Materi

1. PROGRAM LINEAR
(Sejarah, Definisi, Metode Grafik )
VENY TRIYANA ANDIKA SARI, M.PD.
Pertemuan 1

2. Sejarah Perkembangan Linear Programming Ide linear programming
pertama kali dicetuskan oleh seorang ahli matematika asal Rusia bernama
L.V. Kantorivich dalam bukunya yang berjudul Mathematical Methods In
The Organization And Planning Of Production. Dengan buku ini, ia telah
merumuskan pertama kalinya persoalan Linear Programming.
Namun, cara-cara pemecahan persoalan ini di Rusia tidak berkembang
dengan baik dan ternyata para ahli di negara Barat dan AS yang
menggunakan cara ini dimanfaatkan dengan baik. Pada tahun 1947,
seorang ahli matematika dari AS yang bernama George B. Dantzig
menemukan suatu cara untuk memecahkan persoalanpersoalan linear
programming. Cara pemecahan ini dinamakan Simplex Method, yang
diuraikan dalam bukunya Linear Programming And Extention. Selanjutnya
teori ini berkembang pesat sekali terutama di bidang kemiliteran yang
menyangkut optimisasi dalam strategi perang dan di bidang-bidang lainnya.
Sejarah Perkembangan Linear Programming

3. 1. Linearity
 Fungsi obyektif dan kendala haruslah merupakan fungsi linier
dan variabel keputusan. Hal ini akan mengakibatkan fungsi
bersifat proporsional dan additif.
2. Divisibility
 Nilai variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan.
3. Non negativity variable
 Nilai variabel keputusan haruslah tidak negatif (  0).
4. Certainty
 Semua konstanta (parameter) diasumsikan mempunyai nilai
yang pasti.
Asumsi-asumsi dasar Linear
Programming

4. Untuk merumuskan suatu masalah ke dalam bentuk model linear
programming, harus dipenuhi syarat-syarat berikut:
 1.Tujuan masalah harus jelas.
 2.Harus ada sesuatu atau beberapa alternatif yang ingin dibandingkan.
 3.Adanya sumber daya yang terbatas.
 4.Bisa dilakukan perumusan kuantitatif.
 5.Adanya keterkaitan peubah (variabel).
Linear Programming memiliki empat ciri khusus, yaitu:
 1.Penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi
 atau minimisasi.
 2.Kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan.
 3.Ada beberapa alternatif penyelesaian.
 4.Hubungan matematis bersifat linier.
Syarat-syarat dan Ciri khusus Linear
Programming

5.  Program Linear adalah metode optimasi untuk
menemukan nilai optimum dari fungsi tujuan linear
pada kondisi batas-batas tertentu.
Definisi

6.  Variabel keputusan (decision variable): x1, x2, ..., xn
 Fungsi tujuan (objective function): Z= f(x1, x2, ..., xn)
 Pembatasan (constraints): gi(x1, x2, ..., xn) ≤ bi
Elemen Program Linear

7.  Model Pemrograman Linear Maksimum
1. Tentukan variabel keputusan: x1, x2, ..., xn
2. Sedemikian rupa sehingga (S.r.s) fungsi tujuan
maksimum:
Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
3. Dengan pembatasan-pembatasan (D.p):
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚
Dimana 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0
Model Pemrograman Linear

8.  Model Pemrograman Linear Minimum
1. Tentukan variabel keputusan: x1, x2, ..., xn
2. Sedemikian rupa sehingga (S.r.s) fungsi tujuan
minimum:
Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
3. Dengan pembatasan-pembatasan (D.p):
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏𝑚
Dimana 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0

9.  Metode Grafik, terdiri dari dua fase yaitu:
1. Menentukan ruang/daerah penyelesaian (solusi) yang
feasible.
2. Menentukan solusi optimal dari semua titik di ruang /daerah
feasible. Ada dua metode untuk mengidentifikasi solusi
optimum yaitu:
a. Metode Isoline
b. Metode Titik Ekstrim
Solusi Persoalan Pemrograman
Linear

10. • Perhatikan soal berikut ini :
• Sebuah pesawat terbang mempunyai tempat duduk tidak
lebih dari 300 kursi ,terdiri atas kelas ekonomi dan VIP
Penumpang kelas ekonomi boleh membawa bagasi 3 kg dan
kelas VIP boleh membawa bagasi 5 kg sedangkan pesawat
hanya mampu membawa bagasi 1200 kg,
Tiket kelas ekonomi memberi laba Rp 100.000.00 dan
kelas VIP Rp 200.000,00
Berapakah laba maksimum dari penjualan tiket pesawat
tersebut ?
MODEL MATEMATIKA
MEMBUAT MODEL MATEMATIKA

11. Banyak kelas
Ekonomi (x1)
Banyak kelas
VIP (x2)
Tempat duduk
Bagasi
300
1200
x1 x2
3x1 5x2
maximum
Pernyataan tersebut dapat dibuat tabel sebagai berikut:
MODEL MATEMATIKA

12. 300
2
1 
 x
x
1200
5
3 2
1 
 x
x
0
1 
x
0
2 
x Pertidaksamaan (4)
Pertidaksamaan (1)
Pertidaksamaan (2)
Pertidaksamaan (3)
PERMASALAHAN TERSEBUT ADALAH
MODEL MATEMATIKA
f: Z = x1 + 2x2
Fungsi Tujuan

13. x1
x2
0 300
• x1 + x2 300

DP
300
Menentukan DP dari Pertidaksamaan (1)

14. x2
x1
0
240
400
• 3x1 + 5x2 1200

DP
Menentukan DP dari Pertidaksamaan (2)

15. x1
x2
0
240
400
300
300
(150, 150)
• x1 + x2 300

• 3x1 + 5x2 1200

DP
Menentukan DP dari Pertidaksamaan (1) dan (2)

16. 300
240
400
300
0
x2
(150,150)
x1
• 3x1 + 5x2 1200

• x1 + x2 300

• x1 0
• x2 0


DP
Menentukan DP dari Pertidaksamaan (1), (2), (3), & (4)

17. D(300,0)
0
x2
E(150,150)
x1
• 3x1 + 5x2 1200

• x1 + x2 300

• x1 0
• x2 0


MENCARI NILAI OPTIMASI DENGAN TITIK EKSTRIM
A(0,240)
Titik f : x + 2y
Titik f: x1 + 2x2
A(0,240) 0+2.240=480 max
D(300,0) 300+2.0=300
E(150,150) 150+2.150=450
DP
NILAI OPTIMUM

18. MENCARI NILAI OPTIMASI DENGAN GARIS SELIDIK
x1
x2
0
A(0,240)
C(0,300)
E(150,150)
f : x1 + 2x2
f : x1 + 2x2
D(300,0) B(400,0)
A(0,240)
DP
GARIS SELIDIK (ISOLINE)

19. 1. Seorang pembuat kue mempunyai 8 kg tepung dan 2 kg gula pasir. Ia ingin
membuat dua macam kue yaitu kue dadar dan kue apem. Untuk membuat
kue dadar dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung sedangkan
untuk membuat sebuah kue apem dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50
gram tepung. Jika kue dadar dijual dengan harga Rp 300,00/buah dan kue
apem dijual dengan harga Rp 500,00/buah, tentukanlah pendapatan
maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut.
2. Seorang pedagang furnitur ingin mengirim barang dagangannya yang
terdiri atas 1.200 kursi dan 400 meja. Untuk keperluan tersebut, ia akan
menyewa truk dan colt. Truk dapat memuat 30 kursi lipat dan 20 meja lipat,
sedangkan colt dapat memuat 40 kursi lipat dan 10 meja lipat. Ongkos sewa
sebuah truk Rp 200.000,00 sedangkan ongkos sewa sebuah colt Rp
160.000,00. Tentukan jumlah truk dan colt yang harus disewa agar ongkos
pengiriman minimum.
Sumber: http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/10/contoh-soal-cerita-program-linear-dan-pembahasan.html
Content is Courtesy of bahanbelajarsekolah.blogspot.com
LATIHAN 1

20. SELESAI DAN TERIMAKASIH

21. PROGRAM LINEAR
(Metode Subtitusi)
VENY TRIYANA ANDIKA SARI, M.PD.
Pertemuan 2

22. KUIS 1
Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Hafiz hendak menjual sapi dan
kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Medan berturut-turut Rp
9.000.000,00 dan Rp8.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Hafiz
adalah Rp 124.000.000,00. Pak Hafiz menjual sapi dan kerbau di Aceh
dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00.
Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15
ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi
dan kerbau yang harus dibeli pak Hafiz. (menggunakan metode grafik
dengan garis selidik (isoline))

23.  Metode Substitusi
Solusi pemrograman linear dapat dilakuakan dengan metode Substitusi
dengan beberapa tahapan, yaitu:
1. Mengubah ketidaksamaan pembatasan menjadi kesamaan pembatasan
dengan cara menambahkan variabel slack (surplus) untuk persoalan
maksimum (minimum).
2. Tentukan seluruh pemecahan dasar dari persamaan pembatasan dan
tentukan pemecahan yang memenuhi semua syarat pembatasan (solusi
feasible).
3. Tentukan salah satu dari solusi feasible tersebut yang memenuhi syarat
fungsi tujuan atau solusi optimum.

24. Model Persoalan Pemrograman Linear Awal
Persoalan Pemrograman Linear dimana pembatasannya masih dalam bentuk
ketidaksamaan (≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ ).
Tentukan : x1, x2, ..., xn
S.r.s : Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn : Optimum
D.p : 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ ≥ 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≤ ≥ 𝑏2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ ≥ 𝑏𝑚
Dimana 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0

25. Persoalan Pemrograman Linear dimana pembatasannya sudah dalam bentuk
kesamaan (=).
Tentukan : x1, x2, ..., xn, s1, s2, ..., sn
S.r.s : Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn + 0s1 + 0s2 + ... + 0sn : Optimum
D.p : 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ± 0𝑠1 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ± 0𝑠2 = 𝑏2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ± 0𝑠𝑛 = 𝑏𝑚
Dimana 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑛 ≥ 0
Model Persoalan Pemrograman Linear Standar

26. Contoh Metode Substitusi:
Tentukan solusi dari persoalan pemrograman linear berikut:
Cari x1 dan x2
S.r.s: Z = 8x1 + 6x2 (maksimum)
D.p: 4x1 + 2x2 ≤ 60
2x1 + 4x2 ≤ 48
x1, x2 ≥ 0
Solusi:
Transformasi persoalan pemrograman linear ke dalam bentuk standar:
Cari x1, x2, s1 dan s2
S.r.s: Z = 8x1 + 6x2 + 0s1 + 0s2(maksimum)
D.p: 4x1 + 2x2 + s1 = 60
2x1 + 4x2+ s2 = 48
x1, x2,s1,s2 ≥ 0
Mencari Solusi feasible :
a). 𝑥1 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 = 0
4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑠1 = 60 → 𝑠1 = 60
2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑠2 = 48 → 𝑠2 = 48 ≫ 𝑍 = 8𝑥1 + 6𝑥2 + 0𝑠1 + 0𝑠2 = 0

27. b). 𝑥1 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑠1 = 0
4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑠1 = 60 → 2𝑥2 = 60 → 𝑥2 = 30
2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑠2 = 48 → 4𝑥2 + 𝑠2 = 48 → 𝑠2 = −72
Karena 𝑠2 negatif , tidak feasible sehingga Z tidak dihitung.
c). 𝑥1 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑠2 = 0
4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑠1 = 60 → 2𝑥2 + 𝑠1 = 60 → 𝑠1 = 36
2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑠2 = 48 → 4𝑥2 = 48 → 𝑥2 = 12
≫ 𝑍 = 8𝑥1 + 6𝑥2 + 0𝑠1 + 0𝑠2 = 0
≫ 𝑍 = 8 0 + 6 12 + 0 36 + 0 0 = 72
d). 𝑥2 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑠1 = 0
4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑠1 = 60 → 4𝑥1 = 60 → 𝑥1 = 15
2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑠2 = 48 → 2𝑥1 + 𝑠2 = 48 → 𝑠2 = 18
≫ 𝑍 = 8𝑥1 + 6𝑥2 + 0𝑠1 + 0𝑠2 = 0
≫ 𝑍 = 8 15 + 6 0 + 0 0 + 0 18 = 120

28. e). 𝑥2 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑠2 = 0
4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑠1 = 60 → 4𝑥1 + 𝑠1 = 60 → 𝑠1 = −36
2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑠2 = 48 → 2𝑥1 = 48 → 𝑥1 = 24
Karena 𝑠1 negatif , tidak feasible sehingga Z tidak dihitung.
f). 𝑠1 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑠2 = 0
4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑠1 = 60 → 4𝑥1 + 2𝑥2 = 60 → 𝑥2 = 30 − 2𝑥1 = 30 − 2 12 = 6
2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑠2 = 48 → 2𝑥1 + 4𝑥2 = 48 → 2𝑥1 + 4 30 − 2𝑥1 = 48
2𝑥1 + 120 − 8𝑥1 = 48 → −6𝑥1 = −72 → 𝑥1 = 12
≫ 𝑍 = 8𝑥1 + 6𝑥2 + 0𝑠1 + 0𝑠2 = 0
≫ 𝑍 = 8 12 + 6 6 + 0 0 + 0 0 = 132
Jadi, solusi optimum terjadi pada 𝑥1 = 12 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 = 6 dengan Z = 132.

29. 1. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan
menggunakan gerobak.Pedagang tersebut membeli mangga dengan
harga Rp 8.000,00/kg dan pisang Rp6.000,00/kg. Modal yang
tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapatmenampung
mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga
Rp9.200,00/kg dan pisang Rp 7.000,00/kg, maka tentukanlah laba
maksimum yangdiperoleh pedagang tersebut.
2. Seorang petani memiliki tanah tidak kurang dari 10 hektar. Ia
merencanakan akanmenanami padi seluas 2 hektar sampai dengan 6
hektar dan menanam jagung seluas4 hektar sampai dengan 6 hektar.
Untuk menanam padi perhektarnya diperlukan biaya Rp 400.000,00
sedangkan untuk menanam jagung per hektarnya diperlukan biaya
Rp 200.000,00. Agar biaya tanam minimum, tentukan berapa banyak
masing-masing padi dan jagung yang harus ditanam.
Sumber: http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/10/contoh-soal-cerita-program-linear-dan-pembahasan.html
Content is Courtesy of bahanbelajarsekolah.blogspot.com
LATIHAN 2

30. SELESAI DAN TERIMAKASIH