5. Büläg 2
Täncwärjiltiïn bodlogo
X K ⊆ X n´ xooson bi², güdgär,
n´ bodit topologi wektor ogtorguï ba
bitüü olonlog baïg. f : X × X → R ∪ {+∞} n´ f (x, x) = 0, ∀x ∈ K
nöxcliïg xangax funkc bol täncwärjiltiïn gäj närlägdäx bodlogo n´
(EP ) ∃x ∈ K : f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ K
gäj todorxoïlogdono.
Caa²id X ∗ -oor X-iïg R-d buulgax tasraltgüï ²ugaman buulgaltuudyn
∗ ∗ ∗ ∗
olonlogiïg tämdägläe. Mön x , x := x (x) n´ x ∈ X funkcionalyn
x ∈ X cäg däärx utga µm.
• f :K ×K →R bifunkciïn xuw´d
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ K
nöxcöl bieldäg bol tüüniïg monoton gänä. Monoton baïx nöxcöl
n´ täncwärjiltiïn bodlogyn ²iïd or²in baïxad ²aardagddag.
Täncwärjiltiïn bodlogo n´ odoo ji²ää bolon dur´dagdax bodloguudyg
nägtgäsän erönxiï tom³ëolol µm.
Täncwärjiltiïn bodlogyn ji²äänüüd:
1. Optimizaciïn bodlogo: φ : K → R ögögdsön funkciïn xuw´d
ϕ(x) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ K
6. Täncwärjiltiïn bodlogo 5
nöxcliïg xangax x ∈ K-g olox bodlogyn xuw´d f (x, y) := ϕ(y)−ϕ(x)
gäj songowol täncwärjiltiïn bodlogod ²iljinä. Änä toxioldold
f n´ monoton baïx n´ oïlgomjtoï.
2. Ämääliïn cägiïn bodlogo: ϕ : K1 × K2 → R ögögdsön funkciïn
xuw´d (¯1 , x2 )
x ¯ n´ ämääliïn cäg baïx zaïl²güï bögööd xürälcäätäï
nöxcöl n´
(¯1 , x2 ) ∈ K1 × K2 ,
x ¯ ϕ(¯1 , y2 ) ≤ ϕ(y1 , x2 ), ∀(y1 , y2 ) ∈ K1 × K2 .
x ¯
K := K1 × K2 bolon f :K ×K →R funkciïg
f ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) := ϕ(y1 , x2 ) − ϕ(x1 , y2 )
gäj todorxoïlbol x = (¯1 , x2 )
¯ x ¯
(EP ) bodlogyn ²iïd baïx za-
n´
ïl²güï bögööd xürälcäätäï nöxcöl n´ (¯1 , x2 ) n´ ämääliïn cäg baïx
x ¯
¶wdal.
3. Nä²iïn täncwärjiltiïn bodlogo: I n´ tögsgölög indeksiïn
olonlog bögööd toglogqdyn dugaaryg ilärxiïlnä. i ∈ I büriïn
xuw´d Ki n´ i-r toglogqiïn strategiïn olonlog µm. K := Ki
i∈I
baïg. i ∈ I büriïn xuw´d ögögdsön fi : K → R funkc n´ büx
toglogqdyn strategias xamaarax i-r toglogqiïn aldagdlyn funkc
µm. x := (xi )i∈I ∈ K wektoryn xuw´d xi := (xj )j∈I, j=i . Tägwäl
x = (¯i )i∈I ∈ K n´ Nä²iïn täncwäriïn cäg baïx ⇔ nöxcöl n´ i ∈ I
¯ x
büriïn xuw´d
fi (¯) ≤ fi (¯i , yi ), ∀yi ∈ Ki
x x
bieläx ¶wdal. Ööröör xälbäl, al´ q toglogqiïn xuw´d zöwxön dan-
gaaraa strategia öörqlöx zamaar aldagdlaa bagasgax bolomjgüï
µm.
f : K ×K → R funkciïg [fi (xi , yi ) − fi (x)] gäj todor-
f (x, y) :=
i∈I
xoïlox zamaar täncwärjiltiïn bodlogod ²iljixiïg x¶lbar xaru-
ulj bolno.
4. Ül xödlöx cäg: X = X ∗ T : K → K n´
n´ Gil´bert ogtorguï ba
ögögdsön buulgalt baïg. Tägwäl x = T x baïx x ∈ K cägiïg olox
¯ ¯ ¯
bodlogyg awq üz´e. Xäräw f (x, y) := x − T x, y − x gäj songowol x
¯
n´ (EP ) bodlogyn ²iïd baïx ⇔ nöxcöl n´ x n´ T buulgaltyn ül
¯
xödlöx cäg baïx ¶wdal.
7. Täncwärjiltiïn bodlogo 6
5. Güdgär differencialqlagddag optimizaciïn bodlogo: ϕ
n´ güdgär ba Gatogiïn utgaar differencialqlagddag ba x cäg
∗
däärx Gatogiïn differencial n´ Dϕ(x) ∈ X baïg.
inf ϕ(x)
x∈K
optimizaciïn bodlogyg awq üz´e. Tägwäl x n´ däärx optimizaciïn
¯
bodlogyn ²iïd baïx ⇔ nöxcöl n´ x
¯ n´
x ∈ K, Dϕ(¯), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K
¯ x ¯
gäsän wariaciïn täncätgäl bi²iïn ²iïd baïx ¶wdal baïdag. f (x, y) :=
Dϕ(¯), y − x
x gäj tämdägläwäl (EP ) bodlogod ²iljinä.
6. Wariaciïn täncätgäl bi²: T : K → X ∗ n´ ögögdsön buulgalt
baïg.
x ∈ K, T x, y − x ≥ 0, ∀y ∈ K
¯ ¯
bodlogyg awq üz´e. Änä toxioldold f (x, y) := T x, y − x gäj
songowol (EP )-d ²iljinä.
7. Güïcäältiïn bodlogo: Änä n´ ömnöx bodlogyn tuxaïn toxioldol
µm. K n´ güdgär bitüü konus ba
K ∗ := {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , y ≥ 0, ∀y ∈ K}
n´ K-d xargalzax tuïl (konus) baïg. T : K → X∗ n´ ögögdsön
buulgalt bol
x ∈ K, T x ∈ K ∗ , T x, x = 0
¯ ¯ ¯ ¯
bodlogo n´ wariaciïn täncätgäl bi²iïn tuxaïn toxioldol µm.
8. Olonlog utgat buulgalt büxiï wariaciïn täncätgäl bi²:
T :K X ∗ n´ olonlog utgat buulgalt bögööd x ∈ K büriïn xuw´d
T (x) n´ kompakt, güdgär baïg.
¯ ¯ x ¯
x, xi ∈ T (¯), ξ, y − x ≥ 0, ∀y ∈ K
¯
bodlogyg awq üz´e. Änä toxioldold f (x, y) := max ξ, y−x tämdägläl
ξ∈T (x)
oruulax zamaar (EP ) bodlogo ruu ²iljüülnä.
8. Büläg 3
Skal¶r optimizaciïn
xosmogiïn onol
3.1 Xosmogiïn erönxiï onol
X n´ Xausdorfyn lokal´ güdgär ogtorguï ba F : X → R n´ ögögdsön
funkc. Änd bid ödöögq funkciïn tuslamjtaïgaar xosmogiïn onol xärxän
baïguulagdaxyg üzüül´e. Üüniï tuld
(P G) inf F (x)
x∈X
Y n´ mön Xaus-
gäsän erönxiï xälbäriïn optimizaciïn bodlogo awq üz´e.
dorfyn lokal´ güdgär ogtorguï bögööd Φ : X × Y → R n´ Φ(x, 0) =
F (x), ∀x ∈ X nöxcliïg xangax funkc baïg. Φ-g (P G) bodlogyn xuw´d
ödöögq funkc gäj närlädäg. Odoo y ∈ Y parametriïn xuw´d
(P Gy ) inf Φ(x, y)
x∈X
ödöögdsön bodlogyg tom³ëolj bolno. y = 0 üed anxny bodlogyg ögöx n´
ilärxiï µm. (P G) bodlogyn xuw´d xosmog bodlogo n´
(DG) sup {−Φ∗ (0, y ∗ )}
y ∗ ∈Y ∗
gäj baïguulagdana. Änd Φ∗ : X ∗ × Y ∗ → R n´ Φ-iïn xosmog funkc µm.
Xäräw v(P G), v(DG)-äär xargalzan (P G) bolon (DG) bodloguudyn onowq-
toï utguudyg tämdägläe.
9. Skal¶r optimizaciïn xosmogiïn onol 8
Teorem 3.1 −∞ ≤ v(DG) ≤ v(P G) ≤ +∞ bielnä.
Xäräw anxny bolon xosmog bodloguudyn onowqtoï utguud n´ öör xooron-
doo täncüü bögööd xosmog bodlogo n´ ²iïdtäï bol xüqtäï xosmogiïn
qanar bielj baïna gädäg. Xüqtäï xosmogiïn qanaryg ²algaxad h:Y →
R, h(y) = inf Φ(x, y) gäj todorxoïlogdox infimal utgyn funkc quxal
x∈X
üürägtäï µm. v(P Gy ) = h(y) ba v(P G) = h(0) gädäg n´ ilärxiï bögööd
daraax ögüülbär infimal utgyn funkc bolon xosmog bodlogyn onowqtoï
utgataï xärxän xolbogdoxyg xaruulna.
Ögüülbär 3.1 Xäräw h : Y → R n´ Φ-iïn infimal utgyn funkc bol
∗∗
v(DG) = h (0) bielnä.
Tämdägläl: v(DG) ≤ v(P G) gäsän sul xosmogiïn qanaryg infimal
funkciïn tuslamjtaïgaar h∗∗ (0) ≤ h(0) xälbärt biqij bolno.
Todorxoïlolt 3.1 Xäräw h(0) ∈ R ba h n´ dooroosoo xagas tasralt-
güï bol (P G) bodlogyg normal gänä.
Teorem 3.2 Φ : X × Y → R n´ tögs, güdgär funkc baïg. Tägwäl daraax
ögüülbärüüd än qacuu:
(i) (P G) bodlogo n´ normal.
(ii) v(P G) = v(DG) ∈ R.
Todorxoïlolt 3.2 h(0) ∈ R ba h n´ 0 cäg däär subdifferencialqlagddag
bol (P G) bodlogyg togtwortoï gänä.
Teorem 3.3 Φ : X × Y → R n´ tögs, güdgär funkc baïg. Tägwäl daraax
ögüülbärüüd än qacuu:
(i) (P G) bodlogo n´ togtwortoï.
(ii) (P G) bodlogo n´ normal ba (DG) xosmog bodlogo onowqtoï ²iïdtäï.
Änä toxioldold (DG) bodlogyn onowqtoï ²iïdiïn olonlog n´ ∂h(0)-
toï täncüü.
10. Skal¶r optimizaciïn xosmogiïn onol 9
3.2 Geometr bolon konus x¶zgaarlalttaï op-
timizaciïn bodlogo
X n´ Xausdorf lokal güdgär ogtorguï, Z n´ C ⊆ Z güdgär konusaar
tuxaïn ärämbälägdsän öör näg Xausdorf lokal güdgär ogtorguï ba S⊆X
n´ xooson bi² olonlog baïg. Tüünääs gadna f : X → R n´ tögs funkc
ba g : X → Z = Z ∪ {±∞C ±} n´ dom f ∩ g −1 (−C) = ∅ baïx tögs wektor
utgat funkc.
(P C ) inf f (x), A = {x ∈ S| g(x) ∈ −C}
x∈A
bodlogyg awq üz´e. Ug bodlogyn xuw´d todorxoï ödöögq funkcuud oru-
ulax zamaar xosmog bodloguudyg baïguulj, tädgääriïn onowqtoï utguu-
dyn xolboog togtoox sudalgaag XBNGU-yn Kemnitciïn Ix Surguuliïn
professor G.Wankagiïn sudalgaany bag güïcätgäsän baïdag. Änä talaar
towq taïlbarla¶.
Z n´ ödöögq xuw´sagquudyn ogtorguï bol ΦC L : X × Z → R funkciïg
f (x), xäräw x ∈ S, g(x) ∈ z − C,
ΦCL (x, z) =
+∞, äsräg toxioldold.
C
gäj todorxoïl³ë. Änä toxioldold Φ L (x, 0) = f (x) + δA (x), ∀x ∈ X
C ∗ ∗
C
bolox bögööd Φ L -iïn xosmog (Φ L ) : X × Z ∗ → R-iïg (x∗ , z ∗ )-iïn
xuw´d biqwäl
(ΦCL )∗ (x∗ , z ∗ ) = sup { x∗ , x + z ∗ , z − ΦCL (x, z)}
x∈X,
z∈Z
= sup { x∗ , x + z ∗ , z − f (x)}
x∈S,z∈Z,
g(x)−z∈−C
= sup { x , x + z ∗ , g(x) − s − f (x)}
∗
x∈S,
s∈−C
= sup { −z ∗ , s + sup{ x∗ , x + z ∗ , g(x) − f (x)}.
s∈−C x∈S
z∗ ∈ Z ∗ büriïn xuw´d
sup { −z ∗ , s } = δ∗ (z ∗ )
C
s∈−C
11. Skal¶r optimizaciïn xosmogiïn onol 10
bieläx uqir
(ΦCL )∗ (x∗ , z ∗ ) = (f + (−z ∗ g))∗ (x∗ ) + δ∗ (z ∗ ).
S C
Iïmääs (P C ) bodlogyn xuw´d ΦC L ödöögq funkcäd xargalzax bodlogyg
tom³ëolbol
(DCL ) sup {−(ΦCL )∗ (0, z ∗ )}
z ∗ ∈Z ∗
buµu
(DCL ) sup {−(f + (−z ∗ g))∗ (0)}.
S
z ∗ ∈C ∗
Än qacuugaar
(DCL ) sup inf {f (x) + (z ∗ g)(x)}
z ∗ ∈C ∗ x∈S
xälbärt biqij bolno. Änä n´ songodog Lagranjiïn xosmog bodlogo
bögööd Teorem ? ësoor v(DCL ) ≤ v(P C ) bielnä.
Daraagiïn ödöögq funkc ΦCF : X × X → R-iïg
f (x + y), xäräw x ∈ S, g(x) ∈ −C,
ΦCF (x, y) =
+∞, äsräg toxioldold.
xälbärtäïgäär awq üz´e. Änd X n´ ödöögq xuw´sagquudyn ogtorguï.
ΦCF (x, 0) = f (x) + δA (x), ∀x ∈ X × X. (x∗ , y ∗ ) ∈ X ∗ × X ∗ büriïn xuw´d
(ΦCF )∗ : X ∗ × X ∗ → R xosmog funkciïg biqwäl
(ΦCF )∗ (x∗ , y ∗ ) = σA (x∗ − y ∗ ) + f ∗ (y ∗ ).
Ändääs (P C ) bodlogyn xuw´d xosmog bodlogyg biqwäl
(DCF ) sup {−f ∗ (y ∗ ) − σA (−y ∗ )}.
y ∗ ∈X ∗
Ug bodlogyg Fenxeliïn xosmog bodlogo gäj närlädäg. v(DCF ) ≤ v(P C )
gäsän sul xosmogiïn qanar bieläx n´ ilärxiï µm.
Süüliïn xosmog bodlogyg zorilgyn funkciïn argument bolon konus x¶z-
gaarlaltyn al´ alind n´ ödöögq parametr oruulax zamaar gargan awna.
C
Ödöögq parametriïn ogtorguïgaar X×Z-iïg awax bögööd Φ F L : X×Z →
R funkciïg
f (x + y), xäräw x ∈ S, g(x) ∈ z − C,
ΦCF L (x, y, z) =
+∞, äsräg toxioldold.
12. Skal¶r optimizaciïn xosmogiïn onol 11
C
gäj todorxoïl³ë. x ∈ X büriïn xuw´d Φ F L (x, 0, 0) = f (x)+δA (x) bielnä.
ΦCF L -iïn xosmog funkc (ΦCF L )∗ : X ∗ × X ∗ × Z ∗ → R-iïg (x∗ , y ∗ , z ∗ )-iïn
xuw´d biqwäl
(ΦCF L )∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ ) = sup { x∗ , x + y ∗ , y + z ∗ , z − ΦCF L (x, y, z)}
x∈X,y∈X
z∈Z
= sup { x∗ , x + y ∗ , y + z ∗ , z − f (x + y)}
x∈S,y∈X,z∈Z,
g(x)−z∈−C
= sup { x , x + y ∗ , r − x + z ∗ , g(x) − s − f (r)}
∗
x∈S,r∈X
s∈−C
= sup{ x∗ − y ∗ , x + z ∗ , g(x) }
x∈S
+ sup{ y ∗ , r − f (r)} + sup z ∗ , −s
r∈X s∈−C
= f ∗ (y ∗ ) + (−z ∗ g)∗ (x∗ − y ∗ ) + δ−C ∗ (z ∗ ).
S
Odoo (P C ) bodlogyn xuw´d xosmog bodlogyg biqwäl
(DCF L ) sup {−(ΦCF L )∗ (0, y ∗ , z ∗ )}
y ∗ ∈Y ∗ ,z ∗ ∈Z ∗
buµu
(DCF L ) sup {−f ∗ (y ∗ ) − (−z ∗ g)∗ (−y ∗ )}.
S
y ∗ ∈Y ∗ ,z ∗ ∈C ∗
(DCF L )-g Fenxel-Lagranjiïn xosmog bodlogo gäj närlädäg bögööd v(DCF L ) ≤
v(P C ) bielnä.
Anxny bolon däär tom³ëolson xosmog bodloguudyn onowqtoï utguudyn
xoorond
v(DCL )
v(DCF L ) ≤ ≤ v(P C )
v(DCF )
xar´caa ürgälj bieläxiïg xaruulj bolno.
13. Büläg 4
Regul¶r nöxclüüd ba xüqtäï
xosmogiïn qanar
Regul¶r nöxcöl n´ todorxoï ödöögq funkcyn xuw´d (P G) bodlogyg tog-
wortoï baïxyg xaruulaxad a²iglagddag. Änä qigläläär süüliïn jilüüdäd
ärqimtäï sudalgaanuud xiïgdäj irsän bögööd ömnö sudlagdsan nöxclüüdiïg
sulruulax zorilgo tawigddag. Süüliïn üed xiïgdsän sudalgaany ²inä
ür düngüüdiïn talaar Boţ, Grad, Wanka naryn "Duality in vector opti-
mization" nomnoos üzäx bolomjtoï. Änd bid zarim näg nöxclöös n´ awq
üzäx bolno.
Ömnöx bülgiïn nöxclüüd xäwäär xüqintäï bögööd bid (P C ) bodlogyg awq
üz´e.
(P C ) bolon tüüniï Lagranjiïn xosmog bodlogo (DCL )-iïn xuw´d saïn
mädäx regul¶r nöxcöl n´ Slater-iïn gäj närlägdäx
C
(RC1 L ) ∃x ∈ dom f ∩ S such that g(x ) ∈ − int(C)
nöxcöl µm.
Tögsgölög xämjääst ogtorguïd daraax regul¶r nöxcliïg xärägläj bolno.
C dim(lin(g(dom f ∩ S ∩ dom g) + C)) < +∞ and
(RC2 L )
0 ∈ ri(g(dom f ∩ S ∩ dom g) + C).
Teorem 4.1 Z n´ C ⊆ Z güdgär konusaar tuxaïn ärämbälägdsän bögööd
S⊆X n´ xooson bi², güdgär olonlog. Tünääs gadna f :X→R n´ tögs,
14. Regul¶r nöxclüüd ba xüqtäï xosmogiïn qanar 13
güdgär funkc ba g : X → Z n´ tögs, dom f ∩ g −1 (−C) = ∅ bieläx C-
C
güdgär funkc baïg. Xäräw (RCi L ), i ∈ {1, 2} regul¶r nöxclüüdiïn al´
C C
näg n´ bieldäg bol v(P ) = v(D L ) nöxcöl bieläx bögööd xosmog bodlogo
onowqtoï ²iïdtäï baïna.
(P C ) bolon tüüniï Fenxeliïn xosmog bodlogo (DCF )-iïn xuw´d regul¶r
nöxcliïg tögsgölög xämjääst ogtorguïn ür düngäär x¶zgaarla¶.
(RC CF ) dim(lin(dom f − A)) < +∞ and ri(dom f ) ∩ ri(A) = ∅.
Teorem 4.2 Z n´ C ⊆ Z güdgär konusaar tuxaïn ärämbälägdsän bögööd
S⊆X n´ xooson bi², güdgär olonlog. Tünääs gadna f : X → R n´ tögs,
−1
güdgär funkc ba g : X → Z n´ tögs, dom f ∩ g (−C) = ∅ bieläx C-
CF
güdgär funkc baïg. Xäräw (RC ) regul¶r nöxcöl bieldäg bol v(P C ) =
v(DCF ) nöxcöl bieläx bögööd xosmog bodlogo onowqtoï ²iïdtäï baïna.
Äcäst n´ (P C ) bolon tüüniï Fenxel-Lagranjiïn gäj närlägdäx (DCF L )
bodlogyn xuw´d regul¶r nöxcliïg xaruul³¶. Änä toxioldold regul¶r
nöxcliïg erönxiï xälbäräär biqwäl
C
(RC1 F L ) ∃x ∈ dom f ∩S : f n´ x cäg däär tasraltgüï ba g(x ) ∈ − int(C).
Tögsgölög xämjääst ogtorguïd
C
dim lin(dom f × C − epi(−C) (−g) ∩ (S × Z)) < +∞ ba
(RC2 F L ) .
0 ∈ ri dom f × C − epi(−C) (−g) ∩ (S × Z) .
Teorem 4.3 Z n´ C ⊆ Z güdgär konusaar tuxaïn ärämbälägdsän bögööd
S ⊆ X n´ xooson bi², güdgär olonlog.Tünääs gadna f : X → R n´
tögs, güdgär funkc ba g : X → Z n´ tögs, dom f ∩ g −1 (−C) = ∅ bieläx
C-güdgär funkc baïg. Xäräw (RCiCF L ), i ∈ {1, 2} regul¶r nöxclüüdiïn
C C
al´ näg n´ bieldäg bol v(P ) = v(D F L ) nöxcöl bieläx bögööd xosmog
bodlogo onowqtoï ²iïdtäï baïna.
15. Büläg 5
Täncwärjiltiïn bodlogyn
zaag funkc
Optimizaciïn xosmogiïn onolyn tuslamjtaïgaar wariaciïn täncätgäl
bi²iïn xuw´d zaag funkciïg baïguulax döxölt n´ [2] ajild sudlagdsan
bögööd änä sudalgaany örgötgöl bolgon (EP ) bodlogyn xuw´d Fenxeliïn
xosmog bodlogod tulguurlasan zaag funkciïg [1] ajild L.Altangäräl
nar baïguulsan baïdag.
Änä bülägt bid X-iïg C güdgär konusaar tuxaïn ärämbälägdsän bodit
²ugaman ogtorguï gäj üzäx bögööd K ⊆ X n´ xooson bi², güdgär, bitüü
olonlog baïg. Tüünääs gadna f : X × X → R ∪ {+∞} n´ K × K ⊆ dom f
bolon f (x, x) = 0, ∀x ∈ K nöxcliïg xangax ögögdsön funkc.
S ⊆ X n´ xooson bi² güdgär olonlog baïg. Tüünääs gadna g : X → Z =
Z ∪ {±∞C } n´ tögs wektor utgat funkc. Änä bülägt bid (EP ) bodlogyn
bolomjit olonlogiïg
K = {x ∈ S| g(x) ∈ −C}
xälbärtäï gäj üznä.
Odoo ömnöx 2 bülägt dur´dagdsan xosmogiïn onolyn ür düngüüd bolon
[1],[2] ajild a²iglagdsan döxöltiïg a²iglan (EP ) täncwärjiltiïn
bodlogyn xuw´d zaag funkciïg baïguul³¶..
Bäxlägdsän x ∈ X-iïn xuw´d (EP ) bodlogyg
(P EP ; x) inf f (x, y)
y∈K
16. Täncwärjiltiïn bodlogyn zaag funkc 15
gäsän optimizaciïn bodlogo xälbärt biqij bolno.
Tämdägläxäd x∗ ∈ K n´ (EP ) bodlogyn ²iïd baïx zaïl²güï bögööd
xürälcäätäï nöxcöl n´ tär n´ (P EP ; x∗ ) bodlogyn ²iïd baïx ¶wdal.
(P EP ; x) bodlogyn xuw´d xosmog bodloguudyg biqwäl:
EP
(DL ; x) sup inf f (x, y) + (qg)(y) ,
q∈C ∗ y∈S
EP ∗ ∗
(DF ; x) sup − fy (x, p) − δK (−p) ,
p∈X ∗
EP
(DF L ; x) sup − fy (x, p) − (−qg)∗ (−p) ,
∗
S
q∈C ∗
p∈X ∗
∗
änd fy (x, p) := sup[ p, y − f (x, y)] n´ bäxlägdsän x ∈ X-iïn xuw´d y →
y∈X
f (x, y)-iïn xosmog funkc µm. Odoo x ∈ X büriïn xuw´d xosmog bod-
loguudyn onowqtoï utgyg sörög tämdägtäïgäär awsan daraax funkcuudyg
todorxoïl³ë.
EP EP
γ1 (x) = −v(DL ; x) = inf∗ sup − f (x, y) − (qg)(y) ,
q∈C y∈S
EP EP ∗
γ2 (x) = −v(DF ; x) = inf∗ fy (x, p) + σK (−p)
p∈X
γ3 (x) = −v(DF L ; x) = inf∗ fy (x, p) + (−qg)∗ (−p) .
EP EP ∗
S
q∈C
p∈X ∗
Ädgäär funkciïg (EP ) bodlogyn zaag funkc boloxyg xaruulaxyn tuld
sul bolon xüqtäï xosmogiïn qanaruud a²iglagdana. Tüünääs gadna xos-
mog bodlogo tus büriïn xuw´d tögsgölög xämjääst ogtorguïn toxioldold
regul¶r nöxclüüdiïg biqwäl:
EP dim(lin(g(dom f (x, ·) ∩ S ∩ dom g) + C)) < +∞ ba
(RC1 ; x)
0 ∈ ri(g(dom f (x, ·) ∩ S ∩ dom g) + C);
EP
(RC2 ; x) dim(lin(dom f (x, ·)−K)) < +∞ ba ri(dom f (x, ·))∩ri(K) = ∅;
EP
(RC3 ; x) dim lin(dom f (x, ·) × C − epi(−C) (−g) ∩ (S × Z)) < +∞ ba
0 ∈ ri dom f (x, 0) × C − epi(−C) (−g) ∩ (S × Z) .
17. Täncwärjiltiïn bodlogyn zaag funkc 16
Ögüülbär 5.1 ∀x ∈ K büriïn xuw´d (RCiEP ; x), i ∈ {1, 2, 3} regul¶r
nöxcöl bieldäg baïg. Mön x ∈ K büriïn xuw´d y → f (x, y) n´ güdgär
EP
funkc gäj üz´e.Tägwäl γi n´ (EP ) bodlogyn xuw´d zaag funkc bolno.
19. Nomzüï
1. Altangerel, L.; Bot, R. I.; Wanka, G. On gap functions for equilibrium
problems via Fenchel duality. Pacific Journal of Optimization 2 (2006),
no. 3, 667–678.
2. Altangerel, L.; Bot, R. I.; Wanka, G. On the construction of gap func-
tions for variational inequalities via conjugate duality. Asia-Pacific
Journal of Operational Research 24 (2007), no. 3, 353–371.
3. Altangäräl, L. Güdgär analizyn ündsän oïlgoltuud. Lekciïn tämdägläl,
2009.
4. Altangäräl, L. Skal¶r optimizaciïn xosmogiïn onol. Lekciïn
tämdägläl, 2009.
5. Altangäräl, L. Wariaciïn täncätgäl bi², täncwärjiltiïn bod-
logo dax´ xosmogiïn onolyn xäräglää, Mongol Ulsyn ’injläx Ux-
aan, 78-r bot´, 171-182, 2010.
6. Bot, R. I.; Grad, S. M.; Wanka, G. Duality in vector optimization,
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2009.
18
