Μαθηματικά Γ Λυκείου (Θεωρία)

1. 1) Να αποδείξετε ότι
0
lim 1


x
x
x

ΑΠΟΔΕΙΞΗ
— Αν 0
2
 x

, τότε από το διπλανό σχήμα προκύπτει
ότι
εμβ(τριγΟΑΜ) εμβ(τομΟΑΜ) εμβ(τριγΟΑΝ) 
oπότε έχουμε διαδοχικά:
1 1 1
1 1
2 2 2
     x x x 
 x x x 
1
1 
x
x x 
1 
x
x
x


— Αν 0
2
  x

, τότε 0
2
   x

, οπότε έχουμε  
  1

  

x
x
x


και άρα
1 
x
x
x


Επομένως, για κάθε ,0 0,
2 2
   
     
   
x
 
ισχύει 1 
x
x
x


Επειδή
0
lim 1


x
x , από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι
0
lim 1


x
x
x

x
3π2ππO
1
y
x
x

ημ
-π
y
-3π -2π
M
N
A
x
M1O x
y


 εφx
ημx






2. 2) Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις ,f g είναι παραγωγίσιμες στο 0x , τότε
και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει:
           0 0 0 0 0
    f g x f x g x f x g x
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Για 0x x ισχύει:
             0 0 0
0 0
   

 
f g x f g x f x g x f x g x
x x x x
               0 0 0 0
0
  


f x g x f x g x f x g x f x g x
x x
   
   
   0 0
0
0 0
 
 
 
f x f x g x g x
g x f x
x x x x
Επειδή οι ,f g είναι παραγωγίσιμες, άρα και συνεχείς στο 0x , έχουμε:
         
   
   
0 0 0 0
0 0 0
0
0 0 0
lim lim lim lim
   
    
 
  x x x x x x x x
f g x f g x f x f x g x g x
g x f x
x x x x x x
       0 0 0 0
  f x g x f x g x ,
δηλαδή
           0 0 0 0 0
    f g x f x g x f x g x