¿Qué son las ecuaciones? Esta presentación recorre desde los conceptos mas básicos hasta las ecuaciones exponenciales y logarítmicas, además de una aplicación a la resolución de problemas. Ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones polinómicas reducibles a ecuaciones de segundo grado, ecuaciones polinómicas en general, ecuaciones racionales e irracionales y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Problemas numéricos, problemas de edades, problemas de mezclas, problemas de móviles, problemas con figuras geométricas y problemas de calcular el tiempo en el interés compuesto.

1. Prof. Carlos A. Blanco
ECUACIONES

2. • Ecuaciones reducibles a
ecuaciones de segundo grado
 Ecuaciones de tercer y cuarto grado
incompletas
 Ecuaciones bicuadradas y bicúbicas
• Ecuaciones de segundo grado
 Completas
 Incompletas
En este tema se van a tratar los siguientes contenidos:
• Definiciones: igualdades, identidades, ecuaciones, incógnitas, solución,…
• Reglas de equivalencia de ecuaciones.
• Ecuaciones de primer grado
• Ecuaciones polinómicas
• Ecuaciones racionales
• Ecuaciones irracionales
• Ecuaciones exponenciales
• Ecuaciones logarítmicas
• Problemas
ÍNDICE

3. Una igualdad es escribir un símbolo igual entre dos tipos de expresiones.
• Una igualdad numérica es una igualdad entre dos expresiones numéricas.
20 + 5 = 10 + 5 + 5 + 5
• Una igualdad algebraica es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.
3𝑥 − 5 = 𝑥 + 7
Las igualdades algebraicas pueden ser:
• Identidades: Igualdades que son ciertas para cualquier valor que se de a las
letras.
𝑥 + 𝑦 2
= 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦2
• Ecuaciones: Igualdades que son ciertas sólo para algunos valores que les
demos a las letras
3𝑥 − 5 = 𝑥 + 7
A estos valores los llamamos soluciones, hallar dichos valores es resolver la
ecuación.
En la ecuación del ejemplo, la solución es 𝑥 = 6 porque la igualdad es cierta sólo
para ese valor, siendo falsa para el resto de valores.
IGUALDADES:
IDENTIDADES Y ECUACIONES

4. a) Evaluamos la igualdad en 𝑥 = 1, 𝑥 = 2,…
Si 𝑥 = 1 ⟹ 2 1 − 1 = 6 ⟺ 2 · 0 = 6 que es falso.
Luego la igualdad no es cierta para 𝑥 = 1. Se trata entonces de una ecuación.
b) Evaluamos la igualdad en 𝑥 = 1, 𝑥 = 2,…
Si 𝑥 = 1 ⟹ 2 1 − 1 = 2 · 1 − 2 ⟺ 2 · 0 = 2 − 2 que es cierto.
Si 𝑥 = 2 ⟹ 2 2 − 1 = 2 · 2 − 2 ⟺ 2 · 1 = 4 − 2 que es cierto.
La igualdad tendrá al menos dos soluciones, siendo de grado 1. Es identidad.
c) Evaluamos la igualdad en 𝑥 = 1, 𝑥 = 2,…
Si 𝑥 = 1 ⟹ 1 + 1 2 = 12 + 2 · 1 · 1 + 12 ⟺ 22 = 1 + 2 + 1 que es cierto.
Si 𝑥 = 2 ⟹ 2 + 1 2
= 22
+ 2 · 2 · 1 + 12
⟺ 32
= 4 + 4 + 1 que es cierto.
Si 𝑥 = 3 ⟹ 3 + 1 2
= 32
+ 2 · 3 · 1 + 12
⟺ 42
= 9 + 6 + 1 que es cierto.
La igualdad tendrá al menos tres soluciones, siendo de grado 2. Es identidad.
d) Evaluamos la igualdad en 𝑥 = 1, 𝑥 = 2,…
Si 𝑥 = 1 ⟹ 1 − 1 2
= 4 · 1 − 8 ⟺ 02
= 4 − 8 que es falso.
Luego la igualdad no es cierta para 𝑥 = 1. Se trata entonces de una ecuación.
a) 2 𝑥 − 1 = 6 c) 𝑥 + 1 2
= 𝑥2
+ 2𝑥 + 1
b) 2 𝑥 − 1 = 2𝑥 − 2 d) 𝑥 − 1 2
= 4𝑥 − 8
Distingue entre identidades y ecuaciones:
IGUALDADES:
IDENTIDADES Y ECUACIONES

5. Primer grado Segundo grado Tercer grado
5 + 2𝑥 = 4 + 10 5𝑥2
− 2𝑥 = 5 2𝑥3
= 4𝑥 − 10
Las letras que aparecen en la ecuación se llaman incógnitas y el grado de una
ecuación es el mayor de los grados de los términos.
Términos
3𝑥 − 5 = 𝑥 + 7
Cada uno de los sumandos en una ecuación es un término de la ecuación.
Segundo miembroPrimer miembro
3𝑥 − 5 = 𝑥 + 7
En una ecuación, a la expresión que se encuentra a la izquierda del igual se la
llama primer miembro y a la expresión que se encuentra a la derecha del igual se
la llama segundo miembro.
ECUACIONES

6. Debemos entender la ecuación como una balanza en
equilibrio: cada miembro es un platillo y para mantener
dicho equilibrio, todo lo que se haga en un platillo, debe
hacerse igual en el otro.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones; es decir, ambas
son ciertas para los mismos números y falsas para el resto.
3𝑥 − 5 = 𝑥 + 7
3𝑥 − 2 = 𝑥 + 10
son ciertas solo para 𝑥 = 6
Existen dos reglas básicas que permiten construir ecuaciones equivalentes a partir
de una dada.
• Regla de la suma: Consiste en sumar un mismo número ó expresión algebraica a
los dos miembros de una ecuación.
3𝑥 − 5 = 𝑥 + 7 ⇒ 3𝑥 − 5 + 𝟑 = 𝑥 + 7 + 𝟑
3𝑥 − 5 = 𝑥 + 7 ⇒ 3𝑥 − 5 + 𝒙 = 𝑥 + 7 + 𝒙
• Regla del producto: Consiste en multiplicar por un mismo número distinto de
cero a los dos miembros de una ecuación.
3𝑥 − 5 = 𝑥 + 7 ⇒ 𝟐 · 3𝑥 − 5 = 𝟐 · 𝑥 + 7
ECUACIONES EQUIVALENTES (I)

7. Observar que de este modo, los términos que están multiplicando en un miembro,
pasan dividiendo al otro miembro y viceversa… ¡y no cambian de signo!
⇒ 𝑥 =
8
5
1
5
·
1
5
· 8𝑥 =5 ·
• En segundo lugar, a partir de la regla del producto podemos despejar:
Observar que de este modo, los términos que están sumando en un miembro,
pasan restando al otro miembro y viceversa.
⇒ 5𝑥 = 8+ −2𝑥+ −2𝑥 +82𝑥=7𝑥
⇒ 7𝑥 = 2𝑥 + 8+5+5 = 2𝑥 + 3−57𝑥
Aplicaremos la regla de la suma para cambiar los términos +5 y 2𝑥 de lado.
7𝑥 − 5 = 2𝑥 + 3
Vamos a estudiar las consecuencias de las reglas anteriores:
• En primer lugar, a partir de la regla de la suma podemos trasponer términos:
ECUACIONES EQUIVALENTES (II)

8. Las ecuaciones se van a resolver aplicando las reglas de equivalencia anteriores,
intentando obtener en cada paso una ecuación más sencilla que en el paso
precedente.
Sin embargo estas reglas de equivalencia deben aplicarse con cuidado, puesto que
si no se hace correctamente, se pueden cometer errores graves:
Teorema: 1 = 2
Demostración: Sean 𝑎 y 𝑏 dos números reales iguales y distintos de cero.
𝑎 = 𝑏
Aplicamos la regla del producto, multiplicando ambos miembros por 𝑎:
𝑎2
= 𝑎 · 𝑏
Aplicamos la regla de la suma, sumando −𝑏2
a ambos miembros:
𝑎2
− 𝑏2
= 𝑎 · 𝑏 − 𝑏2
⇒ 𝑎 + 𝑏 · 𝑎 − 𝑏 = 𝑏 · 𝑎 − 𝑏
Simplificando
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑎 = 𝑎 ⇒ 2𝑎 = 𝑎 ⇒ 2 = 1
¿Dónde está el error?
ECUACIONES EQUIVALENTES (y III)

9. En una ecuación de primer grado como la siguiente
3 · 𝑥 + 2
4
−
2 · 𝑥 − 3
5
=
𝑥 + 1
2
Seguiremos los siguientes pasos:
1. Eliminaremos los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva:
3𝑥 + 6
4
−
2𝑥 − 6
5
=
𝑥 + 1
2
2. Eliminaremos los denominadores, multiplicando todos los términos de la
ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores:
20 ·
3𝑥 + 6
4
− 20 ·
2𝑥 − 6
5
= 20 ·
𝑥 + 1
2
⇒
⟹ 5 · 3𝑥 + 6 − 4 · 2𝑥 − 6 = 10 · 𝑥 + 1
3. Eliminaremos de nuevo los paréntesis que han aparecido al simplificar:
15𝑥 + 30 − 8𝑥 + 24 = 10𝑥 + 10
4. Y al final resolvemos: trasponemos términos, agrupamos y despejamos.
15𝑥 − 8𝑥 − 10𝑥 = 10 − 30 − 24 ⇒ −3𝑥 = −44 ⇒ 𝑥 =
−44
−3
=
44
3
ECUACIONES DE PRIMER GRADO

10. b)
a)
5 − 𝑥
3
+
3 𝑥 − 7
2
= 2𝑥 − 2 ⟺
5 − 𝑥
3
+
3𝑥 − 21
2
= 2𝑥 − 2 ⟺
⟺ 6 ·
5 − 𝑥
3
+ 6 ·
3𝑥 − 21
2
= 6 · 2𝑥 − 2 ⟺ 2 · 5 − 𝑥 + 3 · 3𝑥 − 21 = 6 · 2𝑥 − 2 ⟺
⟺ 10 − 2𝑥 + 9𝑥 − 63 = 12𝑥 − 12 ⟺ −2𝑥 + 9𝑥 − 12𝑥 = −12 − 10 + 63 ⟺
⟺ −5𝑥 = 41 ⟺ 𝑥 =
−41
5
5𝑥 − 4
2
−
3 𝑥 + 1
8
= 𝑥 − 2 ⟺
5𝑥 − 4
2
−
3𝑥 + 3
8
= 𝑥 − 2 ⟺
⟺ 8 ·
5𝑥 − 4
2
− 8 ·
3𝑥 + 3
8
= 8 · 𝑥 − 2 ⟺ 4 · 5𝑥 − 4 − 3𝑥 + 3 = 8 · 𝑥 − 2 ⟺
⟺ 20𝑥 − 16 − 3𝑥 − 3 = 8𝑥 − 16 ⟺ 20𝑥 − 3𝑥 − 8𝑥 = −16 + 16 + 3 ⟺
⟺ 9𝑥 = 3 ⟺ 𝑥 =
3
9
⟹ 𝑥 =
1
3
a)
5 − 𝑥
3
+
3 𝑥 − 7
2
= 2𝑥 − 2 b)
5𝑥 − 4
2
−
3 𝑥 + 1
8
= 𝑥 − 2
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
ECUACIONES DE PRIMER GRADO

11. Una ecuación de segundo grado es cualquier ecuación equivalente a:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Si tenemos la ecuación de esta forma, resolveremos aplicando la fórmula:
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Donde
• −𝑏 es el opuesto del coeficiente del término de primer grado. No
necesariamente va a ser siempre negativo: si 𝑏 = −2 es negativo, entonces
− 𝑏 = 2 será positivo, por ejemplo
• ± nos va a indicar que existen dos raíces cuadradas, una positiva y otra
negativa. Eso nos proporcionará las dos soluciones de la ecuación de segundo
grado.
• Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 es el discriminante de la ecuación y su signo nos indicará el
número de soluciones reales:
 Si Δ > 0, habrá dos soluciones reales distintas.
 Si Δ = 0, habrá una solución real doble.
 Si Δ < 0, no habrá ninguna solución real.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (I)

12. a) Puesto que 𝑎 = 1, 𝑏 = −1 y 𝑐 = −2, se tiene la fórmula
𝑥 =
1 ± −1 2 − 4 · 1 · −2
2 · 1
=
1 ± 1 + 8
2
=
1 ± 9
2
=
1 ± 3
2
=
2
−1
b) Desarrollamos la ecuación:
𝑥2 + 7𝑥 = 2 𝑥 + 3 ⟺ 𝑥2 + 7𝑥 = 2𝑥 + 6 ⟺ 𝑥2 + 7𝑥 − 2𝑥 − 6 = 0 ⟺ 𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0
Puesto que 𝑎 = 1, 𝑏 = 5 y 𝑐 = −6, se tiene
𝑥 =
−5 ± 52 − 4 · 1 · −6
2 · 1
=
−5 ± 25 + 24
2
=
−5 ± 49
2
=
−5 ± 7
2
=
1
−6
c) Desarrollamos la ecuación:
𝑥 − 2 2 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0
Puesto que 𝑎 = 1, 𝑏 = −5 y 𝑐 = 4, se tiene
𝑥 =
5 ± −5 2 − 4 · 1 · 4
2 · 1
=
5 ± 25 − 16
2
=
5 ± 9
2
=
5 ± 3
2
=
4
1
a) 𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0 b) 𝑥2
+ 7𝑥 = 2 𝑥 + 3 c) 𝑥 − 2 2
− 𝑥 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (I)

13. En una ecuación de segundo grado de la forma:
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Si 𝑎1 y 𝑎2 son las soluciones, entonces:
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 − 𝑎1 · 𝑥 − 𝑎2 = 𝑥2 − 𝑎1 + 𝑎2 𝑥 + 𝑎1 · 𝑎2
Y se cumple que:
• El término de primer grado es el opuesto de la suma de las soluciones
𝑏 = − 𝑎1 + 𝑎2
• El término independiente es igual al producto de las soluciones
𝑐 = 𝑎1 · 𝑎2
Es decir, si llamamos
𝑠 = 𝑎1 + 𝑎2 y 𝑝 = 𝑎1 · 𝑎2
entonces la ecuación igual a 𝑥2
− 𝑠𝑥 + 𝑝 = 0
Si tenemos la ecuación 𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0
• La suma de las soluciones es −3 y el producto de las soluciones es +2: las
soluciones son del mismo signo y negativas.
Si tenemos la ecuación 𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0
• La suma de las soluciones es +1 y el producto de la soluciones es −2: las
soluciones son de distinto signo y suman +1, luego además la positiva es mayor
en valor absoluto que la negativa.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (II)

14. • 𝑎𝑥2
= 0
Basta con despejar:
𝑎𝑥2 = 0 ⇒
⇒ 𝑥2
= 0 ⇒
⇒ 𝑥 = ± 0 = ±0
• 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 = 0
Sacamos factor común:
𝑥 · 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⇒
⇒
𝑥 = 0
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
⇒
⇒
𝑥 = 0
𝑥 =
−𝑏
𝑎
• 𝑎𝑥2
+ 𝑐 = 0
Basta con despejar:
𝑎𝑥2 = −𝑐 ⇒
⇒ 𝑥2
=
−𝑐
𝑎
⇒
⇒ 𝑥 = ±
−𝑐
𝑎
En estos casos no es necesario aplicar la fórmula para resolver. En estos casos se
puede hacer de una forma más rápida y eficaz:
• 𝑎𝑥2
= 0• 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 = 0• 𝑎𝑥2
+ 𝑐 = 0
Son ecuaciones de segundo grado en las que falta alguno de los términos, es decir,
ecuaciones de la forma:
ECUACIONES INCOMPLETAS

15. a) Puesto que no tiene término independiente podemos hacer
𝑥 𝑥 + 3 = 0 ⟺
𝑥 = 0
𝑥 + 3 = 0
⟺
𝑥 = 0
𝑥 = −3
b) Desarrollamos la ecuación:
𝑥2
+ 4𝑥 = 4 𝑥 − 6 ⟺ 𝑥2
+ 4𝑥 = 4𝑥 − 24 ⟺ 𝑥2
+ 4𝑥 − 4𝑥 + 24 = 0 ⟺ 𝑥2
+ 24 = 0
Puesto que no tiene término de primer grado, despejamos
𝑥2
+ 24 = 0 ⟺ 𝑥2
= −24 ⟺ 𝑥 = ± −24 y no tiene solución real
c) Desarrollamos la ecuación:
𝑥 − 2 2 + 4𝑥 = 6 ⟺ 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 4𝑥 − 6 = 0 ⟺ 𝑥2 − 2 = 0
Puesto que no tiene término de primer grado, despejamos
𝑥2 − 2 = 0 ⟺ 𝑥2 = 2 ⟺ 𝑥 = ± 2
a) 𝑥2
+ 3𝑥 = 0 b) 𝑥2
+ 4𝑥 = 4 𝑥 − 6 c) 𝑥 − 2 2
+ 4𝑥 = 6
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:
ECUACIONES INCOMPLETAS

16. Un primer tipo de ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado son
ecuaciones de tercer grado incompletas de la forma
𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 = 0
O también ecuaciones de cuarto grado incompletas de la forma
𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥3
+ 𝑐𝑥2
= 0
En cualquiera de los dos casos, la solución es sacar factor común:
𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⟺
𝑥 = 0
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Esta ecuación tiene una solución 𝑥 = 0, además de las dos soluciones de la
ecuación de segundo grado.
𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥3
+ 𝑐𝑥2
= 0 ⟺ 𝑥2
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑥2 = 0
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Esta ecuación tiene una solución 𝑥 = 0 doble, además de las dos soluciones de la
ecuación de segundo grado.
ECUACIONES REDUCIBLES A
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

17. Un segundo tipo de ecuaciones de segundo grado es una ecuación bicuadrada:
𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐 = 0
En este caso, basta con hacer un cambio de variable 𝑥2
= 𝑡. Teniendo en cuenta
que 𝑥4 = 𝑥2 2, se tiene que 𝑥4 = 𝑡2 y la ecuación queda:
𝑎𝑡2
+ 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0
La solución entonces quedará:
𝑡 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
𝑡1
𝑡2
Y deshaciendo el cambio de variable
𝑥 = ± 𝑡𝑖 para 𝑖 = 1,2
Esta idea se puede generalizar a ecuaciones de la forma:
𝑎𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥 𝑛 + 𝑐 = 0
Resolviéndose mediante el cambio de variable 𝑥 𝑛 = 𝑡, y deshaciendo el cambio de
variable al final 𝑥 = 𝑛
𝑡𝑖, siendo 𝑥 = ± 𝑛
𝑡𝑖 en el caso de que 𝑛 sea par, y 𝑥 = 𝑛
𝑡𝑖
en el caso de que 𝑛 sea impar.
ECUACIONES REDUCIBLES A
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

18. a) Extraemos factor común y tenemos:
𝑥 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 ⟺
𝑥 = 0
𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0
⟺
𝑥 = 0
𝑥 =
2
−1
b) Desarrollamos 𝑥4
− 2𝑥2
+ 1 − 𝑥3
− 1 = 0 ⟺ 𝑥4
− 𝑥3
− 2𝑥2
= 0
𝑥2
𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥2
= 0
𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0
⟺
𝑥 = 0 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒
𝑥 =
2
−1
c) Hacemos el cambio de variable 𝑥2 = 𝑡 y tenemos:
𝑡2 − 4𝑡 − 5 = 0 ⟺ 𝑡 =
5
−1
Y deshaciendo el cambio de variable, 𝑥 = ± 5 y 𝑥 = ± −1, que no es real.
d) Hacemos el cambio de variable 𝑥3
= 𝑡 y tenemos:
a) 𝑥3
− 𝑥2
− 2𝑥 = 0 c) 𝑥4
− 4𝑥2
− 5 = 0
b) 𝑥2
− 1 2
= 𝑥3
+ 1 d) 𝑥6
+ 9𝑥3
+ 8 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones:
ECUACIONES REDUCIBLES A
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

19. Las soluciones son
𝑥 = 2 (doble) y 𝑥 = −3
0
−12
−6
+2
+1
+2
+1
+2
+1 −1 −8 + 12
+2
+1
+2
+3
+6
0
−3
+1
−3
0
En una ecuación polinómica en general, cuando no se pueda resolver mediante la
fórmula de la ecuación de segundo grado, ni se pueda sacar factor común, ni se
pueda hacer un cambio de variable, el último recurso que nos queda es obtener las
raíces por el método de Ruffini.
Por ejemplo en la ecuación
𝑥3
− 𝑥2
− 8𝑥 + 12 = 0
No podemos sacar factor común, no es de segundo grado y no podemos hacer un
cambio de variable. Entonces:
ECUACIONES POLINÓMICAS

20. Las soluciones son
𝑥 = 0, 𝑥 = 1 (doble) y 𝑥 = −2
0
−2
+1
−2
0
−2
−2
+1
+1
+1
+1
+1
+1 0 −3 + 2
+1
+1
+1
+2
+2
0
b) Comenzamos sacando factor común:
𝑥 𝑥3
− 3𝑥 + 2 = 0 ⟺
𝑥 = 0
𝑥3
− 3𝑥 + 2 = 0
Las soluciones son
𝑥 = 2, 𝑥 = 3 y 𝑥 = 4
0
+4
+1
+4
0
+24
+12
−14
−7
+2
+1
+2
+1 −9 +26 − 24
+3
+1
+3
−4
−12
0
a) Factorizamos el polinomio:
a) 𝑥3 − 9𝑥2 + 26𝑥 − 24 = 0 b) 𝑥4 − 3𝑥2 + 2𝑥 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
ECUACIONES POLINÓMICAS

21. Una ecuación racional es una ecuación del tipo:
1
𝑥 − 1
+
1
𝑥 − 2
=
3
2
Resolvemos eliminando denominadores, y lo haremos igual que en el caso de
ecuaciones de primer grado con denominadores numéricos: multiplicar todos los
términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. El
problema es que ahora los denominadores son polinomios:
1
𝑥 − 1
+
1
𝑥 − 2
=
3
2
⟺ (𝑚𝑐𝑚 𝑥 − 1, 𝑥 − 2,2 = 2 𝑥 − 1 𝑥 − 2 ) ⟺
⟺ 2 𝑥 − 1 𝑥 − 2
1
𝑥 − 1
+ 2 𝑥 − 1 𝑥 − 2
1
𝑥 − 2
= 2 𝑥 − 1 𝑥 − 2
3
2
⟺
⟺ 2 𝑥 − 2 + 2 𝑥 − 1 = 3 𝑥 − 1 𝑥 − 2 ⟺
⟺ 2𝑥 − 4 + 2𝑥 − 2 = 3𝑥2
− 9𝑥 + 6 ⟺ 3𝑥2
− 13𝑥 + 12 = 0 ⟺
⟺ 𝑥 =
13 ± 169 − 144
6
=
13 ± 5
6
=
3
8
6
=
4
3
Las dos soluciones son válidas puesto que no anulan los denominadores
ECUACIONES RACIONALES

22. a) Como mcm 𝑥 − 1,2𝑥, 2 = 2𝑥 𝑥 − 1 , multiplicamos:
2𝑥 𝑥 − 1
𝑥 + 2
𝑥 − 1
− 2𝑥 𝑥 − 1
4 − 𝑥
2𝑥
= 2𝑥 𝑥 − 1
3
2
⟺
⟺ 2𝑥 𝑥 + 2 − 𝑥 − 1 4 − 𝑥 = 3𝑥 𝑥 − 1 ⟺
⟺ 2𝑥2
+ 4𝑥 + 𝑥2
− 5𝑥 + 4 = 3𝑥2
− 3𝑥 ⟺ 2𝑥 + 4 = 0 ⟺ 𝑥 = −2
La solución es válida porque no anula los denominadores.
b) Como mcm 𝑥, 3𝑥 − 2,4 = 4𝑥 3𝑥 − 2 , multiplicamos:
4𝑥 3𝑥 − 2
𝑥 − 1
𝑥
− 4𝑥 3𝑥 − 2
3𝑥
3𝑥 − 2
= 4𝑥 3𝑥 − 2
3
4
⟺
⟺ 4 3𝑥 − 2 𝑥 − 1 − 4𝑥 · 3𝑥 = 3𝑥 3𝑥 − 2 ⟺
⟺ 12𝑥2
− 20𝑥 + 8 − 12𝑥2
= 9𝑥2
− 6𝑥 ⟺ 9𝑥2
+ 14𝑥 − 8 = 0 ⟺ 𝑥
=
4
9
−2
a)
𝑥 + 2
𝑥 − 1
−
4 − 𝑥
2𝑥
=
3
2
b)
𝑥 − 1
𝑥
−
3𝑥
3𝑥 − 2
=
3
4
Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:
ECUACIONES RACIONALES

23. Una ecuación irracional es aquella en la que aparece al menos una raíz cuadrada. Para
resolverla, es necesario eliminar la raíz cuadrada. Aplicaremos que:
𝐴 = 𝐵 ⟹ 𝐴2 = 𝐵2
El reciproco no es cierto, es decir si 𝐴2
= 𝐵2
⇏ 𝐴 = 𝐵 Esto quiere decir que después
de eliminar las raíces y resolver, comprobaremos las soluciones.
1. En primer lugar aislaremos la raíz en un miembro:
2𝑥 + 𝑥2 − 6𝑥 + 2 = 1 ⟺ 𝑥2 − 6𝑥 + 2 = 1 − 2𝑥
2. En segundo lugar elevamos los dos miembros al cuadrado:
𝑥2 − 6𝑥 + 2
2
= 1 − 2𝑥 2
⟺ 𝑥2
− 6𝑥 + 2 = 1 − 4𝑥 + 4𝑥2
⟺ 3𝑥2
+ 2𝑥 − 1 = 0
3. Resolvemos la ecuación resultante:
3𝑥2
+ 2𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 =
−2 ± 22 − 4 · 3 · −1
2 · 3
⟺ 𝑥 =
1
3
−1
4. Comprobamos las soluciones en la ecuación de partida:
Si 𝑥 =
1
3
, entonces 2 ·
1
3
+
1
3
2
− 6 ·
1
3
+ 2 = 1 cierto. Es solución.
Si 𝑥 = −1, entonces 2 · −1 + −1 2 − 6 · −1 + 2 = 1 cierto. Es solución
ECUACIONES IRRACIONALES

24. a) Eliminamos la raíz:
5𝑥2 + 3𝑥 − 4 − 24 = 4𝑥 ⟺ 5𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 4𝑥 + 24 ⟹
⟹ 5𝑥2 + 3𝑥 − 4
2
= 4𝑥 + 24 2
⟺ 5𝑥2
+ 3𝑥 − 4 = 16𝑥2
+ 192𝑥 + 576 ⟺
⟺ 11𝑥2
+ 189𝑥 + 580 = 0 ⟺ 𝑥 =
−189 ± 1892 − 4 · 11 · 580
2 · 11
⟺ 𝑥 =
−4
−145
11
Tras comprobar las soluciones, solo 𝑥 = −4 es solución de la ecuación.
b) Eliminamos las raíces una por una:
7𝑥 + 4 − 𝑥 + 1 = 3 ⟺ 7𝑥 + 4 = 3 + 𝑥 + 1 ⟹
⟹ 7𝑥 + 4
2
= 3 + 𝑥 + 1
2
⟺ 7𝑥 + 4 = 9 + 6 𝑥 + 1 + 𝑥 + 1 ⟺
⟺ 7𝑥 + 4 − 9 − 𝑥 − 1 = 6 𝑥 + 1 ⟺ 6𝑥 − 6 = 6 𝑥 + 1 ⟺ 𝑥 − 1 = 𝑥 + 1 ⟹
⟹ 𝑥 − 1 2
= 𝑥 + 1
2
⟺ 𝑥2
− 2𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 ⟺ 𝑥2
− 3𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 =
0
3
Tras comprobar las soluciones, solo 𝑥 = 3 es solución de la ecuación.
a) 5𝑥2 + 3𝑥 − 4 − 24 = 4𝑥 b) 7𝑥 + 4 − 𝑥 + 1 = 3
Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
ECUACIONES IRRACIONALES

25. Una ecuación exponencial es aquella en la que alguna incógnita está como
exponente de alguna constante. Resolveremos de diferentes maneras :
1. En muchas situaciones intentaremos aplicar propiedades de potencias para
obtener una igualdad de potencias de la misma base. En ese caso:
𝐴 𝐸𝑥𝑝 𝐴𝑙𝑔 1 = 𝐴 𝐸𝑥𝑝 𝐴𝑙𝑔 2 ⟺ 𝐸𝑥𝑝 𝐴𝑙𝑔 1 = 𝐸𝑥𝑝 𝐴𝑙𝑔 2, si 𝐴 ≠ 0, 𝐴 ≠ 1, 𝐴 ≠ −1
2. En otras ocasiones se buscará un cambio de variable de la forma 𝑎 𝑥 = 𝑡. En este
caso no hay que olvidar deshacer el cambio de variable al terminar.
3. Finalmente, si ninguna de las técnicas anteriores nos sirve, podemos extraer
logaritmos en ambos miembros.
Ejemplos:
a) Si tenemos 32𝑥−1
=
1
27
⟺ 32𝑥−1
= 3−3
⟺ 2𝑥 − 1 = −3 ⟺ 𝑥 = −1
b) Si tenemos 3 𝑥+1
+ 3 𝑥
+ 1 = 37 hacemos 3 𝑥
= 𝑡 y tenemos
3𝑡 + 𝑡 + 1 = 37 ⟺ 4𝑡 = 36 ⟺ 𝑡 = 9 ⟺ 3 𝑥 = 9 ⟺ 3 𝑥 = 32 ⟺ 𝑥 = 2
c) Si tenemos 3 𝑥
= 4, tomamos logaritmos y tenemos
log 3 𝑥
= log 4 ⟺ 𝑥 log 3 = log 4 ⟺ 𝑥 =
log 4
log 3
ECUACIONES EXPONENCIALES

26. a) Aplicamos propiedades de potencias
1
25
= 5 𝑥2−3
⟺ 5−2
= 5 𝑥2−3
⟺ −2 = 𝑥2
− 3 ⟺ 1 = 𝑥2
⟺ 𝑥 = ± 1 = ±1
b) Aplicamos el cambio de variable 3 𝑥
= 𝑡
3 𝑥
3
+ 3 𝑥
+ 3 · 3 𝑥
= 117 ⟺ 𝑡 + 3𝑡 + 9𝑡 = 351 ⟺
⟺ 13𝑡 = 351 ⟺ 𝑡 = 27 ⟺ 3 𝑥
= 27 ⟺ 3 𝑥
= 33
⟺ 𝑥 = 3
c) Tomamos logaritmos
2 = 1,5 𝑡 ⟺ log 2 = log 1,5 𝑡 ⟺ log 2 = 𝑡 log 1,5 ⟺ 𝑡 =
log 2
log 1,5
≅ 1,71
d) Aplicamos el cambio de variable 2 𝑥
= 𝑡 (observar que 4 𝑥
= 22 𝑥
= 2 𝑥 2
)
2 · 2 𝑥
+ 2 𝑥 2
= 80 ⟺ 2𝑡 + 𝑡2
− 80 = 0 ⟺ 𝑡 = 8 ⟹ 2 𝑥 = 23 ⟹ 𝑥 = 3
−10 ⟹ 2 𝑥
= −10 ⟹ 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
a)
1
25
= 5 𝑥2−3 c) 2 = 1,5 𝑡
b) 3 𝑥−1
+ 3 𝑥
+ 3 𝑥+1
= 117 d) 2 𝑥+1
+ 4 𝑥
= 80
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
ECUACIONES EXPONENCIALES

27. En una ecuación logarítmica habrá expresiones logarítmicas. Para resolverlas, se
aplicarán propiedades de los logaritmos para obtener
log 𝑎 𝐸𝑥𝑝 𝐴𝑙𝑔 1 = log 𝑎 𝐸𝑥𝑝 𝐴𝑙𝑔 2 ⟺ 𝐸𝑥𝑝 𝐴𝑙𝑔 1 = 𝐸𝑥𝑝 𝐴𝑙𝑔 2
Después de resolver, habrá que comprobar que si 𝑥 toma alguno de los valores de
las soluciones obtenidas , las expresiones logarítmicas tienen sentido en los
números reales.
2 log 𝑥 = 1 + log 𝑥 +
11
10
⟺ log 𝑥2
= log 10 + log 𝑥 +
11
10
⟺
⟺ log 𝑥2 = log 10 𝑥 +
11
10
⟺ 𝑥2 = 10𝑥 + 11 ⟺ 𝑥2 − 10𝑥 − 11 = 0 ⟺
⟺ 𝑥 =
10 ± −10 2 − 4 · 1 · −11
2 · 1
=
10 ± 144
2
=
10 ± 12
2
=
11
−1
La única solución es 𝑥 = 11 ya que en la ecuación de partida la solución 𝑥 = −1 no
tiene sentido en los números reales puesto que quedaría
2 log −1 = 1 + log −1 +
11
10
ECUACIONES LOGARÍTMICAS

28. a) Aplicamos propiedades de logaritmos
log 𝑥 − 3 + log 𝑥 − 6 = 1 ⟺ log 𝑥 − 3 𝑥 − 6 = log 10 ⟺
⟺ 𝑥 − 3 𝑥 − 6 = 10 ⟺ 𝑥2
− 9𝑥 + 18 = 10 ⟺ 𝑥2
− 9𝑥 + 8 = 0 ⟺ 𝑥 =
8
1
De las dos soluciones solo es válida 𝑥 = 8
b) Aplicamos propiedades de logaritmos
𝑥 + log2 9 − 2 𝑥
= 3 ⟺ log2 2 𝑥
+ log2 9 − 2 𝑥
= log2 23
⟺
⟺ log2 2 𝑥
9 − 2 𝑥
= log2 23
⟺ 2 𝑥
9 − 2 𝑥
= 23
Observamos que tenemos ahora una ecuación exponencial. Hacemos el cambio de
variable 2 𝑥 = 𝑡 y tenemos
𝑡 9 − 𝑡 = 8 ⟺ 𝑡2
− 9𝑡 + 8 = 0 ⟺ 𝑡 = 8 ⟹ 2 𝑥 = 8 = 23 ⟹ 𝑥 = 3
1 ⟹ 2 𝑥 = 1 = 20 ⟹ 𝑥 = 0
Las dos soluciones de 𝑥 son válidas.
a) log 𝑥 − 3 + log 𝑥 − 6 = 1 b) 𝑥 + log2 9 − 2 𝑥 = 3
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
ECUACIONES LOGARÍTMICAS

29. Para resolver un problema con ecuaciones debemos:
• Leer atentamente el problema y fijarnos en qué datos nos da el problema y qué
datos nos pide.
• Fijar qué es lo que va a significar la incógnita del problema. Si es posible, esto
último lo escribiremos con una frase completa:
Por ejemplo, escribir x es el número de kilos de patatas a 0,40€ el kilo
• A continuación leeremos de nuevo el problema fijándonos en las relaciones de
lo que hemos llamado x con el resto de los datos del problema. A partir de esta
nueva lectura intentaremos plantear la ecuación.
• Resolveremos la ecuación.
• El último paso será interpretar la solución, intentando responder a la pregunta
que nos hace el problema. Puesto que la pregunta está redactada en lenguaje
ordinario, la respuesta la daremos también en lenguaje ordinario, no en
lenguaje matemático.
PROBLEMAS DE ECUACIONES

30. Los tipos de problemas que resolveremos son:
• Problemas de números
• Problemas de edades
• Problemas de mezclas
• Problemas de móviles
• Problemas en los que intervenga alguna figura geométrica así como alguna de
sus características: perímetro, área,…
• Problemas de interés compuesto
En principio estos problemas intentaremos resolverlos con una sola incógnita.
PROBLEMAS DE ECUACIONES

31. Halla un número tal que su tercera parte, más su cuarta parte, más su quinta parte,
más su sexta parte sea 6 unidades menos que dicho número.
En primer lugar, la incógnita va a ser el número buscado, es decir:
• x es el número buscado
• La tercera parte del número será entonces
𝑥
3
• La cuarta parte del número será entonces
𝑥
4
• La quinta parte del número será entonces
𝑥
5
• La sexta parte del número será entonces
𝑥
6
• 6 Unidades menos que dicho número será 𝑥 − 6
La ecuación es entonces:
𝑥
3
+
𝑥
4
+
𝑥
5
+
𝑥
6
= 𝑥 − 6
Y la solución es 𝑥 = 120
El número buscado es el 120
PROBLEMAS DE NÚMEROS (I)

32. De un barril extraemos la mitad del contenido y a continuación la tercera parte del
resto, quedando 200 litros en el barril. ¿Qué capacidad tiene dicho barril?
En primer lugar, la incógnita va a ser la capacidad del barril, es decir:
• El barril tiene x litros de capacidad
• La mitad del contenido es entonces
𝑥
2
• Si sacamos
𝑥
2
del barril, dentro quedarán 𝑥 −
𝑥
2
=
𝑥
2
• La tercera parte del resto será entonces
1
3
·
𝑥
2
Puesto que quedarán entonces 200 litros aún en su interior, la ecuación es
entonces:
𝑥 −
𝑥
2
−
1
3
·
𝑥
2
= 200
Y la solución es 𝑥 = 600
La capacidad del barril es de 600 litros
PROBLEMAS DE NÚMEROS (II)

33. Observamos que así ya tenemos planteada la incógnita. Puesto que mi edad era el
triple hace 10 años, multiplicamos por 3 la edad de mi hermano hace 10 años para
obtener mi edad hace 10 años. La ecuación es:
3 · 𝑥 − 10 = 𝑥 + 14 − 10
Cuya solución es 𝑥 = 17 y por tanto mi edad es 𝑥 + 14 = 31
Mi hermano tiene 17 años y yo tengo 31 años.
Edades Hoy Edades hace 10 años
Yo 𝑥 + 14 𝑥 + 14 − 10
Mi hermano 𝑥 𝑥 − 10
Tengo 14 años más que mi hermano, y hace 10 años tenía exactamente el triple de
su edad. ¿Cuáles son nuestras edades actuales?
La manera de plantear este problema es escribir los datos en una tabla y observar
que hace 10 años, tanto yo como mi hermano teníamos 10 años menos:
PROBLEMAS DE EDADES

34. Debemos mezclar 150 kilos de patatas a
0,40€/Kg para obtener la mezcla deseada.
La ecuación es:
0,40 · 𝑥 + 0,20 · 50 = 0,35 · 𝑥 + 50
Cuya solución es 𝑥 = 150
Kilos Precio total
Patatas a 0,40€/Kg 𝑥 0,40 · 𝑥
Patatas a 0,20€/Kg 50 0,20 · 50
Patatas a 0,35€/Kg 𝑥 + 50 0,35 · 𝑥 + 50
¿Cuántos kilos de patatas a 0,40€ el kilo debemos mezclar con 50 kilos de patatas a
0,20€ el kilo para obtener patatas a 0,35€ el kilo?
x es el número de kilos de patatas a 0,40€ el kilo
Observamos que el precio total antes de la mezcla debe ser igual al precio total
después de mezclar:
PROBLEMAS DE MEZCLAS

35. Se encuentran a 270 km de A y tardan 3 h en encontrarse
La ecuación es:
𝑥
90
=
570 − 𝑥
100
Cuya solución es 𝑥 = 270 𝑘𝑚 y por tanto el tiempo serán 𝑡 = 3 ℎ
Móvil A Velocidad = 90 𝑘𝑚/ℎ Espacio = 𝑥 𝑘𝑚 Tiempo =
𝑥
90
ℎ
Móvil B Velocidad = 100 𝑘𝑚/ℎ Espacio = 570 − 𝑥 𝑘𝑚 Tiempo =
570−𝑥
100
ℎ
Dos ciudades A y B están separadas 570 km. Sale de A una moto a 90 km/h y
simultáneamente de B un coche a 100 km/h. ¿Cuánto tardan en encontrarse y a
qué distancia de A?
x será ahora la distancia de A a la que se encuentran.
Observamos que el tiempo que tarden debe ser el mismo para ambos, y
plantearemos la ecuación igualando los tiempos (usamos la fórmula 𝑡 =
𝑠
𝑣
)
PROBLEMAS DE MÓVILES

36. Los lados miden 3, 4 y 5 unidades respectivamente.
La ecuación, aplicando el teorema de Pitágoras, es:
𝑥 + 2 2
= 𝑥 + 1 2
+ 𝑥2
Que es una ecuación de segundo grado. Resolvemos.
𝑥2
+ 4𝑥 + 4 = 𝑥2
+ 2𝑥 + 1 + 𝑥2
⇒ 0 = 𝑥2
− 2𝑥 − 3 ⇒
⇒ 𝑥 =
2 ± 4 + 12
2
=
2 ± 4
2
=
3
−1
Puesto que x es un lado, debe ser positivo, por tanto la solución valida es 𝑥 = 3, y
el resto de los lados son 𝑥 + 1 = 4 y 𝑥 + 2 = 5
𝑥 + 2
𝑥 + 1
𝑥
𝑥 será ahora el lado más pequeño, con los cual
los otros lados serán 𝑥 + 1 y 𝑥 + 2 . Este
último será la hipotenusa, por ser el mayor.
Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son números naturales
consecutivos. Halla las medidas de dichos lados.
Cuando en el problema haya alguna referencia a figuras geométricas es
conveniente hacer un dibujo:
PROBLEMAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

37. Halla los años que tienen que pasar para que un capital que está al 4,73% de interés
compuesto anual se duplique.
En este tipo de problemas se usa la fórmula del interés compuesto, y es una de las
aplicaciones de las ecuaciones exponenciales.
𝐶𝑓 = 𝐶𝑖 · 1 + 𝑟 𝑡
Si el capital se duplica, es que 𝐶𝑓 = 2 · 𝐶𝑖 y como lo que pregunta es el tiempo, esa
será la incógnita del problema. De este modo se tiene la ecuación:
2 · 𝐶𝑖 = 𝐶𝑖 · 1 + 0,0473 𝑡
⟺ 2 = 1,0473 𝑡
Esta es una ecuación exponencial, que resolvemos tomando logaritmos:
log 2 = log 1,0473 𝑡 ⟺ log 2 = 𝑡 · log 1,0473 ⟺ 𝑡 =
log 2
log 1,0473
= 14,998 ≅ 15
Deben pasar aproximadamente 15 años
PROBLEMAS DE INTERÉS COMPUESTO