www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Polinômios

Conhecimento
Anterior
• Produtos Notáveis
• Fatoração
• Conjuntos Numéricos
• Números Complexos
• Noções de Função

Vamos aprender
Teoremas
métodos
divisão
multiplicação
subtração
adição
operações
grau
definição
Equações
polinomiais
Polinômio
s

Polinômio
Definição:
Chamamos de polinômio na variável x,
toda expressão na forma:
Onde:
an, an-1, an-2,...,a2, a1, a0 são números complexos
denominados coeficientes
n é um número inteiro não negativo
x é uma variável complexa
01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n ++++++ −
−
−
−

Polinômio
s
definição 01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n ++++++ −
−
−
−

Polinômio
Grau do polinômio:
O grau do polinômio é determinado pelo
maior expoente da variável.
Exemplos:
 4x2
– 3  2º grau
 8x5
+ 6x3
+ 2x  5º grau

Polinômio
s
Maior expoente da variávelgrau
definição 01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n ++++++ −
−
−
−

Tente fazer
sozinho
1) (Mack-SP) Determine m real para que o
polinômio:
p(x) = (m-4)x3
+ (m2
-16)x2
+ (m+4)x + 4
seja de grau 2.

Solução
p(x) = (m-4)x3
+ (m2
-16)x2
+ (m+4)x + 4
Resposta: m não existe.
4
04
=
=−
m
m
4
0162
±≠
≠−
m
m

Tente fazer
sozinho
2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e c
para que os polinômios p1(x) e p2(x) sejam
idênticos:
p1(x) = a(x+c)3
+ b(x+d)
p2(x) = x3
+ 6x2
+15x +14

Solução
p1(x) = a(x+c)3
+ b(x+d) e p2(x) = x3
+ 6x2
+15x +14
( ) ( )
( )
( ) 1415633
1415633
1415633
14156
233223
233223
233223
233
+++=+++++
+++=+++++
+++=+++++
+++=+++
xxxbdacxbacacxax
xxxbdbxacxacacxax
xxxbdbxcxccxxa
xxxdxbcxa

Solução
p1(x) = a(x+c)3
+ b(x+d) e p2(x) = x3
+ 6x2
+15x +14
( ) 1415633 233223
+++=+++++ xxxbdacxbacacxax
1
33
=
=
a
xax
2
6.1.3
63 22
=
=
=
c
c
xacx ( )
3
1512
152.1.3
153
2
2
=
=+
=+
=+
b
b
b
xxbac

Operações com
Polinômios
A) Adição:
Sendo p(x) = 3x2
+2x-1 e q(x) = -x3
+7x2
-6,
logo p(x) + q(x) = -x3
+10x2
+2x-7.
B) Subtração:
Sendo p(x) = 3x2
-4x+1 e q(x) = 5x2
-3x+4,
logo p(x) - q(x) = -2x2
-x-3.

Operações com
Polinômios
C) Multiplicação :
 Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x3
-4x2
+5x-3, logo
p(x).q(x) = 7(2x3
-4x2
+5x-3)=14x3
-28x2
+35x-21.
 Sendo p(x) = 3x-4 e q(x) = -2x+5, logo
p(x) . q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x2
+15x+8x-20 =
= -6x2
+23x-20.

Polinômio
s
multiplicação
subtração
adição
operações
definição 01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n ++++++ −
−
−
−

Tente fazer
sozinho
3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus
7 e 5, respectivamente. Julgue as sentenças
seguintes, corrigindo o que for falso:
a)O grau de f(x) . g(x) é 35
b) O grau de f(x) + g(x) é 7
c) O grau do polinômio (x2
-1).g(x)+f(x) é 7

Solução
f(x)  grau 7 e g(x)  grau 5
a)f(x) . g(x)  grau 35 (falso)
x7
. x5
= x12
 grau 12
b) f(x) + g(x)  grau 7 (verdadeiro)
c) (x2
-1) . g(x) + f(x)  grau 7 (falso)
grau 7 ou menor que 7, pois o coeficiente da
soma dos termos de grau 7 pode ser zero

Divisão de
Polinômios
C.1) Método da chave
No método da chave temos que armar a conta,
como se fosse uma divisão de números naturais:
e seguir os passos conforme os exemplos.
quociente
dividendo divisor
resto

Exemplo 1: Calcule (x2
+ 2x – 15) : (x + 5)
1º passo: ordenar e completar o dividendo,
se necessário.
Nesse caso não será necessário
2º passo: armar a conta.
Divisão de
Polinômios
x2
+ 2x - 15 x + 5

3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo
1º termo do divisor.
Divisão de
Polinômios
x2
+ 2x - 15 x + 5
x

4º passo: multiplicar o resultado por cada
termo do divisor, colocando a resposta
embaixo
do dividendo, com o sinal contrário.
Divisão de
Polinômios
x2
+ 2x - 15 x + 5
x-x2
- 5x
Para facilitar o próximopasso, procure colocar ostermos semelhantes namesma direção.

5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha,
obtendo um novo dividendo.
Divisão de
Polinômios
x2
+ 2x - 15 x + 5
x-x2
- 5x
- 3x - 15

6º passo: verificar se o grau do 1º termo do
novo dividendo é menor que o grau do 1º termo
do divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º passo.
Divisão de
Polinômios
x2
+ 2x - 15 x + 5
x-x2
- 5x
- 3x - 15

Logo, quociente é x – 3 e resto é 0.
Divisão de
Polinômios
x2
+ 2x - 15 x + 5
x-x2
- 5x
- 3x - 15
x2
+ 2x - 15 x + 5
x - 3-x2
- 5x
- 3x - 15
3x + 15
0

Exemplo 2: Encontre o resto da divisão de
x4
+ 1 por x3
+1.
1º passo:
x4
+ 1 = x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x + 1
2º passo:
Divisão de
Polinômios
x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x + 1 x3
+ 1

x4
+ 1 por x3
+1.
3º passo:
Divisão de
Polinômios
x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x + 1 x3
+ 1
x

x4
+ 1 por x3
+1.
4º passo:
Divisão de
Polinômios
x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x + 1 x3
+ 1
x-x4
- x

x4
+ 1 por x3
+1.
5º passo:
Divisão de
Polinômios
x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x + 1 x3
+ 1
x-x4
- x
- x + 1

x4
+ 1 por x3
+1.
5º passo:
Logo, o quociente é x e o resto é - x +1
Divisão de
Polinômios
x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x + 1 x3
+ 1
x-x4
- x
- x + 1
6º passo: como o 1ºtermo do novodividendo apresentao grau menor que ograu do 1º termo dodivisor, não podemoscontinuar a divisão.

Polinômio
s
Método da
Chave
métodos
divisão
multiplicação
subtração
adição
operações
definição
Divisão comum
01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n ++++++ −
−
−
−

Divisão de
Polinômios
Note que para toda divisão de
polinômios, vale a sentença:
D(x) = d(x) . q(x) + r(x)
Exemplo:
x4
+ 1 = x (x3
+ 1) – x + 1

Tente fazer
sozinho
4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio
4x3
+ 12x2
+ x – 4 por 2x + 3 é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8

Solução
4x3
+ 12x2
+ x – 4 2x + 3
2x2
+ 3x – 4-4x3
– 6x2
6x2
+ x – 4
– 6x2
– 9x
– 8x – 4
+ 8x+12
8 Letra E

Tente fazer
sozinho
5) Determine o polinômio p(x) que dividido
pelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quociente
q(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.

Solução
D(x)= d(x).q(x) + r(x)
P(x)= f(x) . q(x) + r(x)
P(x) = (x + 5) (x – 2) + 3
P(x) = x2
– 2x + 5x – 10 + 3
P(x) = x2
+ 3x – 7

Divisão de
Polinômios
C.1) Dispositivo de Briot – Ruffini
Vamos usar o próximo exemplo para
mostrar
os passos a serem seguidos:
Exemplo 1: Calcular o quociente e o resto de
(x3
– 4x2
+ 5x -2) : (x - 3).
1º passo: Calcular a raiz do divisor.303 =⇒=− xx

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3
– 4x2
+ 5x -2) : (x - 3).
2º passo: Dispor a raiz do divisor e os
coeficientes do dividendo da seguinte forma
1 -4 5 -23

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3
– 4x2
+ 5x -2) : (x - 3).
2º passo: Dispor a raiz do divisor e os
coeficientes do dividendo da seguinte forma
1 -4 5 -23
coeficientes
do dividendo
raiz do
divisor

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3
– 4x2
+ 5x -2) : (x - 3).
3º passo: abaixar o 1º coeficiente do
dividendo
1 -4 5 -23
1

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3
– 4x2
+ 5x -2) : (x - 3).
4º passo: multiplicar o número abaixado pela
raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte. (3 . 1 - 4 = -1)
1 -4 5 -23
1 -1

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3
– 4x2
+ 5x -2) : (x - 3).
4º passo: multiplicar o número abaixado pela
raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte.
1 -4 5 -23
1
+
x
-1
Colocar o resultado
embaixo do
coeficiente somado

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3
– 4x2
+ 5x -2) : (x - 3).
5º passo: repetir as operações (multiplicar
pela raiz do divisor e somar com o coeficiente
seguinte)

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3
– 4x2
+ 5x -2) : (x - 3).
5º passo:
1 -4 5 -23
1 -1
x
+
2
1 -4 5 -23
1 -1
x
+
2 4

Divisão de
Polinômios
Exemplo 1: (x3
– 4x2
+ 5x -2) : (x - 3).
6º passo: identificar o resto e os coeficientes
do quociente.
1 -4 5 -23
1 -1 2 4 Resto = 4
O quociente é:
x2
– x + 2

Divisão de
Polinômios
Exemplo 2: (2x3
– 5x + 1) : (x + i).
1º passo:
2º passo: 3º passo:
ixix −=⇒=+ 0
2 0 - 5 1- i 2 0 - 5 1- i
2

Divisão de
Polinômios
Exemplo 2: (2x3
– 5x + 1) : (x + i).
4º e 5º passos: 6º passo:
2 0 - 5 1- i
2 -2i -7 1+7i
O quociente é: 2x2
– 2ix – 7
O resto é: 1 + 7i

Polinômio
s Dispositivo
de
Briot-Ruffini
Método da
Chave
métodos
divisão
multiplicação
subtração
adição
operações
definição
Divisão comum
Seguir os 6 passos
01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n ++++++ −
−
−
−

Tente fazer
sozinho
6) O polinômio p(x) = -x3
+ ax2
+ 5x + b (a e b
são constantes reais) é divisível por x – 5.
Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos
resto 35.
a)Determine os valores de a e b.
b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?

Tente fazer
sozinho
6) O polinômio p(x) = -x3
+ ax2
+ 5x + b (a e b
são constantes reais) é divisível por x – 5.
Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemos
resto 35.
a) Determine os valores de a e b.
b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?

Solução
-1 a 5 b5
-1 a – 5 5a – 20 25a – 100 + b
0
-1 a 5 b- 2
-1 a + 2 - 2a + 1 4a – 2 + b
35
25a – 100 + b = 0
4a – 2 + b = 35
a = 3
b = 25

Teorema do Resto
“ Seja p(x) um polinômio
tal que p ≥ 1. O resto da
divisão de p(x) por x – a é
igual a p(a), ou seja,
r = p(a).”

Teorema do Resto
Exemplo: Para calcular o resto da divisão de
p(x) = 3x2
– 17x + 15 por x – 2, basta aplicar
o Teorema do Resto.
A raiz do divisor é : x – 2 = 0  x = 2
Pelo Teorema do Resto temos que:
r(x) = p(2)
r(x) = 3.22
– 17.2 + 15 = 12 – 34 + 15 = - 7.

Polinômio
s
Teorema
do resto
Teoremas
Dispositivo
de
Briot-Ruffini
Método da
Chave
métodos
divisão
multiplicação
subtração
adição
operações
definição
Divisão comum
Seguir os 6 passos
r(x)=p(a) , sendo
(x-a) divisor de p(x)
01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n ++++++ −
−
−
−

Tente fazer
sozinho
7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)
por um polinômio k(x) tem q(x) = x3
+ 3x2
+ 5
como quociente e r(x) = x2
+ x + 7 como resto.
Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)
por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70

Solução
P(x)= k(x) . q(x) + r(x)
P(x) = k(x) . (x3
+ 3x2
+ 5) + (x2
+ x + 7)
P(0) = k(0) . (03
+ 3.02
+ 5) + (02
+ 0 + 7)
P(0) = k(0) . 5 + 7
Pelo Teorema do resto, temos que k(0) =
2
Logo, p(0) = 2 . 5 + 7 = 17  letra C

Teorema de
D’Alembert
“ Seja a (complexo) é raiz de
um polinômio f(x), então f(x) é
divisível por x – a e,
reciprocamente, se f(x) é
divisível por x – a, então a é
raiz de f(x).”

Polinômio
s
Teorema de
D’Alembert
Teorema
do resto
Teoremas
Dispositivo
de
Briot-Ruffini
Método da
Chave
métodos
divisão
multiplicação
subtração
adição
operações
definição
Divisão comum
Seguir os 6 passos
r(x)=p(a) , sendo
a é raiz de f(x) f(x)
é divisível por (x-a)
01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n ++++++ −
−
−
−

Equações
Polinomiais
Equação polinomial é aquela que pode ser
escrita na forma:
Exemplos:
 x3
+ 1 = 0
 3x2
– 2ix + 1 = 0
 x4
– 2x3
+ x2
+ 2x – 2 = 0
0... 01
1
1 =++++ −
− axaxaxa n
n
n
n

Polinômio
s
Teorema de
D’Alembert
Teorema
do resto
Teoremas
Dispositivo
de
Briot-Ruffini
Método da
Chave
métodos
divisão
multiplicação
subtração
adição
operações
definição
Divisão comum
Seguir os 6 passos
r(x)=p(a) , sendo
Definição
Equações
polinomiais
01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n ++++++ −
−
−
−
0... 01
1
1 =++++ −
− axaxaxa n
n
n
n

Equações
Polinomiais
Raiz da equação é o valor que da variável,
que satisfaz a igualdade.
Exemplos:
a) 2x + 12 = 0 b) x2
– 9 = 0
2 x = - 12 x2
= 9
x = - 6 x = ± 3

Polinômio
s
Teorema de
D’Alembert
Teorema
do resto
Teoremas
Dispositivo
de
Briot-Ruffini
Método da
Chave
métodos
divisão
multiplicação
subtração
adição
operações
definição
Divisão comum
Seguir os 6 passos
r(x)=p(a) , sendo
Definição
Equações
polinomiais definição
raiz
Valor da variável que
satisfaz a igualdade
01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n ++++++ −
−
−
−
0... 01
1
1 =++++ −
− axaxaxa n
n
n
n

Equações
Polinomiais
( ) 022xxx
02x2xc)x
2
23
=+−
=+−
022xxou0x 2
=+−=
i1x
i;1x
2
1
−=
+=
( ) ( )
( )( ) 01x2x
02x12xx
02x2xd)x
2
2
23
=++
=+++
=+++
01xou02x 2
=+=+
-2x = 1x ±=

Equações
Polinomiais
Podemos decompor um polinômio em fatores
do 1º grau, de acordo com suas raízes, através
da fórmula:
Onde:
an é o coeficiente de xn
.
xi são as raízes de p(x).
)(...))()(()( 321 nn xxxxxxxxaxp −⋅⋅−−−=

Equações
Polinomiais
Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio
2x3
– 4x2
– 2x + 4 são os números –1, 1 e 2,
podemos decompor esse polinômio em fatores
do 1º grau, usando a fórmula:
Sendo assim, temos:
2(x + 1) (x – 1) (x – 2)
)(...))()(()( 321 nn xxxxxxxxaxp −⋅⋅−−−=

Tente fazer
sozinho
8) Resolva a equação abaixo, sabendo
que duas de suas raízes são – 1 e 1.
x4
– 2x3
+ x2
– 2 = 0

Solução
Como – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0, então
p(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0.
Logo,
Como as raízes de q(x) são 1 + i e 1 – i ,
então as raízes da equação são ± 1 e 1 ± i.
1 -2 1 2 -2-1
1 -3 4 -2 01
1 -2 2 0 q(x) = x2
– 2x + 2

Multiplicidade
da Raiz
Entende-se por multiplicidade da raiz o
número de vezes que uma mesma raiz
aparece.
Exemplo:
Na resolução da equação x2
– 12x + 36 = 0 ,
encontramos duas raízes iguais a 6. Nesse
caso,
dizemos que x = 6 é uma raiz de

Polinômio
s
Teorema de
D’Alembert
Teorema
do resto
Teoremas
Dispositivo
de
Briot-Ruffini
Método da
Chave
métodos
divisão
multiplicação
subtração
adição
operações
definição
Divisão comum
Seguir os 6 passos
r(x)=p(a) , sendo
Definição
Equações
polinomiais
definição
multiplicidade
definição
raiz Nº de vezes que
a raiz aparece
01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n ++++++ −
−
−
−
0... 01
1
1 =++++ −
− axaxaxa n
n
n
n

Multiplicidade
da Raiz
Para identificar qual é a multiplicidade de
uma raiz, basta dividir o polinômio pela raiz,
até encontrar um resto diferente de zero.
Exemplo:
Qual é a multiplicidade da raiz 2 do
polinômio p(x) = x4
– 5x3
+ 6x2
+ 4x – 8?

Multiplicidade
da Raiz
Exemplo:
Qual é a multiplicidade da raiz 2 do
polinômio p(x) = x4
– 5x3
+ 6x2
+ 4x – 8?
1 -5 6 4 -82
1 -3 0 4 02
1 -1 -2 02
2 1 1 0
1 3
não
Logo, a raiz 2
tem
multiplicidade 3.

Polinômio
s
Teorema de
D’Alembert
Teorema
do resto
Teoremas
Dispositivo
de
Briot-Ruffini
Método da
Chave
métodos
divisão
multiplicação
subtração
adição
operações
definição
Divisão comum
Seguir os 6 passos
r(x)=p(a) , sendo
Definição
Equações
polinomiais
identificação
definição
multiplicidade
definição
raiz
Divisões
sucessivas
Nº de vezes que
a raiz aparece
01
2
2
2
2
1
1 ... axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n ++++++ −
−
−
−
0... 01
1
1 =++++ −
− axaxaxa n
n
n
n

Tente fazer
sozinho
9) Determine uma equação algébrica
do 4º grau que tenha -1 como raiz de
multiplicidade 3 e 2 como outra raiz.

Solução
Como o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é a
outra raiz, podemos escrever o polinômio
assim:
p(x) = (x + 1)3
(x – 2) = 0
p(x) = (x3
+3x2
+ 3x + 1) (x – 2) = 0
p(x) = x4
+ x3
– 3x2
– 5x – 2 = 0

Bibliografia
• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson;
Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo,
Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 –
Páginas: 551 a 585
• Matemática Contexto e Aplicações: Dante,
Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição –
2008 - Páginas: 134 a 164
• Figuras: google imagens

Note que para toda divisão de
polinômios, vale a sentença:
D(x) = d(x) . q(x) + r(x)
Exemplo:
x4
+ 1 = x (x3
+ 1) – x + 1

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