Este documento describe cómo optimizar funciones de varias variables sin restricciones para determinar los costos máximos y mínimos de una empresa. Explica que se pueden encontrar los puntos críticos de una función resolviendo simultáneamente las ecuaciones parciales, y que aplicando el criterio de las segundas derivadas parciales se puede identificar si esos puntos son mínimos, máximos o de silla. Además, presenta un ejemplo numérico de cómo calcular el número y tipo de productos que minimizan los costos totales de produ

1. Optimización de funciones de
varias variables sin restricción
Docente: Eva Astocóndor
𝒇 𝒙 𝒇 𝒙𝒙

2. Si la función de los costos de
producción de una empresa
puede ser representada por la
siguiente grafica.
Se podrá saber ¿cuales son
los costos máximos y
mínimos de la empresa?
Interés

3. Descubrimiento
Sí podemos lograr saber los
puntos máximos y mínimos
de una empresa, mediante la
optimización de funciones
Objetivo
•El estudiante resuelve problemas aplicando optimización de
funciones de varias variables sin restricciones,
interpretándolos correctamente relacionándolos a la
economía y gestión empresarial.

4. Desarrollo
Sea f definida en una región abierta R que contiene (x0 , y0).
El punto (x0 , y0) es un punto crítico de f si se satisface:
0 0 0 0
0 0 0 0
1)
2)
( , ) 0 ( , ) 0
( ,
y
o noe) ( , x) iste
x y
x y
f x y f x y
f x y f x y
 
Hallar los puntos críticos de f (x,y) = 12x – x3 – 4y2Ejemplo 1
Solución:
2
12 3 0 2
8 0 0
x x
y y
    
   
los puntos críticos se encuentran
resolviendo simultáneamente:
2
( , ) 12 3 ( , ) 8yx yf x y x f x y y   
Por lo tanto hay dos puntos críticos:
(2 , 0) y (– 2 , 0)
1. Definición de puntos críticos

5. Desarrollo
Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una
región abierta que contiene un punto (a, b), para el cual
Es decir, (a, b) es un punto crítico de f.
Para buscar los extremos relativos de f, considérese la cantidad
y( , ) 0 ( , ) 0x yf a b f a b 
2
( , ) ( , ) ( , )xx y y x yd f a b f a b f a b     
1. mínimorelativo
2. máximorel
0 ( , ) 0, ( , ).
0 ( , ) 0, ( , ).
Si y entonces tieneun en
Si y entonces tieneun en
Si entonces esun
ativo
3. punto0, ( , , ( , )) .silla
4. Si elcriterionolleva a ninguna conclusión0,
xx
xx
d f a b f a b
d f a b f a b
d a b f a b
d
 
 

 .
2. Criterio de las segundas derivadas parciales

6. El costo total, en cientos de dólares, de fabricar “x“ impresoras de inyección de tinta e “y”
impresoras láser es :
𝐶(𝑥;𝑦) =
3
2
𝑥2
+ 7𝑦2
+ 6𝑥𝑦 − 21𝑥 − 46𝑦 + 500
a) Determina el número de impresoras, de cada tipo, para que el costo total sea mínimo.
b) Calcula el costo total mínimo.
Evaluación
A poner en práctica la temática aprendida:
Resolvamos juntos con el vídeo: