Ejercicios de Lengua que deberías prácticar para el uso de comas
Expresiones Algebraicas-1.pdf
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politecnica Territorial Andres Eloy Blanco
Barquisimeto, Edo-Lara
Expresiones Algebraicas
Factorización y
Radicación
Integrantes:
Berlys Piña
30995911
Eyla Cordero
29540951
Seccion: 0303
2. Expresiones Algebraicas
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más
cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o
indeterminadas y se representan por letras.
Las Expresión Algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos
de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
Ejemplo:3x + 2y – 5, es una expresión algebraica que tiene 3 términos, 3x; 2y; – 5. La
forma de escribir las expresiones algebraicas se conoce como notación algebraica.
Elementos de una Exprecion Algebraica:
Variable: es también llamada incógnita y es una letra que se utiliza para
representar un número desconocido. Por lo general se utilizan las primeras letras
del alfabeto (a, b, c, d, …) para cantidades conocidas y para las cantidades
desconocidas las últimas letras como x, y, z.
Coeficientes: son los números de los términos algebraicos y pueden tener signo
positivo o negativo.
Operadores: son los signos que indican que operación realizar, +, -, x, ÷. Se
debe aclarar que para la multiplicación en las expresiones algebraicas se usa el
punto (•) o el asterisco (*), debido a que el signo conocido de la multiplicación
(x) puede confundirse con una variable. En el caso de la división en vez del
signo ÷, se usa el signo (/), o se expresa como una fracción.
Paréntesis: se usan para agrupar términos. En una expresión algebraica, como
en cualquier operación aritmética, se deben resolver primero las expresiones que
están dentro de ellos. Ejemplo (….)
Exponente: son potencias que indican que un número ha sido multiplicado por
sí mismo varias veces. Ejemplo (𝑿𝟑
; 𝑿𝟐
… )
3. Suma:
Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más términos se deben reunir
todos los términos semejantes que existan, en uno solo. Para realizar la suma de términos
en una o más expresiones algebraicas estos deben ser semejantes. Si los términos no son
semejantes se deja la suma expresada.
Los términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor literal e igual
exponente (5x, 13x). Entonces se suman los coeficientes de los términos semejantes
considerando la regla de los signos
Suma de Monomio: Es cuando los factores son iguales
Ejercicio 1:
R(x) = 9x2
; S(x) = -4x2
Hallar R(x) + S(x)
Solución:
R(x) + S(x) = 9x2
+ (- 4x2
)
= 9x2
- 4x2
= (9 – 4)x2
= 5 x2
Ejercicio 2:
P(x) = 2x ; Q(x) = 4x;
Hallar P(x) + Q(x)
Solución:
P(x) + Q(x) = 2x + 4x
= (2+4) x
= 6x
4. Suma de Polinomio: Un polinomio es una expresión alagebraica que esta formada por
sumas y restas de los diferentes términos que conforman el polinomio.
Ejercicio 1:(3x + 4y) + (2x- 2y)
= 3x + 4y + 2r – 2y Los términos que obtuvimos no son semejantes
ya que tienes diferentes variables, por lo tanto no
se pueden combinar.
Ejercicio 2:
P(X)= 𝟒𝑿𝟑
− 𝟐𝑿𝟐
+ 𝑿 − 𝟕 ; Q(X)= 𝑿𝟒
− 𝑿𝟑
+ 𝟐𝑿𝟐
+ 𝟑 𝑿 + 𝟏
Hallar P(X) + Q(X)
Solución:
(𝟒𝑿𝟑
− 𝟐𝑿𝟐
+ 𝑿 − 𝟕 ) + (𝑿𝟒
− 𝑿𝟑
+ 𝟐𝑿𝟐
+ 𝟑 𝑿 + 𝟏)
= (𝟒𝑿𝟑
− 𝟐𝑿𝟐
+ 𝑿 − 𝟕+ 𝑿𝟒
− 𝑿𝟑
+ 𝟐𝑿𝟐
+ 𝟑 𝑿 + 𝟏)
=(− 𝑿𝟒
+ 𝟒𝑿𝟑
− 𝑿𝟑
− 𝟐𝑿𝟐
+ 𝟐𝑿𝟐
+ 𝑿 + 𝟑 𝑿 − 𝟕 + 𝟏) Se agrupan términos semejantes
= − 𝑿𝟒
+ 𝟑𝑿𝟑
+ 𝟎𝑿𝟐
+ 𝟒 𝑿 − 𝟔
Resta:
Con la resta algebraica sustraeremos el valor de una expresión algebraica de otra
Resta de Monomio: Restaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es
lo mismo que multiplicar.
Ejercicio 1:
R(x) = 6x ; S(x) = 4x2
Hallar R(x) - S(x)
Solución:
R(x) - Q(x) = 6x – 4x
= (6 – 4)x
= 2x
6. Valor Numérico de una Expresion Algebraicas
Es el número que se obtiene al sustituir las letras de una expresión algebraicas por números
determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Para realizar las
operaciones debes seguir un orden de jerarquía de las operaciones.
1. se resuelven las operaciones entre paréntesis.
2. potencias y radicales
3. multiplicaciones y divisiones
4. sumas y restas.
Ejercicio 1:
P(x) = x + 4 ; para x =5
P (5)= (5) + 4
= 9 Valor Numérico
Ejercicio 2
Q(x) = 3 - x ; para x = - 4
Q (-4)= 3 – (- 4)
= 3 + 4
= 7 Valor Numérico
Multiplicación de Expresiones Algebraicas
La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en otras
palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado
llamado producto a partir de dos factores algebraicos
llamada multiplicando y multiplicador.
Multiplicación entre Monomio:
7. 1. Primero multiplicamos los coeficientes de cada monomio
2. Luego multiplicamos la parte literal, esto es, las variables según las leyes de los
exponentes.
3. Aplicamos la ley distributiva.
4. Por último aplicamos finalmente la leyes de los signos.
Ejercicio 1:
P(x)=3𝑥2
; Q(x) = 4𝑥2
Hallar P(x) * Q(x)
P(x) * Q(x) = (3𝑥2
)(4𝑥4)
= (3.4)( 𝑥2
. 𝑥4
) Se multiplican los Coeficientes y las Variables
= (12)(𝑥2+4
) en las variables se aplica multiplicación de potencia de igual base.
= 12𝑥6
Ejercicio 2:
𝐴 = −3𝑎2
B= 2𝑎2
Hallar A * B
A * B = (-3𝑎2
)(2𝑎4)
= (−3.2)( 𝑎2
. 𝑎4
) Se multiplican los Coeficientes y las Variables
= (-6)(𝑎2+4
) en las variables se aplica multiplicación de potencia de igual base.
=−6𝑎6
Multiplicación entre Polinomio:
Tan solo debemos tener en cuenta la propiedad distributiva, la ley de signos y las leyes
de la potenciación.
La forma mas básica o reducida de la multiplicación entre dos polinomios es de la forma
(a+b) (c+d)= ac + bc + ad + bd
8. Ejercicio 1
P(x)=2𝑥2
; Q(x) = ( 3𝑥3
− 𝑥 + 4)
Hallar P(x)*Q(x)
P(x)*Q(x) = 2𝑥2
( 3𝑥3
− 𝑥 + 4)
= (2𝑥2
∗ 3𝑥3
) − (2𝑥2
∗ 𝑥) + (2𝑥2
∗ 4) se aplica propiedad distributiva
= 6𝑥5
− 2𝑥3
+ 8𝑥2
en las variables se aplica multiplicación de potencia de
igual base.
Ejercicio 2: A= (2x – 3) B= ( 5𝑥3
− 𝑥 + 5)
A * B = (2x – 3) ( 5𝑥3
− 𝑥 + 5) se aplica propiedad distributiva
= (2x ∗ 5𝑥3
) - (2x * 𝑥) + (2x * 5) + (– 3 * 5𝑥3
) - (– 3 * 𝑥 ) + (– 3 * 5)
= 10𝑥4
− 2𝑥2
+ 10𝑥 − 15𝑥3
+ 3𝑥 − 15
= 10𝑥4
− 15𝑥3
− 2𝑥2
+ 10x + 3x - 15 Se agrupan términos semejantes.
= 10𝑥4
− 15𝑥3
− 2𝑥2
+ 13x- 15
Division de Expresiones Algebraicas
La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas
dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un
algoritmo.
División de Monomios:
Primero se divide los coeficientes aplicando la ley de los signos; luego dividimos las partes
literales (variables) de los monomios según la ley de exponentes.
Ejercicio 1:
P(x) = 𝟒𝑥3
; Q(x) = 𝟐𝑥2
Hallar P(x) / Q (x)
9. P(x) / Q (x) =
𝟒𝑥3
𝟐𝑥2
=
𝟒
𝟐
𝑥3−2
Se dividen los coeficientes y se aplica división de potencia de igual base
= 𝟐𝑥
Ejercicio 2:
P = 𝟏𝟐𝑥3
𝑦5
; Q = 𝟒𝑥2
𝑦2
Hallar P(x) / Q (x)
P / Q =
𝟏𝟐𝑥
3
𝑦
5
𝟒𝑥2𝑦2
=
12
𝟒
𝑥(3−2
)𝑦(5−2)
Se dividen los coeficientes y se aplica división de potencia de igual base
= 𝟑𝑥𝑦3
División de Polinomios:
Para dividir un polinomio entre otro polinomio es necesario seguir los siguiente pasos:
- Se ordena los 2 polinomios en orden descendente y alfabetico
- Se divide el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor y se
obtiene el primer termino del cociente.
- Se multiplica el primer termino del cociente por el divisor y el producto obteniendo
la resta del dividendo, obteniendo un nuevo dividendo
- Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el resultado sea 0 o de menor exponente que el
dividendo.
Ejercicio 1:
P(x) = 𝑿𝟒
− 𝑿𝟑
+ 𝟖𝑿𝟐
− 𝟓 𝑿 + 𝟑 ; Q(x) = 𝑿𝟐
+ 𝑿 + 𝟏
Hallar P(x) / Q (x)
𝒙𝟒
− 𝒙𝟑
+ 𝟖𝒙𝟐
− 𝟓 𝒙 + 𝟑 𝑿𝟐
+ 𝑿 + 𝟏
-𝒙𝟒
−𝒙𝟑
− 𝒙𝟐
𝒙𝟐
- 2x + 9
−𝟐𝒙𝟑
+ 𝟕𝒙𝟐
- 5x
𝟐𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙
𝟗𝒙𝟐
− 𝟑𝒙 + 𝟑 Resto ; Cociente
-𝟗𝒙𝟐
– 9x - 9 r(x)= -12x -6; c(x)= 𝒙𝟐
- 2x + 9
– 12x - 6
10. Ejercicio 2:
P(x) = 𝑿𝟒
− 𝑿𝟑
+ 𝟖𝑿𝟐
− 𝟓 𝑿 + 𝟑 ; Q(x) = 𝑿𝟐
+ 𝑿 + 𝟏
Hallar P(x) / Q (x)
𝒙𝟒
− 𝟐𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝟐
− 𝒙 + 𝟐 𝑿𝟐
+ 𝑿 + 𝟐
-𝒙𝟒
−𝒙𝟑
− 𝟐𝒙𝟐
𝒙𝟐
- 3x + 4
−𝟑𝒙𝟑
+ 𝒙𝟐
- x
𝟑𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙
𝟒𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝟐 Resto ; Cociente
-𝟒𝒙𝟐
– 4x - 8 r(x)= x - 6; c(x)= 𝒙𝟐
- 3x + 4
x - 6
Producto notables de expresiones algebraicas
Es el nombre que reciben las multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado
se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumple
ciertas reglas fijas. Cada producto notable corresponde a una formula de factorización.
(𝑥 + 𝑦)2
= =(𝑥)2
+ 2 (x) (y) + (𝑦)2
Ejercicio 1: (2𝑥 + 3𝑦)2
=(2𝑥)2
+ 2 (2x) (3y) + (3𝑦)2
= 4𝑥2
+ 12𝑥𝑦 + 9𝑦2
Ejercicio 2: (𝑥 + 3)2
= (𝑥)2
+ 2 (x) (3) + (3)2
= 𝑥2
+ 6𝑥 + 9
11. Factorización por Productos Notables
Es el proceso de encontrar dos o mas expresiones cuyo producto sea igual a una expresión
dada. Puede decirse que la factorización permite descomponer una expresión algebraica en
factores para presentarla de una manera más simple. Cabe destacar que los factores son
expresiones que se someten a una multiplicación para la obtención de un producto.
Formula
(a + b)3
= a3
+3. a2
. b + 3. a . b2
+b3
Ejercicio 1: (x+1)3
= x3
+ 3. x2
. 1 + 3. x. 12
+13
= x3
+3.x2
+3x+1
Ejercicio 2: (2x +1)3
= (2x)3
+3. (2x)2
. 1 + 3. 2x. 12
+13
= 8x3
+12x2
+6x+1
