Reescribir una expresión cuadrática como un binomio al cuadrado

1. Ejemplo1: Imaginaque se te proporcionalasiguienteecuación:
𝑥2 + 18𝑥 − 23 = 0
Y que poralgunadeterminadarazón,necesitamosreescribirlaecuaciónanteriorcomounbinomio
al cuadrado.
1. Reúne lostérminosque tienenrelaciónconlavariable (eneste casoes“x”) de un solo
ladoy envíatodos losvaloresconstantesuotrostérminosque notenganqué vercon la
variable del ladocontrario. Observalosiguiente:
𝑥2 + 18 𝑥 = 23
2. Observacuál es el coeficiente que multiplicaala variable al cuadrado,puede ser1 o
diferente de uno. Eneste casoes1, así que te irás inmediatamente al paso3. En caso
contrario,tienesque leerlaparte correspondiente enel segundoejemplo.
3. Comoel coeficiente de lavariableal cuadradofue 1, no hayningúnproblemaycentramos
nuestraatenciónenel coeficiente de lavariable sinexponente. Eneste caso, todoel
términoque tiene que verconlavariable es +8x y así que el coeficientees +18.
4. Obténlamitaddel término(incluyendoel signocorrespondiente) que eneste casoes+9,
y a dicha mitad,elévalaal cuadrado,esdecir: (+9)2 = +81
5. Reescribe laecuacióndel paso1,agregandoa ambos ladosdel igual,dichovalor,esdecir:
𝑥2 + 18 𝑥 + 81 = 23 + 81.
Has agregadoun númeroque noexistíaenla ecuaciónoriginal perodichaecuaciónsigue
siendolamismaigualdad,puestoque el númeroagregadofue aambosladosde la
igualdad,esdecir,el balance nose ha alterado.
Ahora,reescribe Laexpresiónde laizquierdacomo unbinomioal cuadradosindesarrollar
y simplificael ladoderecho,esdecir,
𝑥2 + 18 𝑥 + 81 = 23 + 81.
(𝑥 + 9)2 = 104
Para escribirel binomioanterior,obtuviste laraízcuadrada del términox2
(primertérmino) yla
raíz del términoconstante (último término) +81 que es igual a 9 y losuniste atravésdel signoque
presentael segundotérmino(+18x) que espositivo. Estosiempre se hace.
Así, haslogradoreescribirunaecuaciónintroduciendounbinomioal cuadradopordesarrollar.
Ahorate pidoque practiquesdesarrollandoel binomioyverifiquesque llegasalaexpresión
original.
Ejemplo2: Imaginaahora que se te presentalasiguiente ecuación:

2. −3𝑦2 + 18𝑦 − 35 = 48
De nuevo,poralgunarazón,necesitasreescribirlaintroduciendounbinomioal cuadradoa
desarrollar.
1. De nuevo,reúne yordenalostérminosque tienenque verconlavariable areescribir(en
este caso es“y”) de un ladodel signoigual ydel ladocontrariode dichosigno,envíalos
términosconstantesoaquéllosque notienenque ver conlavariable de interés. Esdecir,
escribimosde lasiguiente forma:
−3𝑦2 + 18𝑦 = 48 + 35
−3𝑦2 + 18𝑦 = 83 Llamemosaesta ecuacióna)
2. De nuevo,observacuál esel coeficienteque acompañaala variable al cuadradoy observa
si es 1 o diferente de 1. En este caso, el términode lavariable al cuadradoes -3y2
y el
coeficientees -3 QUE ES DIFERENTE DE 1.
3. Ya que el coeficiente esdiferente de 1,tendremosque FACTORIZARDICHOCOEFICIENTE
(-3) DE TODO LO ESCRITOEN LA PARTE IZQUIERDA DEL IGUAL. Factorizarsignificaque una
expresiónse expresarácomoel PRODUCTODE DOS COSAS. Uno de losfactores,debe ser
precisamente el coeficiente que esdiferente de uno,esdecir,deboexpresarel lado
izquierdode laigualdadcomoel productode dosfactores
−3𝑦2 + 18𝑦 = ( ) ( )
Uno de esosfactores(que debe ocuparunparéntesises -3,puesesel coeficientede la
variable al cuadrado. Es decir:
−3𝑦2 + 18𝑦 = ( -3 ) ( )
Para determinarqué debe irdentrodel segundoparéntesis debestomarcadatérminodel
ladoizquierdoydividirloentre el factorque yaelegiste,yel resultadode ladivisióncon
signocorrespondiente,colocarlodentrodel paréntesis:
−3𝑦2 + 18y = ( -3 ) ( ) lo que nosllevaa:
−3𝑦2
−3
= 𝑦2 y entonces,escribimos:
−3𝑦2 + 18y = ( -3 ) (y2
…….. ) Colocopuntossuspensivosporqueaúnel procesonoha
terminado.
Elijoel segundotérminodelladoizquierdoylodividoasuvezpor el factor elegido,
colocandoel resultadode ladivisiónconsignocorrespondienteen el paréntesisque hade
llenarse :
−3𝑦2 + 18y = ( -3 ) ( ) loque nos llevaa:
+18𝑦
−3
= −6𝑦 y entonces,escribimos:
−3𝑦2 + 18y = ( -3 ) (y2
– 6y ) Ya nocoloco puntossuspensivosporqueel proceso
terminóyaque no quedanmástérminos del ladoizquierdo.

3. Así, hemosllegadoaque -3y2
+ 18 y, puede escribirsocomoel productode -3y de (y2
– 6y)
Reescribe estoenlaecuación a),esdecir:
−3𝑦2 + 18𝑦 = 83
(−3)( 𝑦2 + 18𝑦) = 83
4. Ahora,trabajarás eneste paso,exclusivamente fijándote enel segundoparéntesis.
Observaque dentrode este paréntesis,el coeficienteque acompañaala variable y2
es1 y
entonces,estálistoparavolveraaplicarlospasos que ya aprendiste enel ejemplo1.
5. Obtenemoslamitaddel coeficiente conlavariable sinexponente(+18/2= 9) y elevamos
loque salga al cuadrado,esdecir:92
= 81.
6. Agregamosel resultadoconel signocorrespondiente dentrodelsegundoparéntesis,pero
ahora hay que escribirdel ladoderechode laigualdaddichonúmeroperomultiplicadopor
el factor,es decir:
(−3)( 𝑦2 + 18𝑦) = 83
(−3)( 𝑦2 + 18𝑦 + 81) = 83 + (−3)(+81)
Observaque el +81 enel lado derechodel igual,sóloafectaa -3 y noal númeroque se
había escritoantes. Reduce lacantidad a la deerechadel igual,esdecir:
(−3)( 𝑦2 + 18𝑦 + 81) = 83 − 243
(−3)( 𝑦2 + 18𝑦 + 81) = 83 − 243