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- 1. MECÁNICA TÉCNICA II MEC 213 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA MECÁNICA ELECTROMECÁNICA MECATRÓNICA AUTOMOTRIZ ING. EDWIN FLORES 2022 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA 𝑣 𝑠 𝑣𝑜 𝑠𝑜 6 10 y x A B v=6pie/s C
- 2. CONTENIDO - CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA - CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO - DINÁMICA DE LA PARTÍCULA - ENERGÍA Y TRABAJO DE LA PARTÍCULA - PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LOS CUERPOS - DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO - MÉTODOS ENERGÉTICOS PARA CUERPO RÍGIDOS EVALUACIÓN - 2 EX PARCIALES: 50 - 1 EX FINAL : 30 - 3 PRACTICAS : 15 - AUXILIATURA: 5 Los exámenes serán presencial, en previos en Cotacota BIBLIOGRAFÍA DINÁMICA HIBBELER DIT. PRENTICE HALL - DINÁMICA BEER JHONSTON - DINÁMICA IRVING SHAMES EDIT. MCGRAW HILL. MECÁNICA VECTORIAL DINÁMICA- HARRY NARA • DINÁMICA FANGER EDIT. URMO. •. DINÁMICA VECTORIAL HUANG. EDIT. MCGRAW HILL. • CONTENIDO Y EVALUACIÓN
- 3. La cinemática es la parte de la mecánica que se encarga de estudiar el movimiento de partículas y cuerpos rígidos, sin considerar las causas que producen el movimiento. Para relacionar los factores que causan el movimiento y el movimiento del mismo, a esta área de estudio se llama dinámica. 1 INTRODUCCIÓN Partícula es una entidad material más pequeña que contiene una cantidad “infinitesimal de la materia”.
- 4. La mecánica es el comportamiento del material en su medio circundante, donde actúa un sistema de fuerzas (acción) es decir: 𝑀𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 ൞ − 𝐸𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 − 𝐷𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎 ቊ −𝐶𝑖𝑛𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 −𝐶𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑠) 1 INTRODUCCIÓN Estados agregados de la materia: 𝑆ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠 ቊ −𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 −𝐼𝑛𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 (𝑟í𝑔𝑖𝑑𝑜𝑠) 𝐿í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠 𝐺𝑎𝑠𝑒𝑠 Dinámica de la partícula Dinámica de un sistema de sistema de partículas • Dinámica del cuerpo rígido • Dinámica de sistema de cuerpos rígidos • Dinámica de un medio continuo deformable
- 5. 𝑂 ∶ 𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟 Ԧ 𝑟 ∶ 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∶ 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 Ԧ 𝑟 = 𝑂𝑃 Ԧ 𝑟 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 Modulo: Ԧ 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 2 VECTOR POSICIÓN Ԧ 𝐴 Si la partícula P se pone en movimiento para distintos tiempos será: 𝑡2 > 𝑡1 > 𝑡0 Ԧ 𝑟0 ≠ Ԧ 𝑟1 ≠ Ԧ 𝑟2 Ԧ 𝑟 = Ԧ 𝑟(𝑡) Por tanto el vector posición será función del tiempo.
- 6. 𝛥Ԧ 𝑟(𝛥𝑡): 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝛥𝑡: 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝜟𝒓 ≠ 𝜟𝑳 𝛥Ԧ 𝑟(𝛥𝑡) = Ԧ 𝑟 𝑡+𝛥𝑡 − Ԧ 𝑟(𝑡) 3 VECTOR DESPLAZAMIENTO Si hacemos 𝛥𝑡 → 0 (𝛥𝑡 → 𝑑𝑡) 𝑑Ԧ 𝑟(𝛥𝑡) = Ԧ 𝑟 𝑡+𝑑𝑡 − Ԧ 𝑟(𝑡) Vector desplazamiento infinitesimal 𝒅𝒓 = 𝒅𝑳 → 𝛥Ԧ 𝑟(𝛥𝑡) = න 𝑡 𝑡+𝑑𝑡 𝑑Ԧ 𝑟 Sea una partícula en movimiento para un instante t:
- 7. Vector velocidad media Ԧ 𝑣 = 𝛥Ԧ 𝑟 𝛥𝑡 Ԧ 𝑣 = 𝑙𝑖𝑚𝛥𝑡→0 Ԧ 𝑣 = 𝑙𝑖𝑚𝛥𝑡→0 𝛥Ԧ 𝑟 𝛥𝑡 Ԧ 𝑣 = 𝑑Ԧ 𝑟 𝑑𝑡 𝒗: 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕á𝒏𝒆𝒐 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 Nota.- el vector velocidad instantánea es paralelo al vector desplazamiento diferencial 4 VECTOR VELOCIDAD Ԧ 𝑣 HODÓGRAFA DE MOVIMIENTO: Una hodógrafa es el lugar geométrico del plano o del espacio determinado por los extremos de los vectores velocidad de un punto que recorre una trayectoria cualquiera, trasladados a un origen común.
- 8. Se puede demostrar que: Ԧ 𝑎 = 𝑑 Ԧ 𝑣 𝑑𝑡 Ԧ 𝑎 ∶ 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑜 Ԧ 𝑣 = Ԧ 𝑣 𝑡 Ԧ 𝑎 = 𝑑 Ԧ 𝑣 𝑑𝑡 Ԧ 𝑎 = 𝑑 Ԧ 𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑑Ԧ 𝑟 𝑑𝑡 = 𝑑2 Ԧ 𝑟 𝑑𝑡2 5 VECTOR ACELERACIÓN Sea una partícula en movimiento para un instante t: 𝒂 // 𝒅𝒗; 𝒓 𝒕 𝑛𝑜 𝑒𝑠 // 𝑎𝑙 𝒗 𝒕 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑠𝑢 𝑣𝑒𝑧 𝑡𝑎𝑚𝑝𝑜𝑐𝑜 𝑒𝑠 // 𝑎𝑙 𝒂 𝒕
- 9. MOVIMIENTO RECTILÍNEO 𝒓 𝒕 𝒆𝒔 // 𝒂𝒍 𝒗 𝒕 𝒒𝒖𝒆 𝒂 𝒔𝒖 𝒗𝒆𝒛 // 𝒂𝒍 𝒂 𝒕 Notación matemática: Sea la función 𝜷 = 𝜷(𝒕) 𝒅 𝒅𝒕 𝜷 = 𝒅𝜷 𝒅𝒕 = ሶ 𝜷 ; 𝒅𝟐 𝜷 𝒅𝒕𝟐 = ሷ 𝜷
- 10. En aplicaciones en ingeniería desde la rapidez de operación de las máquinas han ido creciendo, mecanismos tal como válvulas de admisión y escape de motores. Debido a que ഺ 𝑟 representa la razón de cambios de la aceleración, representa la razón de variación de la fuerza resultante responsable de la aceleración. ሸ Ԧ 𝑟 = 𝑑 Ԧ 𝑎 𝑑𝑡 SEGUNDA ACELERACIÓN PULSO-JERK
- 11. Ԧ 𝑣 = 𝑑Ԧ 𝑟 𝑑𝑡 Ԧ 𝑣 = ሶ Ԧ 𝑟 Ԧ 𝑎 = 𝑑 Ԧ 𝑣 𝑑𝑡 Ԧ 𝑎 = ሶ Ԧ 𝑣 Ԧ 𝑎 = 𝑑2 Ԧ 𝑟 𝑑𝑡2 = ሷ Ԧ 𝑟 Si 𝑣 = Ԧ 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑑 Ԧ 𝑣 𝑎 = Ԧ 𝑎 𝑑𝑟 = 𝑑 Ԧ 𝑟 6 RELACIONES CINEMÁTICAS DIFERENCIALES Por definición: Ԧ 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 // ∘ 𝑑 Ԧ 𝑟 Ԧ 𝑎 ∘ 𝑑Ԧ 𝑟 = 𝑑 Ԧ 𝑣 𝑑𝑡 ∘ 𝑑Ԧ 𝑟 Ԧ 𝑎 ∘ 𝑑Ԧ 𝑟 = 𝑑 Ԧ 𝑣 ∘ 𝑑Ԧ 𝑟 𝑑𝑡 Ԧ 𝑎 ∘ 𝑑Ԧ 𝑟 = 𝑑 Ԧ 𝑣 ∘ Ԧ 𝑣 = Ԧ 𝑣 ∘ 𝑑 Ԧ 𝑣 Ԧ 𝑎 𝑑Ԧ 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛽 = Ԧ 𝑣 𝑑 Ԧ 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑎 𝑑𝑟 = 𝑣 𝑑𝑣 𝑣 𝑎 = 𝑑𝑟 𝑑𝑣
- 12. Por definición: Ԧ 𝑣 = 𝑑 Ԧ 𝑟 𝑑𝑡 ⇒ න Ԧ 𝑟0 Ԧ 𝑟 𝑑Ԧ 𝑟(𝑡) = න 𝑡0 𝑡 Ԧ 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 7 RELACIONES CINEMÁTICAS INTEGRALES Ԧ 𝑣 𝑡 − Ԧ 𝑣0 = න 𝑡0 𝑡 Ԧ 𝑎 𝜏 ⋅ 𝑑𝜏 (2) 𝜏 → 𝑢 Ԧ 𝑣 𝜏 = Ԧ 𝑣0 + න 𝑡0 𝜏 Ԧ 𝑎 𝑢 𝑑𝑢 (2) en (1) además 𝑡0 = 0 : Ԧ 𝑟 𝑡 = Ԧ 𝑟0 + න 0 𝑡 ( Ԧ 𝑣0 + න 0 𝜏 Ԧ 𝑎 𝑢 𝑑𝑢) 𝑑𝜏 Ԧ 𝑟 𝑡 = Ԧ 𝑟0 + Ԧ 𝑣0𝑡 + න 0 𝑡 න 0 𝜏 Ԧ 𝑎 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝜏 (3) Ԧ 𝑟0 Ԧ 𝑟 𝑡 𝑡0 𝑡 𝜏 Ԧ 𝑣0 Ԧ 𝑣(𝑡) Cambio de variable 𝑡 → 𝜏: Ԧ 𝑟 𝑡 − Ԧ 𝑟0 = න 𝑡0 𝑡 Ԧ 𝑣 𝜏 𝑑𝜏 (1) Ԧ 𝑎 = 𝑑 Ԧ 𝑣 𝑑𝑡 → න 𝑣0 𝑣 𝑡 𝑑𝑣 𝑡 = න 𝑡0 𝑡 𝑎 𝑡 ⋅ 𝑑𝑡 En modulo: 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑟 ; 𝑣0 𝑣 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑟0 𝑟 𝑎 𝑑𝑟 𝑣2 2 − 𝑣0 2 2 = ධ 𝑟0 𝑟 𝑎 𝑠 𝑑𝑠 𝑣2 = 𝑣0 2 + 2 න 𝑟0 𝑟 𝑎 𝑠 𝑑𝑠 (4)
- 13. Para el caso del movimiento rectilíneo to=0: 𝑟 = 𝑟0 + 𝑣 𝑡 𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎 𝑡 𝑟 = 𝑟𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 + 1 2 𝑎𝑡2 𝑣2 = 𝑣𝑜 2 + 2𝑎 𝑟 − 𝑟𝑜 7 RELACIONES CINEMÁTICAS INTEGRALES 𝑟0 𝑡0 𝑡 𝑣 𝑎 𝑟 𝑣0 𝑟 Posición vs tiempo 𝑡 𝑣 Velocidad vs tiempo 𝑡 𝑎 Aceleración vs tiempo 𝑡 𝑟𝑜 𝑣𝑜 𝑎 Aceleración constante: Aceleración constante Eje de las ordenadas Eje de las abscisas
- 14. Ejemplo.- Un objeto muy pequeño se mueve en una trayectoria rectilínea con velocidad en función de la posición y se conoce la grafica espacio recorrido en función del tiempo. Especificar la grafica Aceleración en función del tiempo para este objeto. 𝑠 𝑡 𝑣 𝑠 𝑠𝑜 𝑣𝑜 𝑠𝑜 𝑡𝑜 Sol.- En la grafica S vs t, Intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑜: 𝑣 = 𝑣𝑜 𝑆𝑜 𝑆 (1) 𝑆 = 𝑆𝑜 𝑡0 2 𝑡2 2 (2) en (1): 𝑣 = 𝑣𝑜 𝑆𝑜 𝑆𝑜 𝑡0 2 𝑡2 = 𝑣𝑜 𝑡0 2 𝑡2 3 Por definición: 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 → 𝑎 = 𝑣𝑜 𝑡0 2 2𝑡 Intervalo 𝑡𝑜 ≤ 𝑡: 𝑣 = 𝑣𝑜 ; 𝑆 = 𝑆𝑜 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 → 𝑎 = 0 Grafica 𝑎 − 𝑡: 𝑎 𝑡 2 𝑣𝑜 𝑡𝑜 𝑡𝑜 0
- 15. Ejemplo.-Un niño suelta desde el reposo una pequeña pelota, desde la azotea de un edificio de altura H conocida; simultáneamente otro niño situado en la vereda del edificio lanza verticalmente otra pelota con una velocidad 𝑣𝑜, Determinar la posición medida desde la azotea, a la cual ambos objetos chocaran en el aire. Para A: ℎ = 𝑣𝑜𝑡 + 1 2 𝑔𝑡2 → ℎ = 1 2 𝑔𝑡2 (1) Para B: ℎ𝐵 = 𝑣𝑜𝐵𝑡 − 1 2 𝑔𝑡2 → 𝐻 − ℎ = 𝑣𝑜𝑡 − 1 2 𝑔𝑡2 2 (1) en (2): 𝐻 − 1 2 𝑔𝑡2 = 𝑣𝑜𝑡 − 1 2 𝑔𝑡2 → 𝐻 = 𝑣𝑜𝑡 3 ℎ = 1 2 𝑔( 𝐻 𝑣𝑜 )2 → 𝒉 = 𝒈𝑯𝟐 𝟐 𝒗𝟎 𝟐 𝐻 ℎ =? 𝑣𝑜 𝐻 ℎ 𝑣𝑜 𝐻 − ℎ 𝑎 = 𝑔 𝐵 𝐴 𝑡
- 16. Rapidez angular media: < 𝜔 > = ∆𝜃 ∆𝑡 Pasando límite se definen la rapidez instantánea: 𝜔 = 𝑙𝑖𝑚∆𝑡→0 ∆𝜃 ∆𝑡 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜔 = ሶ 𝜃 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 De forma vectorial: 𝜔 = 𝑑 Ԧ 𝜃 𝑑𝑡 8 MOVIMIENTO ANGULAR Ԧ 𝑟 Ԧ 𝑟 𝑡 𝑡0 𝑡 ∆𝜃 Ԧ 𝑟 𝑡 𝑡 𝑑𝜃 ො 𝑛 𝝎 Ԧ 𝑣(𝑡) Velocidad angular instantánea: 𝜔 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 ො 𝑛; 𝒗 = 𝝎 × 𝒓 𝒕 Aceleración angular instantánea: Ԧ 𝛼 = 𝑑𝜔 𝑑𝑡 = ሶ 𝜔 Movimiento angular: 𝜃 = 𝜃0 + 0 𝑡 𝜔 𝜏 𝑑𝜏 𝜔 = 𝜔0 + න 0 𝑡 𝛼 𝜏 𝑑𝜏 𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 + න 0 𝑡 න 0 𝜏 𝛼 𝑢 𝑑𝑢𝑑𝜏
- 17. 𝑥 − 𝑦 − 𝑧: 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 Ƹ 𝑖, Ƹ 𝑗, 𝑘: 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 Vector posición O-P: Ԧ 𝑟 = 𝑂𝑃 = 𝑥 Ƹ 𝑖 + 𝑦 Ƹ 𝑗 + 𝑧 𝑘 Ԧ 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) Velocidad: Ԧ 𝑣 = 𝑑 Ԧ 𝑟 𝑑𝑡 = ሶ 𝑥 Ƹ 𝑖 + ሶ 𝑦 Ƹ 𝑗 + ሶ 𝑧 𝑘 (2) Aceleración: Ԧ 𝑎 = 𝑑 Ԧ 𝑣 𝑑𝑡 = ሷ 𝑥 Ƹ 𝑖 + ሷ 𝑦 Ƹ 𝑗 + ሷ 𝑧 𝑘 (3) ሶ 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ; ሶ 𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ; ሶ 𝑧 = 𝑑𝑧 𝑑𝑡 9 SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR Longitud de trayectoria: 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2 ∗ 𝑑𝑡2 𝑑𝑡2 𝐿 = 𝑑𝑠 = න 0 𝑡 ሶ 𝑥2 + ሶ 𝑦2 + ሶ 𝑧2𝑑𝑡 (4) 𝐿: 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑠