Dokumen tersebut membahas tentang struktur aljabar dasar seperti grupoida, semigrup, dan monoida. Grupoida adalah struktur aljabar tersederhana dengan satu operasi biner tertutup. Semigrup adalah grupoida yang memenuhi sifat asosiatif, sedangkan monoida adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas. Dokumen ini juga menjelaskan sifat-sifat penting grupoida, semigrup, dan monoida seperti h

1. BAB ll
PEMBAHASAN
A. Pengertian Grupoida
Struktur Aljabar adalah suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih
operasi biner yang tertutup. Apabila himpuna s dilengkapi dengan satu operasi biner *,
maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S, *). Apabila himpunan S dilengkapi
dengan dua operasi biner * dan o; maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*,o)
atau (S,o,*). Struktur Aljabar yang paling sederhana adalah grupoida.
Definsi 4..3
Suatu struktur Aljabar dengan suatu operasi biner tertutup disebut grupoida.
Contoh :
Penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan dinyatakan dengan + dan x.
A = {1,2,3, …..}
B = {….,-2,-1,0,1,2,….}
C = {x | x bilangan rasional}
D = { x | x bilangan real }
Struktur Aljabar berikut adalah grupoida
a) (A, +) dan (A, x)
b) (B, +) dan (B, x)
c) (Q, +) dan (Q, x)
d) (R, +) dan (R,x)
Sifat-sifat Grupoida
Definisi 4.4
1. (G, *) suatu grupoida dengan I
G
Elemen i disebut elemen identitas kiri dari G,
Jika a
G memenuhi i * a = a dan (G, *)
Elemen i disebut grupoida dengan elemen identitas kiri.
2

2. 2. (G, *) suatu grupoida dengan I
G.
Elemen i disebut elemen identitas kanan dari G
Jika a
G memenuhi a * i = a dan (G, *)
Elemen i disebut grupoida dengan elemen identitas kanan.
3. (G, *) suatu grupoida
Jika a,b
G memenuhi a * b = b * a maka (G, *) disebut grupoida komutatif.
4. (G, *) suatu grupoida dengan I
G.
Elemen i disebut elemen identitas dari G
Jika dan hanya jika a
G memenuhi i * a = a * i = a
(G, *) disebut grupoida dengan elemen identitas
Contoh :
a. (A, +) dengan A = { 1, 2, 3, …} adalah grupoida
Sifat-sifatnya adalah :
Tidak mempunyai elemen identitas penjumlahan sebab a
a + o = a dan o
A.
Komutatif a,b
A memenuhi o + a =
A memenuhi a + b = b + a.
Asosiatif a,b
A memenuhi (a + b) + c = a + (b + c).
b. (A, +) dengan A = { 1, 2, 3, …} adalah grupoida
Sifat-sifatnya adalah :
Mempunyai elemen identitas perkalian I, sebab a
dan i
A memenuhi i . a = a . i = a
A
Komutatif a,b
Asosiatif a,b
A memenuhi a . b = b . a.
A memenuhi (a . b) . c = a . (b . c).
Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengan suatu tabel Cayley.
1) Jika pada tabel Cayley terdapat suatu baris yang urutan anggotanya sama dengan
baris paling atas maka anggota pada kolom paling kiri merupakan suatu elemen
identitas kiri.
2) Jika pada tabel Cayley terdapat suatu kolom yang urutan anggotanya sama dengan
kolom paling kiri maka anggota pada baris paling atas merupakan suatu elemen
identitas kanan.
3

3. 3) Jika pada tabel Cayley terdapat suatu baris yang urutannya sama dengan urutan
baris paling atas dan satu kolom yang urutan anggotanya sama dengan kolom
paling kiri keduanya menuju elemen yang sama yaitu elemen identitas.
Contoh :
S = { a, b, c } dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel berikut
*
a
b
c
a
a
b
c
b
a
b
c
c
c
b
a
a*a=a
a*b=b
a*c=c
a elemen identitas kiri dari S
b*a=a
b*b=b
b*c=c
b elemen identitas kanan dari S
jadi (S, *) grupoida tidak komutatif dan mempunyai elemen identitas kiri a dan b.
Contoh :
S = { a, b, c } dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel berikut:
*
a
b
c
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
4

4. a*a=a
b*a=b
c*a=c
a elemen identitas kanan dari S.
demikian pula untuk b dan c.
jadi (S, *) grupoida tidak komutatif dan mempunyai elemen identitas kanan a, b,
dan c.
Sifat-sifat yang lain dari grupoida adalah sebagai berikut:
Definisi 4.5
1. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan kiri jika untuk setiap a,
b, c, G berlaku implikasi , jika a.b = a.c maka b = c
2. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan kanan jika kesamaan
b.a = c.a selalu menghasilkan b = c
3. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan atau pencoretan atau
penghapusan (cancellation law) jika a, b, c G dan a 0 dipenuhi a.b = a.c b
=c dan b.a = c.a b = c
4. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi persamaan kiri jika a, b,
G
persamaman xa = b mempunyai penyelesaian di G
5. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi persamaan kanan jika a, b,
G
persamaman a y = b mempunyai penyelesaian di G
Apabila operasi biner * pada grupoida G dinyatakan dengan tabel Cayley maka :
1. (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kiri jika dan hanya jika setiap baris dalam
tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan.
2. (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kanan jika dan hanya jika setiap kolom dalam
tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan.
3. (G, *) memenuhi hukum persamaan kiri jika dan hanya jika setiap baris dalam
tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan.
4. (G, *) memenuhi hukum persamaan kanan jika dan hanya jika setiap baris dalam
tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan.
5

5. B. Pengertian Semigrup
Grupoida adalah struktur aljabar yang paling sederhana, yaitu himpunan yang
dilengkapi dengan satu operasi biner yang tertutup. Semigrup adalah grupoida yang
mempunyai sifat tertentu.
Definisi 4.6
Suatu grupoida (G, *) disebut semigrup jika a,b,c G memenuhi (a*b) *c = a*(b*c).
Jadi semigrup dabel terdiri daiap baris dalam talah grupoida yang mempunyai sifat
asosiatif.
Contoh :
B* = B – {0}
Q* = Q – {0}
R* = R – {0}
(B*, x), (Q*, x) dan (R*, x) merupakan semigrup
Contoh :
= { x | x bilangan real, x > 0}
= { x | x bilangan rasional, x > 0}
, x) dan
, x) merupakan semigrup
C. Pengertian Monoida
Monoida adalah semigrup yang mempunyai sifat tertentu. Monoida ada yang
komutatif ada pula yang tidak komutatif.
Definisi 4.7
Suatu semigrup (G, *) disebut monoida jika i G sedemikian sehingga a G
memenuhi i * a = a * i = a.
Dengan perkataan lain monoida adalah semigrup yang mempunyai elemen
identitas.
6

6. Contoh :
A = {1,2,3, …..}
B = {….,-2,-1,0,1,2,….}
C = {x | x bilangan rasional}
D = { x | x bilangan real }
(A, +) bukan monoida sebab 0 ∉ A.
(B, +), (Q, +), (R, +) merupakan monoida
(A, x), (B, x), (Q, x), (R, x) adalah monoida.
Sifat-sifat Monoida
Misalkan (M, *) suatu monoida dengan elemen identitas i
1. a mempunyai invers kanan dalam M jika ada
M sehingga a *
2. a mempunyai invers kiri dalam M jika ada
3. a mempunyai invers dalam M jika ada
M sedangkan a
M sehingga
M sehingga
M.
= i.
* a = i.
* a = i.
4. jika dalam suatu monoida suatu anggota mempunyai invers kiri lebih dari satu
maka anggota tersebut tidak mempunyai invers kanan.
5. Jika dalam suatu monoida suatu anggota mempunyai invers kanan lebih dari satu
anggota tersebut tidak mempunyai invers kiri.
7

7. BAB lll
PENUTUP
A. Kesimpulan
Struktur Aljabar adalah suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi
biner yang tertutup dan dinyatakan dengan (S, *), (S, *, o), (S, o, *), dan sebagainya.
Grupoida adalah struktur aljabar dengan satu operasi biner yang tertutup. Semigrup adalah
grupoida yang memenuhi sifat asosiatif. Monoida adlah semigrup yang mempunyai elemen
identitas. Atau monoida adalah grupoida yang asosiatif dan mempunyai elemen identitas. Jadi
semingrup dan monoida adalah elemen grupoida yang mempunyai sifat tertentu.
Dengan demikian sifat-sifat yang berlaku pada grupoida berlaku pula pada semigtup dan
monoida. Sifat-sifat tersebut antara lain , hukum pelenyapan kiri dan kanan, dan hukum
persamaan kiri dan kanan.
8

8. DAFTAR PUSTAKA
Kusno Kromodihardjo, Dr. Struktur Aljabar, Karunia, Jakarta, Universitas Terbuka, 1988
Soehakso, RMJT., Penganntar Teori Grup, FMIPA UGM Yogyakarta, 1976
Sukirman, Drs. M.P.,Aljabar Abstrak, Karunia Jakarta, Universitas Terbuka, 1982
9