Aplicacion de derivadas en la carrera de geoespacil y software

1. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS
ARMADAS ESPE
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL 2
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN LA
CARRERA DE SOFTWARE Y GEOESPACIALES
Nombres:
1. Asmal Kevin
2. Guamán Byron
3. Morocho Joselyn
4. Yepez Diego
NRC: 3258
Fecha: Martes 27 del 2021
Periodo: Mayo 2021 Septiembre 2021
1

2. Indice
1. Introducción. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ....3
2. Objetivos. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .................3
3. Fundamentación teórica. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ..... . ... . .. . .. . .. . .. . .. . ..3
4. Desarrollo. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ...5
5. Conclusiones. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ..... . .. . .. . .. . .. . .. . .....13
6. Enlace Slideshare. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . ... . .. . .. . .. . ... . ..13
7. Bibliografía. . .. . .. . .. . .. . .. . .... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . .. . .. . .. . .. . .... . .13
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3. 1. Introduccion
Veremos cómo son muy importante las derivadas en la carrera de software ya que
desde hace más de una década se han desarrollado programas, aplicaciones y en
general software educativo que apoya el aprendizaje de diferentes tópicos en el área
de matemáticas como son las derivadas. Al hacer una revisión de este tipo de software
[1], se encontró que varios de ellos contribuyen al desarrollo de aspectos memorísticos
y refuerzan el trabajo algebraico que se desarrolla en las aulas, pero pocos son los
que pretenden mostrar al usuario una visión gráfica de la problemática a resolver. Es
decir [5], se deja a un lado la visualización de las situaciones y con ello la construcción
de los conceptos inmersos. Estos programas son generalmente diseñados para ser
utilizados en una computadora de escritorio, limitando el alcance y disponibilidad
del software.
2. Objetivos
El propósito fundamental de nuestra investigación es mejorar el desempeño acadé-
mico de estudiantes, en específico, en la solución de problemas relacionados a las
derivadas, tanto de tipo conceptual como algorítmico, mediante la capacidad de
visualización de los estudiantes, empleando una aplicación o software.
Objetivos específicos
Analizar las dificultades que tienen los estudiantes en el proceso de construc-
ción de los conceptos de razón de cambio y derivada de una función.
Hacer uso de las potencialidades de los dispositivos móviles en la construcción
de la aplicación.
3. Fundamentacion teorica
Dentro de la carrera de software la aplicación de las derivadas es un factor importante
dentro de los métodos de gradiente conjugado, este es un algoritmo numérico usado
para determinar mínimos y máximos de sistemas. La derivada parcial es necesaria
para calcular el “gradiente"numérico, que le dice al algoritmo en qué dirección mover
el “objeto"del sistema. El descenso de gradiente [4] es un algoritmo que estima
numéricamente dónde una función genera su valor más bajo. Esto significa que ha
encontrado un mínimo local, pero no estableciendo Of = 0 como hemos visto antes.
El descenso de gradiente no encuentra el valor mínimo manipulando signos, pero usa
números para aproximar la solución. Además, todo lo que necesita para ejecutarse
es la salida digital de la función y no requiere ninguna fórmula.
Vale la pena destacar esta distinción porque hace que este método sea útil. Si tu-
vieramos una formula f (x) = x2
− 4x podemos calcular facilmente Of = 0 para
determinar que x = 2 minimiza f(x) o de igual forma usar el descenso de gradiante
para obtener mas aproximada como x = 1.99999967.
3

4. Existen otros algoritmos numéricos que involucran derivadas parciales, pero el mé-
todo del gradiente conjugado se puede aplicar directamente a problemas discretos en
informática, como la ubicación y la planificación. Una aplicación técnica específica
del segundo tipo de problema ocurrió en el trabajo de la División de Investigación de
Ingeniería del Departamento de Diseño de Protección contra Incendios en Frankford
Arsenal. Armería. En estas aplicaciones, la función / ("; ∗ i „ x") es lo suficiente-
mente compleja como para evitar la convergencia del método estándar para resolver
problemas de mínimos cuadrados no lineales.
Las opciones para encontrar el punto mínimo de la función son:
Analítica, que incluye calcular la derivada cerrada de la función y encontrar
el punto donde la derivada es cero.
Método numérico, ubique un punto en la función e intente utilizar la in-
formación de la primera derivada (descenso de gradiente) para descender al
punto mínimo. También podemos utilizar la información de la segunda deri-
vada (descenso del gradiente de Newtown).
Utilice métodos aproximados: BFGS, PSO.
En el primer método [2], requiere que nuestra función tenga una forma cerrada que
pueda calcular su derivada. El segundo y tercer método son iterativos. En cierto
sentido, comienza con una solución y trata de determinar una serie de mejores solu-
ciones. En los métodos numéricos, la información local se usa para nuestra ubicación,
mientras que, en los métodos aproximados, podemos usar información "global". En
este artículo, nos centraremos en los métodos numéricos de descenso de gradientes.
4

5. PRIMERA DERIVADA:
Se llama Criterio de la primera derivada [6] al método o teorema utilizado para
determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir, donde se
observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto
crítico c. Teorema Valor máximo y Mínimo "Sea c un punto crítico de una función
f que es continua en un intervalo abierto b que contiene a c (Calculo diferencial
e integral, 2008)
TEOREMA
Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede
clasificarse como sigue.
Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo
en (c , f(c) ).
Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo
relativo en (c ,f(c) ).
Si f’(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c,
entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.
SEGUNDA DERIVADA:
se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a
los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una
función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f’(c) =
0, f’(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una
función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c , y f’(c)= 0
debe ser un máximo relativo de f . Teorema Sea f una función tal que f’(c)= 0 y
la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c 1(Calculo
diferencial e integral)
TEOREMA
Si f”(c) >0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
Si f”(c) <0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c) ).
Si f”(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo
relativo en c, un mínimo relativo en (c , f’(c) ) o ninguno de los dos. En tales
casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la
tercera derivada.
4. Desarrollo
Ejercicio 1
Enunciado
5

6. Un ingeniero se encuentra midiendo con un receptor GNSS una superficie de un
terreno rectangular, Área Am2
para verificar si su ambiente se encuentra en buen
estado para una construcción de una casa, para terminar este proceso de medición
se construirán paredes de grosores fijos de A metros y B metros como indica a
continuación la figura.
Evalúa el rectángulo de carga para que la superficie del terreno rectangular necesaria
sea mínima.
Dibujo
Imagen extraída del sitio web:https://www.dronevision.es/wp-content/uploads/d27c
8718-9a90-4794-82d2-58515910ba70-1024x768.jpg
Solucion
Sea x ,y, y los lados del terreno, de área Aa,a,b: los grosores de las paredes
Los lados de las paaredes (x+2a) e (y+2a)
A=x y
Y= A
X
→s(x)=(x+2a) ( A
X
-12b)
Dónde: x >0
Area
Si (x+2a) (y+2b)
ds
dx
=
A
x
+ 2b
+ (x + 2a)(−
A
x2
) (1)
ds
dx
=
2bx2
− 2aA
X2
(2)
ds
dx
= 0 → x
r
aA
B
(V.C) (3)
6

7. d2
s
dx2
=
4aA
X3
→ sus.v.c :
d2
s
dx2
=
4aA
q
(aA
B
)
3 O (4)
∃MINIMO → SIX :
r
aA
b
= Y =
r
b
a
A (5)
Se deduce que si (a=b) el rectángulo del terreno de c carga y el rectángulo exterior
serán cuadrados
Grafica de la función a maximizar o minimizar
Ejercicio 2
Enunciado
El trasado de una carretera sobre el termino municipal del pueblo A coincide con
las grafica de la funcion
f (x) = x3
− 3 (6)
x ∈ [−1,5, 1,5] (7)
El ayuntamiento A quiere investigar los lugares en la calle más cercana a la ciudad y
construir una tienda, e investigar los lugares en la calle más lejana para construir un
edificio industrial. Por lo tanto, todos los edificios son rápidamente accesibles desde
la calle, los habitantes están cerca de las tiendas y lejos del ruido de la industria. [3]
¿Conociendo las coordenadas de la ciudad (0,0), encuentra todos los puntos óptimos
para los dos tipos de edificaciones según el criterio del municipio.?
7

8. Dibujo
Solucion
1.- Encontramos la distancia entre el punto (0,0) y el punto (x, f(x)) de la carretera.
d((x1, y1), (x2, y2)) =
p
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
d(x)=
p
(0 − x)2 + (0 − x3 + 3)2
d(x)=
p
(x2 + (x3 − 3)2
d(x)=
√
x6 − 6x3 + x2 + 9
2.- Sacamos su derivada
f´(x)= 6x5−18x2+2x
2
√
x6+x2+2x3+1
f´(x)= 3x5−9x2+x
√
x6+x2+2x3+1
f´(x)= x(3x4−9x+1)
√
x6+x2+2x3+1
3.- Igualamos a 0 la derivada y resolvemos
8

9. f´(0) = 0
x(3x4
− 9x + 1)
√
x6 + x2 + 2x3 + 1
= 0 (8)
x 3x4
− 9x + 1
= 0 (9)
4.- Encontramos 3 puntos criticos y los representamos en la recta
X0 = 0
X1 = 0.11
X2 = 1.4
5.- Estudiamos el signo de la derivada en sus intervalos
f´(x)= x(3x4−9x+1)
√
x6+x2+2x3+1
f´(-1) = -13 0
f´(0.1) = 9.97 ∗ 10-3
0
f´(1) = -
√
5 0
f´(1.45) = 0.408 0
9

10. 6.- La funcion es decreciente, creciente, decreciente y creciente en los intervalos de
izquierda a derecha
Maximos : x = ∓1,5; X = 0,11
Minimos: x = 0; X = 1,4
7.- Al final vemos que las cordenadas de las tiendas son (1.4 ; f(1.4)) y para el edificio
industrial es (-1.5 ; f(-1,5)), (1.5 ; f(1.5)), (0.11, f(0.11))
Grafica de la funcion a maximizar o minimizar
Ejercicio 3
10

11. (Chicano García, 2007)
EJERCICIO DE OPTIMIZACION
Se crea un proyecto de un brazo biónico el cual tiene diferentes etapas: modelado del
brazo, implementación de sensores mioeléctricos los cuales reconocen los impulsos
musculares (movimientos) que son reconocidos por los electrodos que lleva dentro la
prótesis y son procesados mediante la interfaz mioeléctrica la cual lleva los datos para
la programación aplicando inteligencia artificial IA. para que aprenda secuencias de
movimiento mediante el reconocimiento de patrones.
Como se puede bajar costes si cada fase es importante.
Modelado =x
Implementación de sensores=x
Programación=y
x + y +z = 1769$
se pude bajar costes en la programación 1/3 y sumarse al modelado
Se puede bajar el costo con el modelado 3D en un 85 %
P2
min 85x2
100
+ x2
+y2
3
Pmin=185x2
100
+y2
3
Pmin=185x2
100
+(1769−2x)2
3
Pmin=185x2
100
+17692−7076x+4x2
3
Pmin=555x2+(1769)2(100)−707600x+400x2
300
Pmin=955x2−707600x+(1769)2(100)
300
P´(x)=(1910x−707600)300
3002 P´´(x)=(1910)300
3002
1910x-707600=0 P´´(x)=1910
300
=6.3
X=707600
1910
6.30
X=370.47 x min es de 370.47
Remplazando x tenemos. . .
P2
min=185(370,47)2
100
+(1769)2
−7076(370,47)+4(370,47)2
300
P2
min=253908.83+3129361−2621445,72+548992,08
300
P2
min=253908.83+3523.02
P2
min=
√
257431,85 =507.37$
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12. MODELADO impresión 3D
Implementacion de sensores
12

13. Programación
(3D Printed Biomimetic Mechatronic Hand Explained Part 1 - YouTube, n.d.)
5. Concluciones
13

14. Actualmente está bien determinada la importancia de la optimización como uno de
los
principios básicos del análisis de los problemas complejos de decisión, que implican la
selección de valores para cierto número de variables interrelacionadas, centrando la
atención en un objetivo diseñado para cuantificar el rendimiento y medir la calidad
de la decisión.
Referencias
[1] Ledesma Elena. Scielo. Scielo. Abr. de 2018. url: http://www.scielo.org.m
x/scielo.php?script$=$sci%5C_arttext$%5C$pid$=$S1665-26732018000
100039.
[2] Ruiz Ivan. turing iimas. turing iimas. Nov. de 2016. url: https://turing.ii
mas.unam.mx/$%5Csim$ivanvladimir/posts/gradient%5C_descent/.
[3] Llopis J. Matesfacil. Matesfacil. url: https://www.matesfacil.com/BAC/op
timizar/problemas-resueltos-optimizar-extremos-maximo-minimo-der
ivada-creciente-decreciente-monotonia.html.
[4] khanacademy. khanacademy. Jun. de 2019. url: https://es.khanacademy.o
rg/math/multivariable-calculus/applications-of-multivariable-der
ivatives/optimizing-multivariable-functions/a/what-is-gradient-d
escent$%5C#$:$%5Csim$:text$=$El$%5C%$20descenso$%5C%$20de$%5C%$20
gradiente$%5C%$20es$%5C%$20un$%5C%$20algoritmo$%5C%$20que$%5C%$20
estima$%5C%$20num$%5C%$C3$%5C%$A9ricamente.
[5] Danaher Patrick. igi global. igi global. Mayo de 2018. url: https://www.igi-
global.com/chapter/transforming-practice-mobile-learning/23828.
[6] pfmpescacalculo. pfmpescacalculo. Nov. de 2017. url: https://sites.google
.com/site/pfmpescacalculo1/4-calculo-diferencial/4-8-extremos-re
lativos-criterios-de-la-1ra-y-2da-derivada.
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