•{1, a, 0} ∪{2, b} = {2, b, 1, a, 0}
•{5, z, ♠} ∩{♠, a} = {♠}
•{5, z, ♠} {♠, a} = {5, z}
•{♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
•{1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}
Números reales:
El conjunto de los números reales (denotado por R ) incluye
tanto los números racionales (positivos, negativos y el cero)
como los números irracionales y en otro enfoque, a los
trascendentes y a los algebraicos. Los irracionales y los
trascendentesno se pueden expresar mediante una fracción de
dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras
decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log(2),
cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.
8. Los números reales pueden ser descritos y construidos de
varias formas, algunas simples, aunque carentes del rigor
necesario para los propósitos formales de las matemáticas, y
otras más complejas, pero con el rigor necesario para el
trabajo matemático formal.
Números enteros:
-7,-1,0,5,20
Números racionales:
-3/4,5/8,3/7
Números irracionales:
√2,(1+√5)/2
Números trascendentes:
e, π,ln(2)
Tipos de Números reales:
9. Desigual a: ≠
Menor que: <
Menor o igual que: ≤
Mayor que: >
Mayor o igual que: ≥
Desigualdades:
La desigualdad matemática es aquella proposición que
relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son
distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos
elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor,
mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las
distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con
diferente signo (> o <) y tendrá una reacción a operaciones
matemáticas diferente según su naturaleza. El objetivo de la
desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos
matemáticos expresan valores diferentes.
Signos de desigualdades matemáticas:
Ejemplo:
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la
mayoría de ocasiones, por dos miembros o componentes.
Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el
otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo
que “cuatro veces nuestra incógnita menos dos es superior
a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el
elemento B. La resolución nos mostraría que (en números
naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a
3 (x≥3).
10. Definición de valor absoluto:
El valor absoluto es un concepto que está presente en diversos
contextos de la Física y las Matemáticas, por ejemplo en las
nociones de magnitud, distancia, y norma. En casos más
complejos es un concepto muy útil, como en las definiciones de
cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el
mismo número pero con signo positivo. En otras palabras, es el
valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o
negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del número −4−4 se
representa como |−4||−4| y equivale a 44, y el valor absoluto de 44
se representa como |4||4|, lo cual también equivale a 44.
En la recta numérica se representa como valor absoluto a la
distancia que existe de un punto al origen. Por ejemplo, si se
recorren 4 unidades del cero hacia la izquierda o hacia la derecha,
llegamos a −4−4 o a 44, respectivamente; el valor absoluto de
cualquiera de dichos valores es 44.
El valor absoluto de un número real es siempre mayor que o
igual a cero y nunca es negativo. Además, el valor absoluto
no sólo describe la distancia de un punto al origen; de
manera general, el valor absoluto puede indicar la distancia
entre dos puntos cualesquiera de la recta numérica. De
hecho, el concepto de función distancia o métrica en
Matemáticas surge de la generalización del valor absoluto
de la diferencia.
11. Una es resolviendo la expresión que se encuentra
encerrada entre los signos de valor absoluto (||) y
posteriormente al resultado se le aplica el valor absoluto.
En este caso: |(−3)(−2+5)|=|(−3)(3)|=|−9|=9|(−3)(−2+5)|=|(−3)
(3)|=|−9|=9.
Otra forma de resolverlo es calcular el valor absoluto de
cada uno de los factores y después operarlos ya sea por
producto o cociente, según sea el caso: |(−3)(−2+5)|=|(−3)
(3)|=|−3||3|=9|(−3)(−2+5)|=|(−3)(3)|=|−3||3|=9.
Propiedades de valor absoluto:
Para resolver igualdades o desigualdades, es conveniente
conocer las propiedades del valor absoluto. Algunas
propiedades del valor absoluto derivan directamente de su
definición. Por ejemplo, si tenemos un producto (o cociente)
dentro de un valor absoluto como |(−3)(−2+5)||(−3)(−2+5)|, el
resultado se puede obtener de dos formas:
Ejemplos:
a) |3x - 5| = x + 3
b) |4x - 1| = -x + 2
c) |- 2x + 5| = x - 3
d) |-x + 4| = 2x - 3
12. La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto
es positiva.
La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto
es positiva.
Desigualdades con valor
absoluto:
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad
que tiene un signo de valor absoluto con una variable
dentro.
La desigualdad |x| < 3 significa que la distancia entre x y 0
es menor que 4. Así, x > -3 y x < 3. El conjunto solución es
{ x| -3 < x < 3, x E R}
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay
dos casos a considerar.
Ejemplo:
Sabiendo que: |x| < k - k < x < k
-5 < 6x - 11 < 5
-5 + 11 < 6x < 5 + 11
6 < 6x < 16
6 < x < 16
6 6
1 < x < 8
3
13. Bibliografía:
Definición de conjuntos y operaciones
con conjuntos:
https://sites.google.com/site/matematica
20142grupo3/conjuntos
Números reales:
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAm
ero_real#Tipos_de_n%C3%BAmeros_reale
s
Desigualdades:
https://www.sdelsol.com/glosario/desigu
aldad-matematica/
Definición de valor absoluto:
http://campusvirtual.cua.uam.mx/materi
al/tallerm/34_Valor_Absoluto_html/index.
html#:~:text=El%20valor%20absoluto%20
o%20m%C3%B3dulo,ya%20sea%20positiv
o%20o%20negativo.
14. Desigualdades con valor absoluto:
http://prepa8.unam.mx/academia/cole
gios/matematicas/paginacolmate/appl
ets/tsm/Applets_Geogebra/inecvalabs.
html#:~:text=DESIGUALDADES%20DE%
20VALOR%20ABSOLUTO%20(%3C),abso
luto%20con%20una%20variable%20den
tro.&text=Cuando%20se%20resuelven%
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